Что такое первая аксиома

Аксиомы стереометрии

Аксиома стереометрии — это основополагающее
утверждение в стереометрии, не требующее доказательств.

Стереометрия — раздел геометрии, изучающий
свойства и признаки фигур в пространстве.

В стереометрии существует три основные аксиомы,
из которых следует остальные не менее важные утверждения.

Свойства точек, прямых а также плоскостей выражены в аксиомах.

Первая аксиома стереометрии

Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой проходит плоскость причем только одна.

Плоскость — неограниченная,
ровная поверхность.

Плоскость обозначают тремя буквами
греческого алфавита: α (альфа), β (бета), γ (гамма).

На рисунке 1 изображена плоскость альфа.

Вторая аксиома стереометрии

Если две точки прямой лежат в плоскости,
то и все точки данной прямой лежат в этой плоскости.

Смотрим на рисунок 2 — точка A и точка B прямой a лежат в плоскости β, значит
все точки данной прямой лежат в плоскости β.

Третья аксиома стереометрии

Если две плоскости имеют общую точку, то они
имеют общую прямую, по которой они пересекаются.

Плоскость γ пересекается с плоскостью α (рисунок 3).

Источник

Первая аксиома счётности

Первая аксиома счётности ― понятие общей топологии. Топологическое пространство удовлетворяет первой аксиоме счетности, если система окрестностей всякой его точки обладает счётной базой.

Примеры

Первой аксиоме счётности удовлетворяют

Свойства

История

Класс пространств, удовлетворяющих первой аксиоме счётности выделен Хаусдорфом в 1914 году.

Полезное

Смотреть что такое «Первая аксиома счётности» в других словарях:

Первая аксиома счетности — Первая аксиома счётности ― понятие общей топологии. Топологическое пространство удовлетворяет первой аксиоме счетности, если система окрестностей всякой его точки обладает счётной базой. Примеры Первой аксиоме счётности удовлетворяют метрические… … Википедия

Вторая аксиома счётности — ― понятие общей топологии. Топологическое пространство удовлетворяет второй аксиоме счётности, если оно обладает счётной базой. Выполнение данной аксиомы (наличие счетной базы топологии) существенно влияет на фундаментальные свойства пространств … Википедия

Топологическое пространство — У этого термина существуют и другие значения, см. Пространство. Топологическое пространство основной объект изучения топологии (термин «топология» в его рамках см. ниже). Исторически, понятие топологического пространства появилось как … Википедия

Метризуемое пространство — Метризуемое пространство топологическое пространство, гомеоморфное некоторому метрическому пространству. Иначе говоря, пространство, топология которого порождается некоторой метрикой. Если такая метрика существует, то она не… … Википедия

Метризируемое — Метризуемое пространство топологическое пространство, гомеоморфное некоторому метрическому пространству. Иначе говоря, пространство, топология которого порождается некоторой метрикой. Если такая метрика существует, то она не единственна за… … Википедия

Специальная теория относительности — Почтовая марка с формулой E = mc2, посвящённая Альберту Эйнштейну, одному из создателей СТО. Специальная теор … Википедия

Вещественное число — Вещественное, или действительное число [1] математическая абстракция, возникшая из потребности измерения геометрических и физических величин окружающего мира, а также проведения таких операций как извлечение корня, вычисление логарифмов, решение… … Википедия

Источник

Что такое аксиома, теорема и доказательство теоремы

Понятие аксиомы

Аксиома — это правило, которое считают верным и которое не нужно доказывать. В переводе с греческого «аксиома» значит принятое положение — то есть взяли и договорились, что это истина, с которой не поспоришь.

Аксиоматический метод — это подход к получению знаний, при котором сначала разрабатывают аксиомы, а потом с их помощью формулируют новые теории.

Синоним аксиомы — постулат. Антоним — гипотеза.

Основные аксиомы евклидовой геометрии

Учить наизусть эти аксиомы не обязательно. Главное — помнить о них и держать под рукой, чтобы при доказательстве теоремы сослаться на одну из них.

А теперь давайте рассмотрим несколько аксиом из геометрии за 7 и 8 класс.

Самая известная аксиома Евклида — аксиома о параллельных прямых. Звучит она так:

Это значит, что если дана прямая и любая точка, которая не лежит на этой прямой, то через неё можно провести только одну единственную прямую, которая будет параллельна этой первой данной прямой.

У этой аксиомы два следствия:

Аксиома Архимеда заключается в том, что, если отложить достаточное число раз меньший из двух отрезков, то можно покрыть больший из них. Звучит так:

Если на прямой есть меньший отрезок А и больший отрезок B, то, можно сложить А достаточное количество раз, чтобы покрыть B.

На картинке можно увидеть, как это выглядит:

Из этого следует, что не существует бесконечно малых и бесконечно больших величин. В качестве математической формулы аксиому можно записать так: А + А + … + А = А * n > В, где n — это натуральное число.

Понятие теоремы

Что такое аксиома мы уже поняли, теперь узнаем определение теоремы.

Теорема — логическое следствие аксиом. Это утверждение, которое основано на аксиомах и общепринятых утверждениях, которые были доказаны ранее, и доказывается на их основе.

Состав теоремы: условие и заключение или следствие.

Среди теорем выделяют такие, которые сами по себе не используются в решениях задач. Но их используют для доказательства других теорем.

Лемма — это вспомогательная теорема, с помощью которой доказываются другие теоремы. Пример леммы: если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и вторая прямая тоже пересекает эту плоскость.

Следствие — утверждение, которое выводится из аксиомы или теоремы. Следствие, как и теорему, необходимо доказывать.

Примеры следствий из аксиомы о параллельности прямых:

Доказательство теоремы — это процесс обоснования истинности утверждения.

Каждая доказанная теорема служит основанием доказательства для следующей теоремы. Именно поэтому так важно изучать геометрию последовательно, переходя от аксиом к теоремам.

Способы доказательства геометрических теорем

Часть аналитического способа — доказательство от противного, когда для доказательства данного предложения убеждают в невозможности предположения противоположного.

Приемы для доказательства в геометрии:

Обратная теорема — это такой перевертыш: в ней условие исходной теоремы дано заключением, а заключение — условием.

Прямая и обратная теорема взаимно-обратные. Например:

В первой теореме данное условие — это равенство сторон треугольника, а заключение — равенство противолежащих углов. А во второй всё наоборот.

Противоположная теорема — это утверждение, в котором из отрицания условия вытекает отрицание заключения.

Вот, как выглядит взаимное отношение теорем на примере:

В геометрическом изложении достаточно доказать только две теоремы, тогда остальные справедливы без доказательства.

Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курс подготовки к ЕГЭ по математике (профиль).

Теоремы без доказательств

Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Доказательств может быть несколько. Одно из них звучит так: если построить квадраты на сторонах прямоугольного треугольника, то площадь большего из них равна сумме площадей меньших квадратов. На картинке понятно, как это работает:

Теорема косинусов: квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. В виде формулы это выглядит так:

где a, b и c — стороны плоского треугольника,

α — угол, противолежащий стороне а.

Следствия из теоремы косинусов:

Понятия свойств и признаков

У нас есть список аксиом и мы уже знаем, что такое теорема и как ее доказывать. Есть два типа утверждений среди теорем, которые часто встречаются при изучении новых фигур: свойства и признаки.

Свойства и признаки — понятия из обычной жизни, которые мы часто используем.

Свойство — такое утверждение, которое должно выполняться для данного типа объектов. У ноутбука есть клавиатура — это свойство есть у каждого ноутбука. А у электронной книги такого свойства нет.

Примеры геометрических свойств мы уже знаем: у квадрата все стороны равны. Это верно для любого квадрата, поэтому это — свойство.

Такое свойство можно встретить у другого четырехугольника. И клавиатура может быть на других устройствах, помимо ноутбука. Из этого следует, что свойства не обязательно должны быть уникальными.

Признак — это то, по чему мы однозначно распознаем объект.

Звезды в темном небе — признак того, что сейчас ночь. Если человек ходит с открытым зонтом — это признак того, что сейчас идет дождь. При этом ночью не обязательно должны быть видны звезды, иногда может быть облачно. Значит это не свойство ночи.

А теперь вернемся к геометрии и рассмотрим четырехугольник ABCD, в котором AB = BD = 10 см.

Является ли равенство диагоналей признаком прямоугольника? У такого четырехугольника, где AB = BD, диагонали равны, но он не является прямоугольником. Это свойство, но не его признак.

Но если в четырехугольнике противоположные стороны параллельны AB || DC и AD || BC и диагонали равны AB = BD, то это уже верный признак прямоугольника. Смотрите рисунок:

Иногда свойство и признак могут быть эквивалентны. Лужи — это верный признак дождя. У других природных явлений не бывает луж. Но если приходит дождь, то лужи на асфальте точно будут. Значит, лужи — это не только признак, но и свойство дождя.

Такие утверждения называют необходимым и достаточным признаком.

Источник

Лекция по математике на тему «Аксиомы стереометрии»

Аксиома – это утверждение не требующее доказательства.

Аксиомы стереометрии – утверждения о свойствах геометрических тел, принимаемые в качестве исходных положений, на основе которых доказываются все теоремы и вообще строится вся геометрия.

Аксиома А1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

Аксиома А1 состоит из двух частей.

Первая часть утверждает, что через три точки проходит плоскость, т.е. существует хотя бы одна плоскость.

А вторая часть аксиомы говорит, что такая плоскость только одна.

Символ читается как существует.

По этой аксиоме, три точки, не лежащие на одной прямой, однозначно определяют плоскость.

Поэтому плоскости иногда обозначают тремя большими буквами, используя любые три точки плоскости, не лежащие на одной прямой.

У нас на экране плоскость обозначена как α. Эту же плоскость можно обозначить как ABC

Аксиома 1 (существование плоскости)

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

, причем α – единственная.

Аксиома А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.

В этом случае говорят, что прямая лежит в плоскости или плоскость проходит через прямую.

Эта аксиома устанавливает взаимосвязь между прямой и плоскостью, то есть тот факт, что плоскость действительно плоская и прямая ее не «протыкает», а целиком содержится в ней.

Из аксиомы A 2 следует, что если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки.

Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что они пересекаются.

Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки этой прямой лежат в этой плоскости.

В этом случае говорят, что прямая лежит в плоскости или плоскость проходит через прямую.

Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

В этом случае говорят, что плоскости пересекаются по прямой, проходящей через эту точку..

Эта аксиома очень важная. Она утверждает, что две плоскости не могут пересекаться по одной единственной точке.

Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Говорят, что плоскости пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

Справедливость фактов планиметрии

Мы с вами познакомились с тремя аксиомами стереометрии.

Возникает вопрос: «Можем ли мы пользоваться теми фактами, которые справедливы на плоскости: теорема Пифагора, формулы площади треугольников, параллелограмма? Или все эти формулы, теоремы для нас уже не имеют значения?»

В планиметрии мы имели дело с одной плоскостью, на которой располагались все рассматриваемые нами фигуры. В стереометрии много плоскостей.

И в каждой из плоскостей, справедливы все факты планиметрии. В любой из плоскостей выполняется теорема Пифагора для прямоугольного треугольника, верны формулы длины окружности, верны формулы для площади.

Все что мы изучали, мы теперь можем применять смело в каждой из рассматриваемых плоскостей.

Аксиомы стереометрии не противоречат аксиомам планиметрии.

В стереометрии принимаются все факты планиметрии для каждой плоскости.

Переходим к решению задач

Задача 1. По рисунку назовите:

По рисунку назовите:

Аналогично:

Аналогично: .

Аналогично:

Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?

Найти: Могут ли 3 из них лежать на одной прямой?

Две точки A и С прямой m принадлежат в плоскости , значит и точка B этой прямой принадлежит этой плоскости.

Получается, что в одной плоскости лежат все четыре точки, что противоречит условию задачи. Значит предположение неверно, никакие три точки не лежат на одной прямой.

лежать на одной прямой.

Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?

Найти: Могут ли 3 из них лежать на одной прямой?

Пусть:

(аксиома А1)

(аксиома А2)

. Получили противоречие, по условию задачи точки не лежат в одной плоскости.

Предположение неверно, никакие три точки не лежат на одной прямой.

Задача 3. Докажите, что через три данные точки, лежащие на одной прямой, проходит плоскость. Сколько существует таких плоскостей?

Найти :Количество плоскостей

Так как две точки A и C прямой m принадлежат плоскости α, то и точка B прямой m принадлежит этой плоскости.

Все три точки принадлежат плоскости.

Значит плоскость α – искомая плоскость.

Ответ: Через три данные точки, лежащие на одной прямой, может проходить

бесконечное множество плоскостей.

Доказать:

Найти: Количество плоскостей

Пусть .

(аксиома A 1).

(аксиома A 2).

Плоскость α – искомая плоскость.

Т. к D – произвольная точка, то таких плоскостей бесконечное множество.

Ответ: бесконечное множество.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Номер материала: ДБ-025570

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Рособрнадзор не намерен упрощать ЕГЭ в 2022 году из-за пандемии

Время чтения: 1 минута

Итоговое сочинение успешно написали более 97% выпускников школ

Время чтения: 2 минуты

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Зарплаты педагогов Ростовской области вырастут в среднем на 10-15%

Время чтения: 2 минуты

Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате

Время чтения: 1 минута

При детском омбудсмене в России создадут платформу для взаимодействия с родителями

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник