Сравнение дробей: как правильно
Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями
Как и при любом другом сравнении, суть сравнения дробей — в том, чтобы определить меньшую и большую дроби.
Нет ситуации более благоприятной для сравнения, чем дроби с одинаковыми знаменателями. Если вся разница между дробями только в числителях, пользуемся следующим правилом:
Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше дробь с большим числителем. А меньше будет та дробь, числитель которой меньше.
А теперь на примерах.
Пример 1. Сравните дроби:
Пример 3. Сравните дроби:
Как видите, нет ничего сложного в сравнении дробей, если знаменатели равны. Вся задача заключается в том, чтобы определить больший и меньший числитель.
Давайте разберем наглядный пример сравнения дробей. Еще больше наглядных примеров — на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart!
Допустим, в торте 6 кусков. Если от целого торта отрезать один кусок — в торте останется 5 кусков.
Понять, что целый торт больше, чем торт без одного куска, можно и без сравнения дробей. Но это же самое правило можно применить и при менее очевидных сравнениях, которые часто встречаются в повседневной жизни.
Сравнение дробей с одинаковыми числителями
Вы уже разобрались со сравнением дробей с одинаковыми знаменателями. Теперь задача чуть усложняется — научимся сравнивать дроби с разными знаменателями, но с одинаковыми числителями.
Если у двух дробей одинаковые числители, то больше будет та дробь, чей знаменатель меньше. А меньше будет дробь с большим знаменателем.
А теперь наши любимые примеры. Погнали!
Пример 1. Сравните дроби:
Пример 3. Сравните дроби:
Сравнение дробей с разными числителями и разными знаменателями
Нет ничего хитрого в сравнении дробей с одинаковыми числителями или знаменателями. Чуть больше усилий потребуется при сравнении дробей, в которых нет ничего одинакового.
Сначала вспомним, как привести дроби к общему знаменателю.
Рассмотрим пример дробей с разными знаменателями.
Давайте потренируемся в сравнении дробей.
Пример 1. Сравните дроби:
При сравнении неправильных дробей с правильными помните, что неправильная дробь всегда больше правильной.
Пример 2: Сравните дроби:
Вычитание смешанных чисел
Вычитание проходит гладко, когда уменьшаемое больше вычитаемого.
В случае, если вычитаемое больше уменьшаемого, разность оказывается отрицательной. В этом нет ничего страшного. Но математика в 5 классе — «положительная», поэтому научимся находить разность смешанных чисел, не скатываясь «в минусы».
При вычитании дробей действует тот же самый принцип: вычитаемое должно быть меньше уменьшаемого. Вот здесь то вам и пригодится навык сравнивать дроби.
Пример 1. Вычислите:
Вычитаемая дробь меньше уменьшаемой
Пример 2.Найдите разность:
Примеры для самопроверки
Теория — это, конечно, хорошо. Но без практики — никуда. Пора потренироваться в решении примеров и закрепить тему сравнения дробей.
Пример 1. Сравните дроби:
Ответ: по правилу сравнения дробей с одинаковыми знаменателями, больше та дробь, у которой числитель больше. Это значит, что
Пример 2. Сравните дроби:
Ответ: по правилу сравнения дробей с разными знаменателями и одинаковыми числителями, больше та дробь, чей знаменатель меньше. Это значит, что
Пример 3. Сравните дроби:
Ответ:
.
Урок по математике 5класс «Сравнение дробей»
Сценарии уроков по учебнику «Математика, 5 класс», часть 2
Тема: «Сравнение дробей».
1) вывести перекрестное правило сравнения дробей, приемы сравнения дробей с 1 и с промежуточным числом,
2) сформировать способность к их практическому использованию для сравнения дробей;
3) повторить и закрепить изученные правила сравнения дробей, чтение и запись высказываний на математическом языке, их обоснование, решение задач на движение, тренировать вычислительные навыки.
1) задания для актуализации знаний:
8 : 12; 12 : 16; 16 : 20; 20 : 24
и 
; 
и 
0 
1
или 
Û ad bc = Û ad = bc
и , 
и 
.
№ 3. Индивидуальное задание.
а) 
и 
; б) 
и 
; в) 2 и 3
Перекрёстное правило сравнения дробей
Û ad bc
Правило сравнения с 1
1) Вычесть дроби из 1;
2) Сравнить результаты;
3) Та дробь, для которой разность меньше.
3) образец выполнения задания в парах
б) 
и 
в) 
и 
> 
; >
б) 
(истинно);
в) 
(ложно), значит, 
4) эталон для самопроверки самостоятельной работы
1 – 
1 – 
> 
алгоритм сравнения дробей с одинаковыми числителями
8 × 11 = 88 25 × 4 = 100
88 
5) 
, первая дробь неправильная, а вторая правильная.
6) 1 – 
= 
; 1 – 
= 
>
7) 5 
, у первой дроби целая часть меньше, чем у второй.
Цель этапа: 1) включить учащихся в учебную деятельность;
2) определить содержательные рамки урока: продолжаем учиться сравнивать дроби.
Организация учебного процесса на этапе 1:
– Ребята, с множеством каких чисел мы с вами начали работать? (С множеством дробных чисел.)
– Чему мы учились на прошлом уроке? (Сравнивать дроби и смешанные числа с разными знаменателями и разными числителями.)
– Сегодня мы продолжим рассматривать способы сравнения дробей.
– Я уверена, что на этом уроке мы с вами будем работать так же дружно и успешно, как на предыдущих уроках. Для этого вспомним, чему мы научились на прошлых уроках.
2. Актуализация знаний и фиксация затруднения в деятельности.
Цель этапа: 1) актуализировать учебное содержание, необходимое и достаточное для восприятия нового материала: правило сравнения дробей;
2) актуализировать мыслительные операции, необходимые и достаточные для восприятия нового материала: сравнение, анализ, обобщение;
3) зафиксировать все повторяемые понятия и алгоритмы в виде схем и символов: в виде свойств и определения;
4) зафиксировать индивидуальное затруднение в деятельности, демонстрирующее на личностно значимом уровне недостаточность имеющихся знаний: сравнить дроби рациональным способом.
Организация учебного процесса на этапе 2:
1. – Представьте частные в виде несократимых дробей: 8 : 12; 12 : 16; 16 : 20; 20 : 24. ( ; ; ; .)
– Что интересного вы заметили? Назовите следующие три дроби. ( ; ; ; ; ; ; .)
– Какая дробь стоит на 35-м месте в этом ряду? ( ). Какая дробь стоит на 999-м месте в ряду? ( .)
– Сравните дроби и , приводя их к общему числителю. ( .)
– Сравните дроби и , приводя их к общему знаменателю. ( .)
– Как вы считаете, в каком порядке расположены дроби в этом ряду? Как это доказать?
– Можно ли распространить закономерность, которую вы наблюдаете, на любые дроби этого ряда? Попробуйте сделать это, отметив точки на координатном луче. (Числа приближаются к 1 по мере увеличения числителя и знаменателя: 
, 
, 
, 
и т.д. Расстояния становятся меньше, значит, сами числа – больше.)
 |
0 1
– Используя прием сравнения с 1, определите, какая из дробей больше: или ? ( отличается от 1 на , а – на 
. Так как > , то .)
– Как легче сравнить эти дроби: приводя к общему числителю или знаменателю, или дополняя до 1?
2. – Переведите высказывания с математического языка на русский:
Û ad = Û ad = bc
– Докажите эти высказывания с помощью основного свойства дроби.
– Пользуясь «перекрестным правилом», сравните дроби: и , и .
3. Индивидуальное задание.
Придумайте «хитрые» приемы для сравнения следующих дробей:
а) и ; б) и ; в) 2 и 3
Цель этапа: 1) организовать коммуникативное взаимодействие, в ходе которого выявляется и фиксируется отличительное свойство задания, вызвавшего затруднение в учебной деятельности;
2) согласовать цель и тему урока.
Организация учебного процесса на этапе 3:
– Для какого случая вы легко придумали способ сравнения дробей? (Для последнего, т.к. во втором числе целая часть больше, значит и всё число больше.)
– Посмотрите внимательно и та же идея поможет вам придумать ещё один способ сравнения дробей. (В первой паре вторая дробь неправильная, а первая правильная дробь, значит вторая дробь больше.)
– Какая цель стоит сегодня перед нами? (Придумать другие, удобные способы сравнения дробей.)
– Какова же тема урока? (Сравнение дробей.)
Учитель записывает тему урока на доске, а дети в тетрадях.
Цель этапа: 1) организовать коммуникативное взаимодействие для построения нового способа действия, устраняющего причину выявленного затруднения;
2) зафиксировать новый способ действия в знаковой, вербальной форме и с помощью эталона.
Организация учебного процесса на этапе 4:
– В устной работе, какой способ был предложен? (Сравнивать дроби с 1.)
– Сформулируйте этот способ сравнения дробей. (Чем ближе дробь расположена к 1, тем она больше.)
– Что значит ближе расположена к 1? (Это значит разность 1 и дроби наименьшая.)
– Можно применить этот способ для сравнения 
и 
? Сравните эти дроби предложенным способом. (Учащиеся самостоятельно пробуют выполнить задание, затем результаты обсуждаются все классом.)
1 – = 
; 1 – = 
– эти способом трудно сравнить дроби.
– Какой ещё способ предложили в устной работе? (Перекрёстное правило.)
Û ad bc
– Попробуйте этим свойством воспользоваться для сравнения данных дробей.
– Как можно определить какое произведение меньше, не вычисляя их? (Можно сделать прикидку: 123 × 200 = 24600, 250 × 100 = 25000, 24600
– А с какой ещё дробью можно было бы сравнить данные дроби? (Если учащиеся не смогут ответить на вопрос, то дать им задание сравнить 
и ; и ).
; > (Причём для этого сравнения можно использовать перекрёстное правило.)
– Что же получили? ( находится слева от , а справа от , значит первая дробь действительно меньше второй дроби.)
– Какие новые способы мы нашли для сравнения дробей? (Перекрёстное правило, сравнение с 1, сравнение с .)
5. Первичное закрепление во внешней речи.
Цель этапа: зафиксировать изученное учебное содержание во внешней речи.
Организация учебного процесса на этапе 5:
Теперь давайте посмотрим на примерах новые способы сравнения дробей.
и 
>
№ 143 (б, в) – в парах, проверка по образцу.
;
; 
;
; 
;
;
г) 
(ложно), значит, 
;
д) 
(ложно), значит, 
.
№ 148 (б, в) – в парах, с проверкой по образцу.
6. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону.
Цель этапа: проверить своё умение применять новое учебное содержание в типовых условиях на основе сопоставления своего решения с эталоном для самопроверки.
Организация учебного процесса на этапе 6:
№ 143 (а); 148 (а)4 № 147 (5, 6, 7).
Ученики проверяют решение по готовому эталону. Отмечают «+» правильные ответы. Исправляют ошибки.
7. Включение в систему знаний и повторение.
Цель этапа: 1) тренировать навыки использования нового содержания совместно с ранее изученным: решение уравнений, используя перекрёстное правило, решение задач на сравнение дробей;
2) повторить учебное содержание, которое потребуется на следующих уроках: приведение дробей к НОЗ для нахождение их суммы.
Организация учебного процесса на этапе 7:
№ 151 у доски, два на выбор учителя.
а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
№ 153 у доски одну задачу на выбор учителя.
1 шаг Тани: 
м; 1 шаг Кати: 
м
= 
>
Ответ: короче шаг у Кати.
Алёша: 
; Толя: 
; Саша: 
= 
; = 
; = 
Ответ: лучший результат у Алёши.
№ 161 (первая часть задания) предлагаем выполнить по группам с отчётом групп.
а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
1) зафиксировать новое содержание, изученное на уроке;
2) оценить собственную деятельность на уроке;
3) поблагодарить одноклассников, которые помогли получить результат урока;
4) зафиксировать неразрешённые затруднения как направления будущей учебной деятельности;
5) обсудить и записать домашнее задание.
Организация учебного процесса на этапе 8:
– Что нового вы узнали на уроке?
– Что помогло нам сформулировать новые способы сравнения дробей?
– Как ты оцениваешь свою работу сегодня?
Домашнее задание: п. 3.1.3, №№ 174; 176 182.
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
