Евклидова геометрия — это геометрическая теория, основанная на системе аксиом, которая была впервые изложена в третьем веке до нашей эры великим древнегреческим математиком Евклидом в грандиозном научном труде «Начала».
Система аксиом Евклида базируется на основных геометрические понятиях таких, как точка, прямая, плоскость, движение, а также на следующие отношения: «точка лежит на прямой на плоскости», «точка лежит между двумя другими».
В «Началах» Евклид представил следующую аксиоматику:
Тщательное изучение аксиоматики Евклида во второй половине XIX века показало её неполноту. В 1899 году Д. Гилберт предложил первую строгую аксиоматику евклидовой геометрии. Впоследствии еще не раз ученые предпринимали попытки усовершенствовать аксиоматику евклидовой геометрии. Кроме аксиоматики Гилберта, известными считаются: аксиоматики Тарского и аксиоматики Биргофа, которая состоит всего лишь из 4 аксиом.
В современной трактовке система аксиом Евклида может быть разделена на пять групп:
Евклидова геометрия стала результатом систематизации и обобщения наглядных представлений человека об окружающем мире. Углубленное проникновение в суть геометрии привело к более абстрактному пониманию науки. Более поздние достижения и открытие показали, что наши представления о пространстве являются априорными, то есть чисто умозрительные. Таким образом было поставлено под сомнение существование единственной геометрии. бурное развитие физики и астрономии, доказало, что евклидова геометрия описывает структуру окружающего пространства, но вовсе не способна описать свойства пространства, связанные с перемещениями тел со скоростями, близкими к световой. Русский математик Н. И. Лобачевский разработал новую неевклидову геометрию, которая приблизилась к реальному описанию физического пространства.
Постулаты и аксиомы – свойства, принимаемые без доказательства. Все остальные предложения должны быть логически выводимы из определений, постулатов и аксиом. Различные авторы выдвигали различные требования к постулатам и аксиомам: так, Аристотель считал характерным свойством аксиом общепризнанность, Декарт – очевидность, Паскаль – недоказуемость.
Вот список постулатов Евклида.
1.
От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.
2.
Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.
3.
Из всякого центра и всяким раствором может быть описан круг.
4.
Все прямые углы равны между собой.
5.
Если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние односторонние углы, в сумме меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы в сумме меньше двух прямых.
Постулаты 1–3 определяют возможность построений линейкой (без делений) и циркулем. Полезно уточнить, что под «прямой» Евклид понимает «ограниченную» прямую, то есть, в современной терминологии, отрезок.
Математики многократно обращались к системе постулатов и аксиом Евклида, пытаясь улучшить ее. Так, в XVIII в. было осознано, что постулат 4 является лишним, поскольку вытекает из других постулатов и аксиом.
Подобные исследования длительное время велись и в отношении 5-го постулата, тем более, что он, из-за сложности формулировки, казался гораздо менее очевидным, чем остальные постулаты и аксиомы. Его пытались доказать, исходя из остальных постулатов и аксиом. При этом выяснилось только, что 5-й постулат логически эквивалентен некоторым другим утверждениям (то есть они могут быть выведены из него, а с другой стороны, он сам может быть выведен из любого из них, если считать их уже установленными), но ни он, ни эти утверждения не могут быть доказаны на основе других постулатов и аксиом Евклида. Мыслима геометрия, в которой 5-й постулат не выполняется, а остальные постулаты и аксиомы выполняются (геометрия Лобачевского). Обычно в современных изложениях геометрии 5-й постулат заменяется на эквивалентную ему аксиому параллельных (встречается уже у Прокла в V в. н. э.): через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, не пересекающуюся с данной. (Слово «прямая» здесь, как обычно в современной математике, обозначает бесконечную прямую).
Списки аксиом Евклида в разных сохранившихся старинных копиях «Начал» отличаются друг от друга – возможно, не все приводимые там аксиомы (да и постулаты) принадлежат самому Евклиду. Самым распространенным является следующий список аксиом.
1.
Равные одному и тому же равны и между собой.
2.
И если к равным прибавляются равные, то и целые будут равны.
3.
И если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны.
4.
И если к неравным прибавляются равные, то и целые не будут равны.
5.
И удвоенные одного и того же равны между собой.
6.
И половины одного и того же равны между собой.
7.
И совмещающиеся друг с другом равны между собой.
8.
И целое больше части.
9.
И две прямые не содержат пространства.
Естественный вопрос, который возникает при знакомстве с постулатами и аксиомами Евклида, – чем постулаты отличаются от аксиом. В целом представляется, что аксиомы, в отличие от постулатов, касаются очень общих свойств величин самой разной природы, в т. ч., например, чисел, а не только геометрических объектов. Тем не менее, аксиома 9 противоречит такой интерпретации. Смысл этой аксиомы – в том, что два отрезка не могут сходиться в двух различных точках – то есть ограничивать некоторую фигуру конечной площади.
Мы бы сейчас сформулировали эту аксиому так: «Через две точки проходит не более одной прямой». Попробуйте понять, в чем отличие данной аксиомы от постулата 1?
Постулат 1 утверждает существование по крайней мере одного отрезка с концами в двух данных точках, а аксиома 9 – то, что таких отрезков не более одного.
Важную роль играет аксиома 7. Фактически, речь в ней идет о том, что если наложить одну фигуру на другую так, что они совпадут, то эти фигуры будут равны. Евклид всегда употребляет слово «равны» в смысле равновеликости, т. е. равенства площадей (длин, объемов, величин углов). В современном смысле слово «равны» в применении к геометрическим фигурам означает именно «совпадение при наложении»: равные фигуры отличаются только местоположением (вернее, равенство означает, что существует движение, переводящее одну фигуру в другую; под движением понимается преобразование, сохраняющее расстояние, как если бы фигура была твердой и мы могли бы ее двигать). Уже математики XVII в. понимали равенство именно в этом смысле; Г. В. Лейбниц для такого равенства ввел специальный термин – конгруэнтность. Так что аксиома 7, в современных терминах, означает, что равные (конгруэнтные) фигуры равновелики. (При этом, разумеется, равновеликие фигуры не обязаны быть равными).
С помощью «совмещения» Евклид доказывает то, что сейчас называется признаками равенства треугольников, но в дальнейшем он избегает совмещений, ссылаясь при доказательстве равенства тех или иных фигур на уже доказанные признаки равенства треугольников.
В целом, выбор постулатов и аксиом у Евклида удачен, но его система не является полной: в ней отсутствуют многие важные аксиомы (например, стереометрические). Впрочем, еще Аристотель полагал, что иногда изложения той или иной науки обходят молчанием некоторые свойства и положения вследствие их очевидности. Вполне возможно, что Евклид не ставил себе целью дать полный список утверждений, необходимых для дальнейших доказательств. Эту задачу он оставил последующим математикам.
Аксио́ма паралле́льности Евкли́да, или пя́тый постула́т — одна из аксиом, лежащих в основании классической планиметрии. Впервые приведена в «Началах» Евклида [1] :
И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные неограниченно эти прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.
Καὶ ἐὰν εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη γωνίας δύο ὀρθῶν ἐλάσσονας ποιῇ, ἐκβαλλομένας τὰς δύο εὐθείας ἐπ’ ἄπειρον συμπίπτειν, ἐφ’ ἃ μέρη εἰσὶν αἱ τῶν δύο ὀρθῶν ἐλάσσονες.
Евклид различает понятия постулат и аксиома, не объясняя их различия; в разных манускриптах «Начал» Евклида разбиение утверждений на аксиомы и постулаты различно, равно как не совпадает и их порядок. В классическом издании «Начал» Гейберга сформулированное утверждение является пятым постулатом.
На современном языке текст Евклида можно переформулировать так:
Содержание
Эквивалентные формулировки
В школьных учебниках обычно приводится другая формулировка, эквивалентная (равносильная) V постулату и принадлежащая Проклу [2] :
В плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной.
Вообще у V постулата имеется огромное количество эквивалентных формулировок, многие из которых кажутся довольно очевидными. Вот некоторые из них [3] :
Эквивалентность их означает, что все они могут быть доказаны, если принять V постулат, и наоборот, заменив V постулат на любое из этих утверждений, мы сможем доказать исходный V постулат как теорему.
Если из списка аксиом исключить V постулат, то полученная система аксиом будет описывать так называемую абсолютную геометрию.
Если вместо V постулата допустить, что для пары точка—прямая V постулат неверен, то полученная система аксиом будет описывать геометрию Лобачевского. Понятно, что в геометрии Лобачевского все вышеперечисленные эквивалентные утверждения неверны.
Система аксиом сферической геометрии требует изменения также и других аксиом Евклида.
Попытки доказательства
Пятый постулат резко выделяется среди других, вполне очевидных (см. Начала Евклида). Он больше похож на сложную, неочевидную теорему. Евклид, вероятно, сознавал это, и поэтому первые 28 предложений в «Началах» доказываются без его помощи.
Математики с давних времён пытались «улучшить Евклида» — либо исключить пятый постулат из числа исходных утверждений, то есть доказать его, опираясь на остальные постулаты и аксиомы, либо заменить его другим, столь же очевидным, как другие постулаты. Надежду на достижимость этого результата поддерживало то, что IV постулат Евклида (все прямые углы равны) действительно оказался лишним — он был строго доказан как теорема и исключён из перечня аксиом.
За два тысячелетия было предложено много доказательств пятого постулата, но в каждом из них рано или поздно обнаруживался порочный круг: оказывалось, что среди явных или неявных посылок содержится утверждение, которое не удаётся доказать без использования того же пятого постулата.
Прокл (V век н. э.) в «Комментарии к I книге Начал Евклида» сообщает, что такое доказательство предложил Клавдий Птолемей, критикует его доказательство и предлагает своё собственное, опираясь на допущение, что расстояние между двумя непересекающимися прямыми есть ограниченная величина. Впоследствии выяснилось, что это допущение равносильно V постулату.
Аналогичную ошибку сделал ибн ал-Хайсам, но он впервые рассмотрел фигуру, позже получившую название «четырёхугольник Ламберта» — четырёхугольник, у которого три внутренних угла — прямые. Он сформулировал три возможных варианта для четвёртого угла: острый, прямой, тупой. Обсуждение этих трёх гипотез, в разных вариантах, многократно возникало в позднейших исследованиях.
Ал-Абхари предложил доказательство, сходное с доказательством ал-Джаухари. (Это доказательство приводит в своей книге ас-Самарканди, и ряд исследователей считал его доказательством ас-Самарканди.) Он исходит из верного в абсолютной геометрии утверждения о том, что для всякой прямой, пересекающей стороны данного угла, может быть построена ещё одна прямая, пересекающая стороны этого же угла и отстоящая от его вершины дальше, чем первая. Но из этого утверждения он делает логически необоснованный вывод о том, что через всякую точку внутри данного угла можно провести прямую, пересекающую обе стороны этого угла, — и основывает на этом последнем утверждении, эквивалентном V постулату, всё дальнейшее доказательство.
В целом можно сказать, что все перечисленные попытки принесли немалую пользу: была установлена связь между V постулатом и другими утверждениями, были отчётливо сформулированы две альтернативы V постулату — гипотезы острого и тупого угла.
Первые наброски неевклидовой геометрии
Видимо, Саккери чувствовал необоснованность этого «доказательства», потому что исследование продолжается. Он рассматривает эквидистанту — геометрическое место точек плоскости, равноотстоящих от прямой; в отличие от своих предшественников, Саккери знает, что в рассматриваемом случае это вовсе не прямая. Однако, вычисляя длину её дуги, Саккери допускает ошибку и приходит к реальному противоречию, после чего заканчивает исследование и с облегчением заявляет, что он «вырвал эту зловредную гипотезу с корнем».
Во второй половине XVIII века было опубликовано более 50 работ по теории параллельных. В обзоре тех лет (Г. С. Клюгель) исследуется более 30 попыток доказать V постулат и доказывается их ошибочность. Известный немецкий математик и физик И. Г. Ламберт, с которым Клюгель переписывался, тоже заинтересовался проблемой; его «Теория параллельных линий» была издана посмертно в 1786 году.
Ламберт первым обнаружил, что «геометрия тупого угла» реализуется на сфере, если под прямыми понимать большие круги. Он, как и Саккери, вывел из «гипотезы острого угла» множество следствий, причём продвинулся гораздо дальше Саккери; в частности, он обнаружил, что дополнение суммы углов треугольника до 180° пропорционально площади треугольника.
В своей книге Ламберт проницательно отметил [14] :
Мне кажется очень замечательным, что вторая гипотеза [тупого угла] оправдывается, если вместо плоских треугольников взять сферические. Я из этого почти должен был бы сделать вывод — заключение, что третья гипотеза имеет место на какой-то мнимой сфере. Во всяком случае, должна же существовать причина, почему она на плоскости далеко не так легко поддаётся опровержению, как это могло быть сделано в отношении второй гипотезы.
Ламберт не нашёл противоречия в гипотезе острого угла и пришёл к заключению, что все попытки доказать V постулат безнадёжны. Однако в ложности «геометрии острого угла» он не сомневался.
Открытие неевклидовой геометрии
Первым был Гаусс. Он не публиковал никаких работ на эту тему, но его черновые заметки и несколько писем однозначно подтверждают его понимание неевклидовой геометрии. В 1818 году в письме к австрийскому астроному Герлингу он писал [16] :
Я радуюсь, что вы имеете мужество высказаться так, как если бы Вы признавали ложность нашей теории параллельных, а вместе с тем и всей нашей геометрии. Но осы, гнездо которых Вы потревожите, полетят Вам на голову.
Ознакомившись с работой Лобачевского «Геометрические исследования по теории параллельных», Гаусс энергично ходатайствует об избрании русского математика иностранным членом-корреспондентом Гёттингенского королевского общества (что и произошло в 1842 году).
Доказать непротиворечивость новой геометрии ни Лобачевский, ни Бойяи не сумели — тогда математика ещё не располагала необходимыми для этого средствами. Только спустя 40 лет появились модель Клейна и другие модели, реализующие аксиоматику геометрии Лобачевского на базе евклидовой геометрии. Эти модели убедительно доказывают, что отрицание V постулата не противоречит остальным аксиомам геометрии; отсюда вытекает, что V постулат независим от остальных аксиом и доказать его невозможно.
Что такое аксиома, теорема и доказательство теоремы
Понятие аксиомы
Аксиома — это правило, которое считают верным и которое не нужно доказывать. В переводе с греческого «аксиома» значит принятое положение — то есть взяли и договорились, что это истина, с которой не поспоришь.
Аксиоматический метод — это подход к получению знаний, при котором сначала разрабатывают аксиомы, а потом с их помощью формулируют новые теории.
Синоним аксиомы — постулат. Антоним — гипотеза.
Основные аксиомы евклидовой геометрии
Учить наизусть эти аксиомы не обязательно. Главное — помнить о них и держать под рукой, чтобы при доказательстве теоремы сослаться на одну из них.
А теперь давайте рассмотрим несколько аксиом из геометрии за 7 и 8 класс.
Самая известная аксиома Евклида — аксиома о параллельных прямых. Звучит она так:
Это значит, что если дана прямая и любая точка, которая не лежит на этой прямой, то через неё можно провести только одну единственную прямую, которая будет параллельна этой первой данной прямой.
У этой аксиомы два следствия:
Аксиома Архимеда заключается в том, что, если отложить достаточное число раз меньший из двух отрезков, то можно покрыть больший из них. Звучит так:
Если на прямой есть меньший отрезок А и больший отрезок B, то, можно сложить А достаточное количество раз, чтобы покрыть B.
На картинке можно увидеть, как это выглядит:
Из этого следует, что не существует бесконечно малых и бесконечно больших величин. В качестве математической формулы аксиому можно записать так: А + А + … + А = А * n > В, где n — это натуральное число.
Понятие теоремы
Что такое аксиома мы уже поняли, теперь узнаем определение теоремы.
Теорема — логическое следствие аксиом. Это утверждение, которое основано на аксиомах и общепринятых утверждениях, которые были доказаны ранее, и доказывается на их основе.
Состав теоремы: условие и заключение или следствие.
Среди теорем выделяют такие, которые сами по себе не используются в решениях задач. Но их используют для доказательства других теорем.
Лемма — это вспомогательная теорема, с помощью которой доказываются другие теоремы. Пример леммы: если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и вторая прямая тоже пересекает эту плоскость.
Следствие — утверждение, которое выводится из аксиомы или теоремы. Следствие, как и теорему, необходимо доказывать.
Примеры следствий из аксиомы о параллельности прямых:
Доказательство теоремы — это процесс обоснования истинности утверждения.
Каждая доказанная теорема служит основанием доказательства для следующей теоремы. Именно поэтому так важно изучать геометрию последовательно, переходя от аксиом к теоремам.
Способы доказательства геометрических теорем
Часть аналитического способа — доказательство от противного, когда для доказательства данного предложения убеждают в невозможности предположения противоположного.
Приемы для доказательства в геометрии:
Обратная теорема — это такой перевертыш: в ней условие исходной теоремы дано заключением, а заключение — условием.
Прямая и обратная теорема взаимно-обратные. Например:
В первой теореме данное условие — это равенство сторон треугольника, а заключение — равенство противолежащих углов. А во второй всё наоборот.
Противоположная теорема — это утверждение, в котором из отрицания условия вытекает отрицание заключения.
Вот, как выглядит взаимное отношение теорем на примере:
В геометрическом изложении достаточно доказать только две теоремы, тогда остальные справедливы без доказательства.
Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курс подготовки к ЕГЭ по математике (профиль).
Доказательств может быть несколько. Одно из них звучит так: если построить квадраты на сторонах прямоугольного треугольника, то площадь большего из них равна сумме площадей меньших квадратов. На картинке понятно, как это работает:
Теорема косинусов: квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. В виде формулы это выглядит так:
где a, b и c — стороны плоского треугольника,
α — угол, противолежащий стороне а.
Следствия из теоремы косинусов:
Понятия свойств и признаков
У нас есть список аксиом и мы уже знаем, что такое теорема и как ее доказывать. Есть два типа утверждений среди теорем, которые часто встречаются при изучении новых фигур: свойства и признаки.
Свойства и признаки — понятия из обычной жизни, которые мы часто используем.
Свойство — такое утверждение, которое должно выполняться для данного типа объектов. У ноутбука есть клавиатура — это свойство есть у каждого ноутбука. А у электронной книги такого свойства нет.
Примеры геометрических свойств мы уже знаем: у квадрата все стороны равны. Это верно для любого квадрата, поэтому это — свойство.
Такое свойство можно встретить у другого четырехугольника. И клавиатура может быть на других устройствах, помимо ноутбука. Из этого следует, что свойства не обязательно должны быть уникальными.
Признак — это то, по чему мы однозначно распознаем объект.
Звезды в темном небе — признак того, что сейчас ночь. Если человек ходит с открытым зонтом — это признак того, что сейчас идет дождь. При этом ночью не обязательно должны быть видны звезды, иногда может быть облачно. Значит это не свойство ночи.
А теперь вернемся к геометрии и рассмотрим четырехугольник ABCD, в котором AB = BD = 10 см.
Является ли равенство диагоналей признаком прямоугольника? У такого четырехугольника, где AB = BD, диагонали равны, но он не является прямоугольником. Это свойство, но не его признак.
Но если в четырехугольнике противоположные стороны параллельны AB || DC и AD || BC и диагонали равны AB = BD, то это уже верный признак прямоугольника. Смотрите рисунок:
Иногда свойство и признак могут быть эквивалентны. Лужи — это верный признак дождя. У других природных явлений не бывает луж. Но если приходит дождь, то лужи на асфальте точно будут. Значит, лужи — это не только признак, но и свойство дождя.
Такие утверждения называют необходимым и достаточным признаком.
