Что такое параметрические критерии

Параметрические критерии

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

ДЛЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЯ

По дисциплине «Доказательная медицина»

для специальности 060101–Лечебное дело (очная форма обучения)

К ПРАКТИЧЕСКОМУ ЗАНЯТИЮ № 5

ТЕМА: «Методы сравнительной статистики»

Утверждена на кафедральном заседании

протокол № __3__ от «_12_» октября 2011 г.

Заведующий кафедрой к.м.н., доцент________(подпись) Шульмин А.В.

к.м.н., доцент ________ (подпись) Козлов В.В.

к.ф-м.н., доцент ________(подпись) Аршукова И.Л.

ассистент ________ (подпись) Добрецова Е.А.

Допустим, что удается заметить какие-либо численные различия в характеристиках сравниваемых рядов. Первым делом возникает вопрос: какова вероятность, что эти различия неслучайны, и будут систематически повторяться в дальнейшем при воспроизведении условий эксперимента или наблюдения, т.е. выявленные различия являются статистически значимыми.

Выбор подходящего метода сравнения выборочных совокупностей определяется несколькими факторами: характером сравниваемых признаков (качественные или количественные), числом сопоставляемых групп, зависимостью или независимостью выборок, а также видом распределения признака.

Выборки являются независимыми, если набор объектов исследования в каждую из групп осуществлялся независимо от того, какие объекты исследования включены в другую группу. Так, в частности, происходит при рандомизации, когда распределение объектов происходит случайным образом. Примером сравнения независимых выборок может служить сопоставление данных анализа крови в группе пациентов с аналогичными показателями в группе здоровых.

Группы являются зависимыми (связанными) в динамических исследованиях, когда изучаются одни и те же объекты в разные моменты времени. Например, показатели анализа крови у одних и тех же пациентов до и после лечения.

От вида распределения и типа исследуемого признака зависит выбор подходящего математико-статистического критерия. Критерии делятся на два типа – параметрические и непараметрические.

Параметрические критерии – критерии, основанные на оценке параметров распределения, к которым относятся среднее арифметическое, среднеквадратическое отклонение, дисперсия. Они применимы только в том случае, если численные данные подчиняются нормальному распределению. Если распределение отличается от нормального, следует пользоваться так называемыми непараметрическими критериями.

Непараметрические критерии не основаны на оценке параметров распределения и вообще не требуют, чтобы данные подчинялись какому-то определенному типу распределения. Непараметрические критерии дают более грубые оценки, чем параметрические, но являются более универсальными. А параметрические методы более точны, но лишь в случае, если правильно определено распределение совокупности.

Перед тем как перейти к рассмотрению статистических критериев, введем понятия нулевой и альтернативной гипотез, которые нам потребуются в дальнейшем.

Нулевая гипотеза не может быть отвергнута, если ее вероятность окажется выше некого наперед заданного уровня α, достаточно близкого к 0, т.е. . Эта величина α носит название уровень значимости нулевой гипотезы.

Альтернативная гипотеза может быть принята лишь в том случае, если ее вероятность достигнет некого наперед заданного уровня β или превзойдет его, т.е. . Эта величина β – уровень доверительной вероятности. И соответствует «уровням безошибочных прогнозов», т.е. вероятностям 095, 0.99 и 0.999 – это область практически достоверных событий. Соответственно, α очерчивает область событий практически невозможных с порогами вероятностей 0.05, 0,01 и 0.001.

Поскольку и – альтернативные гипотезы, то их суммарная вероятность равна единице. Следовательно, рост вероятности одной из гипотез автоматически приводит к снижению вероятности другой. Например, если , это означает то, что будет выполняться условие . И в этом случае нулевая гипотеза может быть отвергнута как событие практически невозможное, а альтернативная должна быть принята как событие практически достоверное. Если же , то . И в этой ситуации нулевая гипотеза не может быть отвергнута, а альтернативная не может быть принята.

Например, в процессе исследования ставится задача доказать наличие статистически значимых различий между результатами наблюдений в опытной и контрольной группах, это значит что данные, полученные при применении того или иного статистического критерия должны позволить отвергнуть нулевую гипотезу об отсутствии указанных различий.

Параметрические критерии

Критерий Стьюдента (t-критерий) – критерий, основанный на сравнении средних значений выборок. Критерий Стьюдента является наиболее известным. С одной стороны, анализ средних значений сравнительно прост для вычислений. С другой стороны, средние величины наиболее наглядны и понятны.

Наиболее часто t-критерий используется в двух вариантах. В первом случае его применяют для проверки гипотезы о равенстве генеральных средних двух независимых, несвязанных выборок (так называемый двухвыборочный t-критерий). В этом случае есть контрольная группа и опытная группа, состоящая из разных пациентов, количество которых в группах может быть различно. Во втором же случае используется так называемый парный t-критерий, когда одна и та же группа объектов порождает числовой материал для проверки гипотез о средних. Поэтому эти выборки называют зависимыми, связанными. Например, измеряется содержание лейкоцитов у здоровых животных, а затем у тех же самых животных после облучения определенной дозой излучения. В обоих случаях должно выполняться требование нормальности распределения исследуемого признака в каждой из сравниваемых групп.

Критерий Стьюдента для независимых выборок:

Рассмотрим выборку объемом — пусть среднее вариант этой выборки равно М₁, среднеквадратичное отклонение . И выборку объемом со средним М₂, среднеквадратичным отклонением . При этом М₁≠М₁ а выборки подчиняются нормальному закону распределения. Обозначим разницу средних значений выборок .

Нулевая гипотеза в данном случае гласит: «Наблюдаемая разница между выборочными средними была получена случайным образом. не выходит за пределы своих собственных случайных колебаний». Как говорилось выше, нулевая гипотеза не может быть отвергнута, если ее вероятность превысит некоторый порог , называемый уровнем значимости.

Альтернативная гипотеза утверждает противоположное: «Наблюдаемая разница между выборочными средними не могла быть получена случайным образом. Наблюдаемая разница средних выходит за пределы возможных случайных колебаний». Альтернативная гипотеза может быть принята, если ее вероятность сравняется с некоторым порогом или превысит его.

Проверка гипотез производится при помощи критерия Стьюдента, обозначаемого символом :

где — стандартная ошибка или мера отклонения наблюдаемой разницы выборочных средних от теоретически возможной, «генеральной». Формально величина t показывает, во сколько раз разница выборочных средних превышает свою собственную случайную вариацию.

В случае независимых выборок критерий t рассчитывается следующим образом:

При этом как для первой, так и для второй выборки стандартная ошибка m рассчитывается по формуле:

Полученное значение критерия t сравнивают со стандартным табличным значением t-критерия Стьюдента для выбранного уровня значимости и числа степеней свободы .

Если , нулевая гипотеза не может быть отвергнута и различие выборочных средних считается «статистически незначимым» (при этом обязательно указывается, при каком уровне значимости это имеет место).

Если , то это означает что величина d оказалась за пределами своих собственных случайных колебаний. Такое различие называют «статистически значимым», т.е. нулевая гипотеза может быть отвергнута. Достоверность в статистическом смысле обозначает, что полученное различие предсказуемо: при повторении эксперимента или наблюдения в тех же условиях оно будет воспроизводиться с вероятностью β или более.

Имеется две группы пациентов, численностью 247 и 116 человек. Средний возраст пациентов первой группы наблюдения составил 32,06±9,62 лет (М±σ), средний возраст пациентов второй группы – 39,22±6,39 лет. Сравним 2 группы пациентов по возрасту при условии, что возраста в обеих группах были распределены нормально.

В начале рассчитаем стандартные ошибки для возрастов в каждой группе.

Поскольку t больше t_кр =3, то нулевая гипотеза отвергается и различия между группами по возрасту можно считать статистически значимыми (р 2 (распределение Пирсона), поэтому для ее анализа критерий Стьюдента неприменим. Для того, чтобы приблизить распределение к нормальному рассматривают разность логарифмов сравниваемых дисперсий, которая обозначается символом Z:

Величина Z имеет нормальное распределение и, соответственно, к ней может быть применен критерий Стьюдента.

На практике часто рассматривают отношение F большей из сравниваемых дисперсий к меньшей (следуя свойствам логарифмов):

Полученная величина критерия сравнивается с критическим табличным значением. И также как в предыдущих рассуждениях, нулевая гипотеза либо отвергается и различие выборочных дисперсий считается статистически достоверным, либо делается вывод, что нулевую гипотезу отвергнуть нельзя и разница выборочных дисперсий находится в границах практически возможных случайных колебаний.

Если на независимых выборках была обнаружена достоверность различия дисперсий, то их средние значения нельзя сравнивать по t— критерию Стьюдента!

Рассмотренный метод сравнения мер вариации и его модификации являются основой чрезвычайно мощного и информативного метода математико-статистического анализа данных, получившего название дисперсионный анализ.

Источник

Параметрические критерии

Методы сравнительной статистики

Наиболее часто встречающейся и достаточно сложной математико-статистической задачей является сравнение данных, полученных в процессе наблюдений или экспериментов, в выборочных совокупностях. Исследователь старается описать результаты наблюдения количественными методами и «на выходе» получает числовой массив тех или иных доступных ему измерений – вариационный ряд.

Однако, как правило, содержащаяся в результатах измерений содержательная информация, имеет гораздо большую ценность при сравнении ее с аналогичной информацией, но полученной некоторым иным образом. Например, это может быть ситуация сравнения опытных данных (когда мы как-то повлияли на изучаемый объект или явление) с контрольной группой, в которой никакого воздействия на объект наблюдения не было. Возможно и сравнение двух вариантов опытов. Возможно сравнение двух серий наблюдений, разделенных в пространстве и времени и т.п.

Допустим, что удается заметить какие-либо численные различия в характеристиках сравниваемых рядов. Первым делом возникает вопрос: какова вероятность, что эти различия неслучайны и будут систематически повторяться в дальнейшем при воспроизведении условий эксперимента или наблюдения, т.е. выявленные различия являются статистически значимыми.

Выбор подходящего метода сравнения выборочных совокупностей определяется несколькими факторами: характером сравниваемых признаков (качественные или количественные), числом сопоставляемых групп, зависимостью или независимостью выборок, а также видом распределения признака.

Выборки являются независимыми, если набор объектов исследования в каждую из групп осуществлялся независимо от того, какие объекты исследования включены в другую группу. Так, в частности, происходит при рандомизации, когда распределение объектов происходит случайным образом. Примером сравнения независимых выборок может служить сопоставление данных анализа крови в группе пациентов с аналогичными показателями в группе здоровых.

Группы являются зависимыми (связанными) в динамических исследованиях, когда изучаются одни и те же объекты в разные моменты времени. Например, показатели анализа крови у одних и тех же пациентов до и после лечения.

От вида распределения и типа исследуемого признака зависит выбор подходящего математико-статистического критерия. Критерии делятся на два типа – параметрические и непараметрические.

Параметрические критерии – критерии, основанные на оценке параметров распределения, к которым относятся среднее арифметическое, среднеквадратическое отклонение, дисперсия. Они применимы только в том случае, если численные данные подчиняются нормальному распределению. Если распределение отличается от нормального, то следует пользоваться так называемыми непараметрическими критериями.

Непараметрические критерии не основаны на оценке параметров распределения и вообще не требуют, чтобы данные подчинялись какому-то определенному типу распределения. Непараметрические критерии дают более грубые оценки, чем параметрические, но являются более универсальными. А параметрические методы более точны, но лишь в случае, если правильно определено распределение совокупности.

Перед тем как перейти к рассмотрению статистических критериев, введем понятия нулевой и альтернативной гипотез, которые нам потребуются в дальнейшем.

На каждом шаге процесса анализа данных выдвигаются две гипотезы. Первая обозначается и называется нулевой гипотезой. Вторая гипотеза обозначается и носит название альтернативной, т.е. противоположной по смыслу. Под «нулевой гипотезой» подразумевается допущение об отсутствии того или иного интересующего исследователя события, явления или эффекта, а под «альтернативной» – о его наличии. Обе гипотезы, как бы они не были сформулированы, обязательно должны иметь взаимоисключающее содержание.

Нулевая гипотеза не может быть отвергнута, если ее вероятность окажется выше некого наперед заданного уровня α, достаточно близкого к 0, т.е. . Эта величина α носит название уровень значимости нулевой гипотезы.

Альтернативная гипотеза может быть принята лишь в том случае, если ее вероятность достигнет некого наперед заданного уровня β или превзойдет его, т.е. . Эта величина β – уровень доверительной вероятности. Он соответствует «уровням безошибочных прогнозов», т.е. вероятностям 0.95, 0.99 и 0.999 (область практически достоверных событий). Соответственно, α очерчивает область практически невозможных событий с порогами вероятностей 0.05, 0,01 и 0.001.

Поскольку и – альтернативные гипотезы, то их суммарная вероятность равна единице. Следовательно, рост вероятности одной из гипотез автоматически приводит к снижению вероятности другой. Например, если , это означает то, что будет выполняться условие . И в этом случае нулевая гипотеза может быть отвергнута как событие практически невозможное, а альтернативная должна быть принята как событие практически достоверное. Если же , то . И в этой ситуации нулевая гипотеза не может быть отвергнута, а альтернативная не может быть принята.

Например, в процессе исследования ставится задача доказать наличие статистически значимых различий между результатами наблюдений в опытной и контрольной группах. Это значит, что данные, полученные при применении того или иного статистического критерия, должны позволить отвергнуть нулевую гипотезу об отсутствии указанных различий.

Параметрические критерии

Заключение о случайности или неслучайности различий между выборочными совокупностями при использовании параметрических критериев осуществляется на основании сравнения параметров распределений, т.е. сводных числовых характеристик. Каждый из параметров компактно, в виде одного единственного числа, отражает некие характерные свойства распределения данной случайной величины. Они являются количественными мерами этих свойств. На практике, как правило, рассматривают лишь два параметра – среднее значение, являющееся «мерой положения математического центра» полученного вариационного ряда, и дисперсию, но чаще всего корень из нее – стандартное отклонение, являющиеся мерой вариации. Для этих параметров разработаны два наиболее популярных параметрических критерия: критерий Стьюдента и критерий Фишера.

Критерий Стьюдента (t-критерий) – критерий, основанный на сравнении средних значений выборок. Критерий Стьюдента является наиболее известным. С одной стороны, анализ средних значений сравнительно прост для вычислений. С другой стороны, средние величины наиболее наглядны и понятны.

Наиболее часто t-критерий используется в двух вариантах. В первом случае его применяют для проверки гипотезы о равенстве генеральных средних двух независимых, несвязанных выборок (так называемый двухвыборочный t-критерий). В этом случае есть контрольная группа и опытная группа, состоящая из разных пациентов, количество которых в группах может быть различно. Во втором же случае используется так называемый парный t-критерий, когда одна и та же группа объектов порождает числовой материал для проверки гипотез о средних. Поэтому эти выборки называют зависимыми, связанными. Например, измеряется содержание лейкоцитов у здоровых животных, а затем у тех же самых животных после облучения определенной дозой излучения. В обоих случаях должно выполняться требование нормальности распределения исследуемого признака в каждой из сравниваемых групп.

Для того, чтобы определить, является ли нормальным исследуемое распределение, используются критерии Шапиро-Уилка и Колмогорова-Смирнова.

Источник

6.1 Параметрические критерии

В группу параметрических критериев методов математической статистики входят методы для вычисления описательных статистик, построения графиков на нормальность распределения, проверка гипотез о при­надлежности двух выборок одной совокупности. Эти методы основыва­ются на предположении о том, что распределение выборок подчиняется нормальному (гауссовому) закону распределения. Среди параметрических критериев статистики нами будут рассмотрены критерий Стьюдента и Фишера.

6.1.1 Методы проверки выборки на нормальность

Чтобы определить, имеем ли мы дело с нормальным распределением, можно применять следующие методы:

1) в пределах осей можно нарисовать полигон частоты (эмпирическую функцию распределения) и кривую нормального распределения на основе данных исследования. Исследуя формы кривой нормального распределения и графика эмпирической функции распределения, можно выяснить те параметры, которыми последняя кривая отличается от первой;

2) вычисляется среднее, медиана и мода и на основе этого определяется отклонение от нормального распределения. Если мода, медиана и среднее арифметическое друг от друга значительно не отличаются, мы имеем дело с нормальным распределением. Если медиана значительно отличается от среднего, то мы имеем дело с асимметричной выборкой.

3) эксцесс кривой распределения должен быть равен 0. Кривые с положительным эксцессом значительно вертикальнее кривой нормального распределения. Кривые с отрицательным эксцессом являются более покатистыми по сравнению с кривой нормального распределения;

4) после определения среднего значения распределения частоты и стандартного oтклонения находят следующие четыре интервала распределения сравнивают их с действительными данными ряда:

а) — к интервалу должно относиться около 25% частоты совокупности,

— к интервалу должно относиться около 50% частоты совокупности,

— к интервалу должно относиться около 75% частоты совокупности,

— к интервалу должно относиться около 100% частоты совокупности.

6.1.2 Критерий Стьюдента ( t-критерий)

Критерий позволяет найти вероятность того, что оба средних значения в выборке относятся к одной и той же совокупности. Данный критерий наиболее часто используется для проверки гипотезы: «Средние двух выборок относятся к одной и той же совокупности».

При использовании критерия можно выделить два случая. В первом случае его применяют для проверки гипотезы о равенстве генеральных средних двух неза­висимых, несвязанныхдвухвыборочный t-критерий). В этом случае есть контрольная группа и экспериментальная (опытная) группа, количество испытуемых в группах может быть различно.

Во втором случае, когда одна и та же группа объектов порождает числовой матери­ал для проверки гипотез о средних, используется так называемый парный t-критерий. Выборки при этом называют зависимыми, связанными.

а) случай независимых выборок

Статистика критерия для случая несвязанных, независимых выборок равна:

— средние арифметические в эксперименталь­ной и контрольной группах,

— стан­дартная ошибка разности средних арифметических. Находится из формулы:

где n ₁ и n ₂ соответственно величины первой и второй выборки.

Если n ₁= n ₂, то стандартная ошибка разности средних арифметических будет считаться по формуле:

где n величина выборки.

Подсчет числа степеней свободы осуществля­ется по формуле:

Далее необходимо срав­нить полученное значение t _эмп с теоретическим значением t—рас­пределения Стьюдента (см. приложение к учеб­никам статистики). Если t _эмп t _крит, то гипотеза H ₀ принимается, в противном случае нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная гипотеза.

Пример 1. В двух группах учащихся — экспериментальной и контрольной — получены следующие результаты по учеб­ному предмету (тестовые баллы; см. табл. 1).

Таблица 1. Результаты эксперимента

Первая группа (экспериментальная) N ₁=11 человек

Вторая группа (контрольная)

12 14 13 16 11 9 13 15 15 18 14

13 9 11 10 7 6 8 10 11

Общее количество членов выборки: n ₁=11, n ₂=9.

Расчет средних арифметических: Х_ср=13,636; Y _ср=9,444

Стандартное отклонение: s _x=2,460; s _y =2,186

По формуле (2) рассчитываем стандартную ошибку разности арифметических средних:

Считаем статистику критерия:

Сравниваем полученное в эксперименте значение t с табличным значением с учетом степеней свободы, равных по формуле (4) числу испытуемых минус два (18).

Табличное значение t_крит равняется 2,1 при допущении возможности риска сделать ошибочное сужде­ние в пяти случаях из ста (уровень значимости=5 % или 0,05).

Если полученное в эксперименте эмпирическое значение t превы­шает табличное, то есть основания принять альтернативную гипотезу (H₁) о том, что учащиеся экспериментальной группы показывают в среднем более высокий уровень знаний. В эксперименте t=3,981, табличное t=2,10, 3,981>2,10, откуда следует вывод о преимуществе эксперимен­тального обучения.

Здесь могут возникнуть такие вопросы:

1. Что если полученное в опыте значение t окажется меньше табличного? Тогда надо принять нулевую гипотезу.

2. Доказано ли преимущество экспериментального метода? Не столько доказано, сколько показано, потому что с самого начала допускается риск ошибиться в пяти случаях из ста (р=0,05). Наш эксперимент мог быть одним из этих пяти случаев. Но 95% возможных случаев говорит в пользу альтернативной гипотезы, а это достаточно убедительный аргумент в статистическом доказательстве.

3. Что если в контрольной группе результаты окажутся выше, чем в экспериментальной? Поменяем, например, местами, сделав

средней арифметической эксперимен­тальной группы, a

Отсюда следует вывод, что новый метод пока не про­явил себя с хорошей стороны по разным, возможно, при­чинам. Поскольку абсолютное значение 3,9811>2,1, принимается вторая альтернативная гипотеза (Н₂) о пре­имуществе традиционного метода.

б) случай связанных (парных) выборок

В случае связанных выборок с равным числом измерений в каждой можно использовать более простую формулу t-критерия Стьюдента.

Вычисление значения t осуществляется по формуле:

Sd вычисляется по следующей формуле:

Если t _эмп t _крит, то нулевая гипотеза принимается, в противном случае принимается альтернативная.

Пример 2. Изучался уровень ориентации учащихся на художественно-эстети­ческие ценности. С целью активизации формирования этой ориентации в экспериментальной группе проводились бе­седы, выставки детских рисунков, были организованы по­сещения музеев и картинных галерей, проведены встречи с музыкантами, художниками и др. Закономерно встает вопрос: какова эффективность проведенной работы? С целью проверки эффективности этой работы до начала эксперимента и после давался тест. Из методических со­ображений в таблице 2 приводятся результаты небольшо­го числа испытуемых.

Таблица 2. Результаты эксперимента

до начала экспери­мента (Х)

Вначале произведем расчет по формуле:

Затем применим формулу (6), получим:

И, наконец, следует применить формулу (5). Получим:

Число степеней свободы: k =10-1=9 и по таблице При­ложения 1 находим t_крит =2.262, экспериментальное t=6,678, откуда следует возможность принятия альтерна­тивной гипотезы (H₁) о достоверных различиях средних арифметических, т. е. делается вывод об эффективности экспериментального воздействия.

6.1.3 F — критерий Фишера

Критерий Фишера позволяет сравнивать величины выбороч­ных дисперсий двух независимых выборок. Для вычисления F_эмп нуж­но найти отношение дисперсий двух выборок, причем так, что­бы большая по величине дисперсия находилась бы в числителе, а меньшая – в знаменателе. Формула вычисления критерия Фи­шера такова:

— дисперсии первой и второй выборки соответственно.

Так как, согласно условию критерия, величина числителя должна быть больше или равна величине знаменателя, то значе­ние F_эмп всегда будет больше или равно единице.

Чис­ло степеней свободы определяется также просто:

В Приложе­нии 1 критические значения критерия Фишера находятся по величинам k ₁ (верхняя строчка таблицы) и k ₂ (левый столбец таблицы).

Если t _эмп> t _крит, то нулевая гипотеза принимается, в противном случае принимается альтернативная.

Пример 3. В двух третьих классах проводилось тестирование умственного развития по тесту ТУРМШ десяти учащихся. Полученные значения величин средних достоверно не различались, однако психолога интересует вопрос — есть ли различия в степени однородности показателей умственного развития между классами.

Решение. Для критерия Фишера необходимо сравнить дис­персии тестовых оценок в обоих классах. Резуль­таты тестирования представлены в таблице:

Рассчитав дисперсии для переменных X и Y, получаем:

Тогда по формуле (8) для расчета по F критерию Фишера находим:

6.2 Непараметрические критерии

Сравнивая на глазок (по процентным соотношениям) результаты до и после какого-либо воздействия, исследователь приходит к заключению, что если наблюдаются различия, то имеет место различие в сравниваемых выборках. Подобный подход категорически неприемлем, так как для процентов нельзя определить уровень достоверности в различиях. Проценты, взятые сами по себе, не дают возможности делать статистически достоверные выводы. Чтобы доказать эффективность какого-либо воздействия, необходимо выявить статистически значимую тенденцию в смещении (сдвиге) показателей. Для решения подобных задач исследователь может использовать ряд критериев различия. Ниже будет рассмотрены непараметрические критерии: критерий знаков и критерий хи-квадрат.

6.2.1 Критерий знаков ( G-критерий)

Критерий предназначен для срав­нения состояния некоторого свойства у членов двух зави­симых выборок на основе измерений, сделанных по шка­ле не ниже ранговой.

Нулевая гипотеза формулируются следующим обра­зом: в состоянии изучаемого свойства нет значимых различий при первичном и вторичном измерениях. Альтернативная гипотеза: законы распределения величин X и У различны, т. е. состояния изучаемого свойства существенно раз­личны в одной и той же совокупности при первичном и вторичном измерениях этого свойства.

Ста­тистика критерия (Т) определяется следую­щим образом:

Пример 4. Учащиеся выполняли контрольную ра­боту, направленную на проверку усвоения некоторого понятия. Пятнадцати учащимся затем предложили электронное пособие, составленное с целью фор­мирования данного понятия у учащихся с низким уров­нем обучаемости. После изучения пособия учащиеся снова выполняли ту же контрольного работу, которая оценивалась по пятибалльной системе.

Результаты двукратного выполнения ра­боты представляют измерения по шкале по­рядка (пятибалльная шкала). В этих условиях возмож­но применение знакового критерия для выявления тенденции изменения состояния знаний учащихся после изучения пособия, так как выполняются все допуще­ния этого критерия.

Результаты двукратного выполнения работы (в бал­лах) 15 учащимися запишем в форме таблицы (см. табл. 1).

Источник