Что такое подобные одночлены
Сложение и вычитание одночленов
Сложить одночлены или вычесть один одночлен из другого можно только в том случае, если одночлены являются подобными. Если одночлены не подобные, в этом случае сложение одночленов можно записать в виде суммы, а вычитание в виде разности.
Подобные одночлены
Подобные одночлены — одночлены, которые состоят из одних и тех же букв, но могут иметь разные или одинаковые коэффициенты (числовые множители). Одинаковые буквы в подобных одночленах должны иметь одинаковые показатели степени. Если у одной и той же буквы в разных одночленах степени не совпадают, то такие одночлены нельзя назвать подобными:
Обратите внимание, что последовательность букв в подобных одночленах может не совпадать. Также одночлены могут быть представлены в виде выражения, которое можно упростить. Поэтому, прежде чем приступать к определению, подобны ли данные одночлены, или нет, стоит привести одночлены к стандартному виду. Например, возьмём два одночлена:
Оба одночлена находятся в нестандартном виде, поэтому будет нелегко определить, являются ли они подобными. Чтобы это узнать, приведём одночлены к стандартному виду:
Теперь сразу видно, что данные одночлены являются подобными.
Два подобных одночлена, отличающиеся только знаком, называются противоположными. Например:
Приведение подобных одночленов — это упрощение выражения, содержащего подобные одночлены, путём их сложения. Сложение подобных одночленов производится по правилам приведения подобных слагаемых.
Сложение одночленов
Чтобы сложить одночлены, надо:
Решение: Составим сумму одночленов:
Все одночлены находятся в стандартном виде. Значит, можно приступить к раскрытию скобок. Правила раскрытия скобок смотрите тут.
Теперь надо определить, есть ли среди слагаемых подобные одночлены и, если они есть, сделать приведение:
Решение: Составим сумму одночленов:
Эти два одночлена являются противоположными, то есть, отличаются только знаком. Значит, если мы сложим их численные множители, то получим нуль:
Следовательно, при сложении противоположных одночленов в результате получается нуль.
Общее правило сложения одночленов:
Чтобы сложить несколько одночленов, следует записать все слагаемые одно за другим с сохранением их знаков, отрицательные одночлены надо заключить в скобки и сделать приведение подобных слагаемых (подобных одночленов).
Вычитание одночленов
Чтобы произвести вычитание одночленов, надо:
Решение: Составим разность одночленов:
Все одночлены находятся в стандартном виде. Значит, можно приступить к раскрытию скобок. Правила раскрытия скобок смотрите тут.
Теперь надо определить, есть ли среди одночленов подобные и, если они есть, сделать приведение:
Общее правило вычитания одночленов:
Для вычитания одного одночлена из другого следует к уменьшаемому одночлену приписать вычитаемый одночлен с противоположным знаком и сделать приведение подобных одночленов.
Одночлены: сложение и вычитание. Подобные одночлены
Содержание
Предыдущий урок познакомил вас с понятием одночлена, его коэффициентом и стандартным видом. Эти знания пригодятся на данном занятии, где мы научимся простейшим действиям: складывать и вычитать одночлены. Вы узнаете также, со всеми ли из них можно выполнять данные действия, а также какие одночлены называют подобными.
Можно ли складывать такие одночлены? Правило гласит:
Складывать или вычитать можно только подобные одночлены.
Выясним, что это значит.
Какие одночлены являются подобными
Одночлены, имеющие полностью одинаковый состав букв и их степеней, называются подобными.
Приведем пример таких одночленов:
Во всех примерах выше одночлены имеют одинаковую буквенную часть с повторяющимися в точности показателями их степеней. Для того чтобы в этом убедиться, часто необходимо привести их предварительно к стандартному виду.
Посмотрим, какие же одночлены не будут подобными. Примеры:
Складывать и вычитать одночлены, у которых произведения переменных (буквенная часть) отличаются, нельзя.
Сложение и вычитание одночленов
После того как вы убедились, что одночлены являются подобными, их можно складывать. При этом действию сложения подвергаются только коэффициенты подобных одночленов.
Вспомнить, что является коэффициентом одночлена, можно здесь. Буквенный состав в результате сложения остается всегда неизменным.
Сложим, к примеру, два одночлена:
Для того чтобы выполнить действия сложения или вычитания над одночленами:
Сумма противоположных одночленов
Другими словами, сумма противоположных одночленов равна нулю.
Алгебра. 7 класс
Стандартный вид одночлена. Подобные одночлены.
Математические термины
Стандартный вид одночлена
Равные одночлены
Виды одночленов
Одночлен
Необходимо запомнить
Стандартным видом одночлена называют такой его вид, в котором он представляет собой произведение числового множителя и натуральных степеней разных переменных (букв).
Подобные одночлены – это одночлены, которые состоят из одних и тех же букв в одинаковых степенях, но с разными или одинаковыми коэффициентами (числовыми множителями).
Стандартный вид нулевого одночлена – это число 0.
Правило приведения одночлена к стандартному виду:
Правило сложения (вычитания) подобных одночленов:
Коэффициент одночлена, приведенного к стандартному виду – это числовой множитель одночлена.
Степенью одночлена, записанного в стандартном виде, называют сумму показателей степеней всех букв, которые входят в его запись.
Действия над одночленами
Давайте рассмотрим, что значит привести подобные одночлены на примере:
Для этого мы должны воспользоваться свойствами степеней и свойствами одночленов, рассмотренными ранее. Кроме того, нужно привести одночлены к стандартному виду, то есть в каждом одночлене сначала записать числовой множитель, а затем буквенный в алфавитном порядке.
Возьмём первый одночлен и приведём его в стандартный вид. Произведение чисел даст 448. Буква а имеет 3 и 5 степень, найдём сумму этих степеней, она равна 8. Далее рассмотрим букву b, её степень находится как произведение степени 1 и 3, то есть степень буквы b равна 3. Далее рассмотрим букву с, её степень находится как произведение степени 2 и 3, то есть степень буквы с равна 6.
Второй одночлен находится в стандартном виде.
А теперь найдём сумму и разность данных подобных одночленов.
$-(-7)aaa \cdot 2(bc^2)^3 \cdot (2аk)^5 + 2а^8b^3c^6k^5-2а^7b^37c^6k^5а =$
Таким образом, мы привели подобные одночлены к стандартному виду.
Алгебра. 7 класс
Стандартный вид одночлена. Подобные одночлены.
Математические термины
Стандартный вид одночлена
Равные одночлены
Виды одночленов
Одночлен
Необходимо запомнить
Стандартным видом одночлена называют такой его вид, в котором он представляет собой произведение числового множителя и натуральных степеней разных переменных (букв).
Подобные одночлены – это одночлены, которые состоят из одних и тех же букв в одинаковых степенях, но с разными или одинаковыми коэффициентами (числовыми множителями).
Стандартный вид нулевого одночлена – это число 0.
Правило приведения одночлена к стандартному виду:
Правило сложения (вычитания) подобных одночленов:
Коэффициент одночлена, приведенного к стандартному виду – это числовой множитель одночлена.
Степенью одночлена, записанного в стандартном виде, называют сумму показателей степеней всех букв, которые входят в его запись.
Действия над одночленами
Давайте рассмотрим, что значит привести подобные одночлены на примере:
Для этого мы должны воспользоваться свойствами степеней и свойствами одночленов, рассмотренными ранее. Кроме того, нужно привести одночлены к стандартному виду, то есть в каждом одночлене сначала записать числовой множитель, а затем буквенный в алфавитном порядке.
Возьмём первый одночлен и приведём его в стандартный вид. Произведение чисел даст 448. Буква а имеет 3 и 5 степень, найдём сумму этих степеней, она равна 8. Далее рассмотрим букву b, её степень находится как произведение степени 1 и 3, то есть степень буквы b равна 3. Далее рассмотрим букву с, её степень находится как произведение степени 2 и 3, то есть степень буквы с равна 6.
Второй одночлен находится в стандартном виде.
А теперь найдём сумму и разность данных подобных одночленов.
$-(-7)aaa \cdot 2(bc^2)^3 \cdot (2аk)^5 + 2а^8b^3c^6k^5-2а^7b^37c^6k^5а =$
Таким образом, мы привели подобные одночлены к стандартному виду.
Одночлен. Подобные одночлены. Степень одночлена.
Одночленом является выражение, содержащее числа, натуральные степени переменных и их произведения, причем оно не должно содержать любых действий с этими числами и переменными.
Одночлен (или моном) — простое выражение в математике, которое рассматривается и используется в элементарной алгебре. Если точнее, произведение, которое состоит из числового множителя и 1-ной либо нескольких переменных, каждая из которых взята в положительной степени.
Или другими словами:
Стандартным видом одночлена является одночлен как произведение числового множителя, который стоит на 1-ом месте, и степеней разных переменных. Каждый одночлен возможно привести к стандартному виду методом перемножения всех переменных и чисел, которые входят в него.
Приведение одночлена к стандартному виду:
Произведение одночленов тоже является одночленом.
Одночлен в некоторой натуральной степени тоже оказывается одночленом.
Результаты таких действий (умножение одночленов и возведение одночлена в степень) обычно приводятся к стандартному виду.
Число 0 является нулевым одночленом.
Подобные одночлены.
2 одночлена, которые приведены к стандартному виду, являются подобными, когда они совпадают либо отличаются лишь числовым коэффициентом.
Сложение и вычитание подобных одночленов является приведением подобных слагаемых.
Одночлены, у которых произведения переменных одинаковы (порядок их может отличаться) называются подобными одночленами.
Подобными одночленами являются 
и 
; 
и 
; 
и 
; 5 и −3; 
и 
.
Подобными одночленами не являются 
и 
.
Если у подобных одночленов коэффициенты равны, то они являются равными (одинаковыми) одночленами.
Подтвердить это можно, записав одночлены в стандартном виде:
8xy 3 ; xy 3 ; 8y 3 x; 2⋅4xyyy; 8x 3 y => 8xy 3 ; xy 3 ; 8xy 3 ; 8xy 3 ; 8x 3 y;
Если у подобных одночленов коэффициенты оказываются противоположными числами, то такие одночлены являются противоположными.
Умножение одночленов. Возведение одночленов в степень.
При умножении одночленов и возведении одночленов в степень пользуются правилом умножения степеней с одинаковым основанием и правилом возведения степени в степень. При этом получают одночлен, представляемый обычно в стандартном виде.
Для того, чтобы умножить одночлен на одночлен, необходимо умножить их коэффициенты и степени с равными основаниями.
Что бы возвести одночлена в степень, необходимо возвести его коэффициент в эту степень и умножить показатель степени всех букв на показатель степени, в которую возводится одночлен.
Для того, чтобы поделить одночлен на одночлен, необходимо поделить коэффициенты делимого на коэффициент делителя, к найденной части дописать множителями все буквы делимого с показателем, который равен разнице показателей этой буквы в делимом и делителе.
Складывая и вычитая многочлены используют правило раскрытия скобок.
Чтобы умножить одночлен на многочлен, необходимо все члены многочлена умножить на этот одночлен и одночлены, которые получены, сложить.
Чтобы умножить многочлен на многочлен, необходимо все члены 1-го многочлена домножить на все члены второго многочлена и члены, которые получены, сложить.
Чтобы разделить многочлен на одночлен, необходимо все члены многочлена разделить на этот одночлен и результаты, которые получены, сложить.