Что такое подмножество чисел в математике
Множества
Множество — это совокупность любых объектов. Множества обозначают большими буквами латинского алфавита — от A до Z.
Основные числовые множества: множество натуральных чисел и множество целых чисел, всегда обозначаются одними и теми же буквами:
N — множество натуральных чисел,
Z — множество целых чисел.
Множества делятся на конечные и бесконечные. Конечное множество — множество, содержащее определённое (конечное) количество элементов. Бесконечное множество — множество, содержащее бесконечно много элементов. К бесконечным множествам можно отнести множества натуральных и целых чисел.
Для определения множества используются фигурные скобки, в которых через запятую перечисляются элементы. Например, запись
означает, что множество L состоит из четырёх чётных чисел.
Термин множество употребляется независимо от того, сколько элементов оно содержит. Множества не содержащие ни одного элемента называются пустыми.
Подмножество
Подмножество — это множество, все элементы которого, являются частью другого множества.
Визуально продемонстрировать отношение множества и входящего в него подмножества можно с помощью кругов Эйлера. Круги Эйлера — это геометрические схемы, помогающие визуализировать отношения различных объектов, в нашем случае, множеств.
Рассмотрим два множества:
Каждый элемент множества L принадлежит и множеству M, значит, множество L является подмножеством множества M. Такое соотношение множеств обозначают знаком ⊂ :
Рассмотрим два множества:
Так как оба множества состоят из одних и тех же элементов, то L = M.
Пересечение и объединение множеств
Из данного примера следует, что пересечением множеств называется множество, которое содержит только те элементы, которые встречаются во всех пересекающихся множествах.
При объединении равных множеств объединение будет равно любому из данных множеств:
Множество и его элементы. Подмножества
Понятие множества
Что такое «множество», мы понимаем интуитивно. В этом смысле это понятие первично, так же как «точка» или «плоскость».
Создатель теории множеств Г.Кантор описывал множество как «многое, мыслимое нами как единое».
Приведём примеры множеств:
Множество людей в салоне самолёта
Множество деревьев в парке
Множество планет Солнечной системы
Множество электронов в атоме
Множество натуральных чисел
Множество «синих-синих презелёных красных шаров»
Конечное, бесконечное и пустое множества
Людей в салоне самолёта легко посчитать, это множество конечно.
С деревьями в парке, планетами и электронами – сложней. Скорее всего, мы не сможем назвать точное количество элементов этих множеств в данный момент времени. Однако, и эти множества конечны.
Натуральное число – это идеальный объект, абстракция. Множество натуральных чисел бесконечно. Как оказалось, человек может оперировать и абстракциями, и бесконечностями.
Можно себе представить даже то, «чего на свете вообще не может быть». Поскольку таких объектов нет, их множество будет пустым. Пустое множество является частью любого другого множества.
Помидоры на грядке
Числа (натуральные, рациональные, действительные и т.д.)
Количество рациональных чисел на отрезке [0;1]
Полосатые летающие слоны
Все точки пересечения двух параллельных прямых на плоскости
Способы задания множеств
1) Перечисление – в списке задаются все элементы множества.
Множество всех континентов Земли:
Множество букв слова «математика»:
Множество натуральных чисел меньших 5:
2) Характеристическое свойство – указывается особенность элементов множества.
D =
3) Графическое изображение – визуальное моделирование с помощью различных диаграмм (круги Эйлера, интервалы, графики и т.п.)
Подмножества
Говорят, что B содержит A, или B покрывает A.
Пустое множество является подмножеством любого множества.
Множество людей является подмножеством приматов, живущих на Земле.
Множество квадратов является подмножеством прямоугольников.
Множество всех подмножеств данного множества A называют булеаном или степенью множества A.
Примеры
Пример 1. Запишите данное множество с помощью перечисления элементов:
Задано множество целых чисел, квадрат которых меньше 5. Перечисляем:
Задано множество целых чисел, модуль которых не больше 3. Перечисляем:
Задано множество рациональных чисел, являющихся корнями уравнения
(x-1)(2x+5) = 0. Перечисляем:
Пример 2. Запишите данное множество с помощью характеристического свойства:
а) Множество всех натуральных чисел меньше 10
б) Множество всех действительных чисел, кроме 0
в) Множество всех точек с целыми координатами, принадлежащих прямой y = 2x+1
Пример 3. Изобразите на графике в координатной плоскости данное множество:
Задано конечное множество точек, которое можно представить перечислением:
Пример 4. Укажите и запишите с помощью перечисления одно из непустых конечных подмножеств для данного множества:
Что такое множество в математике и как оно обозначается
Множество – это количество предметов или чисел, обладающих общими свойствами.
Данное определение подходит к любой совокупности с одинаковыми признаками, независимо оттого, сколько предметов в нее входит: толпа людей, стог сена, звезды в небе.
В математике изучаемое понятие обозначается заглавными латинскими буквами, например: А, С, Z, N, Q, A1, A2 и т. д.
Объекты, составляющие группу, называются элементами множества и записываются строчными латинскими буквами: a, b, c, d, x, y, a1, a2 и т. д.
Границы совокупности обозначаются фигурными скобками < >.
А = <а, в, с, у>– А состоит из четырех элементов.
Записать совокупность Z согласных букв в слове «калькулятор»:
Z = <к, л, т, р>, повторяющиеся согласные записываются один раз. Z состоит из четырех элементов.
Принадлежность элементов множеству обозначается знаком – Є.
Пример: N =
Выделяют три вида множеств:
пустые (обозначаются Ø) – не имеющие элементов.
Пример: А = <а, в, с, у>и В = <а, в, с, е, к>– все элементы А являются элементами совокупности В, следовательно А ⊆ В.
Если множества состоят из одинаковых элементов, их называют равными.
Пример: А = <23, 29, 48>и В = <23, 29, 48>, тогда А = В.
В математике выделяют несколько числовых совокупностей. Рассмотрим их подробнее.
Множество натуральных чисел
Относится ли ноль к натуральным числам? Это до сих пор открытый вопрос для математиков всего мира.
Множество целых чисел
Совокупность целых чисел (Z) включает в себя положительные натуральные и отрицательные числа, а также ноль:
Множество рациональных чисел
Совокупность рациональных чисел (Q) состоит из дробей (обыкновенных и десятичных), целых и смешанных чисел:
Любое рациональное число можно представить в виде дроби, у которой числителем служит любое целое число, а знаменателем – натуральное:
Следовательно, N и Z являются подмножествами Q.
Операции над множествами
Точно так же, как и все математические объекты, множества можно складывать и вычитать, то есть совершать операции.
Если две группы образуют третью, содержащую элементы исходных совокупностей – это называется суммой (объединением) множеств и обозначается знаком ∪.
Если две группы совокупностей образуют третью, состоящую только из общих элементов заданных составляющих, это называется произведением (пересечением) множеств, обозначается значком ∩.
Если две совокупности образуют третью, включающую элементы одной из заданных групп и не содержащую элементы второй, получается разность (дополнение) совокупностей, обозначается значком /.
В случае, когда В / С = С / В, получается симметричная разность и обозначается значком Δ.
Для «чайников» или кому трудно даётся данная тема операции с совокупностями можно отобразить с помощью диаграмм Венна:
Объединение
Пересечение
Дополнение
С помощью данных диаграмм можно разобраться с законами де Моргана по поводу логической интерпретации операций над множествами.
Свойства операций над множествами
Операции над множествами обладают свойствами, аналогичными правилу свойств сложения, умножения и вычитания чисел:
Коммутативность – переместительные законы:
умножения S ∩ D = D ∩ S;
сложения S ∪ D = D ∪ S.
Ассоциативность – сочетательные законы:
умножения (S ∩ F) ∩ G = S ∩ (F ∩ G);
сложения (S ∪ F) ∪ G = S ∪ (F ∪ G).
Дистрибутивность – законы распределения:
умножения относительно вычитания S ∩ (F – G) = (S ∩ F) – (S ∩ G);
умножения относительно сложения G ∩ (S ∪ F) = (G ∩ S) ∪ (G ∩ F);
сложения относительно умножения G ∪ (S ∩ F) = (G ∪ S) ∩ (G ∪ F).
если S ⊆ Fи F ⊆ J, то S ⊆ J;
если S ⊆ F и F ⊆ S, то S = F.
Идемпотентность объединения и пересечения:
О других свойствах операций можно узнать из картинки:
Счетные и несчетные множества
Если между элементами двух групп можно установить взаимное немногозначное соответствие, то эти группы чисел равномощны, при условии равного количества элементов.
Мощность данной математической единицы равна количеству элементов в ней. Например, множество всех нечетных положительных чисел равномощно группе всех четных чисел больше ста.
Но не все группы действительных чисел счетные. Примером несчетной группы предметов является бесконечная десятичная дробь.
Множества,их элементы,поджмножества
Вы будете перенаправлены на Автор24
В математике совокупности объектов, объединяющие ряд объектов называют множество. Данное понятие является первичным, значит, к более простым понятиям оно не сводится.
Термин множество употребляется тогда, когда речь идет о нечисловых множествах. Например, говорят о множестве диагоналей многоугольника, о множестве точек на координатной прямой, о множестве прямых, проходящих через точку.
Виды множеств
Множества могут быть конечными и бесконечными, пустыми.
Конечным называют множество, состоящее из конечного числа элементов, но при этом конечное множество может иметь любое количество элементов.
Среди конечных множеств выделяют множество, не имеющее ни одного элемента. Такое множество называется пустым множеством.
Множество, не являющееся конечным, называют бесконечным множеством.
Подмножества
Если некоторое множество не является пустым, то из него можно выделить другие множества, которые будут являться его частями.
Например, из множества натуральных чисел можно выделить множество четных.
Обозначение множеств, подмножеств и их элементов
Готовые работы на аналогичную тему
\[38\notin А, 74\notin А,934\notin А ; 12\in A,\ <\rm :\ >54\in A.\]
Способы задания множеств
Существует два глобально различных способа задания множеств.
Первый заключается в том, что множество задается указанием всех его элементов. В таком случае говорят, что множество задано перечислением всех своих элементов или списком своих элементов. Перечислением элементов можно задать только конечные множества и при небольшом количестве элементов, входящих в него
При таком способе задания множеств говорят, что множество задано перечислением его элементов.
Равенство множеств
Множества равны в том случае, если равны их элементы. При этом если множества состоят из одних и тех же элементов, но записанных в разном порядке то эти множества различны, хотя и равны.
Например, рассмотрим множества
Эти множества будут, состоят из равных элементов, значит, они будут равны, но при этом элементы расположены в разном порядке, т.е. множества различны
Пересечение множеств
Если даны два множества, то можно образовать новое множество, составленное из общих элементов этих множеств.
Например, рассмотрим два множества:
Объединение множеств
Математически это можно обозначить так:$\ А\ \cup B$
Разность множеств
Получи деньги за свои студенческие работы
Курсовые, рефераты или другие работы
Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 27 05 2021
§1. Множества и операции над ними
Объяснение и обоснование
В курсах алгебры и алгебры и начал математического анализа чаще всего рассматривают множества, элементами которых являются числа, и поэтому их называют числовыми множествами.
Как правило, множества обозначают прописными буквами латинского алфавита. Например, если множество М состоит из чисел 1; 2; 3, то его обозначают так: М = <1; 2; 3>. Тот факт, что число 2 входит в это множество (является элементом данного множества М), записывается с помощью специального значка ∈ следующим образом: 2 ∈ М; а то, что число 5 не входит в это множество (не является элементом данного множества), записывается так: 5 ∉ М.
Можно рассматривать также множество, не содержащее ни одного элемента, — пустое множество.
Например: множество простых делителей числа 1 — пустое множество.
Для некоторых множеств существуют специальные обозначения. Так, пустое множество обозначается символом ∅, множество всех натуральных чисел — буквой N, множество всех целых чисел — буквой Z, множество всех рациональных чисел — буквой Q, а множество всех действительных чисел — буквой R.
Множества бывают конечными и бесконечными в зависимости от того, какое количество элементов они содержат. Так, множества А = <7>и M = <1; 2; 3>— конечные, потому что содержат конечное число элементов, а множества N, Z, Q, R — бесконечные.
Множества задают или с помощью перечисления их элементов (это можно сделать только для конечных множеств), или с помощью описания, когда задается правило (характеристическое свойство), которое позволяет определить, принадлежит или нет данный объект рассматриваемому множеству. Например, А = <–1; 0; 1>(множество задано перечислением элементов), B — множество всех четных целых чисел (множество задано характеристическим свойством всех элементов множества). Последнее множество иногда записывают так: B = или так: B =
В общем виде запись множества с помощью характеристического свойства можно обозначить так: A =
Два множества называются равными, если каждый элемент первого множества является элементом второго множества и, наоборот, каждый элемент второго множества является элементом первого множества.
Из приведенного определения равенства множеств следует, что в множестве одинаковые элементы не различаются. Действительно, например, <1; 2; 2>= <1; 2>, поскольку каждый элемент первого множества (1 или 2) является элементом второго множества и, наоборот, каждый элемент второго множества (1 или 2) является элементом первого. Поэтому, записывая множество, чаще всего каждый его элемент записывают только один раз.
Если каждый элемент множества A является элементом множества B, то говорят, что множество A является подмножеством множества B.
Это записывают следующим образом: A ⊂ B.
Например, <1; 2>⊂ <0; 1; 2; 3>, N ⊂ Z (поскольку любое натуральное число — целое), Z ⊂ Q (поскольку любое целое число — рациональное), Q ⊂ R (поскольку любое рациональное число — действительное).
Полагают, что всегда ∅ ⊆ A, то есть пустое множество является подмножеством любого множества.
Иногда вместо записи A ⊂ B используется также запись A ⊆ B.
Сопоставим определение равенства множеств с определением подмножества. Если множества А и В равны, то: 1) каждый элемент множества А является элементом множества В, следовательно, А — подмножество В (A ⊆ B); 2) каждый элемент множества В является элементом множества А, следовательно, В — подмножество А (B ⊆ A). Таким образом,
два множества равны тогда и только тогда, когда каждое из них является подмножеством другого.
Иногда соотношения между множествами удобно иллюстрировать с помощью кругов (которые часто называют кругами Эйлера–Венна). Например, рисунок 1 иллюстрирует определение подмножества, а рисунок 2 — отношения между множествами N, Z, Q, R.