Что такое передаточная функция в тау

Digitrode

цифровая электроника вычислительная техника встраиваемые системы

ТАУ. Оператор Лапласа и передаточные функции.

Любая часть системы управления, будь то регулятор, объект или датчик, имеет вход и выход. С помощью входов и выходов они взаимодействуют с другими элементами системы и с внешней средой. При воздействии входного сигнала на элемент системы, в этом элементе происходят какие-то внутренние изменения состояния, которые приводят к изменению выходного сигнала. То есть элемент системы представляет собой некоторую функцию зависимости y от x. Это можно изобразить на рисунке 1.

Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау

Определение функции F(x) и есть, по сути, основная задача, решаемая в рамках теории автоматического управления. Знание F(x) объекта поможет составить правильный алгоритм управления им, F(x) датчика определит характер обратной связи, а синтез F(x) сделает систему по-настоящему работоспособной. Саму F также иногда называют оператором, поскольку она оперирует входным сигналом.

Базовыми операциями в ТАУ являются интегрирование и дифференцирование. Допустим, сигнал нарастает в течение некоторого времени, что зачастую очень характерно для сигналов в системах управления, тогда для описания этого процесса его следует «собрать» интегралом во всем временном промежутке:

Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау

Дифференцирование также чрезвычайно полезно в теории автоматического управления. Оператор дифференцирования в противовес оператору интегрирования берет производную от входного сигнала, то есть:

Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау

Здесь зарождается очень важное понятие в ТАУ – оператор Лапласа p, который призван заменить запись d/dt, иначе говоря

Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау

Также в некоторых источниках этот оператор представляется произведением мнимой единицы на угловую частоту, то есть p=jω. Но мы пока не будем трогать частотный диапазон, ибо это обширная тема и просто запомним два простейших правила:

Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау

Как же выглядит интегрирование и дифференцирование сигнала? Интегрирование сигнала скачкообразной формы показано на рисунке 2а. Здесь все просто, сигнал будет инкрементироваться на каждом шаге интегрирования, пока не достигнет за время t1 изначально заданного значения. А что если продифференцировать такой сигнал? Ни в коем случае! Это угроза безопасности Вселенной, такой сигнал пробьет небесный свод и устремится в бесконечность к звездам (рисунок 2б)! Короче говоря, математика гласит, что производная мгновенно измененного сигнала равна бесконечности, а поскольку бесконечность является идеальной и недостижимой величиной, то в реальном мире такая операция не имеет смысла. Иначе говорят, что такая операция физически не реализуема. В общем, p в чистом виде не применяется, а используется только в составе более сложных выражений, где эта p будет каким-то образом компенсирована.

Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау

Теперь, когда мы знаем про соотношение выходного сигнала к входному и про оператор Лапласа, мы можем перейти к такому понятию как передаточная функция. По сути, передаточная функция, записываемая как W(p), представляет собой отношение выход/вход. Система, записанная через передаточные функции, более наглядна, и в отношении нее можно применять более-менее простые методы анализа и синтеза. Но о них позже, а сейчас рассмотрим на несложном примере, как же получаются такие функции.

Предположим у нас имеется звено, процессы происходящие в котором описываются следующим уравнением:

Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау

Слева выходная величина (и ее производная), справа входная (в сложных выражениях там тоже могут быть производные). T – какая-то постоянная времени, K – какой-то коэффициент. Теперь производим замену на оператор Лапласа:

Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау

Как было выше отмечено, передаточная функция равна отношению выход/вход:

Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау

Вот так мы получили передаточную функцию инерционного звена первого порядка. В ТАУ имеется несколько типовых звеньев (включая это), из которых можно составить любую систему, любое звено какой угодно сложности. Сейчас только отметим, что передаточные функции в зависимости от порядков числителя и знаменателя могут быть правильными и неправильными. Вышеприведенная функция является правильной, также говорят строго правильной, потому что порядок знаменателя больше порядка числителя. И это хорошо, она реализуема. Ниже приведена еще пара функций.

Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау

Функция типа 1 также правильная, но не строго. Степень числителя равна степени знаменателя, но ничего страшного, она тоже реализуема. А вот функция вроде 2 не реализуема в силу наличия квадрата в числителе и отсутствия квадрата или более высокой степени в знаменателе, то есть в данном случае будет какая-то некомпенсированная производная. Таким образом, за порядком в передаточных функциях надо строго следить!

Источник

2. Математическое описание систем автоматического управления ч. 2.4 — 2.8

Лекции по курсу «Управление Техническими Системами», читает Козлов Олег Степанович на кафедре «Ядерные реакторы и энергетические установки», факультета «Энергомашиностроения» МГТУ им. Н.Э. Баумана. За что ему огромная благодарность.

Данные лекции только готовятся к публикации в виде книги, а поскольку здесь есть специалисты по ТАУ, студенты и просто интересующиеся предметом, то любая критика приветствуется.

В это части будут рассмотрены:
2.4 Основные виды входных воздействий
2.5. Основные положения и свойства интегральных преобразований Лапласа
2.6. Основные свойства преобразований Лапласа
2.7. Способы нахождения обратных преобразований Лапласа
2.8 Некоторые способы нахождения оригинала по известному изображению

Будет интересно познавательно и жестко.

Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау
На рисунке 3D график функции косеканс куба, к теме лекции отношения не имеет, но чертовски красив.

2.4 Основные виды входных воздействий

Для того, что бы определить свойства системы нужно осуществить воздействие и посмотреть на реакцию.

В теории управления техническими системами принят ряд стандартных входных воздействий, по реакции на которые определяются динамические свойства (характеристики) системы управления (звена). К таким воздействиям относятся: единичное импульсное воздействие, единичное ступенчатое воздействие, единичное гармоническое воздействие, линейное воздействие и др. Рассмотрим их более подробно…

2.4.1. Единичное ступенчатое воздействие

Данное воздействие является одним из наиболее «жестких» (неблагоприятных) воздействий, по реакции на которое сравниваются переходные свойства (переходной процесс) идентичных или близко идентичных систем.

Реакция системы (звена) на такое воздействие называется переходной функцией.

Единичное ступенчатое воздействие обозначается 1(t) и бывает 3-х видов: два асимметричных и одно симметричное.

Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау

Рассмотрим каждый из этих видов воздействий:

Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау

В теории управления наибольшее распространение имеет асимметричное воздействие 1+ (t), поскольку часто в анализе удобно рассматривать процесс, когда при tЧто такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау0 САР находится в равновесии, и анализ переходных процессов ведется только при t > 0.

Для удобства представления будем в дальнейшем записывать воздействие 1+(t), опуская индекс. 1+ (t) ≡ 1(t).

Поскольку рассматриваемое входное воздействие имеет разрыв при t = 0 (что часто нежелательно в численных алгоритмах, использующих конечно-разностную схему), имеется формула, позволяющая приближенно описать единичное ступенчатое воздействие, в виде неразрывной функции:

Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау

где Т – постоянная времени, а текущее время Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау

На рисунке 2.4.2 представлена графическая иллюстрация аппроксимации 1(t) по формуле (2.4.2).

Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау

2.4.2. Единичное импульсное воздействие: δ — функция Дирака

В математике различают три вида данного воздействия: одно симметричное и два асимметричных

Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау

Рассмотрим все эти воздействия:
Симметричное единичное импульсное воздействие δ (t) определено как:

Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау0\\ \infty, если \ t =0\\\ 0, если \ t

Графическая иллюстрация симметричного единичного импульсного воздействия представлена на рисунке 2.4.3. Фактически δ (t) – импульс (с длительностью стремящейся к нулю и амплитудой, равной бесконечности), площадь которого равна 1.

Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау

Для симметричного единичного импульсного воздействия δ(t) существует аналитическая форма представления:

Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау

Введем новую переменную Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау, тогда:

Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау

Смещенные (асимметричные) единичные импульсные воздействия определяются как:

Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау\epsilon \leq 0\\ \infty, если \ t =\epsilon \\\ 0, если \ t \leq 0\ \end \right. \ \ \ \ \ \int_<-\infty>^ <+\infty>\delta(t) dt = 1;$» data-tex=»display»/>

где Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в таусколь угодно малое положительное число (ε → 0)

Графическая иллюстрация смещенных единичных импульсных воздействий представлена на рисунке 2.4.4

Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау

В дальнейшем в нашем курсе будет использоваться только δ+ (t). ==> Индекс «+» опускается… ==> δ+ (t) ≡ δ(t).

Поскольку смещенное единичное импульсное воздействие фактически имеет разрыва при t = 0 (что иногда нежелательно в численных алгоритмах, использующих конечно-разностную схему), имеется формула, позволяющая приближенно описать смещенное единичное импульсное воздействие:

Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау

где Т – постоянная времени, а текущее время t>0.
На рисунке 2.4.5 представлена графическая иллюстрация аппроксимации δ(t) по формуле (2.4.3).

Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау

Реакция САУ (звена) на воздействие δ (t) называется весовой функцией.

2.4.3. Единичное гармоническое воздействие

Данное воздействие используется для анализа частотных характеристик САУ (звена) в установившемся режиме колебаний в системе, т.е. свойства САУ (звена) исследуются при больших значениях t (времени), когда влияние начальных условий пренебрежимо мало и движение (колебания) системы определяются только входным внешним воздействием.

Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау

где ω — круговая частота, [1/с]; Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау, где Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау— частота в Герцах.

На рисунке 2.4.6 представлен график единичного гармонического воздействия.

Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау

Поскольку при анализе частотных характеристик САУ рассматривается режим установившихся вынужденных колебаний САУ (при больших значениях времени t, когда собственная составляющая переходного процесса пренебрежимо мала), то удобнее представить x(t) в показательной форме.

Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау

Необходимо отметить, что показательная форма – «комплексное» воздействие, и оно выглядит так (действительная и мнимая части условно показаны на рисунке 2.4.7):

Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау

Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау

Действительная часть «комплексного» воздействия (Re) – на самом деле косинусоидальное воздействие. Но так как частотные характеристики САУ определяются в режиме установившихся гармонических колебаний (т.е. при «очень-очень» больших значениях t), то не важно, по какому закону вводилось единичное гармоническое воздействие – по «синусу» или по «косинусу».

2.4.4. Линейное воздействие

Данный вид входного воздействия используется для оценки точности систем управления, а именно, для определения скоростных ошибок.

Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау

где t ≥ 0, а при t Рисунок 2.4.8 – Линейное входное воздействие

2.5. Основные положения и свойства интегральных преобразований Лапласа

Решение однородного обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) усоб(t) записывается в виде (если нет повторяющихся корней):

Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау

т.е. все члены уравнения имеют одну и ту же форму. Этот результат наводит на мысль: «а нельзя ли ввести какое-то преобразование, в результате которого уравнение динамики (дифференциальное) можно привести к чисто алгебраическому, решение которого не представляет проблем.» А если затем сделать соответствующее обратное преобразование, то получим усоб (t), то есть получим цепочку:

Обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тауАлгебраическое уравнение Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тауРешение Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тауОбратное преобразование Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тауРезультат.

Именно такими соображениями руководствовался Лаплас, предлагая такое преобразование, называемое в настоящее время преобразованием Лапласа.

Предположим, что имеется нестационарный процесс f(t). Лаплас предложил ввести интегральное преобразование, которое отображает f(t) на комплексную плоскость согласно соотношению:

Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау

Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау

Символическое обозначение преобразования Лапласа:

Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау

Преобразование Лапласа существует, если при t Рис. 2.5.2

Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау

В соответствии с соотношением (2.5.1) переходной процесс f(t) отображается на комплексную плоскость, где каждому значению оператора Лапласа «s» соответствует свой вектор. Линия, соединяющая концы векторов называется годографом.

Обратное преобразование Лапласа определяется следующим соотношением:

Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау

Необходимо подчеркнуть, что если условие сходимости выполняется, то любому оригиналу соответствует изображение. Обратное преобразование Лапласа не всегда существует, т.е. если известно F(s), это не означает, что ему соответствует оригинал f(t)!

Прямое преобразование Лапласа символически обозначается:

Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау

Обратное преобразование Лапласа обозначается:

Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау

Существует двухстороннее преобразование Лапласа Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау, частным случаем которого является обычное преобразование Лапласа

Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау

Если при t ≤ 0 функция f(t) = 0, то Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау

Частным случаем двухстороннего преобразования Лапласа (при с = 0, т.е. s = i⋅ω) является преобразование Фурье, определяемое соотношениями:

Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау

2.5.1. Использование преобразования Лапласа для операции дифференцирования

Пусть известно Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тауи его изображение по Лапласу: Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в таувыведем выражение для Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау.

Воспользуемся соотношением (2.5.1): Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау, тогда получаем:

Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау

Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау

Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау

где: Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау— начальное условия.
Если начальные условия равны нулю, то Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау;

Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау

Аналогичным способом найдем изображение 2-ой производной:

Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау

Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау

Если при Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тауравны нулю (нулевые начальные условия), то:

Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау

Обобщая на производную n-го порядка при нулевых начальных условиях, имеем:

Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау

2.5.2. Использование преобразования Лапласа для операции интегрирования

Пусть известно Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тауи его изображение по Лапласу: Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в таувыведем выражение для Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау.

Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау

Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау

Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау

Если начальные условия равные нулю, то:

Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау

Таким образом, операция интегрирования в оригинале функции приводит появлению в её изображении “добавке”, равной 1/s.

2.6. Основные свойства преобразований Лапласа

2.6.1. Свойство линейности

Пусть есть процессы описываемые функциями Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тауи Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау, каждый из которых имеет свое изображение по Лапласу: Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау. Если Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тауто:

Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау

Если Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау, то:

Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау

2.6.2. Свойство подобия (свойство изменения масштаба)

Пусть Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау— известно, необходимо найти Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау

Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау

Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау

2.6.3. Свойство запаздывания (теорема запаздывания)

Пусть Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау— известно, необходимо найти Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау

Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау

Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау

Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау

2.6.4. Свойство смещения в комплексной плоскости

Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау

2.6.5. Первая предельная теорема

Если Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау— известно, а так же существует Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау, то:

Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау

Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау

Это означает, что оси «t» и «s» формально направлены в противоположные стороны, т.е. чем больше t, тем меньше s и наоборот.

2.6.6.Вторая предельная теорема

Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау

2.7. Способы нахождения обратных преобразований Лапласа по известному изображению

Вычисление оригиналов по известному (данному) изображению можно выполнить:
— по соответствующим таблицам преобразований Лапласа;
— по формулам Хэвисайда;
— разложением на элементарные дроби;
— другими способами.

В математических справочниках приводятся обширные таблицы, по которым можно найти оригиналы большинства изображений. Приведем основыные преобразования:

Таблица основных преобразований Лапласа

Наименование функцииОригиналИзображение
1Единичная импульсная ф-цияδ(t)1
2Единичное ступенчатое воздействие1(t)Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау
3Неединичные импульсное
и ступенчатое воздействия
a⋅ δ(t);
a⋅ 1(t)
Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау
4ЭкспонентаЧто такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тауЧто такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау
5Степенная функцияЧто такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тауЧто такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау
6СинусоидаЧто такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тауЧто такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау
7КосинусоидаЧто такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тауЧто такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау
8Смещенная экспонентаЧто такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тауЧто такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау
9Затухающая синусоидаЧто такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тауЧто такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау
10Затухающая косинусоидаЧто такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тауЧто такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау

Однако, нередко бывают и случаи, когда необходимое преобразование отсутствует в таблицах. В этом случае используются различные специальные способы.

Например, если изображение F(s) можно представить в виде отношения полиномов по степеням «s», то наиболее общим и эффективным способом поиска оригинала является формула Хэвисайда.

Если Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау, где Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тауи Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау– полиномы по степеням «s», то:

Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау

где Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау– полюса изображения, т.е. те значения «s» при которых полином Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тауобращается в ноль;
Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау– кратность j – го полюса.

Если уравнение Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тауимеет n различных корней, то это означает что полюса F(s) имеют кратность, равную единице, т.е. нет повторяющихся полюсов.

Необходимо отметить, что использование формулы (2.7.1) будет корректно только в том случае, когда степень полинома Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в таувыше степени полинома Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау. Если степени равны, то необходимо выделить целую часть (разделив «в столбик» полиномы) и чисто дробную часть, после чего для чисто дробной части корректна формула (2.7.1).

2.8 Некоторые способы нахождения оригинала по известному изображению

В качестве иллюстрации возможностей формулы Хэвисайда рассмотрим следующий пример:

Пример 1. Предположим, что изображение F(s) некоторого неизвестного процесса f(t) равно:

Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау

Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау

Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау

Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау

Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау

Разложение на элементарные дроби.

Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау

Если корни уравнение уравнения Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тауразличны, т.е. нет совпадающих, то:

Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау

где Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау— корни уравнения; Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау— остаточный член (не разлагается на действительные дроби);

Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау

Используя свойства линейности преобразований Лапласа, мы можем представить Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в таукак сумму преобразований:

Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау

Имеем известное изображение:

Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау

Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау— оригинал, при нулевых начальных условиях: Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау

Разложение на элементарные дроби:

Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау

Используя метод неопределенных коэффициентов, приведем полученное выражение к общему знаменателю:

Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау

Тогда изображение разложенное на элементарные дроби принимает такой вид, что его решение можно получить из таблиц:

Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау

Что такое передаточная функция в тау. Смотреть фото Что такое передаточная функция в тау. Смотреть картинку Что такое передаточная функция в тау. Картинка про Что такое передаточная функция в тау. Фото Что такое передаточная функция в тау

В заключение несколько полезных ссылок теме описанной в этой лекции:

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *