Что такое перпендикуляр в геометрии определение и рисунок

Что такое перпендикуляр в геометрии определение и рисунок

Углы бывают острые, прямые и тупые.

Угол с градусной мерой 90° называется прямым. Если угол меньше 90°, его называют острым, а если больше 90° — тупым. Угол, равный 180° (то есть образующий прямую линию), называют развёрнутым.

Два угла с одной общей стороной называются смежными.

На рисунке луч ОС делит развёрнутый ∡AOB =180° на две части, образуя тупой ∡1 и острый ∡2.

Поэтому если один из смежных углов прямой, то второй также оказывается прямым: 180° – 90° = 90°

При пересечении двух прямых образуются четыре угла:

Обе стороны ∡1 также являются сторонами ∡3, а стороны ∡2 продолжают стороны ∡4. Такие углы называют вертикальными.

∡1 и ∡2 — смежные, как и ∡1 и ∡4. Следовательно:
∡1 + ∡2 = 180°
∡1 + ∡4 = 180°
∡2 = ∡4

То же справедливо и для ∡1 и ∡3.

Прямые, пересекающиеся под прямым углом, называются перпендикулярными.

∡1 равен 90°, остальные углы оказываются для него либо смежными, либо вертикальными, а значит, тоже равными 90°.

Перпендикулярность прямых принято обозначать так: a⟂b

Изучайте математику вместе с преподавателями домашней онлайн-школы «Фоксфорда»! По промокоду GEOM72021 вы получите неделю бесплатного доступа к курсу геометрии 7 класса, в котором изучаются перпендикулярные прямые!

Теорема о перпендикулярных прямых

Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, притом только одну.

Построим доказательство теоремы о перпендикулярных прямых «от противного», то есть для начала предположим, что утверждение неверно.

Возьмём прямую a, отметим на ней точки О и B. От луча OB отложим ∡BOA = 90°. Таким образом, отрезок OA будет находиться на прямой, перпендикулярной а.

Теперь предположим, что в той же полуплоскости существует другой перпендикуляр к а, проходящий через О. Назовём его OK. ∡BOK и ∡BOA, равны 90° и лежат в одной полуплоскости относительно луча OB. Но от луча OB в данной полуплоскости можно отложить только один прямой угол. Поэтому другой прямой, проходящей через О и перпендикулярной a, не существует. Теорема доказана.

Свойство перпендикулярных прямых

Две прямые, перпендикулярные третьей, не пересекаются.

Пусть a⟂b и a⟂c. b и с не пересекаются, ведь если бы существовала точка их пересечения, значит, через неё проходили бы две прямые, перпендикулярные a, что невозможно согласно теореме о перпендикулярных прямых. Следовательно, b||с.

У нас вы сможете учиться в удобном темпе, делать упор на любимые предметы и общаться со сверстниками по всему миру.

Попробовать бесплатно

Интересное по рубрике

Найдите необходимую статью по тегам

Подпишитесь на нашу рассылку

Мы в инстаграм

Домашняя онлайн-школа
Помогаем ученикам 5–11 классов получать качественные знания в любой точке мира, совмещать учёбу со спортом и творчеством

Посмотреть

Рекомендуем прочитать

Реальный опыт семейного обучения

Звонок по России бесплатный

Посмотреть на карте

Если вы не нашли ответ на свой вопрос на нашем сайте, включая раздел «Вопросы и ответы», закажите обратный звонок. Мы скоро свяжемся с вами.

Источник

Геометрия. 7 класс

Конспект урока

Перпендикуляр к прямой

Перечень рассматриваемых вопросов:

Теорема – утверждение, справедливость которого устанавливается путём рассуждений.

Отрезок – часть прямой, ограниченная двумя точками.

Перпендикуляр к прямой – это отрезок прямой, перпендикулярной к данной, который имеет одним из своих концов их точку пересечения.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Пешеходный переход, так называемая «зебра», расположен под углом 90 градусов к улице. Выбор такого угла сделан не случайно. Ведь перейти дорогу пешеходам необходимо как можно быстрее. Такой путь оказывается самым коротким. Чтобы быстрее добраться от метро Площадь Восстания в Санкт-Петербурге до Набережной реки Фонтанки, необходимо идти по Невскому проспекту, перпендикулярно реке.

Ножки стола крепятся перпендикулярно столешнице. Маятник часов расположен перпендикулярно верхней стенке часов.

Если считать улицу, набережную реки Фонтанки, ребро столешницы, ребро стенки часов моделями прямых, то можно говорить, что на каждой картинке построены перпендикуляры к прямой.

Примеры с картой и пешеходным переходом иллюстрируют тот факт, что перпендикуляр к прямой – это кратчайший путь от точки до прямой. Такой путь называется расстоянием.

Пример с часами поможет нам запомнить происхождение слова перпендикуляр. В переводе с французского перпендикуляр означает висеть. То есть, перпендикуляр – это отвес.

Дадим определение перпендикуляра к прямой.

Мы знаем, что перпендикулярными прямыми называются две пересекающиеся прямые, которые образуют при пересечении четыре прямых угла.

Часть одной из этих прямых является перпендикуляром к прямой.

Выделенная часть прямой ограничена двумя точками, значит, по определению, – это отрезок. Один из концов этого отрезка является точкой пересечения перпендикуляра и прямой, к которой он проведен.

перпендикуляр к прямой – это отрезок прямой, перпендикулярной к данной, который имеет одним из своих концов их точку пересечения.

Н – основание перпендикуляра.

Предположим, что вы купаетесь в море недалеко от берега. Вдруг появилась акула, необходимо срочно плыть к берегу. Конечно, вы выберите самый короткий путь. А мы уже знаем, что в геометрии этот путь называют перпендикуляром к прямой.

Всегда ли можно найти кратчайший путь? Сколько существует способов построения кратчайшего пути?

Если на пути нет препятствий, например, здания, ямы, в данном примере – других пловцов, то самый короткий путь проделать можно. И такой путь единственный.

В геометрии любое утверждение требует доказательства. Сформулируем теорему о перпендикуляре к прямой.

Теорема: из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.

По условию теоремы нам даны прямая и точка.

Заключение теоремы состоит из двух частей – существование перпендикуляра и его единственность.

1.Через точку А можно провести перпендикуляр к прямой BC.

2.Данный перпендикуляр единственный.

Разбор заданий тренировочного модуля.

Задание 1. Построить перпендикуляр к прямой.

Для этого можно использовать чертёжный угольник, одну сторону которого от угла в 90 градусов прикладываем к прямой, к которой проведём перпендикуляр из точки, не лежащей на этой прямой, а вторую сторону угольника совместим с точкой, от которой проведём перпендикуляр к прямой.

Задание 2. На рисунке изображены два перпендикуляра АB и СD к прямой а, при этом АB = СD.

Докажем, что треугольники ABD и CDВ равны.

По условию в треугольниках ABD и CDВ, сторона АBравна стороне СD.

AB ⊥ а =>∠ABD = 90° (по определению перпендикулярных прямых).

СD ⊥ а => ∠CDВ = 90° (по определению перпендикулярных прямых).

Следовательно, ∠ABD = ∠CDВ.

Следовательно, ∆ABD = ∆CDВ

(по первому признаку равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними).

Источник

Перпендикуляр

Содержание

Перпендикулярность прямых на плоскости

Две прямые на плоскости называются перпендикулярными, если при пересечении образуют 4 прямых угла.

В аналитическом выражении прямые, заданные линейными функциями и будут перпендикулярны, если выполнено условие . (Здесь α₁,α₂ — углы наклона прямой к горизонтали)

Перпендикулярность прямых в пространстве

Две прямые в пространстве перпендикулярны друг другу, если они соответственно параллельны некоторым двум другим прямым, лежащим в одной плоскости и перпендикулярным в ней.

Построение перпендикуляра на плоскости

Шаг 1: (красный) С помощью циркуля проведём полуокружность с центром в точке P, получив точки А и В.

Шаг 2: (зелёный) Не меняя радиуса, построим две полуокружности с центром в точках A’ и В’ соответственно, проходящими через точку Р. Кроме точки Р есть ещё одна точка пересечения этих полуокружностей, назовём её Q.

Шаг 3: (синий) Соединяем точки Р и Q. PQ и есть перпендикуляр к прямой АВ.

Перпендикулярность прямой и плоскости

Определение: Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой из этой плоскости.

Признак: Если прямая перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Плоскость, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой. Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.

Перпендикулярность плоскостей в 3-мерном пространстве

Две плоскости называются перпендикулярными, если двугранный угол между ними равен 90 градусам.

Перпендикулярность плоскостей в 4-мерном пространстве

Перпендикулярность плоскостей в четырёхмерном пространстве имеет два смысла: плоскости могут быть перпендикулярны в 3-мерном смысле, если они пересекаются по прямой (а следовательно, лежат в одной гиперплоскости), и двугранный угол между ними равен 90°.

Плоскости могут быть также перпендикулярны в 4-мерном смысле, если они пересекаются в точке (а следовательно, не лежат в одной гиперплоскости), и любые 2 прямые, проведённые в этих плоскостях через точку их пересечения (каждая прямая в своей плоскости), перпендикулярны.

В 4-мерном пространстве через данную точку можно провести ровно 2 взаимно перпендикулярные плоскости в 4-мерном смысле (поэтому 4-мерное евклидово пространство можно представить как декартово произведение двух плоскостей). Если же объединить оба вида перпендикулярности, то через данную точку можно провести 6 взаимно перпендикулярных плоскостей (перпендикулярных в любом из двух вышеупомянутых значений).

Существование шести взаимно перпендикулярных плоскостей можно пояснить таким примером. Пусть дана система декартовых координат x y z t. Для каждой пары координатных прямых существует плоскость, включающая эти две прямые. Таких пар 6 (): xy, xz, xt, yz, yt, zt, и им соответствуют 6 плоскостей. Те из этих плоскостей, которые включают одноимённую ось, перпендикулярны в 3-мерном смысле и пересекаются по прямой (например, xy и xz, yz и zt), а те, которые не включают одноимённых осей, перпендикулярны в 4-мерном смысле и пересекаются в точке (например, xy и zt, yz и xt).

Перпендикулярность прямой и гиперплоскости

Источник

Перпендикулярные прямые

Перпендикулярные прямые — это две прямые в пространстве перпендикулярны друг другу, если они соответственно параллельны некоторым двум другим прямым, лежащим в одной плоскости и перпендикулярным в ней.

Содержание:

Понятие перпендикулярных прямых

При пересечении двух прямых есть очень важный случай, когда, пересекаясь, прямые образуют прямые углы (рис. 2.296).

Определение. Две прямые называют перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

На рисунках перпендикулярность прямых обозначается специальным знаком — (рис. 2.296).

При записи перпендикулярность прямых обозначается так: .

Запись читается: «прямая а перпендикулярна прямой Ь».

Кроме понятия перпендикулярности прямых в геометрии используется понятие перпендикуляра к прямой. Говорят: провести перпендикуляр к прямой, проходящий через данную точку, опустить перпендикуляр из точки на прямую.

Определение. Перпендикуляром, проведенным из точки А к прямой а, называют отрезок прямой, перпендикулярной к прямой , с концами в точках А и В, где А — точка, из которой проводится перпендикуляр, а В — точка пересечения прямой с пердпендикулярной ей прямой АВ.

На рисунке 2.297 прямая АВ перпендикулярна к прямой , отрезок АВ является перпендикуляром к прямой , точку В называют основанием перпендикуляра АВ.

Определение. Длину перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую, называют расстоянием от точки до прямой.

Построение перпендикулярных прямых связано с вычерчиванием прямых углов.

Для вычерчивания прямых углов используется угольник или чертежный треугольник (рис. 2.298). Прямой угол может быть изображен в любом положении (рис. 2.299).

На рисунке 2.300 показано, как с помощью угольника и линейки можно провести перпендикуляр через точку О, лежащую на прямой АВ. На рисунке 2.301 показано, как можно провести перпендикуляр с помощью угольника и линейки через точку О к прямой АВ при условии, что О не лежит на АВ.

Теорема 2. К данной прямой через данную точку можно провести только один перпендикуляр.

Серединный перпендикуляр отрезка

Определение. Прямую, проходящую через середину отрезка перпендикулярно ему, называют серединным перпендикуляром (рис. 2.302).

Свойства серединного перпендикуляра к отрезку:

— если точка равноудалена от концов отрезка, то она принадлежит серединному перпендикуляру этого отрезка;

— если точка принадлежит серединному перпендикуляру отрезка, то она равноудалена от его концов.

Можно доказать такую теорему.

Теорема 3. Множество точек плоскости, равноудаленных от концов отрезка, есть серединный перпендикуляр к этому отрезку.

Перпендикуляр и наклонная

Если есть точка и прямая, то по теореме 1 есть и плоскость, в которой они лежат, а значит, все рассуждения в данном случае будут связаны с той плоскостью, в которой лежат данные точка и прямая.

Пусть даны прямая и точка В, не лежащая на этой прямой. ВА — перпендикуляр, опущенный из точки В на прямую , и С — любая точка прямой а, отличная от А. Отрезок ВС называется наклонной, проведенной из точки В к прямой (рис. 2.303). Точку С называют основанием наклонной.

В отличие от перпендикуляра наклонная образует с прямой, к которой она проведена, угол, отличный от 90°.

Можно доказать теорему.

Теорема 4. Расстояние от точки А до основания перпендикуляра, проведенного через нее к прямой , меньше, чем расстояние от А до любой другой точки прямой .

Иначе говоря, перпендикуляр ВА короче, чем отрезок ВС любой наклонной.

Есть еще одно понятие, которым часто пользуются в данной ситуации, — это проекция точки на прямую. Даны прямая и точка А вне ее. Опустив перпендикуляр из точки А на прямую , мы получим точку — основание перпендикуляра. Точка имеет еще одно название, ее называют проекцией точки А на прямую .

Можно, пользуясь понятием проекции точки на прямую, определить и проекцию фигуры на данную прямую. Например, на рисунке 2.304 изображена проекция отрезка на прямую .

Проекция отрезка есть тоже отрезок , который состоитиз всех проекций точек отрезка МК. Именно такие проекции нам в дальнейшем придется рассматривать.

Пример:

Равные отрезки AD и СВ, заключенные между параллельными прямыми АС и BD, пересекаются в точке О. Докажите, что АО = СО и ВО = DO.

Решение:

Из условия задачи имеем:

3. AD и СВ пересекаются в точке О.

4. АО = СО и ВО = DO (требуется доказать).

Чтобы доказать п. 4, нужно доказать, что и — равнобедренные. Как это доказать?

5. Проведем из точек А и С перпендикуляры к прямой BD (построение) (рис. 2.305).

6. АК = СМ (5, свойство расстояний между параллельными прямыми).

7. (5, теорема 21, см. п. 23).

8. (7).

9. — равнобедренный (8, признак равнобедренного треугольника).

Аналогично можно доказать, что АО = СО.

Геометрическое место точек

В геометрии для описания некоторых геометрических фигур есть свое название — геометрическое место точек.

Определение. Геометрическим местом точек называют фигуру, которая состоит из всех точек плоскости, обладающих определенным свойством.

Например, окружность можно определить как геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки. Серединный перпендикуляр отрезка можно также определить как геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от концов этого отрезка.

В этих примерах говорится о геометрическом месте точек плоскости.

Геометрические места точек широко используются при решении геометрических задач на построение. Сущность метода геометрических мест, используемого при решении задач на построение, состоит в следующем.

Пусть для решения задачи на построение надо найти точку X, удовлетворяющую двум условиям. Геометрическое место точек, удовлетворяющих первому условию, есть некоторая фигура , а геометрическое место точек, удовлетворяющих второму условию, есть некоторая фигура . Искомая точка X принадлежит и , т. е. является их точкой пересечения. Покажем работу этого метода на примере решения задачи.

Пример 1.

Даны три точки: А, В, С. Постройте точку X, которая одинаково удалена от точек А и В и находится на данном расстоянии от точки С.

1. Нам даны три точки А, В, С (рис. 2.306).

2. Искомая точка X удовлетворяет двум условиям: 1) она одинаково удалена от точек А и В; 2) она находится на данном расстоянии от точки С. Геометрическое место точек, удовлетворяющих первому условию, есть серединный перпендикуляр отрезка АВ (рис. 2.307).

3. Геометрическое место точек, удовлетворяющих второму условию, есть окружность данного радиуса с центром в точке С (рис. 2.308). Искомая точка X лежит на пересечении этих геометрических мест. В данном случае искомых точек две: и .

Биссектриса угла также является очень важным и широко используемым геометрическим местом точек.

Пример 2.

Найдите геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла и находящихся в его внутренней области.

Решение:

А) Пусть точка принадлежит внутренней области угла и равноудалена от его сторон. Докажем, что эта точка принадлежит биссектрисе данного угла.

1. Точка М принадлежит внутренней области угла АОВ (рис. 2.309).

2. Проведем МК OA, МС OB, МК = МС (рис. 2.310).

3. ОМ — биссектриса угла АОВ (требуется доказать).

У нас на чертеже нет луча ОМ, проведем его.

4. Соединим точки О и М (построение) (рис. 2.311).

Нам нужно доказать, что ОМ — биссектриса угла О или, что . Для этого рассмотрим .

5. (2, теорема 21, см. п. 23).

6. (4).

7. ОМ — биссектриса угла АОВ.

Б) Пусть точка принадлежит биссектрисе данного угла. Докажем, что эта точка равноудалена от сторон данного угла.

1. Пусть М — произвольная точка биссектрисы ОМ угла АОВ (рис. 2.312) (дано).

2. (1).

3. Проведем МК и МС — перпендикуляры к сторонам угла АОВ (рис. 2.313) (построение).

4. (1, 2, теорема 19, см. п. 23).

5. МК = МС. Точка М равноудалена от сторон угла (4).

Итак, геометрическим местом точек угла, равноудаленных от его сторон, является биссектриса этого угла.

Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета «Математика»:

Смотрите также дополнительные лекции по предмету «Математика»:

Источник