Что такое оценка в математике

Метод оценки в задачах с параметрами

В этой статье мы рассмотрим мощный метод, который применяется, когда в левой и правой частях уравнения или неравенства стоят функции разных типов. Для того чтобы лучше его запомнить, расскажем историю о том, как птичка и рыбка полюбили друг друга.

Еще раз: в левой и правой частях уравнения находятся функции разных типов. Мы помним, что в математике существует 5 типов элементарных функций: степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические и обратные тригонометрические. Подробно о них — в статье «Элементарные функции и их графики».

Мы знаем из курса алгебры, что уравнения, которые мы решаем, обычно относятся к одному из этих пяти типов. Показательные и логарифмические, квадратные и тригонометрические уравнения — для каждого типа есть свои характерные приемы и способы решения. И основаны они на тех или иных свойствах функций. Для тригонометрических уравнений — свои способы решения, для логарифмических — свои.

Но сейчас мы рассмотрим уравнение, в левой и правой частях которого находятся функции разных типов. Вот оно:

Такое уравнение бесполезно возводить в квадрат или делать с ним арифметические действия. Бесполезно брать логарифмы от обеих частей — от этого оно станет только хуже.

Что же с ним делать? Упростим его, насколько возможно.

Посмотрим на правую часть этого уравнения. Очевидно,

Интересно — а какой же будет левая часть? Давайте оценим и ее тоже.

Поскольку получим, что

Получается, что при всех значениях х левая часть уравнения не меньше, чем 8, а правая часть не больше, чем 8. И это значит, что решением уравнения могут быть только такие значения переменной х, когда и левая, и правая часть равны 8. Тогда они равны друг другу. В этом и состоит метод оценки.

Метод оценки применяется для уравнений и неравенств, где функции, стоящие в левой и правой части, могут быть равны друг другу только в определенной точке, причем одна из них принимает в этой точке наименьшее значение, а другая — наибольшее.

Вот как это выглядит:

А чтобы лучше запомнить суть метода, рассказываем историю.

Глубоко-глубоко в море жила маленькая рыбка. А высоко-высоко в небе жила маленькая птичка. И однажды они полюбили друг друга! А встретиться они могли только в одной точке, на границе моря и неба, до которой рыбке надо подняться, а птичке — спуститься!

Смотри видео о том, как птичка и рыбка полюбили друг друга и что из этого получилось

О чем эта история? О нашем уравнении, конечно! В левой и правой его частях находятся функции разных типов. И при определенном значении х они оказались равны друг другу. Легко заметить, что значения выражения в левой части всегда больше либо равны восьми («птичка»), значения выражения в правой части — меньше либо равные восьми («рыбка»). И возможно, есть такая точка, где у одной из этих функций будет минимум, а у другой — максимум, причем значение каждой из них станет равно восьми.

Нам осталось только проверить, что эта точка действительно есть. Приравняем правую часть к восьми.

Подставив в левую часть, получим, что и она равна восьми при этом значении x. Значит, является единственным корнем данного уравнения.

Вот еще одна задача на метод оценки.

Умножим обе части данного неравенства на положительную величину:

В левой и правой частях полученного неравенства оказались функции разных типов. Метод оценки!

Выделим под логарифмом полный квадрат:

Неравенство примет вид:

Наибольшее значение выражения под логарифмом равно 2. Стало быть, наибольшее значение логарифма равно
, то есть 1, и достигается оно при единственном значении x = 3.

В то же время, наименьшее значение выражения также равно 1, и достигается оно при том же единственном значении x= 3.

Поэтому последнее неравенство будет выполнено лишь в одном-единственном случае: когда обе его части равны 1, т. е. при x = 3. Решением данного неравенства служит единственное число!

Мы обещали задачи с параметрами, которые решаются методом оценки. Вот, пожалуйста:

18. Найдите все значения а, при которых уравнение

имеет ровно два решения.

Обозначим Уравнение примет вид:

Мы видим, что левая часть этого уравнения не меньше единицы, а правая часть — не больше единицы. Равенство может быть, только если обе они равны единице.

Это классическая задача на метод оценки.

В нашем случае функция f в левой части уравнения и функция g в правой части «встречаются», когда одна из них принимает свое наименьшее значение, равное единице, а другая — свое наибольшее значение, также равное единице.

Второе уравнение означает, что частное — целое число.

В первом уравнении сделаем замену

Нам нужно, чтобы исходное уравнение относительно х имело два корня.

Заметим, что так как если то и двух корней не получится.

График функции — парабола с вершиной М(3;-9)

Источник

Какой пример оценки?

Чтобы найти значение, достаточно близкое к правильному ответу, обычно с некоторыми размышлениями или расчетами. Пример: Алекс приблизительно на поле было 10,000 XNUMX подсолнухов, если посчитать один ряд и затем умножить на количество рядов.

Что означает оценка?

Существительное оценка относится к суждению о качествах чего-то или кого-то. В твоей оценка ни один мальчик не подойдет вашей дочери. Существительное оценка имеет свои латинские корни в aestimare, смысл «оценивать.» Одно из определений для оценка это приблизительный расчет стоимости чего-либо.

Почему важно округление? округление числа делают их более простыми и удобными в использовании. Хотя они немного менее точны, их значения все еще относительно близки к исходным. Наконец, часто просто работать с закругленный числа, потому что точные числа требуются не только.

Что значит оценка?

Существительное оценка относится к суждению о качествах чего-то или кого-то. В твоей оценка ни один мальчик не подойдет вашей дочери. Существительное оценка имеет свои латинские корни в aestimare, смысл «оценивать.» Одно из определений для оценка это приблизительный расчет стоимости чего-либо.

Как объяснить округление?

Как вы оцениваете внешний вид?

Какие есть два способа оценки?

Существуют различные методы оценки которые полезны для разных Типы проблем. Три самых полезных методы округление, интерфейс и кластеризация методы.

В чем преимущество округления при оценке?

к сделать все проще, они все соглашаются год это число до 100. Гораздо проще работать со значениями, когда они имеют значения закругленный до ближайших десяти, сотен или чего угодно. В математике вы можете использовать оценка чтобы дать вам представление о возможном ответе без дело много работы.

Что такое приближение и оценка?

Приближение и оценка. приближение можно использовать, чтобы быстро решить, сколько предметов вы можете купить на купюру в 20 фунтов стерлингов. приближение включает в себя оценка, округление до десяти, десятичные и значащие цифры.

Как вы учите оценивать?

Зачем нужна оценка?

Что такое метод оценки кластеризации?

Кластерная оценка может быть использован для оценка суммы и произведения, когда числа, которые вы складываете или умножаете кластер рядом или близок по значению к единственному числу. Пример №1: Оценку 699 + 710 + 695 + 705 + 694 + 715. Внимательно изучите все числа выше. Вы должны заметить, что все они кластер вокруг 700.

Как разделить десятичные дроби?

к делить десятичную дробь числа: умножьте делитель на необходимое количество десятков, пока не получите целое число. Не забудьте умножить делимое на такое же количество десятков.

Как научить округлять до ближайшего 10?

Что такое кластеризация в математике?

A кластер по математике когда данные кластерный или собраны вокруг одной конкретной ценности. Пример кластер будут значениями 2, 8, 9, 9.5, 10, 11 и 14, в которых есть кластер вокруг числа 9.

Что такое примеры оценки внешнего интерфейса?

Что такое умножение переднего плана?

Умножение переднего плана. Используется, когда умножения Одно- и двузначные числа на двузначное число. Также может называться «дробление» или «разрушение».

Какие совместимые номера?

Оценку. подробнее Чтобы найти значение, достаточно близкое к правильному ответу, обычно с некоторыми размышлениями или расчетами. Пример: Алекс приблизительно на поле было 10,000 XNUMX подсолнухов, если посчитать один ряд и затем умножить на количество рядов.

Какие совместимые номера?

Какие есть два способа оценки?

Существуют различные методы оценки которые полезны для разных Типы проблем. Три самых полезных методы округление, интерфейс и кластеризация методы.

Какие совместимые номера?

В математике совместимые номера являются номера которые легко складывать, вычитать, умножать или делить мысленно. Совместимые номера близки по стоимости к реальным номера которые упрощают оценку ответа и решение задач.

Каковы правила оценки?

Генерал править для оценки смотреть на цифру справа от цифры, которую вы хотите оценка. Оценка или округление до ближайшего целого числа означает просмотр цифры справа от десятичной дроби. Если вы видите цифру больше 5, округлите в большую сторону, а если меньше 5, округлите в меньшую сторону.

Что такое оценка внешнего интерфейса?

Есть много способов оценка ответ. Один из методов называется «Оценка внешнего интерфейса. » Название происходит от вашего образа. Вместо округление каждое число до заданного значения разряда, мы округляем любое число в передний. Мы сохраняем только один номер в передний а все остальные стали нулями.

Какое общее правило округления?

Что такое метод оценки кластеризации?

Кластерная оценка. Кластерная оценка может быть использован для оценка суммы и произведения, когда числа, которые вы складываете или умножаете кластер рядом или близок по значению к единственному числу.

Что такое предварительная оценка 4-го класса?

Оценка внешнего интерфейса. С предварительная оценка, мы только округляем и складываем числа в крайнем левом месте или в самом последнем числе слева. Это означает, что все числа в других местах будут нулями, кроме числа в крайнем левом месте после округления чисел.

Что такое предварительная оценка 4-го класса?

В математике совместимые номера являются номера которые легко складывать, вычитать, умножать или делить мысленно. Совместимые номера близки по стоимости к реальным номера которые упрощают оценку ответа и решение задач.

Как округлить до ближайшей сотни?

Что такое добавление внешнего интерфейса?

Как использовать совместимые номера?

Совместимые номера пары номера которые легко складывать, вычитать, умножать или делить мысленно. Когда через оценка, чтобы приблизиться к расчету, заменить фактический номера с совместимые номера, номера 500 и 300 соток совместим к тому же, так как сумму 800 легко вычислить мысленно.

Как округлить до десятых?

к округлить до ближайшей десятой, запишите число с десятичной точкой и найдите десятые поместите прямо справа от десятичной дроби. Затем справа от десятые место, посмотрите на цифру в сотых разрядах.

Что такое синоним оценки?

Почему важно округление?

округление числа делают их более простыми и удобными в использовании. Хотя они немного менее точны, их значения все еще относительно близки к исходным. Наконец, часто просто работать с закругленный числа, потому что точные числа требуются не только.

В чем преимущество округления при оценке?

Источник

Как оценить значение выражения? Методы получения оценок, примеры

В этой статье мы разберем, во-первых, что понимают под оценкой значений выражения или функции, и, во-вторых, как оцениваются значения выражений и функций. Сначала введем необходимые определения и понятия. После этого подробно опишем основные методы получения оценок. По ходу будем приводить решения характерных примеров.

Что значит оценить значение выражения?

Нам не удалось найти в школьных учебниках явного ответа на вопрос, что понимается под оценкой значения выражения. Попробуем сами разобраться с этим, отталкиваясь от тех крупиц информации по этой теме, которые все же содержатся в учебниках и в сборниках задач для подготовки к ЕГЭ и поступлению в ВУЗы.

Давайте посмотрим, что можно найти по интересующей нас теме в книгах. Приведем несколько цитат:

в) Сложив почленно заданные двойные неравенства одинакового смысла, получим:

…

После этого поясняющего примера следует ряд заданий. Запишем два из них.

В двух первых примерах фигурируют оценки чисел и числовых выражений. Там мы имеем дело с оценкой одного единственного значения выражения. В остальных примерах фигурируют оценки, относящиеся к выражениям с переменными. Каждому значению переменной из ОДЗ для выражения или из некоторого интересующего нас множества X (которое, понятно, является подмножеством области допустимых значений) соответствует свое значение выражения. То есть, если ОДЗ (или множество X ) не состоит из единственного числа, то выражению с переменной отвечает множество значений выражения. В этом случае приходится говорить про оценку не одного единственного значения, а про оценку всех значений выражения на ОДЗ (или множестве X ). Такая оценка имеет место для любого значения выражения, соответствующего некоторому значению переменной из ОДЗ (или множества X ).

За рассуждениями мы немного отвлеклись от поиска ответа на вопрос, что значит оценить значение выражения. Приведенные выше примеры продвигают нас в этом деле, и позволяют принять два следующих определения:

Оценить значение числового выражения – это значит указать числовое множество, содержащее оцениваемое значение. При этом указанное числовое множество будет оценкой значения числового выражения.

Оценить значения выражения с переменной на ОДЗ (или на множестве X ) – это значит указать числовое множество, содержащее все значения, которые принимает выражение на ОДЗ (или на множестве X ). При этом указанное множество будет оценкой значений выражения.

Несложно убедиться, что для одного выражения можно указать не единственную оценку. Например, числовое выражение можно оценить как , или , или , или , и т.д. Это же касается и выражений с переменными. Например, выражение на ОДЗ можно оценить как , или , или , и т.д. В связи с этим в записанные определения стоит добавить уточнение, касающееся указываемого числового множества, представляющего собой оценку: оценка не должна быть абы какой, она должна отвечать целям, для которых ее находят. Например, для решения уравнения подходит оценка . Но эта оценка уже не подходит для решения уравнения , здесь значения выражения нужно оценить иначе, например, так: .

В заключение этого пункта обратим внимание на форму записи оценок. Обычно, оценки записываются при помощи неравенств. Вы наверняка это и так заметили.

Оценка значений выражения и оценка значений функции

По аналогии с оценкой значений выражения можно говорить про оценку значений функции. Это выглядит довольно естественно, особенно если при этом иметь в виду функции, заданные формулами, ведь оценка значений выражения f(x) и оценка значений функции y=f(x) по сути есть одно и то же, что очевидно. Более того, процесс получения оценок часто удобно описывать именно в терминах оценки значений функции. В частности, в определенных случаях получение оценки выражения проводится через нахождение наибольшего и наименьшего значений соответствующей функции.

О точности оценок

В первом пункте этой статьи мы сказали, что для выражения могут иметь место множество оценок его значений. Являются ли одни из них лучше других? Это зависит от решаемой задачи. Поясним на примере.

Есть ли смысл все время искать самые точные оценки? Нет. И дело здесь в том, что для решения задач часто хватает сравнительно грубых оценок. А главное преимущество таких оценок перед точными оценками в том, что часто их значительно проще получить.

Основные методы получения оценок

Оценки значений основных элементарных функций

В школе подробно изучаются основные элементарные функции, их свойства и графики. В частности, нам хорошо известны области значений этих функций. Их, естественно, можно использовать в качестве оценок значений соответствующих функций и отвечающих им выражений. Давайте запишем наиболее часто используемые на практике результаты:

Вы наверняка заметили, что мы записали оценки значений не всех основных элементарных функций. Например, в приведенном списке нет оценки значений логарифмической функции. Дело в том, что область значений логарифмической функции есть множество всех действительных чисел, и от оценки −∞ мало практического толка. Не вошедшие в список функции интересны в плане оценки не на всей их области определения, а на некоторых более узких множествах. Об этом мы поговорим чуть позже.

Оценка значений функции y=|x|

Метод оценки значений выражений на базе свойств числовых неравенств

В двух предыдущих пунктах мы, можно сказать, собирали исходные данные – простейшие оценки. Теперь можно переходить к методам, позволяющим оперировать простейшими оценками с целью получения оценок значений более сложных выражений и функций.

Первый метод получения оценок, который мы рассмотрим, опирается на свойства числовых неравенств. Он состоит в выполнении действий над простейшими оценками по правилам, аналогичным правилам выполнения действий с верными числовыми неравенствами. Давайте разбираться с этими правилами. Будем формулировать их в виде утверждений, и приводить примеры их применения.

На менее формальном языке это утверждение звучит так: к обеим частям справедливой оценки значений выражения можно прибавить одно и то же число или из обеих частей оценки можно отнять одно и то же число.

Оцените значение выражения x 6 −7

Разобранное утверждение, как, впрочем, и все описанные ниже, можно распространить на оценки в виде двойных неравенств, ведь, по сути, двойное неравенство есть система двух обычных неравенств. Разберемся с этим на примере.

Оцените значения выражения sinx+0,5

Переходим к следующим утверждениям. Их будем давать без доказательств. Оправдаем это тем, что по сути эти доказательства такие же, как доказательство предыдущего утверждения, они отличаются лишь используемыми в них свойствами числовых неравенств. Например, в доказательстве следующего утверждения участвует свойство умножения обеих частей верного числового неравенства на одно и то же положительное число.

Другими словами, если обе части справедливой на ОДЗ (или на множестве X ) оценки умножить на одно и то же положительное число, то получится справедливая на ОДЗ (или на множестве X ) оценка; если обе части справедливой на ОДЗ (или на множестве X ) оценки умножить на одно и то же отрицательное число и при этом изменить знак неравенства на противоположный, то получится справедливая на ОДЗ (или на множестве X ) оценка.

Укажите оценки значений следующих выражений:

а)

Оцените значения выражения:

а)

б)

Оцените значения выражения

Покажем, как это делается при решении характерного примера.

Оцените значения выражения

Переходим к следующему утверждению, в основе которого лежит свойство сложения верных числовых неравенств одинакового смысла.

Запоминать эти утверждения удобно в упрощенных формулировках. Так нужно понимать два момента. Первый: справедливые на множестве X оценки одного смысла можно почленно складывать, что дает новую справедливую на множестве X оценку того же смысла. Второй: если одна из складываемых оценок имеет знак строгого неравенства, а вторая – нестрогого, то полученная в результате сложения оценка будет иметь знак строгого неравенства.

Оцените значения следующих выражений:

а)

б)

в)

Переходим к утверждению, которое базируется на свойстве умножения числовых неравенств одного смысла.

Для себя запоминаем эти утверждения в упрощенных формулировках. Если выражения f(x) и g(x) на множестве X принимают только положительные значения, то можно умножать оценки значений этих выражений одного смысла. Если оценка хотя бы одного из этих выражений имеет знак строгого неравенства, то оценка произведения также будет иметь знак строгого неравенства.

Естественным образом эти утверждения распространяются на произведение трех и большего количества оценок.

Рассмотрим, как все сказанное реализуется на практике.

Оцените значения произведений:

а)

б)

в)

Оцените значения выражения

Если выражение f(x) принимает и положительные, и отрицательные значения, то возведение оценки в четную степень стоит проводить отдельно для положительных и отдельно для отрицательных значений, после чего объединить результаты.

Оцените значения выражения:

в)

Оценка значений функции y=f(g(x)) через оценку значений функции y=f(x)

Сейчас мы разберем метод, позволяющий по известной оценке значений функции y=f(x) указать оценку значений сложной функции y=f(g(x)) (или соответствующего выражения f(g(x)) ).

В основе этого метода лежит следующее утверждение:

Приведем примеры. Мы знаем, что . Эта оценка вместе с доказанным выше утверждением позволяет нам утверждать, например, что или . Здесь уместны упрощенные рассуждения: так как принимает только неотрицательные значения, то и . Еще пример. Нам хорошо известна оценка . Ее использование вкупе с доказанным выше утверждением дает возможность указать оценки значений, например, таких выражений и . Имеем и

Рассмотрим решение более сложного примера.

Оцените значения выражения

В заключение скажем, что хотя рассмотренный метод получения оценок очень хорош своей простотой, но часто полученные с его помощью оценки оказываются довольно грубыми и непригодными для решения определенных задач. Например, полученная с его помощью оценка не подходит для решения уравнения . Для получения более точных оценок приходится прибегать к другим методам оценивания значений.

Учет ОДЗ при получении оценок значений выражений

Нужно ли при оценивании значений выражения учитывать ОДЗ для этого выражения? По умолчанию все манипуляции над выражением мы проводим на ОДЗ. То есть, даже если мы не находим ОДЗ и не оговариваемся про нее при решении какой-либо задачи, все равно мы находимся в ее рамках. Это касается и задачи получения оценки значений выражения.

На практике довольно часто нет нужды в отдельном нахождении ОДЗ при получении оценки. Например, выше мы записали оценку . При этом мы ни словом не обмолвились про ОДЗ. Это можно расценивать так: записанная оценка справедлива на всей области допустимых значений переменной x для выражения . Аналогично, нам не обязательно озадачиваться нахождением ОДЗ, чтобы записать оценку . Эта оценка справедлива для любого значения переменной из ОДЗ для выражения .

Однако, не менее часто приходится более внимательно относиться к ОДЗ при нахождении оценки значений выражения. Разберем наиболее характерные ситуации.

Если ОДЗ для выражения f(g(x)) есть пустое множество, то нет смысла говорить об оценке значений этого выражения.

Это очевидное утверждение: если выражение не определено ни для одного значения переменной, то оно не принимает никаких значений, поэтому и нет смысла говорить об оценке его значений. Этих значений попросту нет.

Разберем примеры использования этого утверждения для получения оценок.

Оцените значения выражений:

а)

б)

Опора на монотонность функций

Для получения оценок значений функций и соответствующих выражений может использоваться монотонность функции. В частности, если

Разберем метод, позволяющий это делать.

Метод базируется на следующем утверждении:

Приведем доказательство для одного случая. Для других случаев доказательства будут аналогичными.

Переходим к примерам.

Оцените значения выражений:

а)

б)

в)

Оцените значения выражения

Преобразование выражения с целью получения оценки

Для получения оценки значений выражения можно прибегать к преобразованию оцениваемого выражения. Делать это следует с опорой на следующее довольно очевидное утверждение:

Если на некотором множестве X значения выражений f₁(x) и f₂(x) равны, то оценка значений одного из этих выражений является и оценкой значений другого.

Утверждение можно считать доказанным методом от противного.

Из этого утверждения следует, что для получения оценки значений выражения f(x) можно проводить тождественные преобразования выражения, при которых не происходит сужения ОДЗ.

Оцените значение выражения (2·x−1) 6 −4·(2·x−1) 3 +5

Оценка значений квадратного трехчлена

В принципе, вопрос оценки значений квадратных трехчленов можно было отдельно не рассматривать. Дело в том, что он не несет в себе каких-либо особенностей, и рассмотренные выше методы позволяют получить оценку любого квадратного трехчлена. Однако на практике довольно часто приходится оценивать значения квадратных трехчленов, так что давайте все же уделим должное внимание этому процессу.

Во-вторых, получить оценку значений квадратного трехчлена позволяет выделение квадрата двучлена.

Покажем, как это реализуется на практике.

Оценка через исследование функции

На практике наиболее часто приходится оценивать значения функции на каком-либо числовом отрезке. При этом исследование функции с целью получения оценки часто сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.

Оцените значения выражения

Источник