Что такое распределительное свойство в математике

Свойства умножения и деления

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Свойства умножения

Умножение — арифметическое действие, в котором участвуют два аргумента: множимый и множитель. Результат их умножения называется произведением.

Узнаем, какие бывают свойства умножения и как их применять.

Переместительное свойство умножения

От перестановки мест множителей произведение не меняется.

То есть, для любых чисел a и b верно равенство: a * b = b * a.

Это свойство можно применять к произведениям, в которых больше двух множителей.

Сочетательное свойство умножения

Произведение трех и более множителей не изменится, если какую-то группу множителей заменить их произведением.

То есть, для любых чисел a, b и c верно равенство: a * b * c = (a * b) * c = a * (b * c).

Сочетательное свойство можно использовать, чтобы упростить вычисления при умножении. Например: 25 * 15 * 4 = (25 * 4) * 15 = 100 * 15 = 1500.

Если не применять сочетательное свойство и вычислять последовательно, решение будет значительно сложнее: 25 * 15 * 4 = (25 * 15) * 4 = 375 * 4 = 1500.

Распределительное свойство умножения относительно сложения

Чтобы умножить сумму на число, нужно умножить на это число каждое слагаемое и сложить полученные результаты.

То есть, для любых чисел a, b и c верно равенство: (a + b) * c = a * c + b * c.

Это свойство работает с любым количеством слагаемых: (a + b + с + d) * k = a * k + b * k + c * k + d * k.

В обратную сторону распределительное свойство умножения относительно сложения звучит так:

Чтобы число умножить на сумму чисел, нужно это число умножить отдельно на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.

Распределительное свойство умножения относительно вычитания

Чтобы умножить разность на число, нужно умножить на это число сначала уменьшаемое, затем вычитаемое, и из первого произведения вычесть второе.

То есть, для любых чисел a, b и c верно равенство: (a − b) * c = a * c − b * c.

В обратную сторону распределительное свойство умножения относительно вычитания звучит так:

Чтобы число умножить на разность чисел, нужно это число умножить отдельно на уменьшаемое и вычитаемое и из первого полученного произведения вычесть второе.

Свойство нуля при умножении

Если в произведении хотя бы один множитель равен нулю, то само произведение будет равно нулю.

То есть, для любых чисел a, b и c верно равенство:
0 * a * b * c = 0.

Свойство единицы при умножении

Если умножить любое целое число на единицу, то в результате получится это же число.

То есть, умножение на единицу не изменяет умножаемое число: a * 1 = a.

Свойства деления

Деление — арифметическое действие обратное умножению. В результате деления получается число (частное), которое при умножении на делитель дает делимое.

Основные свойства деления целых чисел

И еще одно важное свойство деления, которое проходят в 5 классе:

Если делимое и делитель умножить или разделить на одно и тоже натуральное число, то их частное не изменится.

В буквенной форме это свойство выглядит так: a : b = (a * k) : (b * k), где k — любое натуральное число.

Применим свойства деления на практике.

Пример 1

Мама купила 6 кг конфет и разложила их в три пакета. Сколько килограммов конфет в каждом пакете?

Так как в каждом пакете одинаковое количество конфет, разделим 6 кг на три равные части: 6 : 3 = 2. Значит в каждом пакете по 2 кг конфет.

Пример 2

Вычислить: 500 * (100 : 5).

Как решаем: 500 * (100 : 5) = (500 * 100) : 5 = 50000 : 5 = 10000.

Ответ: 500 * (100 : 5) = 10000.

Пример 3

Упростить выражение: 27a – 16a.

Свойства умножения и деления помогают упрощать выражения. То есть, если запомнить эти свойства и научиться их применять, то решать задачки можно быстрее.

Источник

Краткое описание

Используемый в школе распределительный закон умножения позволяет ученикам максимально быстро выполнить все необходимые вычисления. Знание определенных нюансов поможет решить сложные уравнения и различные задачи. Процесс умножения представляет собой сокращенный процесс сложения. А это означает, что первый множитель выступает в роли числа, которое складывается само с собой определенное количество раз, соответствующее второму множителю. Пример: 4 * 8 = 4+4+4+4+4+4+4+4 = 32.

Элементарное математическое умножение было изобретено в то время, когда у человечества возникла необходимость выполнять большие вычисления, которые просто неудобно записывать в виде элементарного сложения. Всем хорошо известно, что можно 8 раз сложить число 4, а можно 4 раза сложить число 8, но итоговый результат от этого не поменяется. Именно в этом и состоит смысл переместительного умножения всех задействованных элементов. Умножение позволило человеку решить довольно много проблем, но вместе с этим в алгебру пришло и деление, но уже как противоположная математическая операция.

Ключевые особенности

Чтобы даже на начальном этапе ученик мог выполнить умножение суммы некоторых чисел, необходимо просто умножить каждое слагаемое по отдельности и сложить полученный результат. К примеру: (j + d) * s = sj + sd либо s * (j + d) = sj + sd. Чтобы немного упростить способ решения задачи, описанное правило можно использовать в обратном порядке: s * j + s * d = s * (j + d). В этом случае общий множитель выносится за пределы скобок.

Если попробовать задействовать многофункциональное распределительное свойство сложения, то в итоге можно будет решить следующие математические примеры:

Умелое применение распределительного свойства умножения поможет избежать распространенных ошибок. Так, основное правило актуально не только по отношению к сумме, но и к разности двух и более выражений. Для укрепления полученных навыков можно попробовать самостоятельно придумать задачу.

Основные математические возможности

Чтобы можно было выполнить определенные арифметические действия по отношению к числу, необходимо поочередно умножить его на каждое слагаемое и в итоге сложить полученные произведения. А это значит, что для любых частных чисел l, r, w верным будет следующее равенство: w * (l + r) = w * l + w * r. Этот пример отлично выражает распределительный закон сложения и последующего умножения. Так как число и сумма являются множителями, то после смены их места расположения, задействовав для этого переместительное свойство, можно будет сформировать наиболее подходящее свойство.

Всего специалисты выделяют три свойства распределительного умножения:

Все перечисленные направления имеют свои особенности и правила использования на практике, которые обязательно нужно учесть для лучшего усвоения этой темы.

Правила вычитания

Умножение и последующее вычитание натуральных чисел обязательно связывается распределительным свойством. Учащимся обязательно нужно запомнить формулировку этого правила: умножить определенную разность двух рациональных чисел на конкретное число — это вычитание из произведения уменьшаемого числа произведения данного или неизвестного вычитаемого числа. Все математические примеры записываются при помощи обычных букв: (s — r)* n = s * n — r * n. Задействованными символами могут называться определенные рациональные целые и дробные числа.

Элементарные примеры распределительного свойства умножения позволяют ученикам освоить технику решения распространенных математических задач. Если необходимо убедиться в равенстве уравнения 5 * (8 — 3) = 5 * 8 — 5 * 3, тогда нужно выполнить несколько арифметических действий. Так как пример 8 − 3 всегда равен 5, то произведение 5 * (8 — 3) всегда будет иметь следующий результат: 5 * 5 = 5+5+5+5+5=25. Теперь нужно вычислить разность между 5 * 8 и 5 * 3. Решение выглядит следующим образом: 5 * 8 − 5 * 3 = (5+5+5+5+5+5+5+5) — (5+5+5) = 40 — 15 = 25. Это значит, что равенство 5 * (8 − 3) = 5 * 8 − 5 * 3.

Использование двух и более слагаемых

Распространенное в алгебре распределительное свойство элементарного умножения активно применяется не только по отношению к двум слагаемым, но и для неограниченного количества арифметических элементов. Этот подход можно применить для всех форм дробей, что очень удобно. Стандартная формула имеет следующий вид:

В качестве примера следует рассмотреть следующее уравнение: 678 * 4. Чтобы понять все нюансы, надо представить число 678 как сумму трех чисел: 600, 70 и 8. Если это сделать, то в итоге можно получить следующее решение: (600 + 70 + 8) * 4 = 600 * 4 + 70 * 4 + 8 * 4 = 2400 + 280 + 32 = 2712. Для более быстрого решения задачи нужно упростить несколько выражений, используя для этого упомянутое ранее свойство.

Если в качестве примера взять уравнение 8 * (4х + 3у), тогда первым делом раскрывают имеющиеся скобки, применяя для этого распределительный закон умножения: 8 * 4х + 8 * 3у = 32х + 24у. Конечно, полученный результат сложить просто невозможно, так как заявленные слагаемые не являются подобными, к тому же они имеют разную буквенную часть. Именно поэтому ответ будет выглядеть следующим образом: 32х + 24у.

Если ученик научится использовать при решении различных примеров универсальное распределительное свойство сложения и умножения, то в итоге он сможет легко решать даже самые сложные математические примеры, так как многие ситуации можно свести к устному счету. Также будет существенно экономиться время при решении многоуровневых задач. Благодаря полученным знаниям, можно будет с легкостью упростить выражения. Эксперты рекомендуют дважды проверять выполненную работу, так как только в этом случае можно будет избежать ошибок.

Умножение нуля

Несмотря на то что ноль не относится к категории естественных чисел, этому направлению тоже нужно уделить повышенное внимание. Это связано с тем, что такое свойство используется во время умножения натуральных чисел столбиком. Если строго соблюдать смысл умножения, тогда произведение 0 * х, где х выступает в роли произвольного естественного числа больше единицы, представляет собой сумму х слагаемых. В такой ситуации актуальной является следующая формула: 0 * х = 0+0+0+0+….+0. Свойства математического сложения позволяют специалистам утверждать, что последняя сумма неизбежно будет равна нулю.

Чтобы иметь возможность сохранить справедливость элементарного умножения используемого числа на единицу, можно считать верным следующее равенство: 0 * 1 = 0. Это значит, что для любого естественного числа х выполняется равенство 0 * х = 0. Чтобы оставалось актуальным переместительное свойство умножения, нужно помнить о справедливости равенства х * 0 = 0 для всех натуральных чисел х.

Произведение естественного числа и нуля равно нулю 0 * х = 0, а также х * 0 = 0. Используемый x представляет собой произвольное натуральное число. Экспертами было доказано, что последнее утверждение играет важную роль формулировки свойства умножения ранее полученного числа и нуля. К примеру, произведение чисел 87 и 0 равно нулю. Если попробовать умножить 0 на 897689, то в итоге тоже получим ноль.

Распределительное свойство относительно разности

Понять все нюансы помогут следующие три примера:

Решать такие задачи элементарно и быстро, но для этого нужно хорошо усвоить все правила, а также рекомендации специалистов, так как только в этом случае можно будет избежать грубых ошибок.

Манипуляции с натуральным числом

Этот раздел связан с умножением единицы на конкретное число. Если следовать смыслу умножения, то в итоге произведение изучаемого арифметического выражения х будет равно сумме х слагаемых, каждое из которых тоже равно единице. Действует элементарная формула: 1 * х = 1+1+1+….+1 = х. Пример: произведение чисел 1 и 78 равно 78, а результатом умножения 1 и 456 есть число 456.

Произведение х * 1 лишено какого-либо смысла, так как это арифметическое выражение представляет собой сумму одного слагаемого, которое равно число х, но сложение определяют для двух и более слагаемых. Чтобы сохранить справедливое переместительное свойство поэтапного умножения, нужно считать верным равенство х * 1 = х.

Опытные математики утверждают, что произведение двух разных чисел, одно из которых приравнивается к нулю, равно другому числу. Это утверждение выступает в качестве официальной формулировки умножения единицы и определенного числа. При помощи букв это свойство записывается так: 1 * х = х * 1 = х. За основу могут использоваться любые натуральные числа.

Многим может показаться, что сегодня нет необходимости разбираться во всех свойствах распределительного умножения, так как под рукой всегда есть калькулятор. Но даже у программ существуют свои ограничения, что просто недопустимо в банковской отрасли и правительственных отраслях. Именно поэтому бухгалтеры в обязательном порядке изучают все особенности применения распределительного закона умножения.

Источник

Что такое распределительное свойство в математике?

распределительное свойство один из наиболее часто используемых свойства в математике. В общем, этот термин относится к распределительное свойство of умножение в котором говорится, что файл. Определение: распределительное свойство позволяет умножать сумму, умножая каждое слагаемое отдельно, а затем складывать произведения.

Точно так же как вы объясняете коммутативность?

Кроме того, каково определение коммутативности в математике? Определение коммутативного свойства. Формула бокового угла. Определение: Коммутативная собственность заявляет, что порядок не имеет значения. Умножение и дополнение коммутативной.

Почему это называется коммутативным свойством?

Слово «коммутативной»Происходит от« ездить на работу »или« перемещаться », поэтому Коммутативная собственность это тот, который относится к перемещению вещей. Для сложения правило: «a + b = b + a»; в цифрах это означает 2 + 3 = 3 + 2.

Какой пример распределительной собственности?

распределительное свойство умножения над сложением можно использовать, когда вы умножаете число на сумму. Для пример, предположим, вы хотите умножить 3 на сумму 10 + 2. 3 (10 + 2) =? Согласно этому собственность, вы можете сложить числа, а затем умножить их на 3.

Какой пример распределительной собственности?

Определение: распределительное свойство позволяет умножать сумму, умножая каждое слагаемое отдельно, а затем складывать произведения. ОК, это определение на самом деле не так уж и полезен для большинства людей. Рассмотрим первый пример, распределительное свойство позволяет «распределить» 5 как на «x», так и на «2».

В чем разница между распределительным свойством и коммутативным свойством?

распределительное свойство применяется здесь. Вы не можете комбинировать a или b с чем-либо еще, пока не вынесете их за скобки. Это пример of что собой представляет коммутативное свойство. Вы можете изменить («поехать») порядок, в котором вы складываете вещи.

Каковы 3 свойства сложения?

Что такое ассоциативное и коммутативное свойство?

Каковы 4 свойства сложения?

Свойства сложения. Есть четыре математических свойства, которые включают сложение. Свойства коммутативной, ассоциативный, добавка личность и распределительные свойства. Добавка Собственность идентичности: Сумма любого числа и нуля является исходным числом.

Каковы 5 свойств математики?

Когда вы переписываете выражение коммутативное свойство, вы меняете порядок добавления или умножения чисел. Когда вы переписываете выражение через ассоциативный собственность, вы группируете другую пару чисел вместе используя круглые скобки.

Что такое рефлексивное свойство?

возвратный в значительной степени означает что-то, относящееся к самому себе. В рефлексивное свойство равенства просто утверждает, что значение равно самому себе. Далее, это собственность утверждает, что для всех действительных чисел x = x. Опять же, он просто заявляет, что любое значение или число равно самому себе.

Что такое коммутативное свойство вычитания?

Что такое коммутативный закон?

Коммутативное право, по математике, любой из двух законодательство относящиеся к числовым операциям сложения и умножения, обозначенные символически: a + b = b + a и ab = ba. От них законодательство из этого следует, что любая конечная сумма или продукт не изменяется путем изменения порядка его условий или факторов.

Что такое распределительная собственность 5 класса?

Распределительное свойство утверждает, что когда вы умножаете сумму двух или более слагаемых на коэффициент, произведение получается таким же, как если бы вы умножили каждое слагаемое на коэффициент, а затем сложили частичные произведения. В Распределительное свойство проиллюстрирован ниже графически, арифметически и алгебраически.

Что такое коммутативное свойство вычитания?

Что еще означает коммутативность?

В чём коммутативное свойство of дополнение? Смягчать» означает передвигаться или путешествовать. Согласно коммутативное свойство of дополнение, изменяя порядок добавляемых чисел, делает не менять сумму. Вот пример того, как сумма делает НЕ меняются, даже если порядок добавлений изменен.

Почему важна коммутативность?

Место значение и коммутативное свойство Он важную помнить при понимании и решении уравнений сложения и умножения. Порядок чисел в уравнении не имеет значения, поскольку он связан с коммутативное свойство, потому что сумма или произведение одинаковы.

Что такое коммутативное свойство деления?

Коммутативная собственность, коммутативное свойство заявляет, что числа, с которыми мы работаем, можно перемещать или менять местами, не влияя на ответ. В собственность справедливо для сложения и умножения, но не для вычитания и деление.

Что такое коммутативность деления?

Ли собственность a ÷ b = b ÷ aa div b = b div aa ÷ b = b ÷ a удерживать? а) б) Как и при вычитании, изменение порядка чисел в деление дает разные ответы. Следовательно коммутативное свойство не относится к деление.

Что такое распределительное свойство 3 × 6?

Вместе с доктором Д. дистрибутивный доктор, студенты будут притворяться хирургами, «разбирающими» массивы. Они начнут «видеть» распределительное свойство умножения и почему 3 × 6 равно (3 × 2) + (3 × 4) или равно 3 x (2 + 4).

Каковы 5 свойств математики?

Коммутативная собственность, Ассоциативное свойство, Распределительное свойство, Собственность идентичности умножения и Собственность идентичности of Дополнение.

Каковы 5 свойств математики?

Коммутативное свойство умножения: Изменение порядка факторы не меняет товар. Например, 4 × 3 = 3 × 4 4 Редакторы IME 3 = 3 Редакторы IME 4 4×3=3×44, раз, 3, равно, 3, раз, 4. Ассоциативный свойство умножения: Изменение группировки факторы не меняет товар.

Что такое коэффициенты?

Распределительное право. подробнее Распределительное право говорит, что умножение числа на группу чисел, сложенных вместе is так же, как и каждое умножение отдельно. Пример: 3 × (2 + 4) = 3 × 2 + 3 × 4. Итак, «3» может быть «распределенным» по «2 + 4» на 3 раза по 2 и 3 раза по 4.

Что такое свойство перестановки?

Свойство перестановки сложения: слагаемые в выражении сложения могут быть расположены и сгруппированы в любом порядке. Это комбинация ассоциативной и коммутативной аксиом.

Какова формула распределительной собственности?

Какова формула распределительной собственности?

Коммутативная собственность, Ассоциативное свойство, дистрибутивный Недвижимость, Собственность идентичности умножения и Собственность идентичности дополнения.

Что такое ассоциативно-распределительная собственность?

ассоциативный Законы: (a + b) + c = a + (b + c) (a × b) × c = a × (b × c) дистрибутивный Закон: a × (b + c) = a × b + a × c.

Что такое тождественное свойство сложения?

В математике личность число n, которое при добавлении к другим числам дает то же число n. Добавка личность всегда равен нулю. Это подводит нас к тождественное свойство сложения, который просто утверждает, что когда вы добавляете ноль к любому числу, он равен самому числу.

Каковы 4 свойства сложения?

Свойства сложения. Есть четыре математических свойства, которые включают сложение. Свойства коммутативной, ассоциативный, добавка личность и распределительные свойства. Добавка Собственность идентичности: Сумма любого числа и нуля является исходным числом.

Какая формула коммутативности?

Свойство коммутативности умножения говорит нам, что не имеет значения, в каком порядке вы умножаете числа. Формула для этого свойства: a * b = b * a. Для пример, не имеет значения, умножим ли мы 5 * 4 или 4 * 5. Мы получим тот же ответ.

Что означает закон о распределении доходов?

В математике личность число n, которое при добавлении к другим числам дает то же число n. Добавка личность всегда равен нулю. Это подводит нас к тождественное свойство сложения, который просто утверждает, что когда вы добавляете ноль к любому числу, он равен самому числу.

Что такое дистрибутивность в алгебре?

Распределительное свойство есть свойство алгебры который используется для умножения одного члена и двух или более терминов в круглых скобках. Поскольку бином «3 + 6» заключен в круглые скобки, следуя Порядку операций, вы должны сначала найти ответ 3 + 6, а затем умножить его на 2.

Каковы свойства операций?

Распределительное право. подробнее Распределительное право говорит, что умножение числа на группу чисел, сложенных вместе is так же, как и каждое умножение отдельно. Пример: 3 × (2 + 4) = 3 × 2 + 3 × 4. Итак, «3» может быть «распределенным» по «2 + 4» на 3 раза по 2 и 3 раза по 4.

Источник