Что такое полукольцо в алгебре

Полукольцо (теория множеств)

Полукольцо (теория множеств)

Полукольцо (в теории множеств) — система множеств S, для которой выполнены следующие условия:

Таким образом, полукольцо содержит в себе пустое множество, замкнуто относительно пересечения и любое множество из полукольца представимо в виде конечного объединения дизъюнктных (попарно не пересекающихся) множеств, принадлежащих этому полукольцу. Полукольцо не замкнуто относительно объединения множеств.

Полукольцом с единицей называют полукольцо с таким элементом E, что его пересечение с любым элементом A полукольца равно A. Применяя метод математической индукции, можно расширить последний пункт определения: если множества являются элементами полукольца и подмножествами элемента A, то их можно дополнить непересекающимися элементами до A. Любое кольцо является полукольцом. Прямое произведение полуколец также является полукольцом.

Содержание

Примеры полуколец

Свойства полуколец

Примечания

См. также

Ссылки

Полезное

Смотреть что такое «Полукольцо (теория множеств)» в других словарях:

Алгебра (теория множеств) — У этого термина существуют и другие значения, см. Алгебра (значения). Алгебра множеств в теории множеств это непустая система подмножеств, замкнутая относительно операций дополнения (разности) и объединения (суммы). Содержание 1 Определение … Википедия

Кольцо (теория множеств) — У этого термина существуют и другие значения, см. Кольцо. В теории множеств кольцом называют непустую систему множеств R, замкнутую относительно пересечения и симметрической разности конечного числа элементов. Это значит, что для любых элементов… … Википедия

Алгебра множеств — У этого термина существуют и другие значения, см. Алгебра (значения). Алгебра множеств в теории множеств это непустая система подмножеств, замкнутая относительно операций дополнения (разности) и объединения (суммы). Содержание 1 Определение … Википедия

МЕРА — множества, обобщение понятия длины отрезка, площади фигуры, объема тела, интуитивно соответствующее массе множества при нек ром распределении массы по пространству. Понятие М. множества возникло в теории функций действительного переменного в… … Математическая энциклопедия

Мера множества — У этого термина существуют и другие значения, см. Мера. Мера множества неотрицательная величина, интуитивно интерпретируемая как размер (объем) множества. Собственно, мера это некоторая числовая функция, ставящая в соответствие каждому… … Википедия

Пространство с мерой — Мера общее название различных типов обобщений понятий евклидовой длины, площади и n мерного объёма для более общих пространств. Если обратное не указано явно, то обычно подразумевается счётно аддитивная мера. Содержание 1 Определения 1.1 Конечно … Википедия

Конечно-аддитивная мера — Мера общее название различных типов обобщений понятий евклидовой длины, площади и n мерного объёма для более общих пространств. Если обратное не указано явно, то обычно подразумевается счётно аддитивная мера. Содержание 1 Определения 1.1 Конечно … Википедия

Конечно аддитивная мера — Мера общее название различных типов обобщений понятий евклидовой длины, площади и n мерного объёма для более общих пространств. Если обратное не указано явно, то обычно подразумевается счётно аддитивная мера. Содержание 1 Определения 1.1 Конечно … Википедия

Источник

Теория функций действительного переменного/Системы множеств

Система множеств — это множество, элементы которого сами являются множествами.

Содержание

Кольцо множеств [ править ]

Кольцо множеств — это непустая система множеств R <\displaystyle <\mathfrak >> , замкнутая относительно операций пересечения и симметрической разности, то есть из A ∈ R <\displaystyle A\in <\mathfrak >> и B ∈ R <\displaystyle B\in <\mathfrak >> следует

Операции объединения и разности множеств можно выразить через операции пересечения и симметричной разности:

Из этих равенств следует, что если два множества принадлежат кольцу множеств, то данному кольцу также принадлежат их объединение и разность, то есть из

По индукции можно доказать, что кольцу множеств будет принадлежать объединение или пересечение любого конечного числа множеств данного кольца, то есть выражения вида

\bigcup _^A_> , ⋂ i = 1 n A i <\displaystyle \bigcap _^A_> .

Любое кольцо содержит пустое множество, так как пустое множество можно представить в виде разности

Отсюда следует, что наименьшее возможное кольцо множеств — это система множеств, содержащая только пустое множество.

Другими словами, единица системы множеств — это такое множество, что все другие множества данной системы являются его подмножествами.

Алгебра множеств — это кольцо множеств с единицей.

Теорема 1. Пересечение

любого множества колец множеств есть кольцо множеств.

Докажем теорему для случая пересечения двух колец множеств.

Из первого и третьего включения следует, по определению кольца множеств, что

Аналогичным образом из второго и четвертого включения можно вывести, что

Отсюда следует, что пересечение S = S 1 ∩ S 2 <\displaystyle <\mathfrak >=<\mathfrak >_<1>\cap <\mathfrak >_<2>> двух колец множеств является, по определению, кольцом множеств.

Для пересечения произвольного числа колец множеств теорема доказывается по индукции индукции.

Теорема 2. Для любой непустой системы множеств S <\displaystyle <\mathfrak >> существует единственное кольцо множеств, содержащее как подмножество данную систему S <\displaystyle <\mathfrak >> и являющееся подмножеством любого кольца множеств, содержащем S <\displaystyle <\mathfrak >> как подмножество.

Рассмотрим объединение всех множеств, входящих в систему S <\displaystyle <\mathfrak >> :

\Sigma > — это совокупность всех колец множеств, содержащихся в M ( X ) <\displaystyle <\mathfrak >(X)> и содержащих S <\displaystyle <\mathfrak >> . Тогда пересечение

всех этих колец и будет искомым кольцом R ( S ) <\displaystyle <\mathfrak >> .

Действительно, каково бы ни было кольцо

будет кольцом из Σ <\displaystyle

\Sigma > , а следовательно

Таким образом, система B <\displaystyle <\mathfrak >> действительно является наименьшим кольцом, содержащим S <\displaystyle <\mathfrak >> . Теорема доказана.

Кольцо, содержащее систему множеств S <\displaystyle <\mathfrak >> и содержащееся в любом другом кольце, содержащем S <\displaystyle <\mathfrak >> , называют кольцом, порождённым системой S <\displaystyle <\mathfrak >> , или минимальным кольцом над S <\displaystyle <\mathfrak >> . Минимальное кольцо над S <\displaystyle <\mathfrak >> обозначается R ( S ) <\displaystyle <\mathfrak >> .

Полукольцо множеств [ править ]

называется конечным разложением множества A.

A_<2>=A\setminus A_<1>\in <\mathfrak >> .

s\geq n> .

k=1. p> .

i=1. n-1> , то

Так как любая точка множества A n <\displaystyle A_> принадлежит одному из множеств B k <\displaystyle B_> , то

A n = ⋃ k = 1 p B k 1 <\displaystyle A_=\bigcup _^

B_> .

следовательно, по определению полукольца множеств, имеется конечное разложение

Так как множество B k 1 <\displaystyle B_> , по определению, содержит все точки, входящие одновременно и в B k <\displaystyle B_> и A n <\displaystyle A_> , то множество C k ⊂ B k <\displaystyle C_\subset B_> не содержит точек множества A n <\displaystyle A_> :

А так как C k ⊂ B k <\displaystyle C_\subset B_> , то все множества набора

являются попарно непересекающимися, то и все множества

являются попарно непересекающимися.

Проведём некоторые преобразования:

Теорема 2 устанавливает тот факт, что для каждой системы множеств S <\displaystyle <\mathfrak >> существует единственное минимальное кольцо, содержащее S <\displaystyle <\mathfrak >> . Следующая теорема позволяет построить кольцо, порождённое полукольцом.

Кольцо, порождённое полукольцом [ править ]

По теореме 2, для каждой системы множеств существует порождённое ей кольцо. Если данная система множеств является полукольцом, то можно доказать усиленную теорему, которая даёт конструктивный способ построения такого кольца.

на множества A k ∈ S <\displaystyle A_\in <\mathfrak >> .

Докажем сначала, что система множеств B <\displaystyle <\mathfrak >> является кольцом. Если

то имеют место разложения

B_\in <\mathfrak >> .

C i k = A i ∩ B k ∈ S <\displaystyle C_=A_\cap B_\in <\mathfrak >> .

По Лемме 1, имеют место разложения на непересекающиеся множества

F_\in <\mathfrak >> .

Из этих равенств следует, что

A ∩ B = ⋃ i = 1 n ⋃ k m C i k <\displaystyle A\cap B=\bigcup _^\bigcup _^C_> , A △ B = ⋃ i = 1 n ⋃ j = 1 r i D i j ∪ ⋃ k = 1 m ⋃ t = 1 s k F k t <\displaystyle A\vartriangle B=\bigcup _^\bigcup _^>D_\cup \bigcup _^\bigcup _^>F_> .

Минимальность следует из того, что R ( S ) <\displaystyle <\mathfrak >> должно содержать все элементы полукольца S <\displaystyle <\mathfrak >> , и следовательно, по свойствам кольца, и объединения конечного числа множеств из S <\displaystyle <\mathfrak >> .

σ-алгебры [ править ]

Иногда приходится рассматривать пересечение или объединение не только конечного, но и счётного числа множеств.

σ-кольцо с единицей называют σ-алгеброй. Естественным было бы назвать δ-кольцом с единицей δ-алгеброй, но оказывается, что это понятия тождественно понятию σ-алгеброй. Это вытекает из соотношений двойственности (законов де Моргана):

⋃ n A n = E ⋂ n ( E ∖ A n ) <\displaystyle \bigcup _A_=E\ \bigcap _(E\setminus A_)> , ⋂ n A n = E ⋃ n ( E ∖ A n ) <\displaystyle \bigcap _A_=E\ \bigcup _(E\setminus A_)> .

Таким образом σ-алгебра подмножеств множества

Неприводимая σ-алгебра — это σ-алгебра, не содержащая точек, не входящих ни в одно из A ∈ S <\displaystyle A\in <\mathfrak >> .

Теорема 4. Для любой непустой системы множеств S <\displaystyle <\mathfrak >> существует неприводимая (по отношению к данной системе) σ-алгебра B ( S ) <\displaystyle <\mathfrak >> , содержащая S <\displaystyle <\mathfrak >> и содержащаяся в любой σ-алгебре, содержащей S <\displaystyle <\mathfrak >> .

Доказательсвто. Из теоремы 2 следует существование минимального кольца R ( S ) <\displaystyle <\mathfrak >> , порождённого системой S <\displaystyle <\mathfrak >> . Единицей этой σ-алгебры будет объединение всех множеств из системы S <\displaystyle <\mathfrak >> .

Системы множеств и отображения [ править ]

Справедливы следующие утверждения:

Утверждение 1. Если N <\displaystyle <\mathfrak >> — кольцо, то f − 1 ( N ) <\displaystyle f^<-1>(<\mathfrak >)> — кольцо.

Утверждение 2. Если N <\displaystyle <\mathfrak >> — алгебра, то f − 1 ( N ) <\displaystyle f^<-1>(<\mathfrak >)> — алгебра.

Утверждение 3. Если N <\displaystyle <\mathfrak >> — σ-алгебра, то f − 1 ( N ) <\displaystyle f^<-1>(<\mathfrak >)> — σ-алгебра.

Источник