Что такое площадь треугольника определение

Площадь треугольника

Определение площади треугольника

Площадь треугольника — это величина, которая
показывает какие размеры у треугольника.

Сейчас, на примере покажем, что такое площадь,
а также, как можно найти площадь треугольника.

Площадь треугольника, можно очень легко объяснить
на примере прямоугольного треугольника в клеточном поле.
Площадь, в нашем случае, будет равна количеству клеток.

Для наглядности, нарисуем прямоугольный треугольник
ABC, со длинами сторон 3, 4 и 5, как на рисунке 2. Отметим, что он прямоугольный.

Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определение

Посчитаем количество клеток, которые занимает треугольник.
3 полных клетки, и 4 неполных клетки, но для того, чтобы узнать
площадь треугольника в клеточном поле нам нужно узнать количество
полных клеток, которые занимает весь треугольник. Наша задача в том,
чтобы неполные клетки преобразовать в полные.

Для этого нарисуем второй треугольник, так,
чтобы получился прямоугольник, как на рисунке 3.

Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определение

Как видим, весь прямоугольник занимает 12 полных клеток.

Формула площади прямоугольника равна произведению
одной стороны на другую — ​ \( S = ab \) ​,
поэтому площадь прямоугольника равна 3 * 4 = 12 клеткам.

Площадь треугольника, из которого состоит прямоугольник,
можно найти по другой формуле: ​ \( S = \frac<1>2 ab \) ​.
Подставив значения длин сторон, получаем — S = 0.5 * 3 * 4,
из чего следует, что S = 6 клетками, или же квадратным сантиметрам.

Прямоугольник можно условно разделить
на два треугольника, поэтому площадь треугольника
равна половине площади прямоугольника.

Формула площади треугольника — это формула,
по которой можно найти площадь треугольника.

Формулы площади треугольника применяют, только,
и только тогда, когда невозможно узнать площадь
треугольника, глядя на рисунок, или просто посчитав клетки.

Формулы площади треугольника

Ⅰ. Через высоту и основание

a — сторона, на которую падает высота,
b
— высота.

Самая известная формула площади треугольника.
Зная только высоту и сторону, на которую падает
эта высота, можно найти площадь треугольника.

Ⅱ. Через все стороны и периметр

p — полупериметр, вычисляется по формуле: ​ \( p = \frac <2>\) ​,
a, b, c — стороны треугольника.

Это формулу, нужно использовать когда известны
все три стороны треугольника. Зная три стороны
треугольника можно найти периметр, а дальше
найти и площадь заданного треугольника.

Эту формулу площади также называют формулой Герона.

Ⅲ. Через две стороны и угол между ними

\[ S = \frac<1> <2>a \cdot b \cdot \sin β \]

a, b — стороны между которыми расположен угол β,
sin β — синус угла β.

Формула применяется, когда известен
один из углов, и две стороны, образующие
этот угол. В некоторых задачах площадь
треугольника можно найти только по этой формуле.

Ⅳ. Через периметр и радиус вписанной окружности

r — радиус вписанной окружности,
P
— периметр треугольника.

Тут даже не обязательно знать все стороны треугольника,
достаточно знать периметр и радиус описанной окружности.

Ⅴ. Через все стороны и радиус описанной окружности

abc — произведение всех сторон треугольника,
R — радиус описанной окружности.

Пожалуй, единственная формула, где площадь
треугольника можно найти только через радиус
описанной окружности и произведение трех сторон.

Ⅵ. Через сторону и два прилежащих к ней угла

a — сторона треугольника,
sin α — синус угла α,
sin β — синус угла β.

Готов поспорить, вы даже ни разу не видели этой формулы.
Эта очередная формула площади треугольника, применяется
в крайне редких случаях — когда известны два угла и сторона,
к которой эти углы примыкают.

Источник

Как найти площадь треугольника

Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определение

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Основные понятия

Треугольник — это геометрическая фигура, которая получилась из трех отрезков. Их соединили тремя точками, не лежащими на одной прямой. Отрезки принято называть сторонами, а точки — вершинами.

Площадь — это численная характеристика, которая дает нам информацию о размере части плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.

Если значения заданы в разных единицах измерения длины, мы не сможем узнать, какая площадь треугольника получится. Поэтому для правильного решения необходимо перевести все данные к одной единице измерения.

Популярные единицы измерения площади:

Формула площади треугольника

Для решения задач применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Далее мы рассмотрим способы решения для всех типов треугольников, в том числе частные случаи для равносторонних, равнобедренных и прямоугольных фигур.

Быстро вычислить площадь треугольника поможет наш онлайн-калькулятор. Просто введите известные вам значения и получите ответ в метрах, сантиметрах или миллиметрах.

Научиться быстро щелкать задачки на нахождение площади треугольника помогут курсы по математике от Skysmart!

Общая формула

1. Площадь треугольника через основание и высоту

, где — основание, — высота.

2. Площадь треугольника через две стороны и угол между ними

3. Площадь треугольника через описанную окружность и стороны

4. Площадь треугольника через вписанную окружность и стороны

Если учитывать, что — это способ поиска полупериметра, то формулу можно записать следующим образом:

5. Площадь треугольника по стороне и двум прилежащим углам

, где — сторона, и — прилежащие углы.

6. Формула Герона для вычисления площади треугольника

Сначала необходимо подсчитать разность полупериметра и каждой его стороны. Потом найти произведение полученных чисел, умножить результат на полупериметр и найти корень из полученного числа.

Для прямоугольного треугольника

Площадь треугольника с углом 90° по двум сторонам

Площадь треугольника по гипотенузе и острому углу

, где — гипотенуза, — любой из прилегающих острых углов.

Гипотенузой принято называть сторону, которая лежит напротив прямого угла.

Площадь прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу

, где — катет, — прилежащий угол.

Катетом принято называть одну из двух сторон, образующих прямой угол.

Площадь треугольника через гипотенузу и радиус вписанной окружности

, где — гипотенуза, — радиус вписанной окружности.

Площадь треугольника по отрезкам, на которые делит вписанная окружность его гипотенузу

Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона

Для равнобедренного треугольника

Вычисление площади через основание и высоту

, где — основание, — высота, проведенная к основанию.

Поиск площади через боковые стороны и угол между ними

, где — боковая сторона, — угол между боковыми сторонами.

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

, где — радиус описанной окружности.

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

, где — радиус вписанной окружности.

Площадь равностороннего треугольника через сторону

Площадь равностороннего треугольника через высоту

Таблица формул нахождения площади треугольника

У каждой геометрической фигуры много формул — запомнить все сразу бывает действительно сложно. В этом деле поможет регулярное решение задач и частый просмотр формул. Можно распечатать эту таблицу, использовать как закладку в тетрадке или учебнике и обращаться к ней по необходимости.

Источник

Как найти площадь треугольника – все способы от самых простых до самых сложных

Зависит от того, какой треугольник.

Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определение

Чтобы найти площадь треугольника, надо сначала определить тип треугольника: прямоугольный, равнобедренный, равносторонний. Если он у вас не такой – отталкивайтесь от других данных: высоты, вписанной или описанной окружности, длин сторон. Привожу все формулы ниже.

Если треугольник прямоугольный

То есть один из его углов равен 90 градусам.

Надо перемножить катеты и поделить на два. Катеты – это две меньшие стороны, в сравнении с гипотенузой. Гипотенуза – это самая длинная сторона, она всегда находится напротив угла в 90 градусов.

Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определение

Если он равнобедренный

То есть у него равны боковые стороны. В таком случае надо провести высоту к основанию (той стороне, которая не равна «бедрам»), перемножить высоту с основанием и поделить результат на два.

Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определение

Если он равносторонний

То есть все три стороны равны. Ваши действия такие:

Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определение

Если известна сторона и высота

Площадь любого треугольника равна половине произведения стороны на высоту, которая к этой стороне проведена. Именно к этой, а не к какой-то другой.

Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определение

Чтобы провести высоту к стороне, надо найти вершину (угол), которая противоположна этой стороне, а потом опустить из нее на сторону прямую линию под углом в 90 градусов. На картинке высота обозначена синим цветом и буквой h, а линия, на которую она опускается, красным цветом и буквой a.

Если известны две стороны и градус угла между ними

Если вы знаете, чему равны две стороны и угол между ними, то надо найти синус этого угла, умножить его на первую сторону, умножить на вторую и еще умножить на ½:

Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определение

Если известны длины трех сторон

Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определение

Эта формула еще называется формулой Герона. Возьмите на заметку, если вдруг учитель спросит.

Если известны три стороны и радиус описанной окружности

Окружность вы можете описать вокруг любого треугольника. Чтобы найти площадь «вписанного» треугольника – того, который «вписался» в окружность, надо перемножить три его стороны и поделить их на четыре радиуса. Смотрите картинку.

Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определение

Если известны три стороны и радиус вписанной окружности

Если вам удалось вписать в треугольник окружность, значит она обязательно касается каждой из его сторон. Следовательно, расстояние от центра окружности до каждой из сторон треугольника – ее радиус.

Чтобы найти площадь, посчитайте сначала полупериметр – сложите все стороны и поделите на два. А потом умножьте его на радиус.

Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определение

Это были все способы найти площадь треугольника. Спасибо, что дочитали статью до конца. Лайкните, если не трудно.

Источник

Как посчитать площадь треугольника

Что такое площадь треугольника

Треугольник — это многоугольник с тремя сторонами и тремя вершинами.

Площадь треугольника — это величина плоскости, заключенной между сторонами этой геометрической фигуры.У треугольника она равна произведению половины основания на высоту.

Математически это выглядит так:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

где a — основание треугольника, а h — его высота.

Способы нахождения площади

Но существуют также и другие способы, по которым можно найти S этого многоугольника. Рассмотрим основные из них.

Через две стороны и угол

Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определение

Если вам известны две стороны любого треугольника и угол между ними, найти площадь можно по формуле:

где a и b — стороны фигуры, а α — угол между ними.

Через радиус описанной окружности и три стороны

Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определение

Если вам известен радиус окружности, которая описана вокруг вашего треугольника, а также все его стороны, можно вычислить S следующим образом:

где a, b и c — стороны фигуры, а R — радиус описанной окружности.

Через радиус вписанной окружности и три стороны

Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определение

В случае, если вам известны все три стороны и радиус вписанной в треугольник окружности, можно найти его площадь по формуле:

где r — радиус вписанной окружности, \(\frac2\) — полупериметр фигуры.

Таким образом, формулу можно выразить всего двумя множителями:

где p — полупериметр треугольника.

Через сторону и два угла

Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определение

Если в данной фигуры вам известна лишь одна сторона и две прилегающих к ней угла, ее S можно найти следующим образом:

Для прямоугольного треугольника

В случае треугольника с прямым углом формулы для нахождения площади будут немного отличаться. Найти S можно будет несколькими способами.

По двум сторонам

Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определение

Если вам известны оба катета данной фигуры, рассчитать S можно умножив их друг на друга, а потом разделив на пополам:

где a и b — катеты прямоугольного треугольника.

Через гипотенузу и острый угол

Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определение

Зная длину гипотенузы и величину одного из острых углов, мы можем найти один из его катетов по определению косинуса. И уже потом можем использовать формулу для нахождения площади треугольника через две стороны и синус угла между ними.

Начнем с поиска катета:

где c — гипотенуза треугольника, a — его катет, а α — угол между ними.

Через катет и прилежащий угол

Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определение

В этом случае нужно будет использовать следующую формулу:

Через радиус вписанной окружности и гипотенузу

Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определение

Зная радиус вписанной в данную фигуру окружности и гипотенузу, мы можем использовать следующее уравнение для расчета:

где r — радиус вписанной окружности, c — гипотенуза.

Через вписанную окружность

Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определение

Радиус, опущенный в точку касания окружности и гипотенузы прямоугольного треугольника, делит эту гипотенузу на неравные отрезки. Если нам известны величины этих отрезков, мы можем найти площадь фигуры по формуле:

где \(с_1\) и \(с_2\) — неравные отрезки гипотенузы.

По формуле Герона

Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определение

Если мы знаем длины всех сторон данного многоугольника, мы можем рассчитать S по формуле Герона:

где \(p=\frac2\) — полупериметр фигуры.

Для равнобедренного треугольника

Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определение

Рассмотрим случаи нахождения площади, если у треугольника равные боковые стороны.

Через основание и сторону

В этом случае формула будет выглядеть следующим образом:

где a — одно из боковых ребер фигуры, а b — ее основание.

Через основание и противолежащий угол

Зная длину основания и противолежащий ему угол, мы можем использовать следующую формулу:

где b — основание многоугольника, β — противолежащий ему угол.

Через основание и высоту

Если нам известна величина основания равнобедренного треугольника, а также его высота, найдем S по приведенной ниже по элементарной формуле:

где b — основание фигуры, а h — высота, проведенная к этому основанию.

Через боковые стороны и угол между ними

Если мы знаем длину боковых сторон и угол между ними, найдем площадь, опираясь на расчеты:

где a — это боковое ребро, β — угол между равными ребрами.

Через основание и угол между боковыми сторонами

В этом случае нам сначала придется найти высоту по формуле:

где β — угол при вершине, а b — основание.

Далее подставляем значение в формулу

Для равностороннего треугольника

В треугольнике, у которого все стороны равны, способы нахождения S также имеют свою специфику.

Через радиус описанной окружности

Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определение

Если вокруг данного многоугольника описали окружность и нам известен ее радиус, расчеты будут такими:

где R — радиус описанной окружности.

Через радиус вписанной окружности

Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определение

В этом случае воспользуемся таким уравнением:

где r — радиус вписанной в многоугольник окружности.

Через сторону

Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определение

Зная лишь одно ребро у равностороннего треугольника, мы можем найти S:

где a — сторона фигуры.

Через высоту

Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определение

Если нам известна только высота, можем вычислить S таким образом:

Примеры решения задач

Разберемся с нахождением площади треугольника наглядно на примере некоторых случаев.

Задача 1

В треугольник вписана окружность с радиусом 6 см. Известно, что его стороны равны 10 см, 12 см и 14 см. Определить площадь фигуры.

Решение

Задача 2

Дан равносторонний треугольник, вокруг которого описали окружность с радиусом 3 см. Посчитать S данной фигуры.

Решение

Задача 3

Известно, что у равнобедренного треугольника основание равно 4 см, а стороны по 3 см. Нужно вычислить площадь фигуры.

Решение

Задача 4

Решение

Источник

Площадь треугольника:

Теорема (о площади треугольника). Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, к ней проведенную.

Доказательство:

Пусть Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определение

Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определение

Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определение

1) Проведем через вершину Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определениепрямую, параллельную Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определениеа через вершину Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определение— прямую, параллельную Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определениеПолучим параллелограмм Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определение

2) Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определение(по трем сторонам). Поэтому

Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определениеоткуда Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определение

3) Так как Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определението Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определение

В общем виде формулу площади Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определениетреугольника можно записать так:

Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определение

где Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определение— сторона треугольника, Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определение— высота, проведенная к ней.

Следствие 1. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

Следствие 2. Если сторона одного треугольника равна стороне другого треугольника, то площади таких треугольников относятся как их высоты, проведенные к этим сторонам.

Следствие 3. Если высота одного треугольника равна высоте другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как стороны, к которым проведены эти высоты.

Пример:

Докажите, что если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, образующих этот угол.

Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определение

Доказательство:

Рассмотрим Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определениеи Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определениеу которых Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определениеПроведем высоты Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определениеи Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определение(рис. 238).

Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определение

2) Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определение(по острому углу), поэтому Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определение

3) Имеем: Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определение

Пример:

Найдите площадь равностороннего треугольника, сторона которого равна Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определение

Решение:

Пусть Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определение— равносторонний со стороной Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определениеТогда Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определениеВ равностороннем треугольнике Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определениегде Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определение— медиана. Но Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определение(§ 18, задача 4), поэтому Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определение

Следовательно, Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определение

Ответ. Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определение

Пример:

Стороны треугольника равны 8 см, 15 см и ^ 17 см. Найдите высоту треугольника, проведенную к его наибольшей стороне.

Решение:

Так как Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определение(т. е. 289 = 289), то по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник является прямоугольным. Прямой угол является противолежащим к стороне, равной 17 см.

Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определение

Площадь этого треугольника можно найти

по формулам: Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определениеили Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определение

Тогда Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определението есть Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определениеоткуда Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определение

Таким образом, имеем: Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определение(см).

Ответ. Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определениесм.

Теорема (формула площади треугольника)

Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне:

Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определение

где Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определение — сторона треугольника, Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определение — проведенная к ней высота.

Пусть Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определение— высота треугольника Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определение(рис. 148). Докажем, что Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определение

Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определение

Проведем через вершины Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определениепрямые, параллельные сторонам треугольника, и обозначим точку их пересечения Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определениеТаким образом, мы «достроили» треугольник Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определениедо параллелограмма Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определениев котором отрезок Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определениетакже является высотой, проведенной к стороне Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определение

По формуле площади параллелограмма Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определениеТреугольники Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определениеравны по трем сторонам (у них сторона Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определениеобщая, Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определениекак противолежащие стороны параллелограмма). Эти треугольники имеют равные площади. Тогда площадь треугольника Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определениесоставляет половину площади параллелограмма Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определениечто и требовалось доказать.

Следствие 1

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определение

где Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определение— катеты прямоугольного треугольника.

Действительно, в прямоугольном треугольнике высота, проведенная к катету, совпадает с другим катетом.

Следствие 2

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:

Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определение

где Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определение — диагонали ромба.

Действительно, диагонали делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника с катетами Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определение(рис. 149). Используя следствие 1, имеем:

Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определение

Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определение

Следствие 3

Площадь равностороннего треугольника со стороной Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определениевычисляется по формуле

Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определение

Обоснуйте это следствие самостоятельно.

Опорная задача

Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника. Докажите.

Решение:

Пусть Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определение— медиана треугольника Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определение(рис. 150).

Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определение

Проведем высоту Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определениетреугольника Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определениеЭтот отрезок является одновременно высотой треугольника Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определениепроведенной к стороне Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определениеи высотой треугольника Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определениепроведенной к стороне Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определениеУчитывая равенство отрезков Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определениеимеем:

Что такое площадь треугольника определение. Смотреть фото Что такое площадь треугольника определение. Смотреть картинку Что такое площадь треугольника определение. Картинка про Что такое площадь треугольника определение. Фото Что такое площадь треугольника определение

Эта задача имеет интересные обобщения: если высоты двух треугольников равны, то отношение площадей этих треугольников равно отношению их оснований; если основания двух треугольников равны, то отношение площадей этих треугольников равно отношению их высот.

Докажите эти утверждения самостоятельно.

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *