Что такое пирамида геометрия
Пирамида
Вершина пирамиды — точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания.
Основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.
Апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины.
Высота — отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра).
Диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания.
Некоторые свойства пирамиды
1) Если все боковые ребра равны, то
– около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр
– боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы
Если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы, то все боковые ребра пирамиды равны.
Если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны.
Виды пирамид
Для правильной пирамиды справедливо:
– боковые ребра правильной пирамиды равны;
– в правильной пирамиде все боковые грани — равные равнобедренные треугольники;
– в любую правильную пирамиду можно вписать сферу;
– около любой правильной пирамиды можно описать сферу;
– площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.
Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию.
Тетраэдр – треугольная пирамида. В тетраэдре любая из граней может быть принята за основание пирамиды.
Пирамида является одной из основных фигур в геометрии. О её особенностях рассказано в статье.
Определение пирамиды в геометрии
Эта стереометрическая фигура включает в себя часть пространства, отделённую плоскими многоугольниками: произвольным в основании и гранями — треугольниками, содержащими общую вершину и отрезок в виде общей стороны с ним.
Элементы пирамиды
Элементами этой геометрической фигуры являются:
Место, куда сходятся все боковые грани фигуры, является вершиной.
Многоугольник, от каждой стороны которого отходят треугольные грани, носит название основания. Например, оно может быть шестиугольным.
Треугольники, соединяющиеся у вершины, с общей стороной с основанием, носят название боковых граней. У них противоположная вершина совпадает с точкой вершины пирамиды.
Высота фигуры представляет собой вертикальный отрезок, ограниченный многоугольником основания и вершиной.
На каждом треугольнике боковой стороны можно указать апофему. Она опускается от вершины по грани до ребра основания, будучи к нему перпендикулярной.
Боковыми ребрами называют те отрезки, которые соединяют соседние боковые грани.
У пирамиды может быть несколько диагональных сечений. Они включают в себя диагональ многоугольника вместе с вершиной пирамиды.
Виды пирамид
Такие фигуры могут относиться к различным видам, в зависимости от типа основания и расположения вершины.
Можно указать следующие разновидности пирамид:
Правильной она будет в том случае, если в основании лежит правильный многоугольник. Проекция вершины на многоугольник основания должна приходиться на центр. Тетраэдр рассматривается как одна из разновидностей правильной пирамиды.
У прямоугольной фигуры одна из граней находится в плоскости, перпендикулярной многоугольнику, лежащему в основании.
Усеченная — это часть фигуры, находящаяся между пересекающей плоскостью и многоугольником основания. Причём эта плоскость должна располагаться горизонтально.
Свойства пирамиды
У этой объёмной геометрической фигуры имеются следующие свойства при условии равенства боковых рёбер:
круг возможно описать вокруг многоугольника основания;
угол, под которым наклонены боковые грани, будет таким же.
В том случае, когда треугольные грани имеют одни и те же углы с основанием, возможно сделать вывод о том, что их рёбра одинаковы.
Свойства правильной пирамиды
У такой фигуры можно отметить особые свойства.
У правильной пирамиды все боковые треугольники одинаковы.
Каждая из них является равнобедренным треугольником.
Внутрь любой такого типа пирамиды можно вписать сферу. При этом она будет касаться основания и всех граней, имея с каждой из этих сторон по одной общей точке.
Снаружи возможна сфера, касающаяся всех вершин.
Нетрудно вычислить площадь поверхности такой фигуры. Для этого надо умножить длину периметра многоугольника, находящегося в её основании, на половину длины апофемы.
Особым случаем является ситуация, когда у вписанной и описанной сфер центры совпадают. В этом случае можно утверждать, что если сложить все плоские углы у боковых граней, то их сумма будет равна числу «Пи». При этом, для того чтобы узнать величину каждого из них, достаточно эту величину разделить на количество граней.
Формулы объема и площади поверхности пирамиды с примерами расчета
Вычислить объём можно с использованием следующей формулы.
где используются такие обозначения:
S – площадь основания;
Полную площадь поверхности можно вычислить как сумму площадей основания и всех боковых треугольников.
Пример решения задачи
Если стороны основания составляют 3 см, а боковые рёбра — 4 см, то по теореме Пифагора можно определить высоту фигуры.
Сначала по теореме Пифагора находят длину половины диагонали. Она будет равна корню квадратному из 18 (4,25 см), так как является диагональю квадрата.
Здесь рассматривается четырехугольная пирамида.
По теореме Пифагора находим высоту. Она будет равна примерно 4,5 см.
Площадь основания составляет 3 * 3 = 9 кв. см. Нужно учесть, что это квадрат со стороной 3 см. Подставив значения в формулу для объёма, получим следующее.
V = (1 / 3) * 9 * 4,5 = 13,5 куб. см.
Для расчёта площади поверхности надо узнать площадь квадратного основания и треугольных боковых сторон. Для этого сначала по теореме Пифагора находят длину апофемы. Она будет равна 4,27 см.
Каждая боковая сторона имеет площадь 12,81 кв. см, а основание — 9 кв. см. Сложив площади всех граней, получим 60,24 кв. см. Посчитать площадь поверхности можно, рассмотрев развертку фигуры.
Что такое пирамида: определение, элементы, виды, варианты сечения
В данной публикации мы рассмотрим определение, основные элементы, виды и возможные варианты сечения пирамиды. Представленная информация сопровождается наглядными рисунками для лучшего восприятия.
Определение пирамиды
Пирамида – это геометрическая фигура в пространстве; многогранник, который состоит из основания и боковых граней (с общей вершиной), количество которых зависит от количества углов основания.
Примечание: пирамида – это частный случай конуса.
Элементы пирамиды
Развёртка пирамиды – фигура, полученная при “разрезе” пирамиды, т.е. при совмещении всех ее граней в плоскости одной из них. Для правильной четырехугольной пирамиды развертка в плоскости основания выглядит следующим образом.
Примечание: свойства пирамиды представлены в отдельной публикации.
Виды сечения пирамиды
1. Диагональное сечение – секущая плоскость проходит через вершину фигуры и диагональ основания. У четырехугольной пирамиды таких сечения два (по одному на каждую диагональ):
2. Если секущая плоскость параллельна основанию пирамиды, она делит ее на две фигуры: подобную пирамиду (считая от вершины) и усеченную пирамиду (считая от основания). Сечением является подобный основанию многоугольник.
Примечание: Существуют и другие виды сечения, но они не так распространены.
Геометрическая фигура пирамида: описание, основные виды, свойства, формулы
Что такое пирамида в геометрии
Пирамидой называют многогранную объемную фигуру, которая ограничена плоским многоугольником в виде основы и треугольниками с общей вершиной, находящейся за пределами плоскости основания.
Боковой гранью пирамиды является треугольник, у которого один из углов лежит на вершине этой геометрической фигуры, а противоположная ему сторона соответствует стороне основания. Общие стороны, которыми обладают боковые грани, называются боковыми ребрами. Их количество в пирамиде соответствует числу углов многоугольника.
Высота пирамиды является перпендикуляром, который опустили из вершины к основанию пирамиды.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Перпендикуляр боковой грани пирамиды, который опустили из ее вершины на сторону основания, называют апофемой.
Диагональным сечением пирамиды называют сечение данной геометрической фигуры, которое пролегает через ее вершину и диагональ основания.
Построить геометрическую фигуру в виде пирамиды можно с помощью поэтапных действий:
На рисунке представлена пирамида с четырьмя углами SABCD. В первую очередь следует записывать вершину пирамиды. В основании лежит четырехугольник ABCD. Вершина изображенного многоугольника проецируется в точку О, где пересекаются диагонали. Данная точка представляет собой основание высоты или проекцию вершины. SA, SB, SC, SD представляют собой ребра пирамиды, а отрезки AB, BC, CD, DA являются сторонами ее основания.
Виды пирамид
Основными видами пирамид, которые наиболее часто встречаются при решении задач, являются:
Свойства пирамиды
Среди свойств, которыми обладает многоугольник в виде пирамиды, можно отметить следующие:
Свойства правильной пирамиды
Правильную пирамиду характеризуют следующие особенности:
Формулы вычисления объема и площади
Боковая поверхность пирамиды представляет собой общую площадь всех боковых граней данного многоугольника. Для расчета полной поверхности пирамиды необходимо определить сумму площадей боковой поверхности и основания многоугольника.
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды можно рассчитать по формуле, зная периметр основания и апофему:
Объем данной геометрической фигуры определяют с помощью площади и высоты:
Геометрия. 10 класс
Конспект урока
Геометрия, 10 класс
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
Пирамида – многогранник, составленный из n-угольника и n треугольников
Основание пирамиды – грань пирамиды, являющаяся n-угольником
Вершина пирамиды – общая точка всех треугольников, лежащих в боковых гранях.
Боковая грань – грань пирамиды, являющаяся треугольником
Боковые ребра – общие отрезки боковых граней
Высота – перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на ее основание
Апофема – высота боковой грани правильной пирамиды
Правильная пирамида – пирамида, в основании которой лежит правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину и центр основания пирамиды, является высотой
Усеченная пирамида – многогранник, образованный двумя n-угольниками, расположенными в параллельных плоскостях (нижнее и верхнее основание) и n-четырехугольников (боковые грани).
Площадь полной поверхности пирамиды – сумма площадей всех граней пирамиды
Площадь боковой поверхности пирамиды – сумма площадей боковых граней пирамиды
Потоскуев Е.В., Звавич Л. И. Геометрия. 11кл.: учеб. Для классов с углубл. и профильным изучением математики общеобразоват. Учреждений.. – М.: Дрофа, 2009. – 368 с.: ил. (117 с. – 121 с.)
Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10–11 классы : учеб. Для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни – М. : Просвещение, 2014. – 255 с. (65 с. – 68 с.)
Открытые электронные ресурсы:
Многогранники.ru – сайт о создании моделей многогранников из бумаги https://www.mnogogranniki.ru/
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Рассмотрим многоугольник A1A2. An и точку Р, не лежащую в плоскости этого многоугольника (рис.1). Соединив точку Р с вершинами многоугольника, получим n треугольников: PA1A2, PA2A3,…, PAnA1.
Многогранник, составленный из n-угольника A1A2. An и n треугольников, называется пирамидой. Многоугольник A1A2. An называется основанием, а треугольники PA1A2, PA2A3,…, PAnA1 – боковые грани пирамиды, отрезки PA1, PA2,…, PAn – боковые ребра пирамиды, точка Р – вершина пирамиды. Пирамиду с основанием A1A2. An и вершиной Р называют n-угольной пирамидой и обозначают PA1A2. An.
Перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания, называется высотой пирамиды. На рисунке 1 PH является высотой. Обратите внимание, что высота может лежать и вне пирамиды (рис. 3) или быть одним из боковых ребер (рис. 4).
Рисунок 3 – высота вне пирамиды
Будем называть пирамиду правильной, если ее основание – правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой. Напомним, что центром правильного многоугольника называется центр вписанной в него (или описанной около него) окружности (рис.5).
Рисунок 5 – Правильная пирамида
Правильная пирамида обладает несколькими хорошими свойствами. Давайте выясним, какими.
Рассмотрим правильную пирамиду PA1A2. An (рис. 5).
Пусть О – центр описанной около основания окружности, тогда РО – высота пирамиды, значит РО перпендикулярен любой прямой, лежащей в плоскости основания. Таким образом, высота РО перпендикулярна радиусам А1О, А2О. АnО.
Боковые ребра пирамиды равны, значит боковые грани – равнобедренные треугольники. Основания этих треугольников равны друг другу, так как в основании лежит правильный многоугольник. Следовательно, боковые грани равны по третьему признаку равенства треугольников.
Таким образом, верны следующие утверждения:
Введем еще одно определение. Апофемой называется высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины. На рисунке 5 PE – одна из апофем.
Все апофемы правильной пирамиды равны друг другу как высоты в равных треугольниках.
Возьмем произвольную пирамиду PA1A2. An и проведем секущую плоскость β, параллельную плоскости основания пирамиды α и пересекающую боковые ребра в точках В1,В2. Вn (рис. 6). Плоскость β разбивает пирамиду на два многогранника. Многогранник, гранями которого являются n-угольники A1A2. An и В1В2. Вn (нижнее и верхнее основания соответственно), расположенные в параллельных плоскостях и n четырехугольников A1A2B2B1, A2A3B3B2, … A1AnBnB1 (боковые грани), называется усеченной пирамидой.
Рисунок 6 – Усеченная пирамида
Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания называется высотой усеченной пирамиды. На рисунке 7 отрезки HH1 и В1O –высоты усеченной пирамиды.
Рисунок 7 – Высота усеченной пирамиды
Площадь поверхности пирамиды
Площадью полной поверхности пирамиды называются сумма площадей всех ее граней, а площадью боковой поверхности пирамиды – сумма площадей ее боковых граней.
Для пирамиды, верно равенство Sполн= Sбок+Sосн.
Докажем теорему для площади боковой поверхности правильной пирамиды.
Теорема. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.
Для площади боковой поверхности усеченной пирамиды верна следующая теорема
Теорема. Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
Задание 1. В пятиугольной пирамиде все боковые грани равны между собой. Площадь основания равна 42, а площадь боковой грани на 15 меньше. Чему равна площадь полной поверхности пирамиды?
Поскольку в пирамиде все боковые грани равны, то и площади их будут равны. Знаем, что площадь боковой грани на 15 меньше площади основания, значит она равна 27. В пятиугольной пирамиде боковых граней 5. Таким образом площадь полной поверхности равна 27*5+42 = 177.
Задание 2. В правильной пирамиде высота боковой грани равна 10, а в основании лежит квадрат со стороной 4. Чему равна площадь боковой поверхности?
Боковая грань пирамиды – это треугольник. Все боковые грани этой пирамиды равны между собой, так как пирамида правильная. Вычислим площадь треугольника: ½*4*10=20. В основании пирамиды лежит квадрат, значит боковых граней будет 4. Таким образом, площадь боковой поверхности равна 4* 20=80.