Что такое рациональные уравнения и неравенства
Рациональные неравенства (ЕГЭ 2022)
Хочешь без труда решать ЛЮБЫЕ неравенства?
Тогда начни с рациональных! Они станут твоей крепкой опорой в решении других неравенств.
Читай эту статью и ты во всём разберешься!
Рациональные неравенства — коротко о главном
Определение рационального неравенства
Рациональное неравенство — неравенство, левая и правая части которого являются дробно-рациональными функциями, то есть функциями, представимыми в виде отношения многочленов \(\displaystyle f\left(x\right)\) и \(\displaystyle g\left(x\right)\).
Стандартный вид рационального неравенства
Строгие рациональные неравенства
Рациональные неравенства — подробнее
Рациональные неравенства – это неравенства, обе части которых являются рациональными выражениями.
Что такое рациональное выражение? Напомню:
Рациональное выражение — это алгебраическое выражение, составленное из чисел и переменной \(\displaystyle x\) с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень с натуральным показателем.
Например, такое рациональное неравенство: \(\displaystyle \frac
Решение всех рациональных неравенств сводится к двум основным шагам:
Шаг 1. Перенос. Общий знаменатель. Разложение на множители
Переносим все в одну сторону, приводим к общему знаменателю и раскладываем числитель и знаменатель на множители.
Все множители должны быть «линейными», то есть переменная в каждом из них – только в первой степени.
Если какой-то из множителей нелинейный, и его невозможно разложить на линейные, от него надо избавиться.
Если забыл, как раскладывать выражение на множители, прочти тему «Разложение многочленов на множители».
Шаг 2. Метод интервалов
Если не знаешь, что это такое, прочти тему «Метод интервалов».
Первый шаг у нас уже раньше встречался. Где? В рациональных уравнениях!
Но в отличие от уравнений, в неравенствах мы никогда не разделяем числитель и знаменатель!
Более того, если в числителе и знаменателе есть одинаковые нечисловые множители, мы их не сокращаем!
Это правило у нас уже было в теме «Метод интервалов». И вообще, в этой теме мы уже учились решать рациональные неравенства. Поэтому здесь ограничимся отдельными примерами.
Рациональные уравнения (ЕГЭ 2022)
Рациональные уравнения – это уравнения, в которых и левая, и правая части – рациональные выражения.
Ну… Это было сухое математическое определение, и слово-то какое: «рациональные». А по сути, рациональные выражения – это просто целые и дробные выражения без знака корня.
А получается, что под пугающим «рациональным уравнением» скрывается всего лишь уравнение, в котором могут присутствовать сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень с целым показателем, но НЕ корень из переменной.
Рациональные уравнения — коротко о главном
Определение рационального уравнения:
Рациональное уравнение – это равенство двух рациональных (без знака корня) выражений.
Дробно-рациональное уравнение – рациональное (без знака корня) уравнение, в котором левая или правая части являются дробными выражениями.
Алгоритм решения рациональных уравнений:
Система для решения дробно рациональных уравнений:
Что такое рациональные уравнения?
Давай научимся отличать рациональные уравнения от иррациональных! Зачем? Рациональные уравнения решать проще.
А зачем работать больше, если можно работать меньше?
Надеюсь, теперь ты сможешь различать, к какому виду относится уравнение. (И не поедешь из Москвы в Петербург через Магадан, решая рациональные уравнения как нерациональные).
Целые рациональные уравнения
Важно знать, что рациональные уравнения в свою очередь тоже разные бывают.
Если в дроби нет деления на переменную (то есть на \( \displaystyle x\), \( \displaystyle y\) и т.д.), тогда рациональное уравнение будет называться целым (или линейным) уравнением, вот примеры:
Умеешь такие решать? – конечно, умеешь, упрощаешь и находишь неизвестное, тема-то 5-ого или 6-ого класса.
Ну, рассмотрим первый из примеров на всякий случай и по порядочку. Все неизвестные переносим влево, все известные вправо:
Какой наименьший общий знаменатель будет?
Правильно \( \displaystyle 6\)!
Чтоб к нему привести домножаем и числитель и знаменатель первого слагаемое на \( \displaystyle 2\), а второго на \( \displaystyle 3\), этого делать не запрещено, если и числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же значение, то дробь от этого не изменится, т.к. ее можно будет сократить на то же число.
А \( \displaystyle 13\) не трогаем, оно нам не мешает, имеем:
А теперь делим обе части на \( \displaystyle 13\):
Поскольку уравнение целое, что мы уже определили, то и ограничений никаких нет, \( \displaystyle 6\), так \( \displaystyle 6\), ну можно для верности подставить этот ответ в исходное уравнение, получим \( \displaystyle 0=0\), значит все верно и ответ подходит (ты можешь пересчитать, а вообще должно сойтись).
Дробно-рациональные уравнения
А вот еще одно уравнение \( \displaystyle \frac<5>
Это уравнение целое? НЕТ. Тут есть деление на переменную \( \displaystyle x\), а это говорит о том, что уравнение не целое. Тогда какое же оно? Это дробно рациональное уравнение.
Дробно-рациональное уравнение – рациональное (без знака корня) уравнение, в котором левая или правая части являются дробными выражениями.
На первый взгляд особой разницы не видно, ну давай попробуем решать его как мы решали целое (линейное) уравнение.
Для начала найдем наименьший общий знаменатель, это будет \( \displaystyle (x+1)\cdot (x+3)\).
Важный момент!
В предыдущем примере, где было целое уравнение мы не стали свободный член \( \displaystyle 13\) приводить к знаменателю, т.к. умножали все на числа без переменных, но тут-то наименьший общий знаменатель \( \displaystyle (x+1)\cdot (x+3)\).
А это тебе не шутки, переменная в знаменателе!
Решая дробно-рациональное уравнение, обе его части умножаем на наименьший общий знаменатель!
Это надеюсь, ты запомнишь, но давай посмотрим что вышло:
Что-то оно огромное получилось, надо все посокращать:
\( \displaystyle 5(x+3)+(4
Раскроем скобки и приведем подобные члены:
Ну как, это уже попроще выглядит, чем в начале было?
Выносим за скобку общий множитель: \( \displaystyle 3x\cdot (x+1)=0\)
У этого уравнения два решения, его левая сторона принимает нулевое значение при \( \displaystyle x=0\) и \( \displaystyle x=-1\).
Вроде бы все, ну ладно давайте напоследок подставим корни \( \displaystyle x=0\) и \( \displaystyle x=-1\) в исходное уравнение, чтобы проверить, нет ли ошибок. Сначала подставим \( \displaystyle 0\), получается \( \displaystyle 3=3\) –нет претензий?
Но ведь это же будет ноль!
На ноль делить нельзя, это все знают, в чем же дело.
Дело в ОДЗ — Области Допустимых Значений!
Всякий раз когда ты видишь уравнение, где есть переменные (\( \displaystyle x,y\) и т.д.) в знаменателе, прежде всего, нужно найти ОДЗ, найти какие значения может принимать икс.
Хотя удобнее в ОДЗ написать, чему икс НЕ может быть равен, ведь таких значений не так много, как правило.
Просто запомни, что на ноль делить нельзя! И перед тем как решать наше уравнение нам следовало сделать так:
Если бы мы сразу так написали, то заранее бы знали, что эти ответы стоит исключить и так, из полученных нами \( \displaystyle x=0\) и \( \displaystyle x=-1\) мы смело исключаем \( \displaystyle x=-1\), т.к. он противоречит ОДЗ.
Значит, какой ответ будет у решенного уравнения?
В ответ стоит написать только один корень, \( \displaystyle x=0\).
Стоит заметить, что ОДЗ не всегда сказывается на ответе, возможны случаи, когда корни, которые мы получили, не попадают под ограничения ОДЗ.
Но писать ОДЗ в дробно рациональных уравнениях стоит всегда – так просто спокойнее, что ты ничего не упустил и да,
ВСЕГДА по окончании решения сверяй свои корни и область допустимых значений!
Алгоритм решения рационального уравнения
Усвоил, говоришь? А ты докажи! 🙂 Вот тебе примеры на закрепление. Попробуй решить сам, а потом сверься с ответом.
Рациональные неравенства
Рациональное неравенство — это неравенство, которое можно свести к виду \[\Large<\dfrac
( \(\lor\) — один из знаков \(\geqslant, \ \leqslant, \ >, \ )
Например, следующие неравенства являются рациональными: \[\dfrac1
Общее правило решения линейных неравенств:
Решение. I способ
Сделаем цепочку преобразований:
Решение. II способ
Можно перенести слагаемое \(-3x\) в правую часть, а \(-1\) – в левую:
\[5-3x>-1 \ \Rightarrow \ 5+1>3x \ \Rightarrow \ 3x
Решение
Заметим, что перед \(x\) находится отрицательный коэффициент. Поэтому:
Приступим к рассмотрению общего метода для решения любого рационального неравенства, то есть неравенства вида
Область допустимых значений \(x\) (ОДЗ) таких неравенств — все вещественные числа, кроме нулей знаменателя.
Существует два способа решения таких неравенств:
1 способ: Классический. Т.к. дробь положительна (отрицательна) тогда и только тогда, когда числитель и знаменатель дроби одного знака (разных знаков), то неравенство \((*)\) равносильно совокупности: \[ <\large<\left[\begin
2 способ: Удобный. Метод интервалов (будем рассматривать этот метод на примере конкретного неравенства, чтобы было понятней).
Заметим, что первые три шага созданы для того, чтобы преобразовать неравенство к более простому виду, что поможет вам не допустить ошибку в решении подобных задач. Метод интервалов – это всего лишь удобный инструмент для решения рациональных неравенств, и если вы будете всегда пользоваться одним и тем же алгоритмом, то вероятность допустить ошибку при решении таких неравенств будет минимальной.
Данный алгоритм специально расписан подробно, чтобы у вас не возникло вопросов; всего после нескольких использований этого алгоритма вы будете решать рациональные неравенства очень быстро и без ошибок!
Итак, пусть после разложения на множители неравенство приняло вид \[\dfrac
Итак, обобщим 2 шаг: квадратичные скобки с отрицательным дискриминантом можно просто вычеркнуть, причем при вычеркивании скобок с \(a>0\) знак неравенства остается прежним, а вот при вычеркивании скобок с \(a знак неравенства меняется на противоположный столько раз, сколько было таких скобок. Лучше вычеркивать их последовательно по одной, каждый раз меняя знак неравенства на противоположный.
Таким образом, неравенство примет вид \[\dfrac
Назовем скобку хорошей, если при \(x\) находится положительный коэффициент (такие скобки мы трогать не будем), и плохой, если при \(x\) находится отрицательный коэффициент (в таких скобках необходимо поменять все знаки на противоположные, то есть сделать их хорошими).
В нашем неравенстве среди плохих одна скобка \((3-x)\) и две скобки \((2-3x)\) (т.к. \((2-3x)^2=(2-3x)(2-3x)\) ), то есть всего три плохих скобки, следовательно, знак неравенства изменится и неравенство примет вид: \[\dfrac
4 ШАГ. Теперь, когда левая часть неравенства состоит из произведения только хороших линейных скобок (в каких-то степенях), можно приступить к самому методу интервалов.
Его суть состоит в том, что левая часть неравенства — всюду непрерывная функция, кроме тех точек, где знаменатель дроби равен нулю. Поэтому точки, в которых эта функция равна нулю (то есть ее числитель равен нулю) и точки, в которых эта функция не существует (то есть ее знаменатель равен нулю), разбивают область определения этой функции на промежутки, причем на каждом промежутке функция принимает значения строго одного знака.
Т.к. все скобки – хорошие, то первый знак всегда будет “ \(+\,\) ” (именно для этого мы и приводили неравенство к такому виду!). Действительно, если подставить любое число, превышающее самый большой корень (у нас самый большой корень \(x=3\) ), то каждая скобка будет положительна, значит, и произведение таких скобок будет всегда положительно.
Если какой-то корень входит в четное количество скобок, то при переходе через него (справа налево!) знак меняться не будет. В нашем неравенстве это точки \(-1, \ 0, \ \dfrac23\) (например, точка \(-1\) входит в четное количество скобок: одна в числителе \((x+1)\) и три в знаменателе \((x+1)^3\) ).
Если точка входит в нечетное количество скобок, то при переходе через эту точку (справа налево!) знак будет меняться (в нашем неравенстве это точки \(3\) и \(1\) ). 
5 ШАГ. Неравенство практически решено и нам остается только записать ответ. В нашем случае, т.к. знак преобразованного \((***)\) неравенства \(\geqslant 0\) (нестрогий), то в ответ пойдут промежутки со знаком “ \(+\,\) ” (где значение функции больше нуля) и закрашенные точки (где значение функции равно нулю): \[x\in \Big(-\infty;-1\Big)\cup \left(-1;\dfrac23\right)\cup \left(\dfrac23;1\right]\cup\Big(3;+\infty\Big)\] Напоминаем, что если точка не входит в ответ, то она пишется в круглой скобке “ \((\) ” или “ \()\) ”, если входит в ответ – то в квадратной скобке “ \([\) ” или “ \(]\) ”. Бесконечности всегда пишутся в круглых скобках.
Квадратичным неравенством называется любое неравенство вида \[ax^2+bx+c \lor 0, \quad a\ne 0,\]
или сводящееся к такому виду.
Область допустимых значений \(x\) (ОДЗ) таких неравенств — все вещественные числа ( \(x\in \mathbb
Квадратичные неравенства – это те же самые рациональные неравенства, следовательно, их также можно решать с помощью метода интервалов. Но давайте рассмотрим еще один способ, при помощи которого, как правило, удобнее решать квадратичные неравенства. Для этого нам понадобится вспомнить про параболу.
Замечание
Вспомним, как преобразуется квадратичный трехчлен \(ax^2+bx+c\) в зависимости от того, сколько корней он имеет.
Если квадратное уравнение \(ax^2+bx+c=0\)
\(\bullet\) не имеет корней ( \(D ), то квадратный трехчлен \(ax^2+bc+c\) никогда не может быть равен нулю и не разлагается на линейные множители.
Шаг 2. Таким образом, наша парабола будет одного из 6 видов: 
\((1)\) и \((4)\) — когда уравнение \((*)\) имеет один корень;
\((2)\) и \((5)\) — когда уравнение \((*)\) имеет два корня;
\((3)\) и \((6)\) — когда уравнение \((*)\) не имеет корней.
Пример 2.
Решить неравенство \(11x-3x^2-6>0\)
Как правило, подготовка школьников из Москвы (как и из других городов) к ЕГЭ начинается с повторения, а для кого-то и с изучения теории, например, по теме «Рациональные неравенства». Знакомство учащихся с данным разделом математики происходит в 9 классе, поэтому ничуть не удивительно, что у выпускников возникает потребность освежить в памяти правила. Если вы готовитесь к ЕГЭ, рациональные неравенства (теория) непременно стоит повторить. Сделать это вы можете, воспользовавшись нашим порталом.
«Школково» предлагает вам справочный материал, составленный нашими специалистами на основе собственного многолетнего опыта. Для того чтобы учащийся из Москвы или другого населенного пункта России, посетивший наш ресурс, смог легко и качественно подготовиться к ЕГЭ, мы в доступной форме изложили теорию по теме «Рациональные неравенства» и подобрали к ней интересные примеры с подробным описанием хода решения. После того как вы освоите материал, мы предлагаем вам закрепить его на практике. Прорешайте задания по теме, выбрав их в разделе «Каталог».
Курс по выбору «Рациональные уравнения и неравенства»
Онлайн-конференция
«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Пояснительная записка 2
Содержание курса и методические рекомендации 4
Учебно – тематический план 5
Методическое обеспечение 6
Контроль результативности изучения учащимися программы 7
Математика практически единственный учебный предмет, в котором задачи используются и как цель, и как средство обучения, а иногда и как предмет изучения. Ограниченность учителя временными рамками урока и временем изучения темы, нацеленность учителя и учащихся на достижение ближайших целей (успешно написать самостоятельную или контрольную работу, сдать зачет) – все это никак не способствует решению на уроке задач творческого характера, нестандартных задач, задач повышенного уровня сложности, задач, при решении которых необходимы знания разделов математики, выходящих за пределы школьного курса. Предлагаемая программа курса по выбору предполагает решение большого количества сложных задач, многие из которых понадобятся как при подготовке к различного рода экзаменам, в частности ГИА, так и при дальнейшей учебе в общеобразовательной школе. Предлагаются к рассмотрению такие вопросы курса математики, выходящие за рамки школьной программы, как рациональные уравнения и неравенства с параметрами.
Программа рассчитана на использование времени в объеме 18 ч или 17ч и рассчитана на учеников 9 классов общеобразовательных школ.
Курс по выбору «Рациональные уравнения и неравенства» представлен в виде практикума, который позволяет систематизировать и расширять знания учащихся в решении задач по математике и позволяет целенаправленно подготавливаться к сдаче экзамена.
Задачи курса:
обеспечение усвоения учащимися наиболее общих приемов и способов решения задач повышенного уровня сложности;
формирование и развитие у учащихся аналитического и логического мышления при проектировании решения задачи;
развитие умений самостоятельно анализировать и решать задачи по образцу и в незнакомой ситуации;
расширение и углубление курса математики, обеспечивающее повышенный уровень изучения математики;
формирование опыта творческой деятельности учащихся через исследовательскую деятельность при решении нестандартных задач;
формирование навыка работы с научной литературой, различными источниками;
развитие коммуникативных и общеучебных навыков работы в группе, самостоятельной работы, умений вести дискуссию, аргументировать ответы и т.д.
Работая по данной программе, учитель может использовать различные формы и методы проведения занятий. В организации процесса обучения в рамках рассматриваемого курса используются две взаимодополняющие формы: урочная форма и внеурочная форма, в которой учащиеся дома выполняют практические задания для самостоятельного решения. Виды деятельности на занятиях: лекция учителя, беседа, практикум, консультация, работа с компьютером.
Предполагаемые результаты.
Изучение данного курса дает учащимся возможность:
повторить и систематизировать ранее изученный материал школьного курса математики;
освоить основные приемы решения задач;
овладеть навыками построения и анализа предполагаемого решения поставленной задачи;
познакомиться и использовать на практике нестандартные методы решения задач;
повысить уровень своей математической культуры, творческого развития, познавательной активности;
познакомиться с возможностями использования электронных средств обучения, в том числе Интернет-ресурсов, в ходе подготовки к итоговой аттестации в форме ГИА.
Содержание курса и методические рекомендации
Дробно-рациональные уравнения. Подбор корней. Метод неопределённых коэффициентов. Разложение на множители. Замена переменной. Выделение полных квадратов. Уравнения, содержащие абсолютную величину Рациональные алгебраические уравнения с параметрами.
Решение систем рациональных уравнений. Преобразование одного из уравнений системы. Однородные системы.
Рациональные неравенства. Метод интервалов. Неравенства, содержащие абсолютную величину. Рациональные алгебраические неравенства с параметрами.
Решение систем рациональных неравенств. Графическое решение неравенств.
Методические рекомендации. В ходе изучения этой темы учащиеся должны усвоить основные способы решения рациональных уравнений и неравенств высших степеней. Решение каждой задачи, разобранной на занятиях, представляет собой метод решения большого класса задач. Эти методы повторяются и углубляются при решении последующих задач. В каждой лекции разбираются задачи разного уровня сложности. От простых, повторяющих школьную программу задач (таких немного), до сложных задач, решение которых обеспечивает хорошую и отличную оценку на экзаменах.
Учебно-тематический план
Рациональные алгебраические уравнения и неравенства
1.Рациональным алгебраическим уравнением с одним неизвестным x называется уравнение вида
где Р(х) и Q(x) — целые алгебраические многочлены.
В частности, если 
, то уравнение (1) превращается в целое рациональное уравнение. В общем случае, когда Q(x) — алгебраический многочлен ненулевой степени, имеем дробно-рациональное алгебраическое уравнение.
Если решаемое уравнение имеет вид
где G(x) — также некоторый алгебраический многочлен, то, как правило, его следует привести к виду (1) и уже затем решать:
где 
Основной метод решения дробно-рациональных уравнений состоит в том, что уравнение (1) сводится к равносильной ему системе, включающей целое алгебраическое уравнение и такого же вида неравенство:
Так как решение дробно-рациональных алгебраических уравнений сводится в конечном счёте к решению целых уравнений, а основные способы решения последних уже рассматривались выше, то в данном пункте на решении рациональных уравнений мы подробно останавливаться не будем.
Пример №204.
Решение:
Уравнение равносильно системе 
Пример №205.
Решить уравнение при всех действительных значениях параметра а :
Решение:
Приведём подобные члены 
и затем приведём обе дроби к одному знаменателю:
Полученное дробно-рациональное уравнение эквивалентно системе
Ответ-, при 
при
2.Неравенство одного из следующих видов
где Р(х) и Q(x) — целые алгебраические многочлены, называется рациональным (алгебраическим) неравенством.
Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:
Эти страницы возможно вам будут полезны:
Образовательный сайт для студентов и школьников
Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.
© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института