Что такое плоские и кривые поверхности

Конспект занятия по кружку «Наглядная геометрия» «Плоские и кривые поверхности»

Выбранный для просмотра документ ЗАНЯТИЕ ПО КРУЖКУ НАГЛЯДНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПЛОСКИЕ И КРИВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ.docx

Конспект занятия по кружку «Наглядная геометрия» в 1 классе

Тема: Плоская и кривая поверхность.

Продолжить формирование у первоклассников представление о плоской и кривой поверхностях и умение распознавать их на изображениях геометрических тел.

Учить сравнивать, доказывать и опровергать; ориентироваться в пространстве.

Развивать внимание, мышление, память.

Воспитывать трудолюбие, аккуратность, терпение.

Громко прозвенел звонок –
Начинается урок.
Наши ушки на макушке,
Глазки широко открыты.
Слушаем, запоминаем,
Ни минутки не теряем.

2.«Мозговая гимнастика» ( стимуляция мыслительных процессов)

1.Дышать глубоко, расслабить плечи, уронить голову вперёд, позволить голове раскачиваться из стороны в сторону. ( 30 сек)

2. «Ленивые восьмёрки» (активизация структуры мозга, обеспечивающей запоминание) – сначала рисовать восьмёрки то левой, то правой рукой в горизонтальном положении, а затем обеими руками.

3. «Шапка для размышлений» (улучшает внимание, ясность восприятия и речь) –

«наденьте шапку», то есть мягко заверните уши от верхней точки до мочки ( 3 раза)

4.Мограйте на каждый вдох и выдох.

-Ребята! Сегодня мы продолжим наше путешествие в необычную страну, которой нет на карте, но в которой мы с вами уже бывали. Что же это за страна? (геометрия)

— А как называется наш кружок? ( «Наглядная геометрия»)

4.Разминка. (Создание положительного эмоционального фона, подготовка к активной познавательной деятельности)

— А начнём мы занятие с разминки. Отвечайте на мои вопросы как можно быстро.

— Какое сегодня число? День недели? Месяц? Какой он по счёту? А какой был перед ним?

— Сколько глаз у одной мышки? А у двух? А у четырёх?

— Сколько пальцев на левой руке? А на правой ноге?

— Сам алый сахарный, кафтан зелёный, бархатный. Что это?

— Как называется столица России?

— У кого рога длинней хвоста? ( у оленя, у лося)

— Сейчас давайте повторим с какими фигурами мы встретились с вами, путешествуя по стране «Геометрия»

( на доске рисунок, дети называют знакомые фигуры)

6. «Физминутка с Пандой» (презентация)

— Покажите мне поверхность вашей парты, учебника. Какая это поверхность?(плоская)

— Покажите мне внутреннюю и внешнюю поверхность стакана.

— А какая поверхность стакана будет плоской? Какая кривой?

— Как же отличить плоскую поверхность от кривой? (можно при помощи ладони, если движение руки не меняется, то поверхность будет плоская, а если же меняется, то кривая)

— Я обратилась к «Толковому словарю» и вот как там поясняется значение слов «плоский» и «кривой».

«Плоский – это ровный, без возвышений и углублений, гладкий, прямой. Кривой – это изогнутый, непрямой)»

8.Закрепление. Работа в тетрадях.

— Посмотрите на задание № 62. Найдите на рисунке плоские поверхности и закрасьте их в жёлтый цвет. Кривые поверхности закрасьте зелёным цветом.

— А теперь посмотрите на рисунок на доске и назовите мне под какими номерами плоские фигуры?( 2, 4, 6, 7, 9, 10) А теперь посмотрите на оставшиеся фигуры. Что можно сказать о них? ( у них одни части фигуры плоские, а другие кривые)

— Следя глазами посмотри, где кончается каждая линия.

— Ребята теперь самостоятельно выполните задание № 63

— Как называются фигуры, которые мы сегодня учились с вами распознавать?

— Чем же отличается плоская фигура от кривой?

— Давайте повторим, какие геометрические фигуры мы знаем. Угадайте загадки о геометрических фигурах.

Чуть приплюснутый квадрат
Приглашает опознать:
Острый угол и тупой
Вечно связаны судьбой.
Догадались дело в чем?
Как фигуру назовем? (Ромб).

На фигуру посмотри
И в альбоме начерти
Три угла. Три стороны
Меж собой соедини.
Получился не угольник,
А красивый… (треугольник).

Я фигура – хоть куда,
Очень ровная всегда,
Все углы во мне равны
И четыре стороны.
Кубик – мой любимый брат,
Потому что я…. (квадрат).

Часть от линии возьмем
И фигуру назовем
Не куском – уж слишком резко,
А, наверное,…. (отрезком).

В математике она
Пригождается всегда:
Без хвоста от запятой
Всем нам кажется простой.
И в конце, закончив строчку,
Мы поставим, братцы, …. (точку).

По фигуре пролегла
Очень тонкая игла:
Не черта и не прямая,
Что ж за линия такая?
В математике живуч
Этот очень ровный… (луч).

Под линейку я рисую
Очень ровную, простую
Всем заметную черту.
Как фигуру назову?
Не спеши, а рассуждай
И ответ скорее дай. (Линия).

Источник

Что такое плоские и кривые поверхности

Письмо с инструкцией по восстановлению пароля
будет отправлено на вашу почту

В этом уроке познакомимся с плоскими поверхностями, узнаем, что такое плоскость.

На альбомном листе нужно что-то нарисовать.

В комнате стоят мягкое кресло, журнальный столик и диван.

На какой из этих предметов положим альбомный лист?

Конечно на журнальный стол, так как у него поверхность плоская.

У дивана и кресла поверхность искривленная, поэтому положив на них лист бумаги, рисовать будет неудобно.

В безветренную погоду плоской будет поверхность озера, а при ветре станет искривленной. Плоской можно назвать поверхность пола, потолка и стены, листа бумаги и оконного стекла.

Выполним практическую работу:

На листе бумаги построим с помощью циркуля круг с радиусом 4 см.

Увеличим радиус в 2 раза и начертим круг с этим же центром.

Увеличим еще в 2 раза радиус и начертим третий круг с тем же центром.

Если этот процесс продолжить, то постепенно круги заполнят весь лист бумаги.

Этот процесс может быть бесконечным, какую бы точку плоскости мы не выбрали.

Такая же ситуация сложится, если вместо круга возьмем другую фигуру, например, квадрат, треугольник и т.п.

Лист бумаги может «продолжаться» на листе ватмана, лист ватмана «продолжается» на школьной доске, школьная доска «продолжается» на стене.

Итак, плоскость похожа на лист бумаги или спокойную поверхность озера, которые могут продолжаться бесконечно.

Круг, треугольник, квадрат, прямоугольник – плоские фигуры.

Любая из этих фигур – часть плоскости.

Чтобы выделить эту часть плоскости нужно закрасить фигуру.

Геометрическая фигура перестанет быть плоской, если ее изогнуть.

Куб, цилиндр, шар, конус – это объемные предметы, их в математике называют геометрическими телами.

Поверхность грани куба, основания цилиндра и конуса – плоские.

Тень объемных предметов – плоская.

С помощью солнечного света можно получить плоское изображение реального предмета. Однако по виду тени не всегда можно восстановить оригинал.

Например, форму круга может иметь тень мяча, колеса, тарелки.

Если взять куб и обвести его основание, то получится на листе квадрат – плоская фигура, в результате мы изобразили только одну грань куба. По такому изображению сложно разузнать куб, но как условное обозначение оно может использоваться на картах и схемах.

Чтобы на плоском листе бумаги изобразить объемный предмет, нужно применять правила рисования объемных предметов на плоскости, с помощью которых нарисованный на плоскости предмет кажется объемным.

Такое изображение в математике называется наглядным.

Для наглядного изображения куба достаточно показать три его грани. Для наглядного изображения мяча нужно провести дополнительные линии.

Итак, на этом уроке мы рассмотрели «плоские поверхности», познакомились с понятием «плоскость», а также убедились в возможности изображения на плоскости объемных предметов.

Источник

Кривые линии. Плоские кривые. Пространственные кривые. Поверхности вращения. Линейчатые поверхности. Винтовые поверхности

Любая кривая линия может рассматривается как траектория движения какой-либо точки.

Кривая линия называется плоской, если все ее точки располагаются в одной плоскости. Кривая линия может быть получена в пресечении кривой поверхности с плоскостью, такая кривая будет плоской.

Если кривая образуется согласно какому-то закону и ее образование может быть выражено математически, то такая кривая называется закономерной кривой. Если образование кривой не может быть выражено математическим уравнением, то такая кривая называется незакономерной.

Для построения проекций кривой линии следует найти проекции нескольких ее точек и соединить их плавной кривой линией.

Особые точки кривой

Обыкновенной точкой кривой называют такую точку М, которую можно заключить в прямоугольник (хотя бы очень малый) так, что попавшая в него часть кривой является простым отрезком. Рис.6.1

Все другие точки являются особыми узловая точка А или точка самопересечения. В этой точке кривая имеет две различные касательные. Точка В (точка возврата) первого рода, в которой кривая подходит к точке двумя ветвями, имеющими в точке В общую касательную. Точка С (точка возврата) второго рода, в которой кривая подходит к точке двумя ветвями, имеющими в точке С общую касательную, расположенную в близи точки С, по одну сторону от обеих ветвей. Рис. 6.2 а,б,в

Пространственные кривые

Кривая линия называется пространственной, если она всеми своими точками не лежит в одной плоскости.

К пространственным кривым линиям относятся цилиндриче­ская и коническая винтовые линии.

Цилиндрическая винтовая линия.

Цилиндрической винтовой линией называется траектория точки, движущейся по образующей прямого кругового цилиндра, которая, в свою очередь, вращается вокруг оси цилиндра. Расстояние, на которое перемещается точка по образующей за один полный её оборот, называется шагом винтовой линии. Ось цилиндра называется осью винтовой линии. Радиус осно­вания цилиндра называется радиусом винтовой линии.

Рассмотрим построение цилиндрической винтовой линии, пер­пендикулярной к плоскости П₁ с шагом h и радиусом R. Такая винтовая линия на плоскости П₁ изобразится в виде окружности радиуса R.

Чтобы построить фронтальную проекцию винтовой линии, сле­дует разделить её горизонтальную проекцию на несколько равных частей. В данном случае разделим окружность на 8 частей. На такое же количество частей делим фронтальную проекцию. В данном случае высота фронтальной проекции является шагом винтовой линии. По­строение винтовой линии на рис.6.3 начато сточки 1 (1₁,1₂).

При повороте точки на одну восьмую (1/8) часть дуги окружно­сти она соответственно переместится по высоте вдоль оси винтовой линии на 1/8 часть шага (точки 2₁ и 2₂). При повороте точки на две восьмых дуги окружности точка переместится на две восьмых (2/8) высоты шага (точки 3₁ и 3₂) и т.д. (рис.3).

Соединив фронтальные проек­ции точек 1₂, 2₂, 3₂ и т.д. плавной кривой, получим фронтальную проекцию цилиндрической винтовой линии. Цилиндриче­ская поверхность при построе­нии винтовой считается непро­зрачной.

Различают правую и ле­вую винтовую линии. Правой называют винтовую линию, когда точки при подъёме вращаются против часовой стрелки, а её участок на передней части цилиндра имеет подъём слева направо. У левой винтовой линии точка вращается по часовой стрелке, а подъём кривой линии на передней части цилиндра справа налево (рис.6.4 а, б).

Коническая винтовая линия.

Такую линию описывает точка, которая движется по какой-нибудь образующей прямого кругового конуса, вращающегося в то же время около своей оси так, что путь проходимый точкой по образующей все время пропорционален углу поворота конуса.

Проекция на ось конуса смещения точки вдоль образующей за один оборот называется шагом конической винтовой линии.

Особенность построения горизонтальной проекции конической винтовой линии состоит в том, что горизонтальная проекция движущейся точки определяется с учетом двух движений: вращательно­го — вместе с образующей и поступатель­ного — вдоль образующей.

Так, при построении точки 1 горизон­тальная проекция образующей конуса SO была повернута на 360°/12, а точка пе­ремещена по ней на l /₁₂ длины SO. В та­кой же последовательности построены и остальные точки.

Горизонтальная проекция конической винтовой линии представляет собой спи­раль Архимеда. Фронтальная про­екция каждой точки винтовой линии опре­деляется пересечением фронтальных про­екций параллелей конуса, плоскости которых смещены одна относительно дру­гой на расстояние, равное h/12, и линий проекционной связи.

Всякая правильная кривая поверхность представляет собой не­прерывную совокупность последовательных положений прямой или кривой линии, движущейся в пространстве по определённому закону. Линия, образующая своим движением поверхность, называется обра­зующейповерхности. Линия, по которой движется образующая, назы­вается направляющей поверхности. На рисунке 6 а, б дан пример образования конической и цилиндрической поверхности.

Чертёж поверхности представляет собой проекцию очерка по­верхности. Очерком поверхности называется проекция видимого кон­тура поверхности относительно данной плоскости проекции. Контуром видимости поверхности является линия касания проецирующих лучей, огибающих (обёртывающих) данную поверхность при изображении её на плоскости проекций.

На рисунке 6.7 дано построение очерковых образующих цилиндра на фронтальную и горизонтальную плоскость проекций.

В зависимости от вида образующих, все кривые поверхности можно разделить на два класса:

2.Поверхности с криволинейными образующими.

Линейчатые поверхности, в свою очередь, делятся на развёр­тываемые и неразвёртываемые.

Развёртываемой называется поверхность, если её без складок и разрывов можно совместить с плоскостью. У развёртываемых поверх­ностей смежные образующие параллельны друг другу или пересека­ются друг с другом.

У поверхностей неразвёртываемых смежные прямолинейные образующие не параллельны друг другу и не пересекаются.

Все поверхности с криволинейными образующими неразвёрты­ваемые.

Из общей массы поверхностей выделяется особый класс по­верхностей, которые называются поверхностями вращения.

Поверхности вращения образуются вращением какой-нибудь образующей прямой или кривой вокруг неподвижной прямой, которая является осью вращения.

При вращении кривой 6, 2, 1, 3 вокруг оси ОО (рис.6.8а) обра­зуется поверхность вращения. На рис.6.8б она представлена орто­гональным чертежом, а на рис.6.8 г дано её наглядное изображение.

Сечение поверхности вращения плоскостью, перпендикулярной оси вращения, представляет собой окружность. Все такие окружности называются параллелями поверхности.

Рассмотрим образование некоторых наиболее часто встречаю­щихся в инженерной практике поверхностей.

Цилиндрическая поверхность представляет собой поверх­ность, образованную движением прямой линии по некоторой кривой линии. Причём прямая во всех своих положениях остаётся параллель­ной некоторому постоянному направлению (рис.6.9).

а)	Рис.6. 11

Косая плоскость относится к линейчатым поверхностям. Она образуется движением прямой линии. Однако для этой поверхности образующей может быть и кривая линия, например, парабола. Если эту поверхность пересечь плоскостью, параллельной плоскости П₁, то в сечении получится гипербола. Поэтому косую плоскость также на­зывают гиперболическим параболоидом.

На рис.6.14б эта окружность разделена на двенадцать частей. К проекции этой окружности в точке D₁ проведена касательная A₁‘B₁‘, a горизонтальная проекция образующей повёрнута на 30°. Фронтальная проекция этой касательной определяется точками A₂‘B₂‘, каждая из которых расположена в плоскости своей параллели. Остальные обра­зующие строятся аналогично. Форма поверхности гиперболоида зави­сит от следующих параметров: D’ и D, D’ и Н, а также и от диаметра горла поверхности.

а)

б)

ЛЕКЦИЯ № 7

Гранные поверхности

Многогранник – это конечная часть пространства, ограниченная отсеками пересекающихся плоскостей.

Совокупность отсеков образует гранную поверхность многогранника. Отсеки плоскостей называются гранями, а линии их пересечения ребрами. Ребра пересекаются в точках, называемых вершинами.

Гранная поверхность называется выпуклой, если она целиком лежит по одну сторону от плоскости любой своей грани. Если гранями многоранника служат равные правильные многоугольники, а многогранные углы при вершинах равны, то такой многогранник правильный. Существует пять правильных многогранников:

Определителем многогранника называется совокупность условий необходимых и достаточных для его однозначного задания.

Наиболее распространенными видами многогранников являются призмы и пирамиды. Призма, у которой боковые грани перпендикулярны плоскости основания называется прямой (рис. 7. 2 аб).

Если боковые грани призмы не перпендикулярны плоскости основания, то такая призма называется наклонной (рис.7.3 а, б).

Если высота пирамиды проходит через центр тяжести основа­ния, то такая пирамида называется прямой. При всех других случаях пирамида будет наклонной (рис 7.4).

На ортогональных чертежах каждый многогранник должен быть изображён двумя проекциями всех рёбер и вершин.

Если точка лежит на поверхности мно­гогранника, то она располагается либо на реб­ре, либо на грани этого многогранника (рис.7.5 а, б, в).

Построение точки на ребре многогранника выполняется также, как построение точки на прямой (рис.7.5а). Проекции точки на поверхности грани многогранника находятся так же, как проекции точки на плоскости. Сначала через проекцию точки проводится пря­мая, заведомо лежащая в плоскости грани. Затем эта проекция прямой строится на другой проекции грани. Далее на этой проекции прямой строится проекция точки (рис.7.5 б, в).

Источник

Кривые линии в начертательной геометрии с примерами

Содержание:

Кривую линию можно рассматривать как множество последова­тельных положений точки, непрерывно перемещающейся в пространстве. Кривая линия может являться результатом пересечения между собой поверхностей или поверхности и плоскости.

Различают плоские и пространственные линии. Кривая линия называется плоской, если все точки линии лежат в одной плоскости, и пространственной, если ее точки нс лежат в одной плоскости. Плоскими линиями являются, например, окружность, эллипс, овал. Примером пространственной линии может служить винтовая линия.

Проекциями пространственной кривой являются плоские линии. Плоская кривая проецируется в виде плоской линии или в виде прямой линии, если кривая находится в проецирующей плоскости.

В общем случае секущая АВ кривой проецируется секущей се проекции, а касательная CD к кривой проецируется касательной к ее проекции (рис. 5.1).

Чтобы определить по чертежу, какая задана кривая (плоская или пространственная), необходимо выяснить, принадлежат ли все точки кривой одной плоскости. Заданная на рис. 5.2, б кривая является пространственной, так как прямые AD и BF не пересекаются, а скрещива­ются (то есть не лежат в одной плоскости).

В начертательной геометрии кривая часто строится как линия, последовательно проходящая через задающие ее точки. Упорядоченное множество точек, определяющих линию, составляет се точечный каркас. Точки каркаса подразделяют на опорные и промежуточные. Промежуточные точки должны обеспечить необходимую и достаточную плотность каркаса, то есть обеспечивают количественную характеристику кривой. Наиболее важны опорные точки, которые отражают качественную характеристику кривой. Рассмотрим некоторые из опорных точек.

Экстремальные точки это точки, которые удалены от плоскостей проекций на максимальное или минимальное расстояние (верхняя и нижняя, крайние правая и левая точки).

Точки видимости. Если кривую рассматривать как линию на какой-то непрозрачной поверхности, то те точки, в которых меняется видимость кривой, называют точками видимости (обычно они расположены на контурных линиях поверхности).

К опорным относят и точки, в которых кривая пересекает свою ось или плоскость симметрии (если таковые имеются).

Кривые второго порядка:

Уравнениям второй степени соответствуют кривые второго порядка. К ним относятся эллипс, гипербола и парабола. Окружность является частным случаем эллипса; точка, две пересекающиеся, парал­лельные и две совпавшие прямые есть вырожденные случаи кривых второго порядка. Все эти линии (кроме двух параллельных прямых) можно встретить на конической поверхности вращения, поэтому часто их называют кониками.

Кривые линии

Кривую линию можно рассматривать как непрерывное множество последовательных положений точки, движущейся в пространстве, то есть как траекторию движущейся точки. На протяжении кривой линии не должно быть прямолинейных участков. Кривая линия определяется положениями составляющих ее точек, точки кривой определяются их координатами. Если координаты любой точки кривой удовлетворяют некоторому уравнению, то такие кривые называются закономерными. Закономерные кривые линии образуются по определенному закону и могут быть заданы графически и аналитически.

Аналитически кривую линию на плоскости можно задать уравнением

Существуют также незакономерные кривые, образование которых носит эмпирический характер. Незакономерные кривые линии задаются только графически на чертеже.

Одна и та же кривая линия может быть образована разными способами:

Кривые линии подразделяют на плоские и пространственные. У плоских кривых все точки принадлежат плоскости, у пространственных кривых точки не принадлежат одной плоскости. Пространственные прямые называются также линиями двоякой кривизны. Наиболее известными из плоских и пространственных кривых линий являются соответственно окружность и цилиндрическая винтовая линия.

Закономерные кривые, определяемые в декартовой системе координат алгебраическим уравнением вида где — многочлен й степени от одного или нескольких переменных называются алгебраическими.

Порядком алгебраической кривой линии называется степень ее уравнения. Геометрически порядок плоской алгебраической кривой линии характеризуется наибольшим числом точек ее пересечения с прямой линией. Порядок пространственной алгебраической кривой линии определяется наибольшим числом точек ее пересечения с плоскостью общего положения.

К линиям первого порядка относятся прямые линии, рассмотренные ранее.

Из линий третьего порядка наиболее известны Аньези локон, декартов лист, полукубическая парабола, строфоида.

Если закономерная кривая определяется неалгебраическим уравнением, то она относится к числу трансцендентных. Среди трансцендентных кривых выделяют графики тригонометрических функций, показательной и логарифмической функции, класс циклоидальных кривых, спирали.

Локальные элементы кривой

Локальные свойства характеризуют кривую и относятся к весьма малым частям ее. Каждая из кривых линий обладает большей или меньшей степенью искривленности. Эта искривленность задается некоторым числом и называется кривизной. Кривизна в точке — это число, характеризующее отклонение кривой (в малой ее части, заключающей точку ) от прямой линии.

Радиусом кривизны в точке кривой называется величина, обратная кривизне Чем больше искривлена кривая вблизи заданной точки, тем больше и меньше в этой точке. В общем случае для любой точки кривизна и радиус кривизны различны, они характеризуют кривую на бесконечно малом участке, составляющем окрестность точки .

Секущей называется прямая, пересекающая кривую в одной, двух или более точках.

Касательная к кривой в точке определяется как предельное положение секущей, проходящей через и соседнюю точку кривой, при условии, что стремится к (рис. 135). Касательная указывает направление движения точки.

Для пространственных кривых линий в каждой точке в общем случае, определяются три прямые и три плоскости, взаимно пересекающиеся в под прямыми углами и образующие сопровождающий трехгранник (рис. 136). На рисунке видно, что касательная к кривой в точке перпендикулярна нормальной плоскости. Все прямые, проходящие через и лежащие в этой плоскости, называются нормалями пространственной кривой в точке

Длина отрезка кривой (плоской или пространственной) определяется в общем случае приближенно путем замены кривой линии вписанной в нее ломаной линией с максимально большим числом ее сторон, достаточно хорошо передающей форму кривой.

Свойства проекций кривой линии

Из всех инвариантных свойств проецирования для кривой линии можно выделить следующие:

Плоские кривые линии

При построении проекций плоской кривой линии необходимо указывать на их так называемые характерные точки, к которым относятся особые точки кривой, а также точки, наиболее удаленные от плоскости проекций и наиболее близкие к ним. Плоская кривая, к каждой точке которой можно провести касательную, называется плавной. Однако на кривой могут существовать точки, в которых имеются две касательные, общая касательная для двух ветвей или нескольких витков кривой. Кривая в таких точках не является плавной.

Пусть касательная перекатывается по кривой при этом переменная точка касания совершает поступательное движение по касательной (рис. 137). В каждом своем положении переменная точка касания совпадает с произвольной точкой перемещающейся по кривой и т.д.

Если в некоторой точке изменяется направление поступательного движения ее по касательной, то она называется особой точкой.

Если в некотором положении изменяется направление поворота касательной то она называется особой касательной.

Если таких изменений не происходит, то точка и касательная называются обыкновенными. Соответствующая точка кривой также называется обыкновенной (рис. 138, а).

На рис. 138 представлены некоторые особые точки кривых:

На комплексном чертеже задаются проекции нескольких обыкновенных и всех особых точек кривой линии. Касательные и нормали к кривым линиям строят или графически, или пользуясь специальными приборами.

Кривые линии называются соприкасающимися. если в общей их точке они имеют общую касательную. Нормали кривых линий в точке соприкасания лежат на одной прямой.

Соприкасание называется внутренним, если в точке соприкасания нормали кривых совпадают (рис. 141, а). Если нормали направлены в разные стороны, то кривые линии имеют внешние соприкасания (рис. 141,б).

Соприкасающаяся окружность в данной точке кривой определяет кривизну плоской кривой в этой точке. Соприкасающейся окружностью или кругом кривизны кривой называют предельное положение окружности, когда она проходит через данную точку и две бесконечно близкие к ней точки кривой. Радиус этой окружности есть радиус кривизны, а центр — центр кривизны кривой линии в данной точке (рис. 142).

Геометрическое место центров кривизны для всех точек данной кривой есть кривая, называемая эволютой (рис. 143).Она является огибающей нормалей данной кривой.

Рассматриваемую кривую линию по отношению к своей эволюте называют эвольвентой. Касательные эволюты являются нормалями эвольвенты. Через каждую точку касательной к эволюте проходит одна и только одна эвольвента. Всякая плоская кривая линия есть геометрическое место центров кривизны бесчисленного множества эвольвент.

Плоские кривые линии второго порядка и их проекции

Алгебраическую кривую линию, которая описывается в системе декартовых координат уравнением второй степени относительно текущих координат, называют линией второго порядка.

Общее уравнение второй степени с двумя переменными имеет вид

После приведения уравнения кривой к каноническому виду кривые могут быть квалифицированы следующим образом:

Кривые линии второго порядка называют кониками или линиями конических сечений, так как они могут быть получены при пересечении прямого кругового конуса с плоскостью. Конические сечения будут рассмотрены далее (Раздел VII. 1.). Кривую второго порядка однозначно определяют заданием пяти точек общего положения: через заданные пять точек проходит одна и только одна кривая второго порядка. Если хотя бы три точки лежат на одной прямой, то получается распадающееся коническое сечение.

Эллипс представляет собой геометрическое место точек, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек (фокусов) есть величина постоянная. Каноническое уравнение эллипса имеет вид

где

Касательные, проведенные к эллипсу в концах какого-либо диаметра, параллельны другому диаметру, сопряженному с первым. Касательная к эллипсу составляет равные углы с фокальными радиусами-векторами точки касания. Нормаль эллипса в заданной точке является биссектрисой угла между фокальными радиусами-векторами этой точки (см. рис. 144).

Частным видом эллипса является окружность. Если фокусы и совпадают, то из условия имеем получается геометрическое место точек, равноудаленных от одной данной точки, т.е. окружность. Эллипс есть кривая, родственная окружности. На родстве двух фигур основан ряд способов построения эллипса.

На рис. 146 представлен один из способов построения эллипса по его сопряженным диаметрам. Этот способ используют в случае, когда эллипс проецируется на плоскости проекций в виде эллипсов.

Другой способ построения эллипса по его сопряженным диаметрам показан на рис. 147. На полудиаметрах эллипса и строят параллелограмм. Стороны параллелограмма делят соответственно на одинаковое число равных отрезков. Лучи, проведенные из точек и — концов полудиаметров через одинаково нумерованные точки сторон параллелограмма, пересекаются в точках эллипса.

На рис. 148 показан способ построения эллипса по заданным осям. Для построения точек эллипса из центра проводят две окружности, диаметрами которых являются большая и малая оси эллипса. Из центра произвольно проводят луч, который пересекает окружности в точках и Из этих точек проводят прямые, параллельные соответственно осям и эллипса. Точка их пересечения является точкой эллипса. Выбирая другие лучи и помечая точки на окружностях, строят соответствующие точки эллипса.

В начертательной геометрии эллипсы чаще всего рассматривают как проекции окружности. При ортогональном параллельном проецировании окружность может проецироваться на плоскости проекций в виде отрезка прямой, окружности (частные случаи) или в виде эллипса (общий случай).

Если окружность принадлежит проецирующей плоскости, то одна из ее проекций совпадает со следом плоскости и равна диаметру окружности, а другая есть эллипс.

Пусть окружность данного диаметра принадлежит заданной горизонтально-проецирующей плоскости (рис. 150). Горизонтальная проекция окружности равна диаметру и совпадает со следом плоскости Фронтальная проекция окружности есть эллипс, большая ось которого а есть проекция вертикального диаметра окружности. Большая ось эллипса является горизонтально-проецирующей прямой и на изображается в истинную величину, равную диаметру окружности. Малая ось эллипса перпендикулярна большой оси и параллельна оси она является горизонталью. Таким образом, фронтальная проекция горизонтального диаметра окружности есть малая ось эллипса.

Если окружность принадлежит плоскости общего положения, то ортогональными проекциями ее являются эллипсы. Большая ось эллипса равна и параллельна тому диаметру окружности, который параллелен данной плоскости проекций. Малая ось эллипса равна проекции диаметра окружности, являющегося линией наибольшего ската плоскости этой окружности.

Пусть окружность лежит в плоскости общего положения, заданной горизонталью и фронталью точка пересечения которых принимается за центр окружности (рис. 151). Диаметр окружности 12 совпадает с горизонталью, а диаметр 34 совпадает с фронталью. На горизонтальной плоскости проекций большая ось эллипса совпадает с проекцией горизонтали Малую ось эллипса определяют с помощью дополнительной плоскости проекций перпендикулярной заданной плоскости

По заданным осям можно построить другие точки эллипса рассмотренным выше способом (см. рис. 148).

На рис. 152 точки и являются фокусами гиперболы. Расстояние между ними Точка пересечения координатных осей является центром симметрии. Точки и — вершины гиперболы, расстояние между ними называют действительной осью гиперболы. Ось симметрии которая не пересекает гиперболу, называют мнимой осью.

Каноническое уравнение гиперболы (оси координат совпадают с осями гиперболы) имеет вид

где

Любая точка плоскости принадлежит правой ветви гиперболы, если соблюдается условие Точки, для которых принадлежат левой ветви. Касательная и нормаль к гиперболе являются биссектрисами соответственно внутреннего и внешнего углов, образованных радиусами-векторами, проведенными из фокусов в точку касания.

На рис. 153 показано построение гиперболы по точкам, если известны величины ее полуосей и Из точки как из центра, проводят окружность радиусом Окружность пересекает ось в точках и являющихся фокусами гиперболы. Из фокусов, как из центров, проводят дуги окружностей соответственно радиусами и Точки их пересечения являются точками гиперболы, так как разность расстояний от каждой точки до фокусов равна и есть величина постоянная. Изменяя и повторяя построения, находят новые точки гиперболы.

На рис. 154 точка есть фокус параболы, а прямая перпендикулярная оси — ее директриса. Ось совпадает с осью симметрии параболы, точка является вершиной параболы. Расстояние от фокуса до вершины параболы равно Величина называется фокальным параметром и равна расстоянию от фокуса до директрисы или половине хорды, проходящей через фокус перпендикулярно оси

Каноническое уравнение параболы: где Любая точка плоскости принадлежит параболе, если

Пространственные кривые линии и их проекции

Пространственную кривую линию на чертеже задают последовательным рядом ее точек. Чтобы установить особые точки пространственной кривой, необходимо наличие двух ее проекций, в отличие от плоской кривой, для определения особых точек которой достаточно одной проекции. Сопоставление горизонтальной и фронтальной проекций на рис. 156 показывает, что хотя на горизонтальной проекции имеется двойная точка, но на самой кривой двойной точки нет.

Так же, как и для плоской кривой, касательная к кривой в пространстве проецируется в касательную к проекции этой кривой. Проецирующая плоскость, проведенная через касательную к проекции кривой, касается кривой в пространстве.

Но если для плоской кривой можно было провести только один перпендикуляр к касательной в точке то для пространственной кривой таких перпендикуляров в точке касания можно провести бесчисленное множество, что приводит к понятию нормальной плоскости.

Если касательные к пространственной кривой линии во всех ее точках одинаково наклонны к какой-либо плоскости, то такие линии называются линиями одинакового уклона.

Цилиндрические винтовые линии одинакового уклона широко применяются в технике. Моделью такой линии может служить цилиндрическая пружина.

На рис. 157 построена гелиса заданного радиуса правого направления и с шагом, равным высоте цилиндра. Для построения проекций такой линии длина окружности (горизонтальная проекция цилиндра) и высота прямоугольника (фронтальная проекция цилиндра) делятся на 12 равных частей. Через точки деления окружности проводят вертикальные линии связи.

Что такое поверхности

В существующем мире нас окружает неограниченное количество разнообразных поверхностей. Некоторые могут быть математически описаны, другие настолько сложны, что не поддаются математическому описанию.

Если алгебраическая поверхность описывается уравнением й степени, то поверхность считается го порядка.

Любая произвольно расположенная секущая плоскость пересекает поверхность по кривой того же порядка (иногда распадающейся или мнимой), какой имеет сама поверхность.

Порядок поверхности может быть определен также числом точек ее пересечения с произвольной прямой, считая все точки (действительные и мнимые).

Что такое кривые линии

Кривой линией называется траектория точки, перемещающейся в пространстве по какому-либо закону. Однако, имеются кривые линии, не описываемые какой-либо закономерностью (незакономерные кривые линии). Кривая линия может быть также определена как однопараметрическое множество точек.

На рисунке 8.1 представлена классификация кривых линий.

Плоской кривой линией называется линия, каждая точка которой принадлежит одной плоскости. В противном случае кривая линия называется пространственной (винтовая линия, линии пересечения двух поверхностей, из которых хотя бы одна является кривой поверхностью).

Коробовыми линиями (или обводами) называются составные кривые линии, дуги которых последовательно определены парами точек обвода. Если на стыках можно построить общую касательную, то обвод называется гладким. Циркульными линиями называются линии, построение которых можно осуществить циркулем (овал, овоид, завиток и др.).

Кривые линии могут быть образованы движением точки в пространстве, пересечением кривой поверхности плоскостью (кривые Персея), взаимным пересечением двух поверхностей. Кривые Персея, например, образуются при пересечения торовых поверхностей плоскостью.

На рисунке 8.2 представлены некоторые алгебраические кривые линии второго, третьего и четвертого порядков, а также трансцендентные кривые линии.

Наиболее часто в технике применяются лекальные кривые линии, которые могут быть плоскими и пространственными. К ним относятся эллипс, парабола, гипербола, эвольвента, циклоида, винтовая линия и другие, примеры которых приведены на рисунке 8.3. Способы построения лекальных кривых обычно рассматривается в курсе технического черчения.

На рисунке 8.4 представлены особые точки кривых линий. Особыми точками называются точки, в которых можно провести не одну, а две и более касательных или в которых изменяется направление движения точки или вращения касательной.

На эпюре кривые линии задаются множеством точек, принадлежащих линии (рисунок 8.5). Возможны табличный и аналитический способы задания.

Проекции кривой линии имеют следующие свойства:

Пример: Построить проекции правой цилиндрической винтовой линии, проходящей через точку поверхности цилиндра.

Решение: Находим точку Начиная с точки , делим окружность основания цилиндра на 12 частей. Высоту цилиндра Н делим на 12 частей, начиная с точки На пересечении вертикальных и горизонтальных одноименных линий находим точки винтовой линии, которые плавно соединяем (рисунок 8.6).

Кривые линии и кривые поверхности

Линию можно рассматривать как множество последовательных положений движущейся точки – траекторию точки.

Кривая – разновидность линии, которая получается, когда движущая точка изменяет направление своего движения. Кривая линия может являться результатом пересечения кривой поверхности плоскостью или кривых поверхностей между собой.

В начертательной геометрии кривые линии изучаются по их проекциям. Если все точки кривой лежат в одной плоскости, кривую называют плоской, в противном случае – пространственной.

Рисунок 7.1 – Кривая, как линия пересечения двух поверхностей

Способы задания кривых. Каждая кривая включает в себя геометрические элементы, которые составляют её определитель, т.е. совокупность независимых условий, однозначно определяющих эту кривую.

Различны и способы задания кривых:

Кривые линии делятся на плоские и пространственные.

Такую линию в пространстве описывает точка, которая движется по какой-либо образующей прямого кругового цилиндра, вращающегося вокруг своей оси так, что путь проходимый точкой по образующей пропорционален углу поворота цилиндра.

Все плоские кривые разделяются на циркульные, состоящие из сопряженных дуг окружностей (их проводят при помощи циркуля), и лекальные, вычерчивающиеся с помощью лекала по предварительно построенным точкам.

Некоторые кривые, часто встречающиеся в практике

Рассмотрим построение некоторых плоских кривых (эллипса, синусоиды, спирали Архимеда), а также пространственных винтовых линий [5].

Эллипс (рис 7.2.) – плоская замкнутая кривая, у которой сумма расстояний от любой ее точки (например, от точки М) до двух заданных точек F1 и F2 (фокус эллипса) есть величина постоянная, равная большой оси эллипса АВ (F1M+F2M=AB).

Отрезок CD – малая ось эллипса, точка О – центр эллипса. Точка F1 и F2 расположены на большой оси АВ симметрично относительно точки О и удалены от концов малой оси (точек С и D) на расстояние, равное половине большой оси эллипса.

Существует ряд способов построения эллипса. Наиболее просто построить эллипс по двум его осям при помощи вспомогательных окружностей (рис. 7.3).

Синусоида- кривая, характеризующая изменение синуса угла в зависимости от величины центрального угла (рис.7.4).

Расстояние между крайними точками синусоиды по высоте, равное диаметру производящей окружности, называется амплитудой. Расстояние — шаг синусоиды. Построение точек синусоиды показано на рисунке 7.4.

Точки, принадлежащие спирали Архимеда, строят, исходя из определения кривой, задаваясь шагом ОА и направлением вращения.

Полученный отрезок и окружность делят на одинаковое число частей (12) и через точки деления окружности проводят в одном направлении касательные к ней. По каждой касательной откладываем отрезки и т.д.,равные соответственно и т.д. Полученные точки соединяем плавной кривой.

Цилиндрическая винтовая линия (гелиса) – пространственная кривая, которая образуется на поверхности цилиндра вращения в результате двойного равномерного движения точки – вращение вокруг оси цилиндра и поступательного движения вдоль образующей цилиндра (рис. 7.6).

Шаг винтовой линии (Н) – расстояние между двумя ее соседними витками в направлении параллельности. Для построения цилиндрической винтовой линии делим окружность основания цилиндра и шаг Н винтовой линии на ровное число частей (12). Определим соответствующие фронтальные проекции перемещаемой точки и соединим их плавной кривой.

Горизонтальная проекция цилиндрической винтовой линии – окружность, а фронтальная синусоида. Разверткой цилиндрической винтовой линии является прямая.

Угол α – угол подъема винтовой линии: . Различают правые и левые винтовые линии. У правой подъем слева вверх направо, у левой – справа вверх налево.

Для построения проекций конической винтовой линии разделим окружность основания конуса и шаг Р на равное число частей (12). Проводим проекции образующих конуса и определим на них положение соответствующих проекций точек и соединим их плавной кривой.

Горизонтальная проекция винтовой линии – спираль Архимеда, а фронтальная – затухающая синусоида (синусоида с уменьшающейся амплитудой).

Образование и классификация поверхностей

Перемещающаяся в пространстве линия или поверхность называется образующей, которая при движении может сохранять или изменять свою форму.

Закон перемещения образующей обычно определяется другими линиями (иногда точками), называемыми направляющими, по которым скользит образующая при своем движении, а также условием движения образующей.

Различают три основных способа задания поверхности:

В начертательной геометрии пользуются, главным образом, кинематическим способом образования поверхностей (Рисунок 7.8) [1]. При этом способе поверхность рассматривается как совокупность всех последовательных положений линии, перемещающейся в пространстве по определенному закону.

Линия, производящая поверхность в каждом ее положении, называется образующей (L). Образующая может быть как прямой, так и и любой кривой, постоянной или менять свою форму в процессе перемещения.

Неподвижная линия, по которой скользит образующая, называется направляющей (М).

Совокупность нескольких последовательных положений образующей и направляющих создает каркас поверхности. Не трудно убедиться (рис. 7.8), что образующие L и направляющие М можно менять местами. При этом поверхность получается одна и та же.

Поверхность на чертеже считается заданной полностью, когда по одной проекции точки, принадлежащей поверхности, можно построить вторую ее проекцию. Точка принадлежит поверхности, если принадлежит какой-либо линии, лежащей на этой поверхности.

Очерком поверхности называется след (линия) на плоскости проекций проецирующей поверхности, который огибает заданную поверхность. Это, как правило, контурная линия, которую называют линией видимости.

В зависимости от формы образующей и закона ее перемещения в пространстве поверхности условно можно разделить на следующие классы [1]:

Следует отметить, что отдельные поверхности могут быть отнесены не к одному, а к нескольким классам.

Линейчатой поверхностью называется поверхность, образованная перемещением в пространстве прямолинейной образующей, закон движения которой может быть различным.

В общем случае линейчатые поверхности однозначно определяется тремя направляющими линиями.

В зависимости от вида направляющих и закона движения образующей получаются различные типы линейчатых поверхностей.

Следует отметить, что одна и та же поверхность может быть получена различными способами. Например, цилиндрическая поверхность может быть получена в результате перемещения прямолинейной образующей по кривой направляющей, или движением кривой образующей по прямолинейной направляющей.

Для большей наглядности изображения поверхностей в ряде случаев используют ее очерк – границы видимости на плоскостях проекций. Очерк проекции получается при пересечении с плоскостью проекций проецирующей поверхности, обертывающей данную. Например, очерком сферы является окружность радиуса, равного радиусу сферы.

В зависимости от формы образующей поверхности разделяются на линейчатые (образующая – прямая линия) и нелинейчатые (криволинейная образующая). Линейчатые поверхности называются развертывающимися, если их можно совместить с плоскостью без разрывов и складок. Не развертывающиеся поверхности не могут быть совмещены с плоскостью без наличия разрывов и складок.

Поверхности с постоянной образующей – поверхности, образующая которых не имеет своей формы при образовании поверхности. Поверхности с переменной образующей – поверхности, образующая которых изменяется при образовании поверхности.

Винтовые поверхности

Винтовые поверхности образуются винтовым движением некоторой линии – образующей.

Под винтовым движением понимается совокупность двух движений: поступательного параллельно некоторой оси, и вращательного, вокруг той же оси.

При этом поступательное и угловое перемещение находятся в определенной зависимости – линейное перемещение за время – угловое перемещение за то же время, k – коэффициент пропорциональности. Если k = Const, то шаг поверхности постоянный.

Прямой геликоид (рис. 7.10) образуется движением прямой, которая пересекает винтовую линию, а также ось винтовой линии i под прямым углом [5].

Косой геликоид (рис. 7.11) образуется движением прямой, которая пересекает винтовую линию и ось винтовой линии i под постоянным углом не равным 90° [5].

Особое место занимают такие нелинейные поверхности, образование которых, не подчинено ни какому закону. Оптимальную форму таких поверхностей определяют теми физическими условиями, в которых они работают и устанавливают ее форму экспериментально (поверхности лопастей турбин, обшивка каркасов морских судов и самолетов).

Поверхности вращения

Поверхности вращения – это поверхности созданные при вращении образующей m вокруг оси i (рис. 7.12).

Алгоритмическая часть включает две операции:

Так создается каркас поверхности, состоящей из множества окружностей), плоскости которых расположены перпендикулярно оси i. Эти окружности называются параллелями; наименьшая параллель называется горлом, наибольшая – экватором.

Из закона образования поверхности вращения вытекают два основных свойства:

Плоскость проходящая через ось параллельно фронтальной плоскости проекций называется плоскостью главного меридиана, а линия, полученная в сечении, – главным меридианом.

Замкнутую область пространства вместе с ее границей (поверхностью) называют геометрическим телом.

Рассмотрим наиболее распространенные поверхности вращения с прямолинейными и криволинейными образующими.

Цилиндр вращения (рис. 7.12) образуется вращением прямой вокруг параллельной ей оси i. Все точки образующей (например, точка А) описывают окружности (параллели) равные окружностям оснований цилиндра.

Конус вращения (рис. 7.13) образуется вращением прямой вокруг пересекающейся с ней оси i. Все точки образующей описывают окружности различных радиусов. Величина радиуса изменяется от нуля до радиуса окружности основания конуса.

Однополостный гиперболоид вращения (рис. 7.14) образуется вращением образующей линии ℓ вокруг скрещивающейся с ней оси i. Точки образующей ℓ описывают окружности переменных радиусов. Радиус параллели наименьшего радиуса (горла) равен кратчайшему расстоянию между образующей ℓ и осью i.

Рисунок 7.16 – Тор

Рисунок 7.17 – Однополостный гиперболоид

Рисунок 7.18 – Двуполостный гиперболоид

Тор (рис. 7.16) образуется вращением окружности вокруг оси i, лежащей в плоскости окружности, но не проходящей через ее центр.

В зависимости от взаимного расположения образующей окружности и оси вращения различают: открытый тор (круговое кольцо), замкнутый, самопересекающийся.

Внутреннюю часть открытого тора в технике называют глобоидом.

Однополостный гиперболоид вращения (рис.7.17) образуется вращением гиперболы вокруг ее мнимой оси.

Двуполостный гиперболоид вращения (рис. 7.18) образуется вращением гиперболы вокруг ее действительной оси.

Меридианами гиперболоидов вращения являются гиперболы.

Параболоид вращения (рис. 7.19) образуется вращением параболы вокруг ее оси.

Меридианом параболоида вращения является парабола.

Рисунок 7.19 –Параболоид вращения

Поверхности вращения: цилиндр, конус, однополостный гиперболоид — являются также и линейчатыми поверхностями.

Тор является поверхностью четвертого порядка, что соответствует максимальному числу точек пересечения поверхности с прямой линией. Все остальные перечисленные выше поверхности вращения являются поверхностью второго порядка.

Поверхности циклические, каркасные и с плоскостью параллелизма

Циклическая поверхность образуется окружностью постоянного или переменного радиуса при ее произвольном движении.

Каналовая поверхность (рис. 7.20) образуется движением окружности переменного радиуса вдоль кривой направляющей, причем плоскость образующей окружности остается перпендикулярной к заданной направляющей, по которой движется центр окружности. Если радиус об-разующей окружности постоянен, то такая каналовая поверхность называется трубчатой.

Когда направляющей кривой является цилиндрическая винтовая линия, образуется трубчатая винтовая поверхность. Она может быть получена и движением сферы постоянного диаметра, центр которой перемещается по цилиндрической винтовой линии. Примером такой поверхности является поверхность цилиндрической пружины с круглым сечением витков.

Рисунок 7.20 – Каналовая поверхность

Примером каркасных поверхностей могут служить поверхности корпусов судов, самолетов, автомобилей. К разряду каркасных поверхностей относится и топографическая поверхность. Эта изображается совокупностью горизонталей, т.е. линий, получаемых в сечении земной поверхности поверхность горизонтальными плоскостями.

Поверхности с плоскостью параллелизма (поверхности Каталана) представляют собой множество прямых линий l (образующих), параллельных некоторой плоскости α (плоскости параллелизма) и пересекающих две данные направляющие m, n.

Поверхности с плоскостью параллелизма имеют применение в архитектуре, строительстве, в конструировании технических форм.

Рисунок 7.15 – Поверхности с плоскостью параллелизма

Точка и линия на поверхности

Точка принадлежит поверхности в том случае, если она находится на линии лежащей на этой поверхности. В качестве таких линий могут быть выбраны образующие, параллели, меридианы и др.

Рисунок 7.16 – Точка и линия на поверхности

Рассмотрим построение точек, лежащих на геометрических телах и поверхностях.

Точка на поверхности цилиндра

Поверхности цилиндра вращения (рис. 7.17) является горизонтально проецирующей, образующие цилиндра перпендикулярны горизонтальной плоскости проекций, вследствие чего поверхность цилиндра проецируется на эту плоскость окружностью [5].

Горизонтальные проекции точек А и В (А’ и В’) лежат на окружности.

Профильные проекции этих точек А»‘ и В «‘ находятся при помощи линий.

Очерковые образующие цилиндра разделяют фронтальную и профильные проекции на видимую и невидимые части. Так образующие L1 и L2 делят цилиндрическую поверхность на видимую спереди и невидимую, образующие L3 и L4 на видимую слева и невидимую. Невидимые проекции точек указаны в скобках.

Точка на поверхности конуса

Конус вращения является также и линейной поверхностью, поэтому для построения точек на его поверхности можно использовать и образующие и параллели.

На рис. 7.18а показано построение горизонтальной А’ и профильной А»‘ проекций точки А по заданной фронтальной проекции А» при помощи образующей [5].

Образующие L1 и L2 разделяют коническую поверхность на видимую спереди и невидимую, а образующие L3 и L4 на видимую слева и невидимую.

Проекции B» и В»‘ находятся на невидимой части конуса. Горизонтальная проекция поверхности конуса является видимой.

На рис. 7.18 б показано построение недостающих проекций точек A и В при помощи параллелей. Через заданные проекции А» и В’ проводятся проекции m»1 и m’ 2 параллелей m1 и m2 Используя т.1 и 2, лежащие на очерковых образующих, определим положение проекций m’1 и m»2 проведенных параллелей. По линиям связи определим положение проекций А’ и А » точки А и проекций В» и В»’ точки В.

Точка на поверхности сферы

Экватор К разделяет сферу на видимую (верхняя половина) на горизонтальной проекции невидимую части. Фронтальный меридиан m разделяет сферу на видимую (ближняя половина) и невидимую части на фронтальной проекции.

Профильный меридиан n разделяет сферу на видимую (левая половина) и невидимую части на профильной проекции.

Так на рис. 7.19 горизонтальная проекция С’ точки С невидимая (взята в скобки), т.к. находится на нижней (невидимой) половине сферы.

На поверхности сферы можно провести множество параллелей, соответственно параллельных плоскостям проекций. Эти параллели используются для построения проекций точек на сфере.

По данной фронтальной проекции А» точки А, найдена горизонтальная А’ как принадлежащая горизонтальной параллели L1. Для построения горизонтальной проекции L’2 использована точка 1, принадлежащая фронтальному меридиану. Профильная проекция А'» точки А построена при помощи линий связи и находится на невидимой (правой половине) части сферы.

Точка на поверхности тора

На рисунке 7.20 представлены проекции открытого тора (кругового кольца), полученного вращением окружности радиуса r вокруг оси i.

Для построения горизонтальной проекции D’ точки D, через фронтальную проекцию D» проведена фронтальная проекция L»1 параллели L1. Горизонтальная проекция L’1 параллели L1 построена при помощи точки 1, лежащей на образующей окружности.

Горизонтальная проекция точки В найдена при помощи линий связи, как принадлежащая параллели L1.

Для построения фронтальной проекции точки Е (по заданной гори-зонтальной), лежащей на внутренней части тора, использована параллель L2. Фронтальная проекция этой параллели строится при помощи точки 2, принадлежащей образующей окружности.

Экватор k разделяет тор на видимую (верхняя половина) и невидимую части на горизонтальной проекции. На фронтальной проекции видимой является ближняя наружная часть открытого тора.

Определение кривых линий

Проектирование обводов сложных технических форм напрямую связано с вопросом конструирования кривых по наперед заданным условиям. Последнее в большой степени обусловлено способом задания и формирования кривых.

Принято рассматривать кривые по отношению их к трехмерному пространству. Если кривые полностью принадлежат гиперпространству (двумерной плоскости) расширенного Евклидова пространства ,то такие кривые называет плоскими. Все остальные относят к пространственным кривым.

В общем случае кривые рассматриваются как результат пересечения поверхностей. В этом смысле плоские кривые являются результатом пересечения поверхности с плоскостью.

Все кривые на чертеже задаются проекциями, которые являются плоскими кривыми, поэтому большая честь раздела и посвящена конструированию плоских кривых.

В практической работе проектировщику приходится иметь дело с двумя большими классами кривых, представляющих дуги простых кривых (графиков функций) и составных (сложных). Составные кривые, получившие в технике название обводов, конструируются из ряда дуг простых с соблюдением заданных условий на стыках.

Дифференциальные характеристики кривой

Форма и характер поведения плоской кривой в окрестности любой точки определяется ее дифференциальными характеристиками.

К основным характеристикам плоской кривой относят касательную t, нормаль т и кривизну р (рисунок 7.1).

Касательная (в точке Р) — предельное положение секущей 12 при бесконечном приближении точек У и 2 к точке

Уравнение касательной имеет вид:

— первая производная в точке

Нормаль — линия, перпендикулярная касательной в фиксированной точке кривой.

Кривизна — величина, обратная значению радиуса круга кривизны кривой p=l/R в фиксированной точке Р, определится уравнением:

Круг кривизны — предельное положение соприкасающейся окружности 1Р2 при бесконечном приближении точек 1 и 2 к точке

Приведенные уравнения показывают, что касательная и кривизна не являются полными аналогами первой и второй производной (такая аналогия принята в вычислительной математике), хотя и связаны с ними.

Особые точки кривых

«Поведение кривой» можно оценить и по типу точек, которые она несет на себе (рисунок 7.2).

Рисунок 7.2 — Точки кривой

Точка кривой, в которой определена единственная касательная, называется обыкновенной (регулярной). Если в обыкновенной точке (А, В, С, D) кривизна достигает экстремального значения (например, ноль), то такая точка называется специальной. К специальным точкам относятся точки перегиба М, точки экстремума (вершины кривой В, D) и несобственные точки (рисунок 7.2). В точке перегиба ветви кривой расположены по разные стороны от касательной, кривизна в ней равна нулю (радиус кривизны стремится к бесконечности). Несобственная точка — это точка пересечения кривой с несобственной прямой плоскости. Такие точки на чертеже задаются асимптотами.

Точка кривой, в которой не определено положение касательной, получила название особой. К таким точкам относят (рисунок 7.3) узловые точки

При проектировании технических форм следует избегать работы с дугами, несущими на себе особые точки.

Алгебраические кривые

Кривые могут быть классифицированы по виду их уравнения. Кривые, определяемые уравнениями в виде полиномов типа:

или отношения полиномов, получили название алгебраических. Все прочие кривые называют трансцендентными.

Конические сечения

Кривые, получающиеся при пересечении прямого кругового конуса плоскостью, называются кониками или коническими сечениями (рисунок 7.5).

Если секущая плоскость перпендикулярна оси вращения, то в сечении (в общем случае) получается окружность. При прохождении такой плоскости через вершину конуса окружность вырождается в точку.

Плоскость, пересекающая конус одновременно по всем образующим, позволяет получить эллипс.

Плоскость, параллельная образующей, отсекает параболу. В частном случае, когда секущая плоскость касается образующей, парабола вырождается в две совпавшие прямые.

Плоскость, параллельная оси вращения, отсекает гиперболу. В частном случае, при прохождении плоскости через саму ось, получаются две пересекающиеся прямые.

Наиболее употребительные графические способы построения дуг кривых второго порядка основаны на методах проективной геометрии. В соответствии с рисунком 7.6 дуга кривой второго порядка может быть определена тремя точками и касательными в двух точках. Например, точки А, В, С и касательные

Для построения текущей точки дуги объединяются точки А, В и С. Проводится произвольная прямая l, которая в пересечении с прямой ВС определит положение точки N. Точки N и Т (пересечение касательных) соединяются прямой. Пересечение прямых NT и АС позволяет получить точку Р. Положение текущей точки дуги коники — найдется в пересечении прямых ВР и AN.

Меняя положение точки N, можно получить множество точек дуги кривой второго порядка.

Изменение положения точки С приведет получению другой формы коники. Такая возможность управления формой кривой широко используется в инженерной практике, для чего введено понятие инженерного дискриминанта.
В этом случае точка С задается на медиане DT . Инженерный дискриминант f определяется из отношения f = CD/TD. Он характеризует тип коники:при f 0.5 — дуга гиперболы.
В отдельных случаях, если известен тип коники, построение кривой может быть значительно упрощено. Например, парабола может быть построена, как пропорциональная кривая (рисунок 7.7).

Исходная информация для построения дуги параболы: граничные точки А, В и точка пересечения касательных Т.

Отрезки АТ и ВТ делятся точками 1 и 2 пополам. Прямая 12 также делится пополам. Точка М — точка параболы.

Затем процесс повторяется (в обе стороны): граничные точки А, М и точка пересечения касательных 1 и т.д.

Эллипс удобнее стоить по его полуосям (большой ОВ и малой ОА).

Для построения эллипса проводятся две соосные окружности радиусами ОВ и ОА (рисунок 7.8). Проведение произвольной прямой ОС и дальнейшее построение «ключа” (треугольника СDM со сторонами параллельными осям эллипса) позволяет определить положение текущей точки эллипса М.

Плоские обводы

Решение практических задач по формированию сложных технических контуров наталкивается на такую проблему, как невозможность представления всего контура единственной кривой. Это и породило необходимость конструирования составных кривых (кривых, сформированных из дуг простых).

В технике такие кривые получили название обводов, в математике они более известны как сплайны (spline). Основной характеристикой обвода является гладкость. Под гладкостью понимают число совпавших производных (уравнений стыкующихся кривых) в точках стыка.

Окружности могут сопрягаться таким образом, что в точках стыка будут располагаться общие касательные. Такой стык соответствует первому порядку гладкости (совпадают только первые производные).

Вследствие того, что окружность трехпараметрическая кривая, для её построения кроме точки i нужно определить еще одну, например (i+1) или (i-1). He нарушая общности рассуждений, рассмотрим вариант с (i+1)-ой точкой (рисунок 7.9).

Центры соприкасающихся окружностей лежат на одной прямой, проходящей через точку касания. Таким образом, определение центра окружности сопрягающейся с i-той найдется на пересечении линии с перпендикуляром к середине хорды (i+l)(i+2) (рисунок 7.10).

Пространственные кривые

В отличие от плоских кривых, пространственные кривые (линии двоякой кривизны) не лежат всеми своими точками в одной плоскости.

Общие свойства пространственной кривой, ее проекции связаны со свойствами проецирования и справедливы для проекций плоских кривых:

Исследование свойств кривой в окрестности ее точки, так называемых дифференциальных (локальных) свойств, производится путем построения проекций кривой на гранях сопровождающего трехгранника (рисунок 7.11).
Сопровождающий трехгранник (трехгранник Френе) состоит из трех ребер — касательной t, нормали n и бинормали b и из трех граней — соприкасающейсянормальной Г, спрямляющей плоскостей.

Рассмотрим наиболее часто встречающуюся на практике пространственную кривую — цилиндрическую винтовую линию (рисунок 7.12.)

Цилиндрическая винтовая линия представляет собой траекторию точки, совершающей равномерное движение вдоль некоторой прямой, которая в свою очередь равномерно вращается вокруг параллельной ей оси.

Расстояние h, на которое точка М перемещается вдоль образующей за один ее оборот, называется шагом винтовой линии. Описываемая при этом точкой М дуга называется витком.

Число р = h/2 называется параметром винтовой линии и определяет перемещение z точки М вдоль прямой m за время поворота последней на угол

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник