Что такое разложить на простые множители числа

Разложение числа на простые множители

Что значит разложение числа на простые множители

В теории чисел важная роль отводится классу простых чисел.

Простым называется такое число, большее единицы, которое не имеет иных делителей, кроме единицы и самого себя.

Например, к простым числам относят: 2, 7, 11, 13 и т. д.

Любое число может быть представлено в виде произведения простых чисел. Эти простые числа будут делителями заданного числа.

Делитель — это число, на которое делится нацело данное число.

Если число не простое, то его можно последовательно раскладывать на множители, пока все множители не окажутся простыми.

Число, которое отличается от нуля и единицы и не является простым, называют составным.

Например, составными числами являются: 4, 6, 8, 9, 10 и т. д.

Разложить число на простые множители = представить число в виде произведения простых чисел.

При разложении множители могут располагаться в любом порядке, но единственным образом. В этом заключается свойство единственности.

Каждое натуральное число N, которое больше единицы, может быть разложено на простые множители только одним способом.

Основные способы, описание алгоритмов

Составное число можно разложить на простые множители путем представления его в виде произведения меньших составных чисел, которые потом преобразуются в произведения простых чисел.

1 вариант

Больше составных чисел в произведении нет. Значит, разложение на множители закончено.

Вся цепочка разложения: 144 = 12 · 12 = 3 · 4 · 2 · 6 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3

Здесь есть повторяющиеся числа: двойка встречается 4 раза, тройка — 2 раза.

Тогда разложение можно упростить, представив выражение в виде произведения степеней чисел 2 и 3:

2 вариант

72 можно представить в виде произведения 6 и 12. Эти числа составные, тогда их можно разложить на множители:

В этих разложениях составным числом будет 4. Осталось представить 4 в виде произведения простых множителей:

Все множители в конечном варианте являются простыми, значит, разложение закончено.

Каноническое разложение числа на простые множители

Разложение на простые множители рассматривают как процесс последовательного деления заданного числа на простые числа. Для этого используют признаки делимости.

Алгоритм выполнения заданий на разложение числа на простые множители:

Разложите 18 на простые множители.

Записываем число 18 и проводим справа вертикальную черту.

Подбираем простое число, на которое делится 18. Самое маленькое число, на которое делится 18 — 2.

Записываем 2 справа от черты.

Делим 18 на 2. Результат деления записываем под 18.

Подбираем число, на которое делится 9 нацело. Этим простым числом является 3. Записываем 3 под 2.

Делим 9 на 3. Получаем 3. Подписываем 3 слева от черты под 9.

Подбираем простое число, на которое делится 3 нацело. Это 3. Подписываем 3 справа от черты.

Делим 3 на 3. Получаем 1. Подписываем 1 под 3 слева от черты.

Дошли до единицы в результатах деления, записанных слева от вертикальной черты. Значит, разложение на простые множители закончили.

Простые множители — делители — оказались записаны справа от вертикальной черты.

Использование признаков делимости

При разложении числа на простые множители также используют признаки делимости.

Примеры признаков:

При разложении числа 100 на простые множители воспользуемся признаками делимости. Число оканчивается нулем, значит, по признаку делимости на 10 оно делится нацело на 10.

Числа 2 и 5 являются простыми, тогда разложение можно записать:

Примеры решения задач для 6 класса

Разложить на простые множители число 218.

Чтобы разложить 218 на простые множители, воспользуемся соответствующим алгоритмом.

Пишем число 218 и отделяем его вертикальной чертой справа.

По признаку делимости определяем, что число 218 делится нацело на 2, потому что заканчивается четной цифрой 8. Справа от черты записываем делитель 2:

Теперь делим 218 на 2. Получим 109. Число 109 пишем слева от черты под 218:

Берем число 109. Определим его делитель. 109 — это простое число, поэтому оно делится только на 1 и на 109. Соответственно, пишем справа от черты делитель 109:

При делении 109 на 109 получаем 1.

Когда получили единицу в результате деления, заканчиваем разложение на простые множители.

Представьте в виде произведения простых множителей число 325.

Используем алгоритм разложения на простые множители: ищем самое маленькое простое число, на которое делится 325.

325 не делится нацело ни на 2 — число нечетное, ни на 3 — сумма цифр числа (3+2+5=10) не делится нацело на 3. Следующим простым числом является 5.

По признаку делимости: число 325 заканчивается на пять, значит, делится нацело на 5.

Число 65 делится нацело на 5 по признаку делимости:

Число 13 является простым. Значит, делителем станет само число:

В результате деления получили единицу, значит, разложение на простые множители закончено.

В разложении есть повторяющиеся числа: пять встречается два раза. Поэтому запись можно изменить:

Напишите все однозначные числа, разложение которых на простые множители состоит из двух одинаковых чисел.

Выделим однозначные составные числа: 4, 6, 8, 9.

Разложим каждое на простые множители:

Из них выберем те числа, разложение которых состоит из двух одинаковых чисел: 4 и 9.

Источник

Что такое множитель и разложение на простые множители

Дадим определение понятию «множитель» и разберемся что такое множитель. Какие множители бывают и почему некоторые из множителей — простые.

Определение множителя

В младших классах вы учили, что множители — это числа, которые мы умножаем, называя результат их умножения произведением.

Определения множителя как компонента умножения

Сейчас немного расширим понятие множителя.

Давайте рассмотрим определение множителя на примерах. Давайте определим где в представлении числа или выражения прячется множитель?

Пример 1

Пусть нам дано число 15. Это число можно представить в виде произведения . Значит, согласно определению 5 — это множитель, 3 — это тоже множитель.

Пример 2

Рассмотрим теперь выражение: . Это выражение можно представить в виде произведения . Получаем два множителя — первый множитель (2x-3) и второй множитель (2x+3).

Самое простое произведение имеет два множителя, но может быть и больше множителей.

Простые множители

Пример 1

Разложите число 65 на простые множители.

Решение: число 65 будем делить на простые числа, пока оно нацело не разделится. Так мы видим, что число 65 не делится на 2, 3 и 4, так как не соответствует признакам делимости на эти числа. Зато делится на 5, так как оканчивается на 5. При делении мы получаем 13. Число 13 — простое, так как делится только на себя и на единицу. Таким образом, число . И мы выполнили разложение числа на простые множители. Теперь вы знаете, как разложить число на простые множители.

Пример 2

Разложите число 270 на простые множители.

Решение: Разделим сначала число 270 на 2 (сначала берем самое маленькое простое число), получим 135. Посмотрим, делится ли это число на 3. Для этого сложим все числа, стоящие в разрядах данного числа — . Девять делится на 3, значит, и число 135 разделится на 3: . Получившееся число опять делится на 3: . И снова число 15 делится на 3: . Получили простое число 5. Делим .

Итак, запишем разложение числа 270 на простые множители в виде столбца, где справа от черты мы пишем на какое простое число мы делим, а слева — что получаем:

Разложение числа на простые множители в столбик.

Разложение числа на простые множители в строчку записывается так: .

Про разложение многочлена на множители поговорим в отдельной теме.

Источник