Что такое планиметрия в геометрии

Планиметрия

Смотреть что такое «Планиметрия» в других словарях:

планиметрия — планиметрия … Орфографический словарь-справочник

Планиметрия — (от лат. planum «плоскость», др. греч. μετρεω «измеряю») раздел евклидовой геометрии, изучающий двумерные (одноплоскостные) фигуры, то есть фигуры, которые можно расположить в пределах одной плоскости. Первое… … Википедия

ПЛАНИМЕТРИЯ — (от лат. planus плоский, и греч. metreo меряю). Часть геометрии, занимающаяся исследованием и измерением фигур на плоскости. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. ПЛАНИМЕТРИЯ от лат. planus, плоский, и… … Словарь иностранных слов русского языка

ПЛАНИМЕТРИЯ — ПЛАНИМЕТРИЯ, планировать и пр. см. план. Толковый словарь Даля. В.И. Даль. 1863 1866 … Толковый словарь Даля

ПЛАНИМЕТРИЯ — ПЛАНИМЕТРИЯ, подраздел ГЕОМЕТРИИ, в которой линии, углы и фигуры представлены в двухмерной форме, т.е. на плоскости. В планиметрии действуют аксиомы ЕВКЛИДА … Научно-технический энциклопедический словарь

ПЛАНИМЕТРИЯ — ПЛАНИМЕТРИЯ, планиметрии, мн. нет, жен. (от лат. planum плоскость и греч. metreo мерю) (мат.). Отдел элементарной геометрии, изучающий фигуры на плоскости. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 … Толковый словарь Ушакова

ПЛАНИМЕТРИЯ — ПЛАНИМЕТРИЯ, и, жен. Часть геометрии, изучающая фигуры на плоскости. | прил. планиметрический, ая, ое. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова

планиметрия — сущ., кол во синонимов: 2 • геометрия (9) • математика (29) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013 … Словарь синонимов

ПЛАНИМЕТРИЯ — ПЛАНИМЕТРИЯ, измерение площадей плоскостных фигур, очень часто применяемое в мед. физиол. исследовательских работах, преиму i щественно по отношению к площадям кривых, записанных на кимографе. Такое измерение можно производить или с помощью… … Большая медицинская энциклопедия

Источник

Что такое планиметрия? Знакомство с геометрией

Геометрия – предмет интересный и, без сомнения, очень полезный. Он заставляет креативно мыслить, находить нестандартные решения, представлять различные фигуры и т. д. Очень часто одну задачу в геометрии можно решить несколькими способами. Но первое, с чем имеют дело школьники, начиная знакомство с геометрией, – это планиметрия. Что такое планиметрия? И почему изучение геометрии начинается с нее?

Что такое планиметрия? Определение в геометрии

Планиметрия – это раздел геометрии, изучающий фигуры, которые можно расположить в пределах одной плоскости. Например, квадрат, начерченный на листке бумаги, будет относиться к планиметрии.

Планиметрия – это первый шаг школьников к близкому знакомству с геометрией. Именно в планиметрии они узнают о существовании таких понятий, как отрезок, прямая, точка, направление, плоскость и т. д. Для дальнейшего движения в освоении геометрии школьники усваивают, что такое планиметрия. Для них это основа основ. Происходит первое знакомство с теоремами, аксиомами, новыми терминами, явлениями.

Происхождение слова

Как и многие другие термины, слово «планиметрия» берет свое начало в латинском языке. В переводе оно означает «плоскость», «измеряю». Еще древнегреческие философы ввели его в употребление и дали ему определение. Что такое планиметрия, сейчас знает каждый школьник, ведь с нее начинается изучение геометрии.

Планиметрию относят к Евклидовой геометрии или, как ее еще называют, элементарной геометрии. Евклид – древнегреческий философ, а его главный труд – «Начало» – считается вершиной античной математики. Работы этого философа определили ход развития математики и были предметом изучения и обсуждений в течение очень многих лет.

Что изучает планиметрия?

Чтобы подробнее разобраться с тем, что такое планиметрия, следует узнать, что она изучает. Основные фигуры, с которыми имеют дело школьники при освоении базового курса геометрии – это точка, прямая, параллелограмм, окружности, различные многоугольники, треугольники. Они подробно изучают данные фигуры и решают различные геометрические задачи, которые развивают мышление. Конечно, с годами школьная программа меняется, дополняется и корректируется. Но в целом суть остается та же.

Во время учебы школьники знакомятся с понятием параллельности, учатся строить треугольники, четырехугольники. Изучают особенности построения углов, знакомятся с различными теоремами. Узнают многое об окружности и круге, о подобии, начинают первое знакомство с тригонометрическими функциями и еще многое другое. Не стоит пугаться такого объема информации. Лучше отнестись к геометрии как к увлекательному путешествию. Решение геометрических задач – это практически творчество.

Школьникам стоит сразу усвоить, что планиметрия – такой фундамент, который становится подготовкой к более сложным темам. Следующим шагом будет изучение стереометрии, т. е. объемных фигур. И то, насколько хорошо усвоена стереометрия, определит, как легко будет даваться дальнейшее обучение. Чем крепче будет фундамент, тем проще будет по кирпичикам строить новые знания.

Источник

Планиметрия. Страница 1

1.Основные фигуры планиметрии

Прямые a и b параллельны,
прямые а и с пересекаются в точке С,
прямые b и с пересекаются в точке Е.

Углы обозначаются так:

∠SOP или ∠О или ∠(hk) или ∠α

Рис.1 Пример обозначения точек и прямых на плоскости.

1. Для любой прямой на плоскости существуют точки принадлежащие ей и не принадлежащие ей. Через любые две точки можно провести только одну прямую.

2. Из трех точек, лежащих на прямой, только одна лежит между двумя другими.

3. Любой отрезок имеет длину больше нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой точкой, лежащей на этом отрезке.

4. Любая прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.

5. Любой угол имеет определенную градусную меру. Градусная мера любого угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучем, проходящим между его сторонами. Развернутый угол =180˚.

6. На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить только один отрезок определенной длины.

7. От любой полупрямой от ее начальной точки в заданную полуплоскость можно отложить только один угол определенной градусной меры, меньше 180˚.

8. Для любого треугольника, существует треугольник равный данному, относительно заданной полупрямой в заданном расположении.

9. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Даны три прямые: а,b,c. Прямая a не параллельна b, а не параллельна с, прямая b не параллельна c. Доказать, что либо 3 прямые пересекаются в одной точке либо в 3-х точках.

Отсюда следует, что прямая с может пересекать прямую а в третьей точке, так что:

3.Смежные углы

Два угла называются смежными, если одна сторона у них общая, а другие их стороны являются дополнительными полупрямыми. (Рис.4)

Сумма смежных углов равна 180°.

4.Вертикальные углы

Если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого угла, то такие углы называются вертикальными. (Рис.6)

Теорема: Вертикальные углы равны.

Точно так же можно доказать, что β₁ = β₂.

Рис.6 Вертикальные углы.

5.Перпендикулярные прямые

Если две прямые пересекаются под прямым углом, то такие прямые называются перпендикурярными. (Рис.7)

Теорема: Через каждую точку прямой можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной.

Доказательство.

Рис.7 Перпендикулярные прямые.

6.Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников

Теорема: Если две стороны и угол между этими сторонами одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между этими сторонами другого треугольника, то такие треугольники равны. (Рис.8)

Доказательство.

Рис.8 Первый признак равенства треугольников.

Второй признак равенства треугольников

Теорема: Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. (Рис.9)

Доказательство.

Рис.9 Второй признак равенства треугольников.

Третий признак равенства треугольников

Теорема: Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. (Рис.10)

Доказательство.

Рис.10 Третий признак равенства треугольников.

Пример 1

Даны три луча a,b,c. Точка О их общая начальная точка. Углы ab, ac, bc = 120°. Может ли прямая пересекать все три луча?

Доказательство:

Пусть даны три луча a,b,c с общей точкой О (Рис.11). Углы между ними составляют 120° (по условию задачи). И прямая е, пересекающая лучи а и b в точках А и В. Необходимо доказать, что прямая е не может пересечь все три луча а,b и с одновременно.
Проведем прямую d через луч с. И отложим на прямой d луч с1 в противоположную сторону от луча с. Таким образом, на прямой d лежат два луча с и с1 с общей начальной точкой О, которые являются дополнительными полупрямыми, и лежащих в разных областях угла, образованного лучами a и b: внутренней области α и внешней β. Так как луч с1 проходит между сторонами угла, образованного лучами а и b, то он пересекает прямую е в точке Р. Так как любой луч, проходящий между сторонами угла из его вершины, пересекает отрезок, концы которого лежат на сторонах данного угла. Следовательно прямая d пересекает прямую е в точке Р полупрямой (лучем) с1. Но две прямые d и e могут пересекаться только в одной точке (точка Р), поэтому луч с не может пересекать прямую е, так как он лежит на прямой d. А следовательно прямая е не может перескать все три луча одновременно.

Рис.11 Задача. Даны три луча a,b,c.

Пример 2

Через точку О середину отрезка АВ проведена прямая а, перпендикулярная прямой АВ (рис.12). Доказать, что каждая точка Х на этой прямой удалена от точек А и В на равное расстояние.

Доказательство:

Рис.12 Задача на признак равенства треугольников.

Пример 3

Периметр равнобедренного треугольника равен 2 метра, а основание равно 0,6 метра. Найдите длину боковой стороны.

Решение:

Периметр треугольника равен 2 метра (Рис.13). Следовательно:

Но так как АВ = ВС (по условию задачи), то

Ответ: АВ = ВС = 0,7 метра.

Рис.13 Задача. Нахождение боковой стороны.

Пример 4

Периметр равнобедренного треугольника АВС с основанием АС равен 40 метров, Найдите длину медианы ВD, если периметр треугольника АВD составляет 30 метров.

Решение:

Так как треугольник АВС с основанием АС равнобедренный, то АВ = ВС. А так как BD медиана, то AD = DC (Рис. 14). Обозначим стороны треугольников как:

Р_ABC = 2 x + 2 y = 40

Ответ: ВD = 10 метров.

Рис.14 Задача. Нахождение медианы BD.

Пример 5

Точки A, B, C и D лежат на одной прямой. Треугольники ABU₁ и ABU₂ равны. Докажите, что треугольники CDU₁ и CDU₂ тоже равны.

Доказательство:

По условию задачи треугольники ABU₁ и ABU₂ равны (Рис.15). Следовательно, BU₁ = BU₂. Угол ABU₁ равен углу ABU₂. Отсюда можно сделать вывод, что угол СBU₁ равен углу СBU₂, так как эти углы являются смежными с углами ABU₁ и ABU₂.

Таким образом, треугольники СBU₁ и СBU₂ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними: BU₁ = BU₂, а сторона ВС у них общая и углы между ними равны). Следовательно, угол BСU₁ равен углу BСU₂ и СU₁ = СU₂. И следовательно, угол DСU₁ равен углу DСU₂, как смежные с углами BСU₁ и BCU₂.

А отсюда делается заключительный вывод, что треугольники СDU₁ и СDU₂ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними: СU₁ = СU₂, а сторона СD у них общая и углы между ними равны).

Рис.15 Задача. На признаки равенства треугольников.

Источник

Планиметрия — основные понятия и аксиомы

Представь, что ты вдруг очутился на другой планете, ну или… в компьютерной игре.

Перед тобой набор неизвестных продуктов, а твоя задача – приготовить из этого набора как можно больше вкусных блюд. Что тебе понадобится?

Конечно же, правила, инструкции – что можно делать с теми или иными продуктами. А то вдруг ты сваришь то, что едят только в сыром виде или, наоборот, положишь в салат то, что непременно нужно варить или жарить? Так что, без инструкций – никуда!

Хорошо, но к чему такое вступление? При чем тут геометрия? Понимаешь, великое множество утверждений о всяких фигурах в геометрии и есть то самое множество «блюд», которые мы должны научиться готовить.

Но из чего? Из основных объектов геометрии! А вот инструкция по их «употреблению» называется умными словами «система аксиом».

Планиметрия — коротко о главном

Аксиомы принадлежности:

Аксиомы порядка:

Аксиомы мер для отрезков и углов:

Аксиомы существования треугольника, равного данному:

Следствие 1. От данной точки данной прямой в данную сторону можно отложить отрезок данной длины, причем единственным образом

Следствие 2. От данного луча в данную полуплоскость можно отложить угол данной величины, причем единственным образом

Аксиома параллельных:

Основные факты об углах:

Теорема. Сумма смежных углов равна \( \displaystyle 180<>^\circ \).

\( \displaystyle 180<>^\circ=x_<1>^<<>^\circ >+x_<2>^<<>^\circ >\)

Теорема. Вертикальные углы равны.

\( \displaystyle \angle 1=\angle 2\).

Источник

Что такое планиметрия?

Геометрия изучает свойства фигур, лежащих на плоскости. Уже греческий математик Эвклид описывал их. С геометрией древних греков сегодня знаком каждый школьник.

Важнейшие понятия геометрии — это точка, линия, прямая, круг, угол, треугольник. Точка — абстрактный объект. У нее нет ни длины, ни ширины, ни высоты, ни глубины. Математическая точка существует лишь условно. Ведь ни один самый острый карандаш не способен изобразить такую точку, у которой не было бы протяженности. Линия — черта, не имеющая ширины, т. е. бесконечно тонкая. Прямая — это линия, путь вдоль которой равен кратчайшему расстоянию между двумя точками. Она тянется в обоих направлениях до бесконечности. Окружность состоит из множества точек, которые находятся на одинаковом расстоянии от одной, называемой центром окружности. Это расстояние называется радиусом. Удвоенная длина радиуса называется диаметром.

Угол образуют две прямые линии, выходящие из одной точки. Если вокруг общей точки двух линий изобразить круг, и между этими линиями будет находиться ровно четверть круга, они образуют прямой угол.

Многоугольник — фигура на плоскости с прямыми сторонами. Многоугольник с тремя сторонами называется треугольником, с четырьмя — четырехугольником. Многоугольник, все стороны и углы которого равны, называется правильным. Правильный четырехугольник — квадрат.

ФАЛЕС МИЛЕТСКИЙ (около 625—574 гг. до н. э.) вывел формулу расчета высоты египетских пирамид и доказал, что этот способ подходит для всех возможных случаев. Таким образом он создал одно из первых математических доказательств. Если египтяне довольствовались лишь практическим применением геометрии, то греки столетиями позже задумались о всеобщих законах, составляющих ее основу. Они сделали большой шаг от практики к теории.

Источник

• ← Что такое вербальный компонент
• Что такое биолифтинг лица →

Главная > Учебные материалы > Математика: Планиметрия. Страница 1

Доказательство Допустим 3 прямые имеют две точки пересесения. Пусть прямые а и b пересекаются в точке А. Рис.3 А прямая с пересекает прямую b в точке В. Тогда прямая с пересекает прямую а либо в точке А, либо в точке В. Если прямая с пересекает прямую а в точке А, тогда точки А,В ∈с и прямая с совпадет с b. Т.е. две точки принадлежат одновременно двум прямым b и с. Согласно аксиоме 1 это невозможно, т.к. через две точки можно провести только одну прямую. Если прямая с пересекает прямую а в точке В, тогда т.А,В ∈а и прямая а совпадет с b. Следовательно через две точки проходят две прямые а и b, что тоже невозможно согласно аксиоме 1. Рис.3 Пересечение 3-х прямых.