Постулаты и аксиомы – свойства, принимаемые без доказательства. Все остальные предложения должны быть логически выводимы из определений, постулатов и аксиом. Различные авторы выдвигали различные требования к постулатам и аксиомам: так, Аристотель считал характерным свойством аксиом общепризнанность, Декарт – очевидность, Паскаль – недоказуемость.
Вот список постулатов Евклида.
1.
От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.
2.
Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.
3.
Из всякого центра и всяким раствором может быть описан круг.
4.
Все прямые углы равны между собой.
5.
Если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние односторонние углы, в сумме меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы в сумме меньше двух прямых.
Постулаты 1–3 определяют возможность построений линейкой (без делений) и циркулем. Полезно уточнить, что под «прямой» Евклид понимает «ограниченную» прямую, то есть, в современной терминологии, отрезок.
Математики многократно обращались к системе постулатов и аксиом Евклида, пытаясь улучшить ее. Так, в XVIII в. было осознано, что постулат 4 является лишним, поскольку вытекает из других постулатов и аксиом.
Подобные исследования длительное время велись и в отношении 5-го постулата, тем более, что он, из-за сложности формулировки, казался гораздо менее очевидным, чем остальные постулаты и аксиомы. Его пытались доказать, исходя из остальных постулатов и аксиом. При этом выяснилось только, что 5-й постулат логически эквивалентен некоторым другим утверждениям (то есть они могут быть выведены из него, а с другой стороны, он сам может быть выведен из любого из них, если считать их уже установленными), но ни он, ни эти утверждения не могут быть доказаны на основе других постулатов и аксиом Евклида. Мыслима геометрия, в которой 5-й постулат не выполняется, а остальные постулаты и аксиомы выполняются (геометрия Лобачевского). Обычно в современных изложениях геометрии 5-й постулат заменяется на эквивалентную ему аксиому параллельных (встречается уже у Прокла в V в. н. э.): через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, не пересекающуюся с данной. (Слово «прямая» здесь, как обычно в современной математике, обозначает бесконечную прямую).
Списки аксиом Евклида в разных сохранившихся старинных копиях «Начал» отличаются друг от друга – возможно, не все приводимые там аксиомы (да и постулаты) принадлежат самому Евклиду. Самым распространенным является следующий список аксиом.
1.
Равные одному и тому же равны и между собой.
2.
И если к равным прибавляются равные, то и целые будут равны.
3.
И если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны.
4.
И если к неравным прибавляются равные, то и целые не будут равны.
5.
И удвоенные одного и того же равны между собой.
6.
И половины одного и того же равны между собой.
7.
И совмещающиеся друг с другом равны между собой.
8.
И целое больше части.
9.
И две прямые не содержат пространства.
Естественный вопрос, который возникает при знакомстве с постулатами и аксиомами Евклида, – чем постулаты отличаются от аксиом. В целом представляется, что аксиомы, в отличие от постулатов, касаются очень общих свойств величин самой разной природы, в т. ч., например, чисел, а не только геометрических объектов. Тем не менее, аксиома 9 противоречит такой интерпретации. Смысл этой аксиомы – в том, что два отрезка не могут сходиться в двух различных точках – то есть ограничивать некоторую фигуру конечной площади.
Мы бы сейчас сформулировали эту аксиому так: «Через две точки проходит не более одной прямой». Попробуйте понять, в чем отличие данной аксиомы от постулата 1?
Постулат 1 утверждает существование по крайней мере одного отрезка с концами в двух данных точках, а аксиома 9 – то, что таких отрезков не более одного.
Важную роль играет аксиома 7. Фактически, речь в ней идет о том, что если наложить одну фигуру на другую так, что они совпадут, то эти фигуры будут равны. Евклид всегда употребляет слово «равны» в смысле равновеликости, т. е. равенства площадей (длин, объемов, величин углов). В современном смысле слово «равны» в применении к геометрическим фигурам означает именно «совпадение при наложении»: равные фигуры отличаются только местоположением (вернее, равенство означает, что существует движение, переводящее одну фигуру в другую; под движением понимается преобразование, сохраняющее расстояние, как если бы фигура была твердой и мы могли бы ее двигать). Уже математики XVII в. понимали равенство именно в этом смысле; Г. В. Лейбниц для такого равенства ввел специальный термин – конгруэнтность. Так что аксиома 7, в современных терминах, означает, что равные (конгруэнтные) фигуры равновелики. (При этом, разумеется, равновеликие фигуры не обязаны быть равными).
С помощью «совмещения» Евклид доказывает то, что сейчас называется признаками равенства треугольников, но в дальнейшем он избегает совмещений, ссылаясь при доказательстве равенства тех или иных фигур на уже доказанные признаки равенства треугольников.
В целом, выбор постулатов и аксиом у Евклида удачен, но его система не является полной: в ней отсутствуют многие важные аксиомы (например, стереометрические). Впрочем, еще Аристотель полагал, что иногда изложения той или иной науки обходят молчанием некоторые свойства и положения вследствие их очевидности. Вполне возможно, что Евклид не ставил себе целью дать полный список утверждений, необходимых для дальнейших доказательств. Эту задачу он оставил последующим математикам.
Что такое аксиома, теорема и доказательство теоремы
Понятие аксиомы
Аксиома — это правило, которое считают верным и которое не нужно доказывать. В переводе с греческого «аксиома» значит принятое положение — то есть взяли и договорились, что это истина, с которой не поспоришь.
Аксиоматический метод — это подход к получению знаний, при котором сначала разрабатывают аксиомы, а потом с их помощью формулируют новые теории.
Синоним аксиомы — постулат. Антоним — гипотеза.
Основные аксиомы евклидовой геометрии
Учить наизусть эти аксиомы не обязательно. Главное — помнить о них и держать под рукой, чтобы при доказательстве теоремы сослаться на одну из них.
А теперь давайте рассмотрим несколько аксиом из геометрии за 7 и 8 класс.
Самая известная аксиома Евклида — аксиома о параллельных прямых. Звучит она так:
Это значит, что если дана прямая и любая точка, которая не лежит на этой прямой, то через неё можно провести только одну единственную прямую, которая будет параллельна этой первой данной прямой.
У этой аксиомы два следствия:
Аксиома Архимеда заключается в том, что, если отложить достаточное число раз меньший из двух отрезков, то можно покрыть больший из них. Звучит так:
Если на прямой есть меньший отрезок А и больший отрезок B, то, можно сложить А достаточное количество раз, чтобы покрыть B.
На картинке можно увидеть, как это выглядит:
Из этого следует, что не существует бесконечно малых и бесконечно больших величин. В качестве математической формулы аксиому можно записать так: А + А + … + А = А * n > В, где n — это натуральное число.
Понятие теоремы
Что такое аксиома мы уже поняли, теперь узнаем определение теоремы.
Теорема — логическое следствие аксиом. Это утверждение, которое основано на аксиомах и общепринятых утверждениях, которые были доказаны ранее, и доказывается на их основе.
Состав теоремы: условие и заключение или следствие.
Среди теорем выделяют такие, которые сами по себе не используются в решениях задач. Но их используют для доказательства других теорем.
Лемма — это вспомогательная теорема, с помощью которой доказываются другие теоремы. Пример леммы: если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и вторая прямая тоже пересекает эту плоскость.
Следствие — утверждение, которое выводится из аксиомы или теоремы. Следствие, как и теорему, необходимо доказывать.
Примеры следствий из аксиомы о параллельности прямых:
Доказательство теоремы — это процесс обоснования истинности утверждения.
Каждая доказанная теорема служит основанием доказательства для следующей теоремы. Именно поэтому так важно изучать геометрию последовательно, переходя от аксиом к теоремам.
Способы доказательства геометрических теорем
Часть аналитического способа — доказательство от противного, когда для доказательства данного предложения убеждают в невозможности предположения противоположного.
Приемы для доказательства в геометрии:
Обратная теорема — это такой перевертыш: в ней условие исходной теоремы дано заключением, а заключение — условием.
Прямая и обратная теорема взаимно-обратные. Например:
В первой теореме данное условие — это равенство сторон треугольника, а заключение — равенство противолежащих углов. А во второй всё наоборот.
Противоположная теорема — это утверждение, в котором из отрицания условия вытекает отрицание заключения.
Вот, как выглядит взаимное отношение теорем на примере:
В геометрическом изложении достаточно доказать только две теоремы, тогда остальные справедливы без доказательства.
Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курс подготовки к ЕГЭ по математике (профиль).
Доказательств может быть несколько. Одно из них звучит так: если построить квадраты на сторонах прямоугольного треугольника, то площадь большего из них равна сумме площадей меньших квадратов. На картинке понятно, как это работает:
Теорема косинусов: квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. В виде формулы это выглядит так:
где a, b и c — стороны плоского треугольника,
α — угол, противолежащий стороне а.
Следствия из теоремы косинусов:
Понятия свойств и признаков
У нас есть список аксиом и мы уже знаем, что такое теорема и как ее доказывать. Есть два типа утверждений среди теорем, которые часто встречаются при изучении новых фигур: свойства и признаки.
Свойства и признаки — понятия из обычной жизни, которые мы часто используем.
Свойство — такое утверждение, которое должно выполняться для данного типа объектов. У ноутбука есть клавиатура — это свойство есть у каждого ноутбука. А у электронной книги такого свойства нет.
Примеры геометрических свойств мы уже знаем: у квадрата все стороны равны. Это верно для любого квадрата, поэтому это — свойство.
Такое свойство можно встретить у другого четырехугольника. И клавиатура может быть на других устройствах, помимо ноутбука. Из этого следует, что свойства не обязательно должны быть уникальными.
Признак — это то, по чему мы однозначно распознаем объект.
Звезды в темном небе — признак того, что сейчас ночь. Если человек ходит с открытым зонтом — это признак того, что сейчас идет дождь. При этом ночью не обязательно должны быть видны звезды, иногда может быть облачно. Значит это не свойство ночи.
А теперь вернемся к геометрии и рассмотрим четырехугольник ABCD, в котором AB = BD = 10 см.
Является ли равенство диагоналей признаком прямоугольника? У такого четырехугольника, где AB = BD, диагонали равны, но он не является прямоугольником. Это свойство, но не его признак.
Но если в четырехугольнике противоположные стороны параллельны AB || DC и AD || BC и диагонали равны AB = BD, то это уже верный признак прямоугольника. Смотрите рисунок:
Иногда свойство и признак могут быть эквивалентны. Лужи — это верный признак дождя. У других природных явлений не бывает луж. Но если приходит дождь, то лужи на асфальте точно будут. Значит, лужи — это не только признак, но и свойство дождя.
Такие утверждения называют необходимым и достаточным признаком.
Евклидова геометрия — это геометрическая теория, основанная на системе аксиом, которая была впервые изложена в третьем веке до нашей эры великим древнегреческим математиком Евклидом в грандиозном научном труде «Начала».
Система аксиом Евклида базируется на основных геометрические понятиях таких, как точка, прямая, плоскость, движение, а также на следующие отношения: «точка лежит на прямой на плоскости», «точка лежит между двумя другими».
В «Началах» Евклид представил следующую аксиоматику:
Тщательное изучение аксиоматики Евклида во второй половине XIX века показало её неполноту. В 1899 году Д. Гилберт предложил первую строгую аксиоматику евклидовой геометрии. Впоследствии еще не раз ученые предпринимали попытки усовершенствовать аксиоматику евклидовой геометрии. Кроме аксиоматики Гилберта, известными считаются: аксиоматики Тарского и аксиоматики Биргофа, которая состоит всего лишь из 4 аксиом.
В современной трактовке система аксиом Евклида может быть разделена на пять групп:
Евклидова геометрия стала результатом систематизации и обобщения наглядных представлений человека об окружающем мире. Углубленное проникновение в суть геометрии привело к более абстрактному пониманию науки. Более поздние достижения и открытие показали, что наши представления о пространстве являются априорными, то есть чисто умозрительные. Таким образом было поставлено под сомнение существование единственной геометрии. бурное развитие физики и астрономии, доказало, что евклидова геометрия описывает структуру окружающего пространства, но вовсе не способна описать свойства пространства, связанные с перемещениями тел со скоростями, близкими к световой. Русский математик Н. И. Лобачевский разработал новую неевклидову геометрию, которая приблизилась к реальному описанию физического пространства.
Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru. Некоторые термины будто созданы, чтобы пугать людей. Слово «постулат» как раз такое.
Сразу же представляется грозное нагромождение формул на доске университетского профессора. На самом деле, все намного проще. Дочитав статью до последней точки, вы в этом убедитесь.
Постулат – что это?
Термин образовался от латинского слова postulatum, что переводится как «требование». Словарь Ожегова дает такое определение:
«Постулат – это исходное положение, допущение, принимаемое без доказательств, аксиома».
Считается, что «аксиома» – это синоним слова «постулат». Споры по этому поводу не утихают до сих пор. Есть альтернативная точка зрения, по которой:
аксиома – это утверждение, обладающее самоочевидностью (например: «часть всегда будет меньше целого»), а постулат – это просто допущение.
Мы не будем ввязываться в войну формулировок: разница между терминами настолько легка и неуловима, что ей можно пренебречь. Даже в кругу научных светил вас вряд ли поднимут на смех, если назвать аксиомы постулатами или наоборот.
Постулировать – это значит без доказательства принимать утверждение в качестве исходного положения для данной теории.
Значение постулатов для научного познания
Постулат – это основа для теории.
Если мы возводим дом, то начинаем с фундамента. От него зависит, насколько устойчивой получится конструкция. Вот и для научной теории необходим надежный фундамент – факты, на которые можно опираться, использовать для построения выводов.
Без постулатов было бы невозможно что-либо доказать. Пришлось бы ставить под сомнение исходное утверждение, потом исходное утверждение исходного утверждения. и так по цепочке в бесконечную последовательность доказательств.
Еще постулат может формулировать правила вывода – способ, по которому нужно переходить от предпосылок к следствиям из них. Например, Шерлок Холмс руководствовался принципом: идти от частного к общему (индуктивный метод мышления, хотя ему приписывали дедуктивный). Видя мелкие детали на часах собеседника, он мог рассказать историю жизни их владельца.
Откуда они берутся
Примеры постулатов
Утверждения, принимаемые без доказательств, используются в логике, математике, философии, физике и других науках. Выражение используют в повседневной речи для придания словам значимости.
Постулаты в философии
Немецкий философ Кант установил постулаты практического разума – допущения, которые не доказаны, но достоверны с высокой степенью вероятности. Таких утверждений ровно три:
Кант не настаивал на абсолютной истинности этих идей. Но он пишет о том, что в них необходимо верить, чтобы не впасть в абсурд и уныние.
Постулаты в геометрии
Впервые термин употребил древнегреческий математик Евклид в своей работе «Начала». Он привел список аксиом и постулатов, но отчего-то не стал объяснять различия между ними.
Постулаты Евклида:
Первые четыре пункта звучат очевидно и понятно даже для ребенка. А вот пятое совсем читать не хочется. Но не все так ужасно.
Последний постулат знаком любому школьнику в такой формулировке: «Параллельные прямые не сближаются, не удаляются и не пересекаются».
Сложность формулировки породила желание оспорить утверждение. Российский ученый Николай Лобачевский смог доказать, что прямые сближаются и удаляются друг от друга, если идет речь не о плоскости, а о кривой поверхности:
Современники не оценили заслуг Лобачевского. Его сочли не совсем адекватным человеком и отстранили от должности ректора Казанского университета. С венгерским математиком Яношем Бойяи получилось еще хуже. Во время работы над пятым постулатом бедняга сошел с ума.
Постулаты не претендуют на всеобъемлемость
Ученые не опровергают постулаты, а лишь находят границы их применения. Вот здесь это работает, а дальше – уже нет.
Лобачевский не доказал ошибочность утверждения древнегреческого математика, но указал на области, где его положение не действует.
То есть утверждение Евклида работает в рамках Евклидовой геометрии, когда речь идет о плоскости. А российского математика интересовала логика поведения прямых линий в объемном пространстве, подобном тому, где мы живем.
Удачи вам! До скорых встреч на страницах блога KtoNaNovenkogo.ru
Эта статья относится к рубрикам:
Комментарии и отзывы (5)
Спасибо за статью! Хорошая. Творческих успехов!:)
Лучше ничего не принимать на веру без доказательств, ведь так и появляются ложные постулаты и целые теории на их основе. Это особенно характерно для философии, многие концепции которой оставляют желать лучшего.
То есть, постулат — это просто синоним аксиомы. Слово, как я понимаю, латинского происхождения.
Душа бессмертна и Бог существует. Жаль, что эти постулаты Канта для Дарвина были пустым местом, и дети до сих пор изучают его лживую теорию происхождения жизни.
В отличие от аксиомы постулат не требует доказательств не потому что он самоочевиден, а потому что постулат уже был ранее доказан. Проще говоря, не нужно каждый раз снова и снова доказывать то, что уже было доказано.
Если у вас есть линейный сегмент с конечными точками A и B, а точка C находится между точками A и B, тогда AC + CB = AB. Сложение угла Постулат: Это постулаты утверждает, что если вы разделите один угол на два меньших угла, то сумма этих двух углов должна быть равна величине исходного угла.
Принимая это во внимание, как найти смежные углы?
Две углов Он Смежный когда они имеют общую сторону и общую вершину (угловую точку) и не перекрываются. Потому что: у них общая сторона (линия CB) у них есть общая вершина (точка B)
Также знайте, что такое постулат SSS? Доказательство конгруэнтных треугольников с помощью SSS. Сторона Сторона Сторона постулат утверждает, что если три стороны одного треугольника конгруэнтны трем сторонам другого треугольника, то эти два треугольника конгруэнтны.
Как разделить угол пополам?
Какие 5 постулатов в геометрии?
Как вы решаете постулаты?
Если у вас есть линейный сегмент с конечными точками A и B, а точка C находится между точками A и B, тогда AC + CB = AB. Сложение угла Постулат: Это постулаты утверждает, что если вы разделите один угол на два меньших угла, то сумма этих двух углов должна быть равна величине исходного угла.
Какова формула постулата сложения сегментов?
постулат сложения сегментов утверждает, что если нам даны две точки на линии сегмент, A и C третья точка B лежит на прямой сегмент AC тогда и только тогда, когда расстояния между точками удовлетворяют требованиям уравнения AB + BC = AC.
Каковы 11 постулатов геометрии?
A
B
# 8.
Через любые 3 неколлинеарные точки существует ровно одна плоскость.
# 9.
На плоскости есть не менее трех неколлинеарных точек.
# 10.
Если 2 точки лежат на плоскости, то линия, содержащая их, лежит на плоскости.
# 11.
Если две плоскости пересекаются, то их пересечение является линией.
Что такое перпендикулярная линия?
Какие 7 постулатов?
В чем разница между постулатом и аксиомой?
Как сложение связано с измерением угла?
Как вы определяете углы?
В плоской геометрии угол фигура, образованная двумя лучами, называемыми сторонами угол, разделяя общую конечную точку, называемую вершиной угол. Углы образованные двумя лучами, лежат в плоскости, но эта плоскость не обязательно должна быть евклидовой.
Сколько теорем в геометрии?
Каковы свойства угла?
Каждый угол противоположен другому и образуют пару так называемых противоположных углов. Углы а и с противоположны углов. Напротив углов равны. Противоположный углов иногда называют вертикальными углов или вертикально напротив углов.
Сколько существует типов постулатов?
Какие 5 постулатов в геометрии?
Что такое свойство сложения углов?
конгруэнтный. Углы конгруэнтный когда они одного размера (в градусах или радианах). Стороны конгруэнтный когда они одинаковой длины.
Что такое свойство сложения углов?
Что такое определение в геометрии?
существительное. В определение of геометрия это раздел математики, который фокусируется на измерении и соотношении линий, углов, поверхностей, тел и точек. Пример геометрия вычисление углов треугольника. YourDictionary определение и пример использования.
Конгруэнтны ли параллельные линии?
Если два параллельные линии пересекаются трансверсалью, соответствующие углы равны конгруэнтный. Если два линий пересекаются трансверсалью, а соответствующие углы равны конгруэнтный, линии параллельны. Внутренние углы на одной стороне поперечного сечения: Название представляет собой описание «местоположения» этих углов.
Какие бывают типы теорем?
Что такое постулат двух точек?
2 Точечный постулат: Через любые две точки существует ровно одна линия. Теорема о пересечении прямых: если два линии пересекаются, затем они пересекаются ровно в одном точка.
Какие углы совпадают?
Конгруэнтные углы двое или больше углов которые имеют такую же меру. Проще говоря, у них одинаковое количество степеней. Важно отметить, что длина угловкрая или направление углов не влияет на их соответствие. Пока их мера равна, углов считаются конгруэнтный.
Как разделить угол пополам?
Что такое перпендикулярная линия?
Что такое перпендикулярная линия?
сложение углов постулат гласит, что если точка находится внутри угол и вы добавляете два углов которые сделаны путем проведения линии через точку, в которой сумма будет равна большому угол, Два или более углов разделяющие одну сторону называются Соседними Углы.
Что такое постулат сложения ARC?
полукруг дуга что меры. Постулат сложения дуги Постулат сложения дуги заявляет, что мера дуга образованный двумя соседними дуги это сумма мер двух дуги.
Как читать транспортир?
Сколько постулатов в геометрии?
Есть ли постулат вычитания угла?
Там четыре вычитание теоремы, которые вы можете использовать в доказательствах геометрии: две для отрезков и две для углов. Каждому из них соответствует одна из теорем сложения. Вот вычитание теоремы для трех отрезков и трех углов (сокращенно сегмент вычитание, вычитание углаИли просто вычитание):
Какие углы совпадают?
Как читать транспортир?
Что такое постулат сложения ARC?
Конгруэнтные углы двое или больше углов которые имеют такую же меру. Проще говоря, у них одинаковое количество степеней. Важно отметить, что длина угловкрая или направление углов не влияет на их соответствие. Пока их мера равна, углов считаются конгруэнтный.
