Что такое распределение признака

Рис. 1.5. Асимметрия распределений.

А) Левая, положительная

Б) правая, отрицательная

В тех случаях, когда какие-либо причины способствуют преиму­щественному появлению средних или близких к средним значений, об­разуется распределение с положительным эксцессом. Если же в рас­пределении преобладают крайние значения, причем одновременно и бо­лее низкие, и более высокие, то такое распределение характеризуется отрицательным эксцессом и в центре распределения может образоваться впадина, превращающая его в двувершинное (см. Рис. 1.6).

Показатель эксцесса (Е) определяется по формуле:

Рис. 1.6. Эксцесс: а) положительный; б) отрицательный

В распределениях с нормальной выпуклостью Е=0.

Параметры распределения оказывается возможным определить только по отношению к данным, представленным по крайней мере в интервальной шкале. Как мы убедились ранее, физические шкалы длин, времени, углов являются интервальными шкалами, и поэтому к ним применимы способы расчета оценок параметров, по крайней мере, с формальной точки зрения. Параметры распределения не учитывают

истинной психологической неравномерности секунд, миллиметров и других физических единиц измерения.

На практике психолог-исследователь может рассчитывать пара­метры любого распределения, если единицы, которые он использовал при измерении, признаются разумными в научном сообществе.

Источник

Распределение признака. Параметры распределения

Распределением признака называется закономерность встречаемо­сти разных его значений (Плохинский Н.А., 1970, с. 12).

В психологических исследованиях чаще всего ссылаются на нор­мальное распределение.

В реальных психологических исследованиях мы оперируем не па­раметрами, а их приближенными значениями, так называемыми оценка­ми параметров. Это объясняется ограниченностью обследованных выбо­рок. Чем больше выборка, тем ближе может быть оценка параметра к его истинному значению. В дальнейшем, говоря о параметрах, мы будем иметь в виду их оценки.

Среднее арифметическое (оценка математического ожидания) вы­числяется по формуле:

Оценка дисперсии определяется по формуле:

— среднее арифметическое значение признака;

Показатель асимметрии (A)вычисляется по формуле:

В тех случаях, когда какие-либо причины способствуют преиму­щественному появлению средних или близких к средним значений, об­разуется распределение с положительным эксцессом. Если же в рас­пределении преобладают крайние значения, причем одновременно и бо­лее низкие, и более высокие, то такое распределение характеризуется отрицательным эксцессом и в центре распределения может образоваться впадина, превращающая его в двувершинное (см. Рис. 1.6).

Показатель эксцесса (E) определяется по формуле:

Рис. 1.6. Эксцесс: а) положительный; 6) отрицательный

В распределениях с нормальной выпуклостью E=0.

Параметры распределения оказывается возможным определить только по отношению к данным, представленным по крайней мере в интервальной шкале. Как мы убедились ранее, физические шкалы длин, времени, углов являются интервальными шкалами, и поэтому к ним применимы способы расчета оценок параметров, по крайней мере, с формальной точки зрения. Параметры распределения не учитывают истинной психологической неравномерности секунд, миллиметров и других физических единиц измерения.

На практике психолог-исследователь может рассчитывать пара­метры любого распределения, если единицы, которые он использовал при измерении, признаются разумными в научном сообществе.

Статистические гипотезы

Формулирование гипотез систематизирует предположения иссле­дователя и представляет их в четком и лаконичном виде. Благодаря гипотезам исследователь не теряет путеводной нити в процессе расчетов и ему легко понять после их окончания, что, собственно, он обнаружил.

Статистические гипотезы подразделяются на нулевые и альтерна­тивные, направленные и ненаправленные.

Бывают задачи, когда мы хотим доказать как раз незначимость различий, то есть подтвердить нулевую гипотезу. Например, если нам нужно убедиться, что разные испытуемые получают хотя и различные, но уравновешенные по трудности задания, или что экспериментальная и контрольная выборки не различаются между собой по каким-то значи­мым характеристикам. Однако чаще нам все-таки требуется доказать значимость различий, ибо они более информативны для нас в поиске нового. Нулевая и альтернативная гипотезы могут быть направленными и ненаправленными.

Направленные гипотезы

Ненаправленные гипотезы

Если вы заметили, что в одной из групп индивидуальные значе­ния испытуемых по какому-либо признаку, например по социальной смелости, выше, а в другой ниже, то для проверки значимости этих различий нам необходимо сформулировать направленные гипотезы.

Если мы хотим доказать, что в группе А под влиянием каких-то экспериментальных воздействий произошли более выраженные измене­ния, чем в группе Б, то нам тоже необходимо сформулировать направ­ленные гипотезы.

Если же мы хотим доказать, что различаются формы распределения признака в группе А и Б, то формулируются ненаправленные гипотезы.

При описании каждого критерия в руководстве даны формули­ровки гипотез, которые он помогает нам проверить.

Проверка гипотез осуществляется с помощью критериев стати­стической оценки различий.

Статистические критерии

Статистические критерии обозначают также метод расчета опре­деленного числа и само это число.

По соотношению эмпирического и критического значений крите­рия мы можем судить о том, подтверждается ли или опровергается ну­левая гипотеза. Например, если χ 2 _эмп> χ 2 _кр, H₀ отвергается.

В большинстве случаев для того, чтобы мы признали различия значимыми, необходимо, чтобы эмпирическое значение критерия пре­вышало критическое, хотя есть критерии (например, критерий Манна-Уитни или критерий знаков), в которых мы должны придерживаться противоположного правила.

Эти правила оговариваются в описании каждого из представлен­ных в руководстве критериев.

В некоторых случаях расчетная формула критерия включает в се­бя количество наблюдений в исследуемой выборке, обозначаемое как п. В этом случае эмпирическое значение критерия одновременно является тестом для проверки статистических гипотез. По специальной таблице мы определяем, какому уровню статистической значимости различий соответствует данная эмпирическая величина. Примером такого крите­рия является критерий φ*, вычисляемый на основе углового преобразо­вания Шишера.

В большинстве случаев, однако, одно и то же эмпирическое зна­чение критерия может оказаться значимым или незначимым в зависи­мости от количества наблюдений в исследуемой выборке (n) или от так называемого количества степеней свободы, которое обозначается как v или как df.

Число степеней свободы v равно числу классов вариационного ряда минус число условий, при которых он был сформирован (Ивантер Э.В., Коросов А.В., 1992, с. 56). К числу таких условий относятся объем выборки (n), средние и дисперсии.

Способы более сложного подсчета числа степеней свободы при двухмерных классификациях приведены в разделах, посвященных кри­терию χ 2 и дисперсионному анализу.

Критерии делятся на параметрические и непараметрические.

Параметрические критерии

Непараметрические критерии

Критерии, не включающие в формулу расчета параметров распределе­ния и основанные на оперировании частотами или рангами (критерий Q Розенбаума, критерий Т Вилкоксона и др.)

И те, и другие критерии имеют свои преимущества и недостатки. На основании нескольких руководств можно составить таблицу, позво­ляющую оценить возможности и ограничения тех и других (Рунион Р., 1982; McCall R., 1970; J.Greene, M.D’Olivera, 1989).

Возможности и ограничения параметрических и непараметрических критериев

Из Табл. 1.1 мы видим, что параметрические критерии могут оказаться несколько более мощными[5], чем непараметрические, но толь­ко в том случае, если признак измерен по интервальной шкале и нор­мально распределен. С интервальной шкалой есть определенные про­блемы (см. раздел «Шкалы измерения»). Лишь с некоторой натяжкой мы можем считать данные, представленные не в стандартизованных оценках, как интервальные. Кроме того, проверка распределения «на нормальность» требует достаточно сложных расчетов, результат кото­рых заранее неизвестен (см. параграф 7.2). Может оказаться, что рас­пределение признака отличается от нормального, и нам так или иначе все равно придется обратиться к непараметрическим критериям.

Учитывая это, в настоящее руководство включены в основном непараметрические статистические критерии. В сумме они охватывают большую часть возможных задач сопоставления данных.

Источник

Распределение признака. Параметры распределения

В психологических исследованиях при объяснении распределения результатов тестирования используется закон нормального распределения (Лапласа-Гаусса) в целях теоретического распределения случайных, но реальных (переменных) величин. График нормального распреде-ления представляет собой симметричную колоколообразную кривую.

Рис. 4. График нормального распределения признака

Рис. 5 (а, б). Различие распределения вероятностей случайных величин (дискретных

и непрерывных) зависимости от положения на числовой оси (а), рассеивания значений (б),

Рис. 5 (в, г). Различие распределения вероятностей случайных величин (дискретных

и непрерывных) в зависимости от асимметрии (косости, скошенности) рассеивания значений (в),

а также эксцесса (выпуклости, «кучности») рассеивания (г).

При обработке статистического материала необходимо установить форму полученного распределения в целях определения, подчиняется ли оно закону нормального распределения Лапласа-Гаусса.

Статистическая обработка результатов, произведенных в психологическом обследовании измерений, имеет свою логику и проводится по следующим этапам: а) упорядочивание, группировка и табулирование данных по их значениям; б) построение распреде¬ления их частот;

в) выявление центральных тенденций распределения (например, средней арифметической, среднеквадратичного отклонения и пр.); г) оценка типа распределения (разброса данных по отношению к найденной центральной тенденции, асимметрии и пр.).

Упорядочивание результатов измерений

Вслед за упорядочением вариант необходимо провести их группировку.

Группировка данных по их значениям заключается в расположении результатов (оценок), полученных на данной выборке групп испытуемых, в возрастающем или убывающем порядке. Упорядочив варианты, например, по степени их возрастания, получаем следующий статисти-ческий ряд (табл. 8).

Группировка результатов измерений

Табулирование результатов измерений

2-й этап. Построение распределения частот. При обработке статистического материала встает задача установления формы полученного распределения. Представим распределение полученных результатов с учетом встречаемости их частот и отобразим на гистограмме (от минимальной до максимальной оценки) (рис. 6,7).

Рис. 6. Гистограмма 1

Рис. 7. Гистограмма 2

Такая группировка необходима, прежде всего, для качественного анализа полученных результатов, разделяющих обследуемых по каким-либо свойствам, качествам. Единственной количественной оценкой здесь может служить лишь частота встречаемости обследуемых лиц с данными свойствами, качествами.

Выбор типа группировки с определенным интервалом между классами: интервал в 2 единицы необходим для выявления распределения результатов вокруг центрального «пика»; группировка с интервалами в 3 единицы дает более обобщенную и упрощенную картину распределения.

Статистическое распределение может быть представлено графически в виде полигона

частот – ломаной линии, соединяющей точки, соответствующие величинам частот, отклады-ваемым по оси ординат.

Для более наглядного представления общей конфигурации распределения строят полигоны распределения частот, соединив отрезками прямых центры вершин прямоугольников гисто-граммы вправо и влево до нулевых, т.е. крайних значений распределения (рис. 8).

Рис.8. Полигоны распределения частот

В итоге получилась кривая распределения – тот предел, к которому стремится полигон частот при увеличении числа обследуемых в выборке и повышении точности измерения. Форма распределения является некоторой обобщенной характеристикой выборки.

3-й этап. Определение центральной тенденции – осуществляется в целях определения того, насколько полученный в обследовании результат измерения переменных (признаков) является типичным, репрезентативным.

Рис. 9. Параметры распределения

В целях количественного выражения отмеченных тенденций на практике чаще всего пользуются такими параметрами распределения, как: средняя арифметическая (математическое ожидание), дисперсия S, мода Мо, медиана Ме, показатели асимметрии А и эксцесса Е.

— — сумма результатов всех измерений (табл. 10).

Вычисление среднего арифметического значения

Погрешность полученного среднего арифметического ( ) будет меньше погрешности отдельного измерения (Хn). Сравнение числовых величин средних значений различных обсле-дуемых мало что дает для понимания особенностей распределения. Основным, или опреде-ляющим, для каждого вида средней является качественное ее содержание, т.е. знание того, в каком смысле это средняя, а также в каких пределах идет усреднение.

1. В ряде случаев у распределения может не быть моды – это так называемое «унимодальное» распределение, когда все значения в изучаемой группе встречаются одинаково часто. Пример:

2. Когда два соседних значения имеют одинаковую частоту и они больше частоты любого другого значения, мода есть среднее этих двух значений. Пример: 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4. Мо = 2,5.

3. Если два несмежных значения в группе имеют равные частоты и они больше частоты любого другого значения, то имеем две моды. Говорят: группа оценок является бимодальной: Пример: 10, 11, 11, 11, 12, 13, 14, 14, 14, 15. Мо = 11 и 14.

Среди распределений встречаются как «унимодальные», у которых мода отсутствует, так и полимодальные, у которых две и более мод. «Полимодальное» распределение свидетельствует о наличии относительно самостоятельных групп обследуемых, различных по измеряемым психологическим параметрам. Например, при следующих данных выборки наблюдается наличие двух групп чаще всего встречающихся частот в распределении (рис. 10).

Рис. 10. Бимодальное распределение

Данный пример показывает, что исследователь имеет дело с двумя разными выборками, резко отличающимися друг от друга по исследуемому параметру.

Для группы-2 в нашем примере мода равна 15, т.к. этот результат в распределении встре-чается 4 раза и находится примерно в центральной части распределения, что свидетельствует о распределении, близком к нормальному (рис. 11).

Рис.11. Распределение, близкое к нормальному

3. Медиана (Ме) — центральное значение переменной; результат, находящийся в середине последовательности показателей, если их расположить в порядке возрастания или убывания. Медиана делит выборку на две равные по количеству вариант части.

В случае, если число значений n в ряду нечетное, то медиана равна центральному наибольшему значению варианты.

Для группы-1 в нашем примере мы имеем следующий ряд:

Медиана (Ме) в этом случае соответствует 8-му значению варианты, т.е. 15. В случае, если число значений n в ряду четное, то нет истинно медианного значения и тогда за медиану берут среднее арифметическое между Хn/2 и Хn/2+1, например, для ряда

7 8 9 11 12 13 14 16

окажется, что медиана соответствует (11+12) /2 = 11,5

В случае симметричного распределения медиана и мода совпадают со средней арифме-тической. В унимодальных несимметричных выборках среднее арифметическое значение пере-менной, мода и медиана не совпадают (рис. 12).

Рис 12. Графическая иллюстрация меры центральной тенденции на симметричной

и асимметричной кривых распределения

4-й этап. Оценка типа распределения (или разброса) осуществляется в целях проверки предположения о том, что распределение изучаемого психологического явления или процесса подчинено закону нормального распределения и полученная эмпирическая кривая не требует нормализации.

При этом условии распределение можно рассматривать как репрезентативное по отношению к генеральной совокупности и на этой основе определять оценочные нормы. Если это условие не выполняется, то либо мала выборка для проведения обследования, либо методика не является надежной. Распределение считается нормальным, если кривая распределения имеет колоколо-образный вид, а все показатели центральной тенденции совпадают, что свидетельствует о сим-метричности распределения.

Рис. 13. Распределение, близкое к нормальному

В психологических исследованиях чаще всего осуществляется сравнение результатов обсле-дования с нормальным распределением.

— в первом случае – значения переменных сконцентрированы в двух местах, что свидетельствует о наличии двух разнородных выборок (рис. 14);

Рис. 14. Бимодальное распределение

При концентрации значений в правой части кривой наблюдалась бы тенденция к улучшению показателей у большинства обследуемых (рис. 15).

Рис. 15. Виды асимметрий

О наличии отклонений в распределении судят по величине диапазона размаха или разброса данных, т.е. по разнице между максимальным и минимальным значениями.

Так, если в обследуемой группе диапазон распределения до воздействия составлял

Обследуемая группа (до воздействия)

то после воздействия составил 25 – 8 = 17.

Обследуемая группа (после воздействия)

Это позволяет предположить, что воздействие по-разному сказалось на результатах: у одних обследуемых они улучшились, а у других ухудшились.

1. Сначала вычисляют среднее арифметическое значение ( ). Так, например, для следую-щего ряда 3 5 6 9 11 14 среднее арифметическое для данной выборки будет равно:

2. Затем вычисляют отклонение каждого значения от средней, для чего сумму абсолютных значений делят на число членов ряда:

Каждое из отклонений (d) характеризуется степенью расхождения показателей переменной со средним арифметическим. Общая формула среднего отклонения выглядит следующим образом:

Среднее отклонение (d) =

Однако среднее отклонение при достаточно большом разбросе значений переменной, при равномерном распределении оценок или при проведении оценок экспертами, стоящими на различных теоретических позициях, лишь приблизительно (усредненно) свидетельствует о разбросе полученных результатов измерений переменной.

В практике анализа полученных данных чаще всего пользуются наиболее информативным показателем разброса – стандартное (?) или среднее квадратическое отклонение (ошибка), которое вычисляется по следующим формулам:

t-критерий Стьюдента и др.), г) проведением корреляционного анализа.

Этими параметрами распределения психодиагност пользуется при статистической обработке результатов выявления и интерпретации результатов.

Источник