Что такое полупростое число

В математика, а полупервичный это натуральное число это товар из двух простые числа. Два простых числа в произведении могут равняться друг другу, поэтому полупростые числа включают квадраты простых чисел.Поскольку простых чисел бесконечно много, существует и полупростых чисел. Полупримеры еще называют двуплодные. [1]

Содержание

Примеры и варианты

Полупримеры менее 100:

4, 6, 9, 10, 14, 15, 21, 22, 25, 26, 33, 34, 35, 38, 39, 46, 49, 51, 55, 57, 58, 62, 65, 69, 74, 77, 82, 85, 86, 87, 91, 93, 94 и 95 (последовательность A001358 в OEIS).

Полупростые числа, не являющиеся квадратными числами, называются дискретными, различными или бесквадратными полупростыми числами:

Формула для количества полуприцепов

Формула полупростого счета была открыта Э. Ноэлем и Дж. Паносом в 2005 году. [3]

Характеристики

Этот расчет является важной частью применения полуприцепов в Криптосистема RSA. [6] Для полупростого квадрата п = п 2 < Displaystyle п = р ^ <2>> , формула снова проста: [6]

Приложения

Полупримеры очень полезны в области криптография и теория чисел, особенно в криптография с открытым ключом, где они используются ЮАР и генераторы псевдослучайных чисел Такие как Блюм Блюм Шуб. Эти методы основаны на том факте, что поиск двух больших простых чисел и их умножение (в результате получается полупростое число) вычислительно просты, тогда как поиск исходных факторов кажется сложным. в RSA Factoring Challenge, RSA Безопасность предложили призы за факторинг конкретных крупных полуприцепов и получили несколько призов. Первоначальный вызов RSA Factoring Challenge был выпущен в 1991 году и был заменен в 2001 году новым RSA Factoring Challenge, который позже был отозван в 2007 году. [7]

Источник

Простое число

Просто́е число́ — это натуральное число, имеющее ровно два различных натуральных делителя: единицу и само себя. Все остальные натуральные числа, кроме единицы, называются составными. Таким образом, все натуральные числа больше единицы разбиваются на простые и составные. Изучением свойств простых чисел занимается теория чисел. В теории колец простым числам соответствуют неприводимые элементы.

Последовательность простых чисел начинается так:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, … (последовательность A000040 в OEIS, см. также список простых чисел)

Содержание

Разложение натуральных чисел в произведение простых

Основная теорема арифметики утверждает, что каждое натуральное число, большее единицы, представимо в виде произведения простых чисел, причём единственным способом с точностью до порядка следования сомножителей. Таким образом, простые числа — элементарные «строительные блоки» натуральных чисел.

Представление натурального числа в виде произведения простых называется разложением на простые или факторизацией числа. На настоящий момент неизвестны полиномиальные алгоритмы факторизации чисел, хотя и не доказано, что таких алгоритмов не существует. На предполагаемой большой вычислительной сложности задачи факторизации базируется криптосистема RSA и некоторые другие. Факторизация с полиномиальной сложностью теоретически возможна на квантовом компьютере с помощью алгоритма Шора.

Алгоритмы поиска и распознавания простых чисел

Простые способы нахождения начального списка простых чисел вплоть до некоторого значения дают Решето Эратосфена, решето Сундарама и решето Аткина.

Однако, на практике вместо получения списка простых чисел зачастую требуется проверить, является ли данное число простым. Алгоритмы, решающие эту задачу, называются тестами простоты. Существует множество полиномиальных тестов простоты, но большинство их являются вероятностными (например, тест Миллера — Рабина) и используются для нужд криптографии. В 2002 году было доказано, что задача проверки на простоту в общем виде полиномиально разрешима, но предложенный детерминированный тест Агравала — Каяла — Саксены имеет довольно большую вычислительную сложность, что затрудняет его практическое применение.

Для некоторых классов чисел существуют специализированные эффективные тесты простоты (см. ниже).

Бесконечность множества простых чисел

Простых чисел бесконечно много. Самое старое известное доказательство этого факта было дано Евклидом в «Началах» (книга IX, утверждение 20). Его доказательство может быть кратко воспроизведено так:

Представим, что количество простых чисел конечно. Перемножим их и прибавим единицу. Полученное число не делится ни на одно из конечного набора простых чисел, потому что остаток от деления на любое из них даёт единицу. Значит, число должно делиться на некоторое простое число, не включённое в этот набор. Противоречие.

Математики предлагали другие доказательства. Одно из них (приведённое Эйлером) показывает, что сумма величин, обратных к первым n простым числам, неограниченно растёт с ростом n.

Теорема о распределении простых чисел утверждает, что количество простых чисел меньших n, обозначаемое , растёт как .

Наибольшее известное простое

Наибольшим известным простым числом по состоянию на февраль 2011 года является . Оно содержит 12 978 189 десятичных цифр и является простым числом Мерсенна (M_43112609). Его нашли 23 августа 2008 года на математическом факультете университета UCLA в рамках проекта по распределённому поиску простых чисел Мерсенна GIMPS.

Числа Мерсенна выгодно отличаются от остальных наличием эффективного теста простоты: теста Люка — Лемера. Благодаря ему простые числа Мерсенна давно удерживают рекорд как самые большие известные простые.

За нахождение простых чисел из более чем 100 000 000 и 1 000 000 000 десятичных цифр EFF назначила [2] денежные призы соответственно в 150 000 и 250 000 долларов США. Ранее EFF уже присуждала призы за нахождение простых чисел из 1 000 000 и 10 000 000 десятичных цифр.

Простые числа специального вида

Существует ряд чисел, простота которых может быть установлена эффективно с использованием специализированных алгоритмов.

С использованием теста Бриллхарта-Лемера-Селфриджа (англ.) может быть проверена простота следующих чисел:

Для поиска простых чисел обозначенных типов в настоящее время используются проекты распределенных вычислений GIMPS, PrimeGrid, Ramsey@Home, Seventeen or Bust, Riesel Sieve, Wieferich@Home.

Некоторые свойства

содержащий 26 переменных и имеющий степень 25. Наименьшая степень для известных многочленов такого типа — 5 при 42 переменных; наименьшее число переменных — 10 при степени около 15905. [6] Этот результат является частным случаем доказанной Юрием Матиясевичем диофантовости любого перечислимого множества.

Открытые вопросы

До сих пор существует много открытых вопросов относительно простых чисел, наиболее известные из которых были перечислены Эдмундом Ландау на Пятом Международном математическом конгрессе [7] :

Открытой проблемой является также существование бесконечного количества простых чисел во многих целочисленных последовательностях, включая числа Фибоначчи, числа Ферма и т. д.

Приложения

Большие простые числа (порядка ) используются в криптографии с открытым ключом. Простые числа также используются в хеш-таблицах и для генерации псевдослучайных чисел (в частности, в ГПСЧ вихрь Мерсенна).

Источник

Вывести N-е полупростое число (программа постоянно выводит число 4; не могу понять в чем ошибка)

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА НАЙТИ ОШИБКУ!

Программа по паскалю, не могу понять в чем же ошибка
Решила простую задачу по паскалю, однако не все так хорошо, ругается на else var.

Пользователь вводит с клавиатуры число от 0 до 100, программа выводит число буквами
Пользователь вводит с клавиатуры число от 0 до 100, программа выводит число в буквенном формате

Решение

Добавлено через 15 минут
При использовании этой функции выдает неправильный ответ.

Добавлено через 4 минуты
Решение проверяет система. На некотором этапе ограничение по времени.
Должно выполняться за 0,2 сек

Выводит неправильно. При вводе 1 выводит 6, а надо 4.
При вводе 10 выводит 35, а надо 26

Программа считывает с клавиатуры число N, L, K и выводит одно число.
Задача Leopold Кот Леопольд пошел на рыбалку и наловил рыбы. Каждую рыбу он старательно взвесил.

Не могу понять почему программа не выводит результат (простейшая программа)
Здравствуйте уважаемые форумчане! Я начал изучать C++ при помощи книги. На днях я столкнулся со.

Написать программу, которая находит N-е полупростое число
Всем привет, помогите написать программу, которая находит N-е полупростое число. Заранее спасибо)

Источник

Список простых чисел

Эта страница содержит список первых 500 простых чисел а также некоторые другие простые числа.

Содержание

Первые 500 простых чисел

Проект по проверке проблемы Гольдбаха сообщает, что были вычислены все простые числа до . Это составляет 24 739 954 287 740 860 простых чисел, но они не были сохранены. Существуют известные формулы, позволяющие вычислить количество простых чисел (до заданного значения) быстрее, чем вычисление самих простых чисел. Этот способ был использован, чтобы вычислить, что до находится 1 925 320 391 606 803 968 923 простых числа.

Простые числа Белла

Простые числа, которые являются числом разбиения множества с элементами.

2, 5, 877, 27644437, 35742549198872617291353508656626642567, 359334085968622831041960188598043661065388726959079837. Следующее число имеет 6539 цифр. (последовательность A051131 в OEIS)

Кубические простые числа

Простые числа вида

7, 19, 37, 61, 127, 271, 331, 397, 547, 631, 919, 1657, 1801, 1951, 2269, 2437, 2791, 3169, 3571, 4219, 4447, 5167, 5419, 6211, 7057, 7351, 8269, 9241, 10267, 11719, 12097, 13267, 13669, 16651, 19441, 19927, 22447, 23497, 24571, 25117, 26227, 27361, 33391, 35317 (последовательность A002407 в OEIS).

а также

13, 109, 193, 433, 769, 1201, 1453, 2029, 3469, 3889, 4801, 10093, 12289, 13873, 18253, 20173, 21169, 22189, 28813, 37633, 43201, 47629, 60493, 63949, 65713, 69313, 73009, 76801, 84673, 106033, 108301, 112909, 115249

Простые-близнецы

Простые, состоящие из единиц

Числа, состоящие из 2, 19, 23, 317, 1031, 49081, 86453, 109297, 270343 единиц, являются простыми (последовательность A004023 в OEIS).

Простые, состоящие из единиц и нулей

Кроме простых чисел, состоящих только из единиц, можно отметить и простые числа, состоящие из единиц и нулей. В пределах первых десяти миллионов простыми являются следующие из таких чисел (последовательность A020449 в OEIS):

11, 101, 10111, 101111, 1011001, 1100101.

Простые палиндромы

Палиндромами называются числа, которые справа налево и слева направо читаются одинаковым образом, например, 30103. Среди таких чисел тоже встречаются простые. Ясно, что любой простой палиндром состоит из нечётного количества цифр (за исключением числа 11), так как любой палиндром с чётным количеством цифр всегда делится на 11. Первыми простыми палиндромами являются такие числа:

Простые числа Вильсона

Простые числа p, для которых делится нацело на .

Известные простые Вильсона: 5, 13, 563 (последовательность A007540 в OEIS).

Простые числа Вольстенхольма

Простые числа p для которых биномиальный коэффициент .

Известны только эти числа до миллиарда: 16843, 2124679 (последовательность A088164 в OEIS)

Простые числа Кэрола

Простые числа вида .

7, 47, 223, 3967, 16127, 1046527, 16769023, 1073676287, 68718952447, 274876858367, 4398042316799, 1125899839733759, 18014398241046527, 1298074214633706835075030044377087 (последовательность A091516 в OEIS).

Простые числа Маркова

Простые числа p для которых существуют целые x и y такие, что .

2, 5, 13, 29, 89, 233, 433, 1597, 2897, 5741, 7561, 28657, 33461, 43261, 96557, 426389, 514229 (последовательность A002559 в OEIS)

Простые числа Мерсенна

Простые числа вида . Первые 12 чисел:

3, 7, 31, 127, 8191, 131071, 524287, 2147483647, 2305843009213693951, 618970019642690137449562111, 162259276829213363391578010288127, 170141183460469231731687303715884105727 (последовательность A000668 в OEIS).

На сегодняшний день [когда?] известно 47 простых чисел Мерсенна, самое большое известное простое число является числом Мерсенна.

Простые числа Ньюмана-Шенкса-Вильямса

Числа Ньюмана-Шенкса-Вильямса являются простыми.

7, 41, 239, 9369319, 63018038201, 489133282872437279, 19175002942688032928599 (последовательность A088165 в OEIS).

Простые числа Прота

Простые числа вида , причем нечетно и k» border=»0″ /> (последовательность A080076 в OEIS).

Простые числа Софи Жермен

Простые числа p такие, что 2p + 1 также простые.

2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, 113, 131, 173, 179, 191, 233, 239, 251, 281, 293, 359, 419, 431, 443, 491, 509, 593, 641, 653, 659, 683, 719, 743, 761, 809, 911, 953 (последовательность A005384 в OEIS).

Простые числа Ферма

Это простые числа вида .

Известные числа Ферма: 3, 5, 17, 257, 65537 (последовательность A019434 в OEIS).

Простые числа Чена

Такие простые числа , что либо простое, либо полупростое.

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 47, 53, 59, 67, 71, 83, 89, 101, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 157, 167, 179, 181, 191, 197, 199, 211, 227, 233, 239, 251, 257, 263, 269, 281, 293, 307, 311, 317, 337, 347, 353, 359, 379, 389, 401, 409 (последовательность A109611 в OEIS)

Сбалансированные простые числа

Простые числа, которые являются средним арифметическим предыдущего простого числа и следующего простого числа.

5, 53, 157, 173, 211, 257, 263, 373, 563, 593, 607, 653, 733, 947, 977, 1103, 1123, 1187, 1223, 1367, 1511, 1747, 1753, 1907, 2287, 2417, 2677, 2903, 2963, 3307, 3313, 3637, 3733, 4013, 4409, 4457, 4597, 4657, 4691, 4993, 5107, 5113, 5303, 5387, 5393 (последовательность A006562 в OEIS)

Уникальные простые числа

Простые числа p, длина периодической дроби которых от уникальна (ни одно другое простое число не даёт такое же).

3, 11, 37, 101, 9091, 9901, 333667, 909091, 99990001, 999999000001, 9999999900000001, 909090909090909091, 1111111111111111111, 11111111111111111111111, 900900900900990990990991 (последовательность A040017 в OEIS).

Факториальные простые

Это простые числа вида для некоторого .

2, 3, 5, 7, 23, 719, 5039, 39916801, 479001599, 87178291199, 10888869450418352160768000001, 265252859812191058636308479999999, 263130836933693530167218012159999999, 8683317618811886495518194401279999999 (последовательность A088054 в OEIS).

Центральные квадратные простые числа

Числа вида .

5, 13, 41, 61, 113, 181, 313, 421, 613, 761, 1013, 1201, 1301, 1741, 1861, 2113, 2381, 2521, 3121, 3613, 4513, 5101, 7321, 8581, 9661, 9941, 10513, 12641, 13613, 14281, 14621, 15313, 16381, 19013, 19801, 20201, 21013, 21841, 23981, 24421, 26681 (последовательность A027862 в OEIS)

Центральные треугольные простые числа

Числа вида .

19, 31, 109, 199, 409, 571, 631, 829, 1489, 1999, 2341, 2971, 3529, 4621, 4789, 7039, 7669, 8779, 9721, 10459, 10711, 13681, 14851, 16069, 16381, 17659, 20011, 20359, 23251, 25939, 27541, 29191, 29611, 31321, 34429, 36739, 40099, 40591, 42589 (последовательность A125602 в OEIS)

Центральные семигранные простые числа

Числа вида .

43, 71, 197, 463, 547, 953, 1471, 1933, 2647, 2843, 3697, 4663, 5741, 8233, 9283, 10781, 11173, 12391, 14561, 18397, 20483, 29303, 29947, 34651, 37493, 41203, 46691, 50821, 54251, 56897, 57793, 65213, 68111, 72073, 76147, 84631, 89041, 93563 (последовательность A069099 в OEIS)

Центральные десятигранные простые числа

Числа вида .

11, 31, 61, 101, 151, 211, 281, 661, 911, 1051, 1201, 1361, 1531, 1901, 2311, 2531, 3001, 3251, 3511, 4651, 5281, 6301, 6661, 7411, 9461, 9901, 12251, 13781, 14851, 15401, 18301, 18911, 19531, 20161, 22111, 24151, 24851, 25561, 27011, 27751 (последовательность A090562 в OEIS)

Примечания

Литература

Ссылки

Полезное

Смотреть что такое «Список простых чисел» в других словарях:

Список алгоритмов — Эта страница информационный список. Основная статья: Алгоритм Ниже приводится список алгоритмов, группированный по категориям. Более детальные сведения приводятся в списке структур данных и … Википедия

Список математических функций — Эта страница информационный список. В математике, многие функции и группы функций настолько важны, что заслужили право на собственные имена. Ниже приведён список статей, которые содержат подробные описания некоторых из таких функций … Википедия

Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера — Существует множество математических и физических объектов, названных в честь Леонарда Эйлера: Содержание 1 Теоремы 2 Лемма 3 Уравнения 4 … Википедия

Список статей по математической логике — Это служебный список статей, созданный для координации работ по развитию темы. Данное предупреждение не ус … Википедия

Теория чисел — Теория чисел, или высшая арифметика раздел математики, изучающий целые числа и сходные объекты. В теории чисел в широком смысле рассматриваются как алгебраические, так и трансцендентные числа, а также функции различного происхождения, которые… … Википедия

Нерешенные проблемы теории чисел — Нерешённые проблемы (или Открытые проблемы) проблемы, которые рассматривались математиками, но до сих пор не решены. Часто принимают форму гипотез, которые предположительно верны, но нуждаются в доказательстве. В научном мире популярна практика… … Википедия

Нерешённые проблемы теории чисел — Нерешённые проблемы (или Открытые проблемы) проблемы, которые рассматривались математиками, но до сих пор не решены. Часто принимают форму гипотез, которые предположительно верны, но нуждаются в доказательстве. В научном мире популярна практика… … Википедия

Простое число — Простое число это натуральное число, имеющее ровно два различных натуральных делителя: единицу и само себя. Все остальные натуральные числа, кроме единицы, называются составными. Таким образом, все натуральные числа больше единицы… … Википедия

Проблема Ландау — Простое число это натуральное число, которое имеет ровно 2 различных делителя (только 1 и самого себя). Все остальные числа, не равные единице, называются составными. Таким образом, все натуральные числа, за исключением единицы, разбиваются на… … Википедия

Проблемы Ландау — Простое число это натуральное число, которое имеет ровно 2 различных делителя (только 1 и самого себя). Все остальные числа, не равные единице, называются составными. Таким образом, все натуральные числа, за исключением единицы, разбиваются на… … Википедия

Источник