Что такое практикум геометрия
Элективный курс «Практикум по решению геометрических задач»
«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Элективный курс «Практикум по решению геометрических задач» направлен на удовлетворение познавательных потребностей и интересов старшеклассников, на формирование у них новых видов познавательной и практической деятельности.
На протяжении веков геометрия служила источником развития не только математики, но и других наук. Законы математического мышления формировались с помощью геометрии. Многие геометрические задачи содействовали появлению новых научных направлений, и наоборот, решение многих научных проблем было получено с использованием геометрических методов. Современная наука и ее приложения немыслимы без геометрии ее новейших разделов: топологии, дифференциальной геометрии, теории графов, компьютерной геометрии. Огромна роль геометрии в математическом образовании учащихся. Известен вклад, который она вносит в развитие логического мышления и пространственного воображения учеников.
Как известно, систематический курс геометрии начинается в 7 классе. К 10 классу у школьников складываются определенные геометрические представления: они владеют определенным теоретическим аппаратом и умеют решать отдельные простейшие задачи. Однако анализ результатов итоговой аттестации учащихся показывает, что у учащихся не сформированы общеучебные умения осуществлять системный подход к решению геометрической задач. Другими словами, учащиеся не владеют общими и частными методами решения задач. Отдельные темы, предусмотренные программой, не позволяют посмотреть на курс геометрии в целом.
Для успешного решения геометрических задач необходимы прочные знания основных геометрических фактов и опыт их решения. При изучении математики в старших классах на необходима систематизация знаний, полученных учащимися в основной школе, выделение общих методов и приемов решения геометрических задач, демонстрация техники решения геометрических задач, закрепление навыков решения геометрических задач. В связи с этим необходимо делать акцент не только на овладение теоретическими фактами, но и на развитие умений решать геометрические задачи разного уровня сложности и математически грамотно их записывать.
Данный элективный курс представлен в виде практикума, который позволит, расширить и систематизировать знания учащихся в использовании методов решения планиметрических и стереометрических задач.
Расширение и углубление знаний учащихся о методах и приемах решения геометрических задач.
Развитие интереса к предмету и возможности овладения им с точки зрения дальнейшей перспективы применения полученных знаний в своей будущей профессии.
Систематизировать теоретические знания учащихся по планиметрии и стереометрии;
Дополнить знания учащихся теоремами прикладного характера, областью применения которых являются задачи.
Расширить и углубить представления учащихся о приемах и методах решения стереометрических задач («метод сечений», поэтапно-вычислитеьный, метод опорных задач), применение теорем не изучаемых в курсе геометрии 10 класса.
Формировать графическую культуру учащихся при построении моделей многогранников.
Развивать пространственные представления и воображение учащихся;
Формировать умения применять полученные знания при решении задач повышенного уровня сложности.
Программа элективного курса содержит следующие темы: Методы построения сечения многогранников. Нахождение площадей сечений многогранников. Расстояния и углы между прямыми и плоскостями.
Материал представленный в элективном курсе характеризуется следующими особенностями:
Для проведения занятий используются следующие учебные пособия:
Э.Г. Готман. Стереометрические задачи и методы их решения./ Э.Г.Готман.-М.: МЦНМО, 2006-150с.
А.Г.Корянов, А.А.Прокофьев. Математика. Подготовка к ЕГЭ. Задания С2. Многогранники: виды задач и методы их решения. – Легион, 2013.
Дополнительными источниками задач для занятий курса являются материалы КИМов из открытого банка заданий ЕГЭ по математике.
При преподавании элективного курса используются элементы технологии обучения математике на основе решения задач Р.Г. Хазанкина, а именно: урок-лекция уроки решения «ключевых задач» уроки-консультации уроки-практикумы зачетные уроки.
Ведущие методы: частично-поисковый, проблемный, исследовательский. Они призваны обеспечить реализацию следующих методологических подходов в обучении: задачного, деятельностного и личностно-ориентированного.
Программой элективного курса предусмотрено выполнение самостоятельных работ. Успешность освоения курса оценивается на итоговом зачете (Приложение 1). Итоговая работа оценивается оценкой «зачтено», если учащийся выполнил три задания контрольной работы.
Требования к уровню подготовки учащихся.
В результате изучения курса учащиеся должны
Свойства и формулы планиметрических фигур;
методы построения сечений многогранников;
формулы и методы вычисления площадей многоугольников;
требования к построению изображений пространственных тел;
свойства взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве;
теорему о площади ортогональной проекции многоугольника;
решать стереометрические задачи, опираясь на изученные свойства стереометрических фигур;
выполнять «наглядный» чертеж стереометрической задаче;
решать стереометрические задачи на вычисление расстояний и углов в многогранниках методами, изученными в курсе;
строить сечения многогранников, используя метод «следов»
Содержание тем курса
Тема 1. Методы построения сечения многогранников.2 ч.
Простейшие задачи на построение сечений параллелепипеда и тетраэдра.
Методы решения задач на построение сечений многогранников :
Аксиоматический метод (Метод следов. Внутреннего проектирования). Комбинированный метод (Метод параллельных прямых. Метод параллельного переноса секущей плоскости).
Метод выносных чертежей (метод разворота плоскостей).
Тема 2 Площади. Нахождение площадей сечений многогранников. 4ч.
Нахождение площади сечений в многогранниках (куб, призма, пирамида). Методы нахождения площади сечений в многогранниках: метод разбиения и дополнения; с помощью признаков подобия треугольников; с помощью теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника.
Нахождение площади поверхности многогранника. Методы нахождения площади поверхности многогранника: поэтапно-вычислительный, применением теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника.
Тема 3. Расстояния и углы между скрещивающимися прямыми.5 ч.
Методы нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми. Четыре способа решения задач:
Метод параллельных прямой и плоскости (нахождение расстояния от одной скрещивающихся прямых до параллельной ей плоскости, проходящей через другую прямую).
Метод параллельных плоскостей (нахождение расстояния между двумя параллельными плоскостями, проходящими через заданные скрещивающиеся прямые).
Метод ортогонального проектирования. Терема о площади ортогональной проекции многоугольника.
Решение задач на вычисление величины угла между скрещивающимися прямыми. Методы нахождения угла между скрещивающимися прямыми.
1. Поэтапно-вычислитеьлный метод.
2. Метод опорных задач. Теорема косинусов для трехгранного угла.
Тема4. Углы между плоскостями. 5ч.
Решение задач на вычисление величины угла между прямой и плоскостью, плоскостями.
Методы нахождения угла между прямой и плоскостью
Метод использования дополнительного угла.
Метод опорных задач.
Методы вычисления угла между плоскостями.
Двугранный угол. Построение двугранного угла.
Использование параллельных прямых.
Использование параллельных плоскостей.
Использование перпендикуляров к плоскостям.
Итоговый зачет по курсу (1 ч)
Решение стереометрических задач: вычисление площади сечения многогранника, вычисление расстояния между скрещивающимися прямыми, вычисление угла между скрещивающимися прямыми, вычисление угла между плоскостями.
элективного курса «Практикум по решению стереометрических задач», 10А классс
Программа элективного курса для учащихся 11 класса «Практикум решения задач по геометрии»
«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа № 25 поселка Ботаника
муниципального образования Гулькевичский район
элективного курса для учащихся 11 класса «Практикум решения задач по геометрии»
Новикова Надежда Константиновн
учитель математики МОУ СОШ №25
посёлка Ботаника муниципального
образования Гулькевичский район
«Практикум решения задач по геометрии»
Программа элективного курса «Практикум решения задач по геометрии» предназначена для изучения в 11 классе и рассчитана на 34 часа.
Материал курса распределён следующим образом: первое полугодие – решение планиметрических задач, второе – стереометрических.
Курс способствует развитию у школьников логического мышления и пространственного воображения и позволяет им глубже понять учебный материал по этой теме. Для тех учащихся, которые хотят продолжить образование, связанное с геометрией, «Практикум» будет способствовать успешной сдаче единого государственного экзамена по математике и успешного обучения в ВУЗ-е.
Изученный материал станет хорошей основой для получения дальнейшего образования по выбранной специальности.
Курс состоит из следующих тем: решение планиметрических задач на свойства геометрических фигур и нахождение площадей, решение стереометрических задач на свойства геометрических тел, нахождение площадей поверхностей и объемов этих тел, которые позволяют получить углубленные знания по геометрии и дают ориентацию на инженерные профессии, связанные с математикой.
Для эффективной реализации курса необходимо использовать разнообразные формы, методы и приёмы обучения, делая особый упор на развитие самостоятельности, познавательного интереса и творческой активности учащихся. Для этой цели проводятся уроки: лекции; практикумы; зачеты; итоговая контрольная работа.
Расширение и углубление знаний, полученных при изучении курса
З акрепление теоретических знаний и развитие практических навыков и умений.
У спешная сдача экзамена по математике в форме ЕГЭ и подготовка к обучению в вузе.
Развитие логического мышления и пространственного представления.
Развитие графической культуры учащихся.
Ф ормирование устойчивого интереса учащихся к предмету.
Выявление и развитие их математических способностей.
Ориентация на профессии, существенным образом связанные с математикой.
Подготовка к обучению в ВУЗе.
Методические рекомендации по организации элективного курса.
1. Текущий контроль: самостоятельные работы.
2. Тематический контроль: самостоятельные работы и зачеты.
3. Итоговый контроль: итоговая контрольная работа.
Основные требования к знаниям и умениям учащихся.
Выполнение практических занятий имеет цель: закрепить у учащихся теоретические знания и развить практические навыки и умения в области геометрии, и успешной сдачи ЕГЭ по математике.
1. Знать свойства геометрических фигур и уметь применять их при
решении планиметрических задач.
2. Знать формулы площадей геометрических фигур и уметь применять
их при решении задач.
3. Знать свойства геометрических тел и уметь применять их при
4. Знать формулы площадей поверхностей геометрических тел и уметь
применять при решении задач.
5. Знать формулы объемов геометрических тел и уметь применять
6. Уметь по условию задачи грамотно строить чертеж.
Содержание учебного материала
Решение планиметрических задач
Решение задач на свойства биссектрисы треугольника
Решение задач на свойства медианы треугольника
Решение задач на свойства высот треугольника
Решение задач на свойства описанной около треугольника окружности
Решение задач на свойства вписанной в треугольник окружности
Решение задач на вычисление площади треугольника.
Решение задач на свойства параллелограмма.
Решение задач на площадь параллелограмма.
Решение задач на свойства ромба.
Решение задач на площадь ромба.
Решение задач на свойства прямоугольника и квадрата.
Решение задач на площадь прямоугольника и квадрата.
Решение задач на свойства трапеции.
Решение задач на площадь трапеции.
Решение задач на свойства окружности и ее частей.
Решение задач на площади круга и его частей.
Зачет по решению планиметрических задач
Решение стереометрических задач
Решение задач по теме «Свойства пирамиды».
Решение задач на нахождение площади поверхности пирамиды.
Решение задач на нахождение объема пирамиды.
Решение задач на нахождение площади поверхности и объема параллелепипеда.
Решение задач по теме «Свойства призмы».
Решение задач на нахождение площади поверхности и объема призмы.
Решение задач по теме «Свойства цилиндра»
Решение задач на нахождение площади поверхности цилиндра
Решение задач на нахождение объема цилиндра
Решение задач по теме «Свойства конуса»
Решение задач на нахождение площади поверхности конуса.
Решение задач на нахождение объема конуса.
Решение задач на нахождение площади поверхности шара и его частей.
Решение задач на построение сечений
Решение задач с помощью векторов.
Зачет по решению стереометрических задач
Итоговая контрольная работа
1. Горшкова С.Н. Математика. (В 6 частях). Краснодар 2005.
2. Денищева Л.О. и др. ЕГЭ. Контрольные измерительные
материалы. «Просвещение». Москва 2013.
3. Лысенко Ф.Ф.Математика ЕГЭ. Вступительные экзамены.
Легион. Ростов-на-Дону 2012.
4. Лысенко Ф.Ф. Математика ЕГЭ-2013. Легион. Ростов-на-Дону 2007.
5. Сканави М.И. Сборник задач по математике. Москва «ОНИКС
21 век» «Мир и образование» «Альянс – В» 2003.
Элективный курс «Геометрический практикум»
Предметом данного элективного курса является достаточно сложный раздел школьной программы – планиметрия. Задачи курса: обобщить, систематизировать, углубить знания учащихся по планиметрии, сформировать умения применять полученные знания при решении «нетипичных», нестандартных задач.
Рекомендуем посмотреть похожие работы:
Или поискать по тегам: элективный курс геометрия планиметрия
Наталья Александровна, огромное спасибо! Вы спасли мой элективный курс в 9 классе. Здорово! Очень удобно, что есть практическая часть.
Уважаемая Наталья Александровна! С учетом количества оценок и положительных отзывов коллег Ваша работа перемещается в раздел «Элективные курсы» методической библиотеки творческой группы «Математика в школе». Благодарим Вас за доверие нашему Сообществу педагогов «Методисты.ру
Спасибо, Наталья Александровна! Вами проделана большая работа. Удобно для коллег, что представлена практическая часть. Актуально, сегодня усиливается геометрическая составляющая на ГИА.
Спасибо, Наталья Александровна! Работа очень понравилась! Нужная и полезная! Содержит в себе основные вопросы планиметрии, которые непосредственно используются при решении задач. Хороший подбор задач как для занятий в классе, так и для самостоятельного решения. Прекрасно, что в данном элективном курсе используются ресурсы интернета. Работа достойна на выдачу сертификата.
Уважаемая Наталья Александровна! Ваша работа размещена в разделе «Работы, претендущие на Сертификат», для обсуждения коллегами.
Практикум. На тему: «Решение геометрических задач ОГЭ»
«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Выбранный для просмотра документ Выступление.ppt
Описание презентации по отдельным слайдам:
«Нет царского пути в геометрии» Эвклид Решение практических задач ОГЭ. Приемы, способствующие решению геометрических задач.
Метод ключевой задачи Ключевая задача: В прямоугольном треугольнике высота, проведённая к гипотенузе, делит её на отрезки 18 и 32. Найти высоту. Решение: A B C H a b c
Задача1 Из точки В к окружности проведены касательные BP и BQ (P и Q – точки касания). Найти длину хорды PQ, если длина отрезка PB= 40, а расстояние от центра окружности до хорды PQ равна 18. 3) Ответ: 48 40 18 P O B Q M Решение: 1)PQ = 2PM; ∆ OPB – прямоугольный, PM – высота. 2)Пусть BM = x, x > 0, тогда
Задача 2 В параллелограмме одна из диагоналей перпендикулярна боковой стороне. Высота, проведённая из вершины, делит основание на отрезки длиной 32 и 18. Найдите площадь параллелограмма. H D B C 1)Пусть AD = a=50, Ответ: 1200 Решение: A h
Задача 3 Окружность вписана в ромб. Радиус, проведённый из центра окружности к стороне ромба, делит её на отрезки 18 и 24. Найдите радиус вписанной окружности. Решение: H B A C D Радиус вписанной в ромб окружности есть высота прямоугольного треугольника OAB, Ответ: O
Задача 4 Найдите площадь равнобедренной трапеции, если её основания равны 14 и 50, а диагональ перпендикулярна боковой стороне. 1) 2) Ответ: 768 B C D F A 14 50 Решение:
Задача 5 B C A H O D Большее основание трапеции является диаметром описанной окружности. Определите высоту трапеции, если её диагональ равна 40, а меньшей из отрезков, на которые делит основание высота, равен 18. Решение: 1)Описать окружность можно только около равнобедренной трапеции. 2)∆ABC – прямоугольный ( B – вписанный, опирается на диаметр). 3) Ответ: 24
Задача 6 B M C D H A 64 36 Равнобедренная трапеция с основаниями 64 и 36 описана около окружности. Найдите радиус окружности. Решение: 1)BM = BH (как отрезки касательных, проведённых из одной точки) 2) O – точка пересечения биссектрис B, A, C и D, тогда BOA=90° и OH = r = 3) т.к. ABCD – описана около окружности, то BC + AD = AB + CD, AB = CD, 2AB = 36 + 64, AB = 50 4) т.к. BM = BH и BM = BC, Ответ: 24 т.к. трапеция равнобедренная, то BM = 18 = BH AH = 50-18=32 5) OH= r = O
ГИА-9 Ларин 2014, Вариант1, часть 2 №26 B L F C A K D 7 7 Трапеция ABCD с основаниями AD = 6, и BC = 4 и диагональю BD = 7 вписана в окружность. На окружности взята точка K, отличная от точки D так, что BK = 7. Найти длину отрезка AK. Дано: ABCD – трапеция, описанная окружность, BC = 4, AD = 6, BD = 7, BK = 7. K не совпадает с D. Найти: AK Решение: Описать окружность можно только около равнобедренной трапеции, поэтому BA = CD и 2) т.к. 3) т.к. 4) ∆ABK = ∆BCD (по стороне BD = BK и двум прилежащим к ней углам. ) из равенства треугольников следует, что BC = AK = 4. Ответ: AK = 4.
ГИА-9 Ларин 2014, Вариант2, часть 2 №24 K C B M D E A N Окружность проходит через вершины A и C треугольника ABC и пересекает его стороны AB и BС в точках K и E соответственно. Отрезки AE и CK перпендикулярны. Найдите угол ABC, если угол KCB равен 20º Дано: ∆ABC, A ϵ окружности, C ϵ окружности, Найти: Решение: (при решении используем метод поэтапного решения) 1) т.к. 2) 3) Ответ:
ГИА-9 Ларин 2014, Вариант2, часть 2 №25 В параллелограмме ABCD отмечена точка M – середина BC. Отрезок AM пересекается с диагональю BD в точке K. Докажите, что BK: BD = 1: 3. A D M B C K Дано: ABCD – параллелограмм BM = MC, AM Доказать: BK : BD = 1:3 Доказательство: (как накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей BD). (по двум углам: При решении используется метод подобия и поэтапного решения. 3) Из подобия ∆BKM и ∆AKD следует: Имеем 4) Т.к. BD = BK + KD, то BD = 3BK и BD = K
ГИА-9 Ларин 2014, Вариант2, часть 2 №26 Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке O. Площади треугольников AOD и BOC равны соответственно 25 и 16. Найдите площадь трапеции. A B C D O Дано: ABCD – трапеция, AC BD = O 3) т.к. BC||AD, и BD – секущая, то (как накрест лежащие) 5) Т.к. ∆ABO и ∆AOD имеют общую высоту, то их площади относятся как стороны, соответствующие этим высотам, 6) Ответ: площадь трапеции 81. Найти: Решение: K M
Спасибо за внимание!
Выбранный для просмотра документ Нет царского пути в геометрии.doc
«Решение геометрических задач второй части ОГЭ.
Приёмы, способствующие решению геометрических задач».
«Нет царского пути в геометрии»
В демонстрационном варианте ОГЭ 26 заданий, из них 8 по геометрии, практически третья часть. 5 заданий из первой части и 3 задания из второй. И хотя тема доклада «Решение задач по геометрии второй части ОГЭ» понятно, что ученики должны хорошо решать задачи из первой части.
Изучение геометрии официально начинается с 7 класса. Начиная изучать тему любого параграфа или раздела, я помимо определений теорем этой темы, рассматриваю и доказываю все теоремы этой темы, которые автор учебника вынес в раздел «задачи» или «дополнительные задачи». Эти задачи мы в дальнейшем используем как теоремы. Это и задача №659 «Докажите, что градусные меры дуг окружности, заключенные между параллельными хордами, равны» и №668 «Докажите, что перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки окружности к диаметру, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые основание перпендикуляра делит диаметр», это и №524 формула Герона для площади треугольника, №404 «Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы», №385 Теорема Фалеса, №430 «Докажите, что выпуклый четырёхугольник является параллелограммом, если его противоположные углы равны». И очень много теорем, которые предыдущие поколения знали как теоремы, вынесены сейчас в задачи. Рассмотрит ли их учитель с учениками, расскажет ли он им, что это раньше были теоремы, что полезно их знать, уметь доказывать и применять.
Огромную роль при изучении геометрии играет доказательство теорем (и во второй части одна из задач №24-26 на доказательство). Поэтому я стараюсь, чтобы ученики на уроках, на зачётах доказывали эти теоремы сами (зачёты «экзамен» провожу по билетам, в дополнительное время, по группам, для того, чтобы выслушать всех).
Стараюсь, чтобы к 9 классу у ребят были созданы справочники по всем темам. Например по теме: «Четырёхугольники» использую учебно-методическое пособие «Планиметрия в ЕГЭ» Аккужин М.М. (стр 91). Данное методическое пособие позволяет проводить тесты (допишите верный ответ), тесты – тренинги по каждому разделу (где представлены задачи первой и второй части ОГЭ)
Приступая к изучению геометрии в 9 классе, я с первого урока, начинаю повторение материала 7-8 классов. Для этого в устный счёт, кроме задач на актуализацию опорных знаний по изучаемой теме, включаю 2 – 3 задачи из других тем. Это делаю для того, чтобы подготовить учащихся к быстрому переключению от одного объекта к другому.
Например: Перед изучением новой темы. На устный счёт предложены задачи. Презентация Задачи из обязательной части №9, 10. Задачи можно подобрать так, что бы они были связаны с новой темой.
Нет единого метода решения геометрических задач. Говоря, о методах решения геометрических задач, следует отметить некоторые специфические особенности этих методов: большое разнообразие, взаимозаменяемость, трудность формального описания, отсутствие чётких границ применения (в отличие от алгебры). Кроме того, очень часто при решении некоторых достаточно сложных задач приходится прибегать к использованию комбинаций методов и приёмов. Чаще всего при решении задач второй части применяются: геометрические методы решения задач, в которых приходится выполнять стандартные дополнительные построения: оказывается в трапеции бывает полезно провести через вершину прямую, параллельную противоположной боковой стороне, если же в условии задачи говориться о диагоналях трапеции, то стандартным будет дополнительное построение: через одну из вершин провести прямую параллельную другой диагонали; в треугольнике часто полезно через вершину или точку на любой стороне провести прямую параллельную другой стороне (с натяжкой это модификация метода подобия), если в условие есть медиана, то стоит попытаться продлить эту медиану на такое же расстояние. Один из недостатков элементарно – геометрических методов состоит в необходимости зачастую перебора различных вариантов расположения точек, прямых. Этот недостаток исчезает при переходе к алгебраическим методам, методу координат, векторному методу. Говоря об алгебраическом методе решения геометрических задач, чаще всего мы используем две его разновидности: а) метод поэтапного решения; б) метод составления уравнения. Я обратила внимание на дополнительные построения потому что, это на мой взгляд, почему-то даётся ученикам труднее всего.
Часто я использую метод ключевой задачи как средство обобщения учебного материала по геометрии. Ключевая задача – это средство решения других задач, поэтому её знание учащимися обязательно. Метод ключевой задачи состоит в группировке задач вокруг этой ключевой задачи. Мне кажется, что группы задач, составленные указанным методом, являются эффективным средством повторения, обобщения и систематизации учебного материала. Например:
В прямоугольном треугольнике высота, проведённая к гипотенузе, делит её на отрезки 18 и 32. Найти высоту. Презентация Выступления.
Рассмотрим группу задач: Презентация Выступления
Из точки В к окружности проведены касательные BP и BQ (P и Q – точки касания). Найти длину хорды PQ, если длина отрезка PB= 40, а расстояние от центра окружности до хорды PQ равна 18.
1)PQ = 2PM; ∆ OPB – прямоугольный,
2)Пусть BM = x, x > 0, тогда
3)
В параллелограмме одна из диагоналей перпендикулярна боковой стороне. Высота, проведённая из вершины, делит основание на отрезки длиной 32 и 18. Найдите площадь параллелограмма.
Окружность вписана в ромб. Радиус, проведённый из центра окружности к стороне ромба, делит её на отрезки 18 и 24. Найдите радиус вписанной окружности.
Радиус вписанной в ромб окружности есть высота прямоугольного треугольника OAB,
Ответ: 
Найдите площадь равнобедренной трапеции, если её основания равны 14 и 50, а диагональ перпендикулярна боковой стороне.
1)
2)
Большее основание трапеции является диаметром описанной окружности. Определите высоту трапеции, если её диагональ равна 40, а меньшей из отрезков, на которые делит основание высота, равен 18.
2)∆ABC – прямоугольный (
B – вписанный, опирается на диаметр).
3) 
Равнобедренная трапеция с основаниями 64 и 36 описана около окружности. Найдите радиус окружности.
1)BM = BH (как отрезки касательных, проведённых из одной точки)
2) O – точка пересечения биссектрис B, A, C и D, тогда
BOA=90° и OH = r =
3) т.к. ABCD – описана около окружности, то BC + AD = AB + CD, AB = CD,
2AB = 36 + 64, AB = 50
4) т.к. BM = BH и BM = 
BC, т.к. трапеция равнобедренная, то BM = 18 = BH
5) OH= r = 
Решение задач второй части проверяют эксперты. Решение должно быть верным и грамотно оформленным. Поэтому, своим ученикам я говорю что, при решении геометрических задач, полезно использовать следующие рекомендации:
Решение любой геометрической задачи начинается с чертежа.
Хороший чертёж это удобный для восприятия наглядный способ записи условий задачи, он может стать помощником в решении задачи, подсказать правильный ход рассуждений. Но в то же время надо отчётливо понимать и понимать, что даже самый аккуратно, выполненный при помощи циркуля и линейки чертёж, сам по себе ничего не доказывает. Всё, что «увидено» на чертеже, должно быть обосновано, стремитесь сделать его соответствующим условиям задачи. Так, если сказано, что некоторый угол вдвое больше другого или отрезки перпендикулярны, отразите это на чертеже. Если на чертеже соблюдены пропорции и соотношения, заданные в условии задачи, например, прямой угол на чертеже выглядит прямым, а произвольный треугольник выглядит не как правильный, то такой чертёж поможет вам увидеть некоторые особенности геометрической фигуры полезные для решения вашей задачи. Необходимо избегать усложнения чертежа, поэтому, полезно выполнять выносные чертежи.
О поиске решения задачи.
Начиная решать задачу, ведите рассуждения по следующей схеме:
Вспомните теоремы, в которых связаны данные и искомые элементы задачи, вспомните и посмотрите решение похожих задач.
В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом С известны катеты: AC=6, BC=8. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.
Дано: ∆ABC( С=90°) Вывод: c = b – r + a – r
Радиус вписанной окружности
1)∆ABC( С=90°), по теореме Пифагора
Докажите, что угол между касательной и хордой, имеющими общую точку на окружности, равна половине градусной меры дуги, заключённой между его сторонами.
Доказать: 
1) 
(радиус, проведённый в точке касания перпендикулярен касательной)
2) пусть 
, тогда 
(центральный угол равен дуге на которую опирается)
3) 
т.к. OB = OC (как радиусы одной окружности), то 
4) т.к. , то 
ч.т.д.
Трапеция ABCD с основаниями AD = 6, и BC = 4 и диагональю BD = 7 вписана в окружность. На окружности взята точка K, отличная от точки D так, что BK = 7. Найти длину отрезка AK.
Дано: ABCD – трапеция, описанная окружность, BC = 4, AD = 6, BD = 7, BK = 7. K не совпадает с D.
1) Описать окружность можно только около равнобедренной трапеции, поэтому BA = CD и 
3) т.к. 
4) ∆ABK = ∆BCD (по стороне BD = BK и двум прилежащим к ней углам. 
) из равенства треугольников следует, что BC = AK = 4.
Окружность проходит через вершины A и C треугольника ABC и пересекает его стороны AB и B в точках K и E соответственно. Отрезки AE и CK перпендикулярны. Найдите угол ABC, если угол KCB равен 20º
Дано: ∆ABC, A ϵ окружности, C ϵ окружности, 
Найти: 
Решение: (при решении используем метод поэтапного решения)
1) т.к. 
2) 
3) 
Ответ: 
В параллелограмме ABCD отмечена точка M – середина BC. Отрезок AM пересекается с диагональю BD в точке K. Докажите, что BK: BD = 1: 3.
Дано: ABCD – параллелограмм
Доказать: BK : BD = 1:3
(как накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей BD).
(по двум углам: 
При решении используется метод подобия и поэтапного решения.
3) Из подобия ∆BKM и ∆AKD следует:
Имеем 
4) Т.к. BD = BK + KD, то BD = 3BK и 
Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке O. Площади треугольников AOD и BOC равны соответственно 25 и 16. Найдите площадь трапеции.
Найти: 
3) т.к. BC||AD, и BD – секущая, то 
(как накрест лежащие)
5) Т.к. ∆ABO и ∆AOD имеют общую высоту, то их площади относятся как стороны, соответствующие этим высотам,
6) 
Ответ: площадь трапеции 81.
На этом я своё выступление заканчиваю. Спасибо за внимание.
Материал за 2013 год решение задач 2-ой части.
Решение геометрических задач по материалам ОГЭ
1. Освоение общей технологии решения геометрических задач.
Этот подход позволяет структурировать решение задачи и последовательно преодолевать возникающие трудности по аналогии с поэтапной сборкой сложного изделия на конвейере.
Знание, а главное понимание алгоритмов решения стандартных задач не отменяет самостоятельное творчество. Оно экономит время и даёт инструмент, который позволяет осуществлять творческий процесс на качественно более высоком уровне.
2. Формирование семейств модифицируемых многопараметрических задач.
Данная методика предусматривает создание модифицируемых многопараметрических заданий по математике В которых осуществляется циклическая замена известных и неизвестных величин.
3. Проблемный подход к организации повторения курса геометрии.
Использование проблемного метода приводит ученика от пассивного потребления готовых истин, излагаемых учителем, к участию в их установлении. Это способствует лучшему запоминанию и, что особенно важно, формированию личностно-ценностного отношения к изучаемому материалу.
4. Последовательное применение принципа «чайника».
Этот принцип состоит в сведении данной задачи к той, решать которую мы уже научились.
Этапы решения геометрических задач.
1. Чтение условия задачи.
2. Выполнение чертежа с буквенными обозначениями.
3. Краткая запись условия задачи (формирование базы данных).
4. Перенос данных условия на чертёж, выделение элементов чертежа разными цветами.
5. Запись требуемых формул и теорем на черновике ( формирование базы знаний).
7. Анализ данных задачи, привязка искомых величин к элементам чертежа.