Что такое предельные точки множества

Математический анализ
Записки лекций

Илья Щуров (НИУ ВШЭ)

9 Подпоследовательности, предельные точки и теорема Больцано — Вейерштрасса

9.1 Подпоследовательности и предельные точки

9.1.1 Подпоследовательности

Доказательство первых двух пунктов этого утверждения простое и я советую его провести самостоятельно. Третий пункт вынесен в качестве задачи на семинары. Обратное неверно: если подпоследовательность обладает каким-нибудь из этих свойств (скажем, ограничена), это ничего не говорит про аналогичное свойство исходной последовательности (приведите примеры).

Неверный ответ. Попробуйте доказать 🙂

9.1.2 Предельные точки

При решении некоторых задач удобным оказывается другое определение предельной точки.

Сравните это определение с определением предела — в чём ключевое различие?

Есть ли последовательности, не имеющие предельных точек? Тут легко привести пример — скажем, последовательность a n = n обладает таким свойством: она посещает каждое натуральное число ровно один раз, а потом уходит от него на расстояние как минимум 1.

Заметим, что последовательсноть a n = n неограничена. Бывают ли ограниченные последовательности без предельных точек? Прежде, чем читать дальше, попробуйте придумать такую.

9.2 Теорема Больцано — Вейерштрасса

Для доказательства этой теоремы нам понадобится вспомогательная лемма, которая представляет и самостоятельный интерес — она пригодится нам ещё несколько раз.

9.2.1 Лемма о вложенных отрезках

Потребуем также, чтобы длины отрезков стремились к нулю:

Неверный ответ. Какие же это?

9.2.2 Деление отрезка пополам

Источник

Точечные множества

Множества, элементами которых являются точки, называются точечными множествами. Таким образом, можно говорить о точечных множествах на прямой, на плоскости, в каком-либо пространстве. Ради простоты мы ограничимся рассмотрением точечных множеств на прямой.

Между действительными числами и точками на прямой имеется тесная связь: каждому действительному числу можно отнести точку на прямой и обратно. Поэтому, говоря о точечных множествах, мы будем причислять к ним и множества, состоящие из действительных чисел — множества на числовой прямой. Обратно: для того чтобы задать точечное множество на прямой, мы будем обычно задавать координаты всех точек нашего множества.

Точечные множества (и, в частности, точечные множества на прямой) обладают рядом особых свойств, отличающих их от произвольных множеств и выделяющих теорию точечных множеств в самостоятельную математическую дисциплину. Прежде всего имеет смысл говорить о расстоянии между двумя точками. Далее, между точками на прямой можно установить соотношения порядка (левее, правее); в соответствии с этим говорят, что точечное множество на прямой является упорядоченным множеством. Наконец, как уже отмечалось выше, для прямой справедлив принцип Кантора; это свойство прямой принято характеризовать как полноту прямой.

Введем обозначения для простейших множеств на прямой.

Начнем с рассмотрения различных возможностей расположения множества в целом на прямой.

Ограниченные и неограниченные множества

Нетрудно видеть, что если — фиксированная точка на прямой, то множество будет ограничено в том и только в том случае., если расстояния от точки до любой точки не превосходят некоторого положительного числа.

Множества, ограниченные сверху и снизу

Ясно, что данное выше определение ограниченного множества эквивалентно следующему: множество точек на прямой называется ограниченным, если оно ограничено сверху и снизу. Несмотря на то, что эти два определения очень похожи друг на друга, между ними имеется существенное различие: первое основано на том, что между точками на прямой определено расстояние, а второе, что эти точки; образуют упорядоченное множество.

Верхняя и нижняя грань множества

Расположение точечного множества вблизи какой-либо точки на прямой

Укажем несколько примеров, поясняющих все эти понятия.

Пример 1. Пусть множество состоит из точек с координатами

Пример 4. Пусть множество состоит из всех точек с целыми координатами на прямой. Каждая точка является его изолированной точкой; множество не имеет предельных точек.

Теорема Больцано-Вейерштрасса

Всякое ограниченное бесконечное множество точек на прямой имеет хотя бы, одну предельную точку.

Источник

Пространство \(R^n\)

Метрическое пространство.

Будем множество \(X\) называть метрическим пространством, если каждой паре элементов \(x\) и \(y\) этого множества поставлено в соответствие неотрицательное число \(p(x,y)\), называемое расстоянием между элементами \(x\) и \(y\), такое, что для любых элементов \(x, y, z\) множества \(X\) выполнены следующие условия:

Элементы метрического пространства будем называть точками, функцию \(\rho(x,y)\), определенную на множестве пар точек метрического пространства \(X\), \(\rho\) — метрикой, а условия 1)-3) — аксиомами метрики.

Например, определяя расстояние между вещественными числами \(\alpha\) и \(\beta\) при помощи формулы \(\rho(\alpha,\beta)=|\beta — \alpha|\), получаем метрическое пространство, которое обозначается через \(R\).

Рассмотрим множество пар вещественных чисел \(x = (x_<1>,x_<2>)\). Если \(x = (x_<1>,x_<2>)\), а \(y = (y_<1>,y_<2>)\), то полагая
$$
\rho(x,y) = ((x_ <1>— y_<2>)^ <2>+ (x_ <2>— y_<2>)^<2>)^<1>\nonumber
$$
получаем метрическое пространство, которое обозначается через \(R^<2>\). Для проверки аксиом 1)-3) воспользуемся тем, что между множеством точек евклидовой плоскости и множеством пар вещественных чисел можно установить такое взаимно однозначное соответствие, при котором евклидово расстояние между точками плоскости совпадает с введенным выше расстоянием между соответствующими этим точкам парами вещественных чисел (декартовыми координатами точек). При такой геометрической интерпретации пространства \(R^<2>\) доказательство неравенства треугольника следует из того, что длина любой стороны треугольника не превышает суммы длин двух других его сторон.

На одном и том же множестве можно различными способами определять расстояние между элементами и получать тем самым различные метрические пространства. На множестве пар вещественных чисел можно расстояние между точками определить также и следующим образом:
$$
\tilde<\rho>(x,y) = \max (|x_ <1>— y_<1>|,|x_ <2>— y_<2>|).\label
$$

Аксиомы метрики 1) и 2), очевидно, выполняются. Проверим неравенство треугольника.

\(\circ\) Из \eqref следует, что
$$
|x_<1>-y_<1>| \leq \tilde\rho(x,y),\qquad |x_<2>-y_<2>| \leq \tilde<\rho>(x,y),\nonumber
$$
а поэтому
$$
|x_-y_|\leq |x_-z_|+|z_-y_|\leq \tilde<\rho>(x,z)+\tilde<\rho>(z,y),\qquad i=1,2.\nonumber
$$
Следовательно,
$$
\tilde<\rho>(x,y) = \max(|x_ <1>— y_<1>|, |x_ <2>— y_<2>|) \leq \tilde<\rho>(x,z) + \tilde<\rho>(z,y).\quad\bullet\nonumber
$$

Если рассмотреть множество всевозможных упорядоченных троек вещественных чисел \(x = (x_<1>, x_<2>, x_<3>)\) и для \(x = (x_<1>, x_<2>, x_<3>)\) и \(y = (y_<1>, y_<2>, y_<3>)\) определить расстояние \(\rho(x,y)\) при помощи формулы
$$
\rho(x,y) = ((x_ <1>— y_<1>)^ <2>+ (x_ <2>— y_<2>)^ <2>+ (x_ <3>— y_<3>)^<2>)^<1>,\nonumber
$$
то получим метрическое пространство \(R^<3>\).

Если в евклидовом пространстве выбрать декартову прямоугольную систему координат, то между этим пространством и пространством \(R^<3>\) устанавливается взаимно однозначное соответствие, при котором расстояние между любыми двумя точками евклидового пространства совпадает с расстоянием между соответствующими им точками пространства \(R^<3>\). Проверка аксиом метрики проводится так же, как и в \(R^<2>\).

Точками пространства \(R^\) являются упорядоченные совокупности из \(n\) вещественных чисел
$$
x = (x_<1>, \ldots, x_),\quad y=(y_<1>, \ldots, y_),\quad z = (z_<1>, \ldots, z_).\nonumber
$$
Расстояние между точками \(x\) и \(y\) определяется формулой
$$
\rho(x,y) = \left(\sum_^(x_ — y_)^<2>\right)^<1>.\label
$$

Свойства 1) и 2) расстояния, очевидно, выполняются. Сложнее проверить, что справедливо неравенство треугольника.

Докажем сначала неравенство Коши
$$
\left(\sum_^a_b_\right)^ <2>\leq \sum_^a_i^<2>\sum_^b_i^<2>,\nonumber
$$
справедливое для любых вещественных чисел \(a_<1>, b_<1>,\dots, a_, b_\).

\(\circ\) Рассмотрим квадратный трехчлен
$$
P(\xi) = \sum_^(a_ + \xi b_)^ <2>= A + 2B\xi + C \xi^<2>,\label
$$

Так как квадратный трехчлен \(P(\xi)\) принимает только неотрицательные значения, то его дискриминант неположителен, а именно, \(B^ <2>— AC \leq 0\). Подставляя в неравенство значения коэффициентов \(A\), \(B\) и \(C\), получаем неравенство Коши. \(\bullet\)

Полагая в неравенстве \eqref \(a_ = x_ — z_, \ b_ = z_ — y_\), получаем неравенство
$$
\left(\sum_ <\substack>^<\substack>(x_ — y_)^<2>\right)^ <1>\leq \left(\sum_ <\substack>^<\substack>(x_ — z_)^<2>\right)^ <1>+ \left(\sum_ <\substack>^<\substack>(z_ — y_)^<2>\right)^<1>,\nonumber
$$
то есть неравенство треугольника для расстояния \(\rho(x,y)\), определяемого формулой \eqref.

На множестве всех упорядоченных совокупностей из \(n\) вещественных чисел расстояние между элементами можно определить и другими способами. Например, можно положить
$$
\tilde<\rho>(x,y) = \max_<\substack>>|x_ — y_|,\qquad \hat<\rho>(x,y) = \sum_ <\substack>^<\substack>|x_ — y_|.\nonumber
$$
Неравенство треугольника в этих случаях проверяется так же, как в случае \(n = 2\). Расстояние, определяемое формулой \eqref, будем называть евклидовым.

В этой главе, посвященной функциям многих переменных, используется только метрическое пространство \(R^\). Но те свойства пространства \(R^\), при доказательстве которых существенны лишь свойства расстояния, будут справедливы и для произвольного метрического пространства. Поэтому в некоторых случаях доказательства будут проводиться для произвольного метрического пространства.

Сходимость последовательности точек в метрическом пространстве.

Пусть \(\\>\) — последовательность точек метрического пространства \(X\). Говорят, что последовательность точек \(\\>\) сходится к точке \(a\) (имеет предел \(a\)) и пишут \(\displaystyle\lim_x^ <(k)>= a\), если
\(\displaystyle\lim_<\substack>\rho(x^<(k)>, a) = 0\). Последовательность точек \(\\>\) называется ограниченной, если \(\exists C \in R\) и \(\exists a \in X\) такие, что для любого \(k \in \mathbb\) выполнено неравенство \(\rho(x^<(k)>,a) \leq C\).

Докажем несколько простых свойств сходящихся последовательностей.

Если последовательность \(\\>\) имеет предел, то она ограничена.

\(\circ\) Пусть \(\displaystyle\lim_<\substack>x^ <(k)>= a\), тогда \(\displaystyle\lim_<\substack>\rho(x^<(k)>, a) = 0\). Поэтому числовая последовательность \(\<\rho(x^<(k)>, a)\>\) ограничена, то есть \(\exists C \in R\) такое, что для любого \(k \in \mathbb\) выполнено неравенство \(\rho(x^<(k)>, a) \leq C\). \(\bullet\)

Последовательность \(\\>\) не может сходиться к двум различным точкам.

\(\circ\) Пусть \(\displaystyle\lim_<\substack>x^ <(k)>= a\) и \(\displaystyle\lim_<\substack>x^ <(k)>= b\). В силу неравенства треугольника для любого \(k \in \mathbb\) выполнено неравенство
$$
0 \leq \rho(a, b) \leq \rho(a, x^<(k)>) + \rho(x^<(k)>, b).\nonumber
$$
Так как числовые последовательности \(\rho(a, x^<(k)>)\) и \(\rho(x^<(k)>, b)\) бесконечно малые, то \(\rho(a, b) = 0\). Поэтому \(a = b\). \(\bullet\)

Для того чтобы последовательность точек \(\\>\) метрического пространства \(R^\), где \(x^ <(k)>= (x_<1>^<(k)>, \ldots, x_^<(k)>)\), сходилась к пределу \(a = (a_<1>, \ldots, a_)\), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства
$$
\lim_<\substack>x_^ <(k)>= a_,\quad i = \overline<1, n>.\nonumber
$$

Наоборот, если при любом \(i = \overline<1, n>\) выполнено условие \(\displaystyle\lim_<\substack>|x_^ <(k)>— a_| = 0\), то
$$
\rho(x^<(k)>, a) = \left(\sum_ <\substack>^<\substack>(x_^ <(k)>— a_)^<2>\right)^ <1>\rightarrow 0,\quad при \ k \rightarrow \infty.\quad\bullet\nonumber
$$

Последовательность точек \(\\>\) метрического пространства \(X\) называется фундаментальной, если \(\forall \varepsilon > 0 \ \exists N \in \mathbb\) такое, что \(\forall k \geq N\) и \(\forall m \geq N\) выполнено неравенство \(\rho(x^<(k)>, x^<(m)>) Лемма 4.

Если последовательность точек \(\\>\) метрического пространства \(X\) сходится, то она фундаментальна.

\(\circ\) Пусть \(\displaystyle\lim_x^ <(k)>= a\). Тогда \(\forall \varepsilon > 0 \ \exists N \in \mathbb\) такое, что \(\forall k \geq N\) и \(\forall m \geq N\) выполнены неравенства \(\rho(x^<(k)>, a) Теорема 1.

Пространство \(R^\) полное.

\(\circ\) Пусть \(\\>\) — фундаментальная последовательность точек в \(R^\). Если
$$
x^ <(k)>= (x_<1>^<(k)>, \ldots, x_^<(k)>),\nonumber
$$
то числовые последовательности \(\^<(k)>\>\) фундаментальны при \(i = \overline<1, n>\). В самом деле, \(\forall \varepsilon > 0\) \(\exists N\) такое, что для любых \(k, m \geq N\) выполнено неравенство \(\rho(x^<(k)>, x^<(m)>)

Открытые и замкнутые множества в метрическом пространстве.

Шар радиуса \(r\) с центром в точке \(a\) определяется как множество \(S_(a) = \

Шар в метрическом пространстве — открытое множество.

\(\triangle\) Действительно, пусть
$$
S_(a) = \ Рис. 23.1

Открытые множества в метрическом пространстве обладают следующими свойствами:

\(\circ\) Свойство 1) очевидно. Докажем свойство 2). Пусть \(G = \displaystyle\bigcup_ <\substack<\alpha \in \Lambda>>G_<\alpha>\), где \(G_<\alpha>\) — открытые множества. Пусть точка \(a \in G\). Тогда существует \(\overline <\alpha>\in \Lambda\) такое, что \(a \in G_<\overline<\alpha>>\). Но множество \(G_<\overline<\alpha>>\) открытое. Поэтому существует шар \(S_<\varepsilon>(a) \subset G_<\overline<\alpha>>\). Тем более, \(S_<\varepsilon>(a) \subset G\). Итак, \(a\) — внутренняя точка множества \(G\). В силу произвольности точки \(a\) множество \(G\) открытое.

Докажем 3). Пусть \(G = \displaystyle\bigcap_ <\substack<\alpha \in \Lambda>>^G_\), где \(G_\) — открытые множества. Возьмем любую точку \(a \in G\). Тогда \(a \in G_\) при \(i = \overline<1, n>\). Так как множества \(G_\) открытые, то существуют шары \(S_<\varepsilon_>(a) \subset G_\). Пусть \(\varepsilon = \displaystyle\min_<\substack>>\varepsilon_\). Тогда \(S_<\varepsilon>(a) \subset G_\), \(i = \overline<1, n>\). Поэтому
$$
S_<\varepsilon>(a) \subset \bigcap_ <\substack<\alpha \in \Lambda>>^G_ = G,\nonumber
$$
и, следовательно, \(G\) есть открытое множество. \(\bullet\)

Предельные точки. Замкнутые множества.

Пусть \(X\) — метрическое пространство. Окрестностью точки \(x^<0>\in X\) будем называть любое множество \(O(x^<0>)\), для которого точка \(x^<0>\) является внутренней. Например, шар \(S_<\varepsilon>(x^<0>)\) является окрестностью (шаровой) точки \(x^<0>\).

Точка \(x^<0>\) называется предельной точкой множества \(M \subset X\), если в любой окрестности точки \(x^<0>\) есть точки множества \(M\), отличные от точки \(x^<0>\). Предельная точка множества \(M\) может принадлежать множеству \(M\), а может и не принадлежать. Например, все точки интервала \((a, b)\) будут его предельными точками. Концы интервала \(a\) и \(b\) — тоже его предельные точки, но концы не принадлежат интервалу.

Точка множества \(M\), не являющаяся предельной точкой множества \(M\), называется изолированной точкой множества \(M\). Если \(x^<0>\) есть изолированная точка множества \(M\), то существует такая окрестность \(O(x^<0>)\), в которой нет точек множества \(M\), отличных от точки \(x^<0>\). Каждая точка множества \(M\) является или предельной точкой множества \(M\), или изолированной точкой множества \(M\).

Множество \(M \subset X\) называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки. Например, отрезок [\(a, b\)] замкнут в \(R\), а интервал \((a, b)\) не является замкнутым множеством в \(R\).

Множество, которое получается, если присоединить к множеству \(M\) все его предельные точки, называется замыканием \(M\) и обозначается \(\overline\).

Для того чтобы множество \(F\) в метрическом пространстве \(X\) было замкнутым, необходимо и достаточно, чтобы его дополнение \(X \setminus F\) было открытым.

\(\circ\) Необходимость. Пусть множество \(F \subset X\) содержит все свои предельные точки. Докажем, что его дополнение \(G = X \setminus F\) есть открытое множество. Если это не так, то существует точка \(a \in G\), не являющаяся внутренней точкой множества \(G\). Тогда в любой окрестности \(O(a)\) точки \(a\) есть точки, не принадлежащие \(G\), то есть принадлежащие множеству \(F\). Поэтому \(a\) есть предельная точка множества \(F\). Так как \(F\) замкнуто, то \(a \in F\). С другой стороны, \(a \in G = X \setminus F\) и, следовательно, \(a \notin F\). Полученное противоречие доказывает, что все точки \(G = X \setminus F\) внутренние, то есть \(G\) — открытое множество.

Достаточность. Пусть теперь \(X \setminus F = G\) — открытое множество. Покажем, что \(F\) замкнуто. Пусть \(a\) — предельная точка \(F\). Предположим, что \(a \notin F\). Тогда \(a \in G\), а так как \(G\) — открытое множество, то найдется окрестность \(O(a) \subset G\). Но тогда \(O(a) \bigcap F = \varnothing\), следовательно, \(a\) не может быть предельной точкой множества \(F\). Поэтому множество \(F\) содержит все свои предельные точки, то есть \(F\) замкнуто. \(\bullet\)

Замкнутые множества обладают следующими свойствами:

\(\circ\) Свойство 1) очевидно, так как \(X\) и \(\varnothing\) являются друг для друга дополнениями и открыты.

Докажем 2). Пусть \(F = \displaystyle\bigcap_ <\substack<\alpha \in \Lambda>>F_<\alpha>\), где \(F_<\alpha>\) — замкнутые множества.

В силу закона двойственности (легко проверяемого)
$$
X \setminus F = \bigcup_ <\substack<\alpha \in \Lambda>>(X \setminus F_<\alpha>).\nonumber
$$
Однако в силу теоремы 3 множества \(X \setminus F_<\alpha>\) открыты как дополнения замкнутых множеств. Их объединение \(X \setminus F\) есть открытое множество. В силу той же теоремы 3 множество \(F\) замкнуто. Столь же просто доказывается и свойство 3). \(\bullet\)

Компакт в метрическом пространстве.

Множество \(M\) в метрическом пространстве \(X\) называется компактом в \(X\), если из любой последовательности точек \(x_ \in M\) можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к точке, принадлежащей множеству \(M\). Например, отрезок \([a, b]\) есть компакт в \(R\), а промежуток \([a, b)\) не является компактом в \(R\).

На пространство \(R^\) обобщается теорема Больцано-Вейерштрасса.

Из любой ограниченной последовательности точек пространства \(R^\) можно выделить сходящуюся подпоследовательность точек.

\(\circ\) Ограничимся случаем пространства \(R^<2>\). В общем случае доказательство аналогично. Пусть \(x^ <(k)>= (x_<1>^<(k)>, x_<2>^<(k)>)\) — произвольная ограниченная последовательность точек пространства \(R^<2>\). Числовая последовательность \(\^<(k)>\>\) ограничена. В силу теоремы Больцано Вейерштрасса из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность \(\^<(k_)>\>\). Тогда у последовательности точек \(x^<(k_)>\) последовательность первых координат сходится, а последовательность вторых координат ограничена. Применим еще раз теорему Больцано-Вейерштрасса и выделим из ограниченной числовой последовательности \(\^<(k_)>\>\) сходящуюся подпоследовательность \(\^<(k_>)>\>\). У последовательности точек \(\>)>\>\) сходится и последовательность первых координат, и последовательность вторых координат. В силу леммы 3 подпоследовательность точек \(\>)>\>\) сходится в \(R^<2>\). \(\bullet\)

Для того чтобы множество \(M \subset R^\) было компактом, необходимо и достаточно, чтобы множество \(M\) было ограниченным и замкнутым.

\(\circ\) Докажем достаточность. Пусть множество \(M\) ограничено и замкнуто в пространстве \(R^\). Возьмем произвольную последовательность точек \(\\> \in M \). Так как эта последовательность ограничена, то из нее можно выделить подпоследовательность \(\)>\>\), сходящуюся к точке \(a\). В силу замкнутости множества \(M\) точка \(a \in M\). \(\bullet\)

Справедлива следующая лемма, доказательство которой не приводится.

Для того чтобы множество \(M\) в метрическом пространстве \(X\) было компактом, необходимо и достаточно, чтобы из любого его открытого покрытия можно было выделить конечное подпокрытие.

Поясним понятие покрытия, участвующего в формулировке леммы Гейне-Бореля. Система множеств \(\<, \ \alpha \in \Lambda>\>\) называется покрытием множества \(G\), если \(G \subset \displaystyle\bigcup_<\substack<\alpha \in \Lambda>>G_<\alpha>\). Покрытие называется конечным, если множество \(\Lambda\) конечно, и открытым, если все множества \(G_<\alpha>\) открыты. Подмножество покрытия называется подпокрытием, если это подмножество само образует покрытие.

Граница множества.

Точка \(a\) метрического пространства \(X\) называется граничной точкой множества \(M \subset X\), если в любой окрестности точки \(a\) есть как точки, принадлежащие множеству \(M\), так и точки, не принадлежащие множеству \(M\).

Граничная точка \(a\) множества М может не принадлежать множеству \(M\).

Совокупность всех граничных точек множества \(M\) называется границей множества \(М\) и обозначается \(\partial M\). Например,
$$
\partial (a, b) = \, \ \partial [a, b] = \, \ a, b \in R;\nonumber
$$
$$
\partial\

До сих пор рассматривались только такие объекты в \(R^\), при исследовании которых используются лишь свойства расстояния. Такая метрическая геометрия не очень содержательна. В ней есть точки, шары, но нет прямых, векторов, плоскостей и так далее.

В этой главе ограничимся тем, что введем в \(R^\) такие не связанные с метрикой объекты, как прямые, лучи и отрезки.

Прямой в \(R^\), проходящей через точки \(a = (a_<1>, \ldots. a_)\) и \(b = (b_<1>, \ldots. b_)\), будем называть следующее множество точек:
$$
\, \ x_ = a_t + b_(1 — t), \ t \in R, \ i = \overline<1, n>\>.\nonumber
$$
Лучом с вершиной в точке \(a\) в направлении \(l = (l_<1>, \ldots. l_)\), где \(l_<1>^ <2>+ \ldots + l_^ <2>= 1\), назовем множество
$$
\, \ x_ = a_ + tl_, \ 0 \leq t \leq + \infty, \ i = \overline<1, n>\>.\nonumber
$$
Отрезком, соединяющим точки \(a\) и \(b\), назовем множество
$$
\, \ x_ = a_t + b_(1 — t), \ 0 \leq t \leq 1, \ i = \overline<1, n>\>.\nonumber
$$
Множество в \(R^\) будем называть выпуклым, если вместе с любыми двумя своими точками оно содержит отрезок, который эти точки соединяет.

Множество \(M \subset R^\) называется связным, если любые две его точки можно соединить кривой \(\Gamma\), лежащей в множестве \(M\). Открытое и связное множество в \(R^\) называют областью. Замыкание области называют замкнутой областью.

Кривая в \(R^\), являющаяся объединением конечного числа отрезков, называется ломаной в \(R^\).

Источник

Замкнутые и открытые множества

Одна из основных задач теории точечных множеств — изучение свойств различных типов точечных множеств. Познакомимся с этой теорией на двух примерах и изучим свойства так называемых замкнутых и открытых множеств.

Приведем примеры замкнутых и открытых множеств. Всякий отрезок есть замкнутое множество, а всякий интервал — открытое множество. Несобственные полуинтервалы и замкнуты, а несобственные интервалы и открыты. Вся прямая является одновременно и замкнутым и открытым множеством. Удобно считать пустое множество тоже одновременно замкнутым и открытым. Любое конечное множество точек на прямой замкнуто, так как оно не имеет предельных точек. Множество, состоящее из точек

Наша задача состоит в том, чтобы выяснить, как устроено произвольное замкнутое или открытое множество. Для этого нам понадобится ряд вспомогательных фактов, которые мы примем без доказательства.

1. Пересечение любого числа замкнутых множеств замкнуто.

2. Сумма любого числа открытых множеств есть открытое множество.

3. Если замкнутое множество ограничено сверху, то оно содержит свою верхнюю грань. Аналогично, если замкнутое множество ограничено снизу, то оно содержит свою нижнюю грань.

4. Если множество замкнуто, то его дополнение открыто и обратно.

Предложение 4 показывает, что между замкнутыми и открытыми множествами имеется весьма тесная связь: одни являются дополнениями других. В силу этого достаточно изучить одни замкнутые или одни открытые множества. Знание свойств множеств одного типа позволяет сразу выяснить свойства множеств другого типа. Например, всякое открытое множество получается путем удаления из прямой некоторого замкнутого множества.

В силу предложения 4, отсюда сразу вытекает, что всякое открытое множество на прямой представляет собой не более чем счетную сумму непересекающихся интервалов. В силу предложений 1 и 2, ясно также, что всякое множество, устроенное, как указано выше, действительно является замкнутым (открытым).

Как видно из нижеследующего примера, замкнутые множества могут иметь весьма сложное строение.

Канторово совершенное множество

Рассмотрим некоторые свойства этого множества. Множество замкнуто, так как оно образуется путем удаления из прямой некоторого, множества непересекающихся интервалов. Множество не пусто; во всяком случае в нем содержатся концы всех выброшенных интервалов.

Можно показать, что множество имеет мощность континуума. В частности, отсюда следует, что канторово совершенное множество содержит, кроме концов смежных интервалов, еще и другие точки. Действительно, концы смежных интервалов образуют лишь счетное множество.

Разнообразные типы точечных множеств постоянно встречаются в самых различных разделах математики, и знание их свойств совершенно необходимо при исследовании многих математических проблем. Особенно большое значение имеет теория точечных множеств для математического анализа и топологии.

Исследования Н.Н. Лузина и его учеников показали, что имеется глубокая связь между дескриптивной теорией множеств и математической логикой. Трудности, возникающие при рассмотрении ряда задач дескриптивной теории множеств (в частности, задач об определении мощности тех или иных множеств), являются трудностями логической природы. Напротив, методы математической логики позволяют более глубоко проникнуть в некоторые вопросы дескриптивной теории множеств.

Источник