Что такое решето эратосфена 6 класс математика
Простые и составные числа, определения, примеры, таблица простых чисел, решето Эратосфена
В статье рассматриваются понятия простых и составных чисел. Даются определения таких чисел с примерами. Приводим доказательство того, что количество простых чисел неограниченно и произведем запись в таблицу простых чисел при помощи метода Эратосфена. Будут приведены доказательства того, является ли число простым или составным.
Простые и составные числа – определения и примеры
Простые и составные числа относят к целым положительным. Они обязательно должны быть больше единицы. Делители также подразделяют на простые и составные. Чтобы понимать понятие составных чисел, необходимо предварительно изучить понятия делителей и кратных.
Составными числами называют целые числа, которые больше единицы и имеют хотя бы три положительных делителя.
Единица не является ни простым ни составным числом. Она имеет только один положительный делитель, поэтому отличается от всех других положительных чисел. Все целые положительные числа называют натуральными, то есть используемые при счете.
Простые числа – это натуральные числа, имеющие только два положительных делителя.
Составное число – это натуральное число, имеющее более двух положительных делителей.
Натуральные числа, которые не являются простыми, называют составными.
Таблица простых чисел
Для того, чтобы было проще использовать простые числа, необходимо использовать таблицу:
Рассмотрим теорему, которая объясняет последнее утверждение.
Наименьший положительный и отличный от 1 делитель натурального числа, большего единицы, является простым числом.
Простых чисел бесконечно много.
Видно, что может быть найдено любое простое число среди любого количества заданных простых чисел. Отсюда следует, что простых чисел бесконечно много.
Решето Эратосфена
Данный способ неудобный и долгий. Таблицу составить можно, но придется потратить большое количество времени. Необходимо использовать признаки делимости, которые ускорят процесс нахождения делителей.
Перейдем к формулировке теоремы.
Данное число простое или составное?
Перед решением необходимо выяснять, является ли число простым или составным. Зачастую используются признаки делимости. Рассмотрим это на ниже приведенных примере.
Доказать что число 898989898989898989 является составным.
Ответ: 11723 является составным числом.
Что такое решето эратосфена 6 класс математика
ПРОСТЫЕ ЧИСЛА И РЕШЕТО ЭРАТОСФЕНА
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Введение
Впервые о простых числах мы узнали в 6 классе на уроке математики, когда изучали тему «Простые и составные числа». Так же на форзаце учебника «Математика-6» имеется таблица простых чисел до числа 997 (Приложение 1). Мы знаем то, что находится на форзаце, имеет важную значимость в изучении данного предмета. И действительно, это подтвердилось при дальнейшем изучении математики
Мы заинтересовались происхождением простых чисел, алгоритмами нахождения простых чисел, алгоритмом создания таблиц простых чисел, в частности, «решетом Эратосфена».
Работу начали с анкетирования учащихся 6 – 10 классов нашей школы, чтобы выяснить знают ли они:
1. Что такое решето?
2. Какие числа называются простыми?
3. Кто такой Эратосфен?
4. Что такое «решето Эратосфена»?
В опросе приняли участие 90 человек. Результаты оказались следующими (Приложение 2).
Проанализировав ответы учащихся, мы убедились, что наша тема актуальна. Поэтому мы и решили глубже исследовать тему «Простые числа» и рассказать другим ученикам о простых числах на модели «решето Эратосфена».
Гипотеза: Действительно ли мы можем найти простое число больше 997.
Цель работы: изучить алгоритм построения «решета Эратосфена» и изготовить его материальную модель для использования на уроках математики.
Задачи:
1.Изучить имеющуюся литературу по теме проекта.
2.Провести опрос по теме проекта.
3.Найти простые числа, больше числа 997.
4.Изготовить материальную модель решета Эратосфена.
Объект исследования: простые числа, «решето Эратосфена»
Предмет исследования: таблица простых чисел
Методы исследования:
1.Работа с учебной и научно-популярной литературой, ресурсами сети Интернет.
3. Опыты и эксперименты с простыми числами
Этапы проекта:
2. Основная часть
2.1. Краткое описание используемых понятий
Решето – это утварь для просеивания муки, состоящая из широкого обруча и натянутой на него с одной стороны сетки. Решето отличается от сита более крупным размером отверстий сетки. (Толковый словарь Ушакова)
2) Просеивающее устройство. (Толковый словарь Ожегова)
Решето – всякая несплошная вещь со сквозниной, с промежками, пролётами; ряд установленных жёрдочек, шестиков…переплетённых вдоль и поперёк, или иным образом.(Толковый словарь Даля)
Простое число – это натуральное число, которое не имеет других делителей кроме 1 и самого себя. (Пример: число 19 = 1 * 19)
Составное число – это натуральное число, у которого есть делители,отличные от 1 и самого себя. (Пример: число 10 = 5*2)
Всякое составное число можно разложить на простые множители.(Например: 63=3*3*7 или 363= 3*11*11)
Число 1 имеет только один делитель: само это число. Поэтому оно не относит ни к простым, ни к составным числам.
Первым проблему определения простых чисел обозначил и решил древнегреческий ученый Эратосфен Киренский примерно в 220 году до нашей эры, предложив один из алгоритмов определения простых чисел. Этот способ назвали «решето Эратосфена».
В 1909 году американский математик Деррик Норман Лемер опубликовал таблицы простых чисел в промежутке от 1 до 10.017.000. Книга таблиц имеется в Российской государственной библиотеке в Москве.
Еще более титаническую вычислительную работу выполнил профессор Парижского университета славянский математик Якуб Филипп Кулик (01.05.1793- 28.02.1863).Над своей рукописью «Великий канон делителей всех чисел, не делящихся на 2, 3 и 5, и заключенных между ними простых чисел до 100 300 201» он работал последние 20 лет жизни, не имея никакой надежды на его издание. Это произведение до сих пор не напечатано. Оно хранится в библиотеки Венской АкадемииНаук.
2.2. Биография Эратосфена
Вопросом изучения простых чисел, закономерности их появления и поиском самого большого простого числа математики занимаются очень давно. Первые сведения о простых числах, встречаются в трудах древне – греческого математика Эратосфена Киренского (276г.до н.э-194г. до н.э).
Греческий математик Эратосфен, живший более чем за 200 лет до н.э., составил первую таблицу простых чисел. Это один из самых разносторонних ученых античности. Особенно прославили Эратосфена труды по астрономии, географии и математике, однако он успешно трудился и в области филологии, поэзии, музыки и философии, за что современники дали ему прозвище Пентатл, т.е. Многоборец. Другое его прозвище Бета, т.е. «второй», возможно, также не содержит ничего уничижительного: им желали показать, что во всех науках Эратосфен достигает не высшего, но превосходного результата. Он первый вычислил окружность Земли, пользуясь методами геометрии.
Эратосфен родился в Африке, в Кирене. Учился сначала в Александрии, а затем в Афинах. Вероятно, именно благодаря столь широкому образованию и разнообразию интересов Эратосфен получил от Птолемея III приглашение вернуться в Александрию, чтобы стать воспитателем наследника престола и возглавить Александрийскую библиотеку (одну из первых библиотек в мире). В знаменитой библиотеке хранилось более 700 000 свитков, которые содержали все сведения о мире, известные людям той эпохи. Эратосфен принял это предложение и занимал должность библиотекаря вплоть до своей кончины. При содействии своих помощников Эратосфен первым рассортировал свитки по темам. Он дожил до глубокой старости, а когда ослеп, то перестал есть и умер от голода. Он не представлял себе жизни без возможности работать со своими любимыми книгами.
Его научные таланты удостоились высокой оценки современника Эратосфена, Архимеда, который посвятил ему свою книгу Эфодик (т.е. Метод)
2.3. Из истории появления «решета Эратосфена»
Эратосфен предложил способ нахождения простых чисел, который можно описать в виде следующего алгоритма.
1.Из ряда чисел: 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13 и т. д вычёркиваем числа кратные 2.
2.Затем, вычёркиваем числа кратные 3.
3.Вычёркиваем числа кратные 4.
4.Вычёркиваем числа кратные 5.
6.Делим, пока все составные числа не будут «просеяны», и останутся только простые числа: 2,5,7,11,.13….
Пример
Запишем натуральные числа, начиная от 2 до 20 в ряд.
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Первое число в списке 2 — простое. Пройдём по ряду чисел, вычёркивая все числа кратные 2
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Следующее не вычеркнутое число 3 — простое. Пройдём по ряду чисел, вычёркивая все числа кратные 3
2 3 5 6 7 9 11 12 13 15 17 19
Процесс окончен. Все незачеркнутые числа последовательности являются простыми.
Так как греки делали записи на покрытых воском табличках или на натянутом папирусе, а числа не вычёркивали, а выкалывали иглой, то таблица в конце вычислений напоминала решето. Поэтому алгоритм Эратосфена называют решетом Эратосфена: в этом решете «отсеиваются» простые числа от составных. Таким способом в настоящее время составляют таблицы простых чисел, но уже с помощью вычислительных машин.
2.4. Практическая часть проекта: изготовление решета Эратосфена
Для изготовления «решета Эратосфена» мы взяли фанеру формата 36*42. Начертили сетку, в каждой клетке записали натуральные числа от 1001 до 1120.
Используя алгоритм построения «решета Эратосфена», проделали отверстия в тех клетках, в которых указаны составные числа.(Приложение 3)
Заключение
Мы изучили алгоритм построения «решета Эратосфена», изготовили его материальную модель, изучили литературу и провели опрос. Подтвердили гипотезу, что можно найти простое число, больше чем 997.
Следовательно – наша цель достигнута, проблема решена. Разработанные нами материалы могут использоваться на уроках математики.
Список использованной литературы
Интернет – ресурсы( Википедия)
А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир. Учебник «Математика 6 класс»:Издательство «Вентана–Граф», Москва, 2014
Толковый словарь Ушакова
Толковый словарь Ожегова
Толковый словарь Даля
Приложение 1
таблица простых чисел
Приложение 2
Анкетирование
1. Что такое решето?
2. Какие числа называются простыми?
3. Кто такой Эратосфен?
4. Что такое «решето Эратосфена»?
В опросе приняли участие 90 человек. Результаты оказались следующими.
Вопрос
Знаете ли вы что такое решето?
Знаете ли вы какие числа называются простыми?
Знаете ли вы кто такой Эратосфен?
Знаете ли вы что такое «решето Эратосфена»?
РЕШЕТО ЭРАТОСФЕНА
Простые числа. Они так изящны и элегантны. Числа, которые не желают ни в чем принимать участия, которые не размениваются и не делятся, числа, которые остаются сами собой навеки.
Пол Остер
Простые числа – это самые загадочные из всех чисел, открытых математиками. Они делятся только на самих себя и 1, представляют собой некие элементарные частицы мира чисел. Первые несколько из них выделить несложно – 2, 3, 5, 7, 11,13, 17… Более 2000 лет назад Евклид привел изящное доказательство того, что их множество бесконечно.
Решето Эратосфена. Параллельные линии разных цветов, проходящие через таблицу из чисел, вычеркивают все числа, делимые на 3, 5, 7… и кратные им. Числа, через которые не проходит ни одна цветная полоса, являются простыми. Простые числа в начале полос в первом ряду заключены в круги. Четные числа не включены в таблицу, поскольку все они делятся на два
Тем не менее не существует простой волшебной формулы, по которой можно найти их все. Максимальные известные простые числа высоко ценятся математиками и криптографами, поскольку они используются для создания самых надежных в мире шифров. На данный момент максимальным известным простым числом является 230402457 – 1, в полной записи которого 9 152 052 цифры. Оно было найдено Кёртисом Коппером и его коллегами в 2005 году в рамках проекта GIMPS. Это математическая версия онлайн-проекта SETI. В нем используется центральный координирующий сервер, и любой, кто вложит вычислительную мощность своего компьютера в проект поиска простых чисел, получит некие большие числа, чтобы проверить, являются ли они простыми (подобно тому как онлайн-проект SETI передает радиосигналы из космоса, которые можно проанализировать на наличие признаков последовательностей, возможно, имеющих разумное начало). Некоммерческая организация Electronic Frontier Foundation учредила премию в миллион долларов тому, кто первым обнаружит простое число с 10 миллионами цифр. Поиски наибольших простых чисел в значительной мере продвигаются силами крупнейших компьютеров, и их скорость напрямую связана с развитием вычислительной мощности.
Хотя сейчас поиск новых простых чисел выполняется преимущественно с помощью быстрых компьютеров, были времена, когда их искали исключительно вручную с помощью человеческих рассуждений, которые ограничивали количество возможных вариантов. Первая и наиболее значительная процедура такого рода была разработана Эратосфеном.
ЭРАТОСФЕН (К и р е н с к и й) (Ἐρατοσθένης ὁ Κυρηναῖος), ок. 276—194 до н. э.) — древнегреческий учёный. Родился в Кироно. Образование получил в Александрии и Афинах. Заведовал Александрийской библиотекой (после смерти Каллимаха). Работал во многих отраслях науки. В области математики Эратосфен дал известный способ нахождения простых чисел (Эратосфеново решето ), построил прибор для решении задачи об удвоении куба (мезолпбий) и занимался изучением средних величин. Эратосфен заложил основы математической географии; ему принадлежит первое измерение дуги меридиана. Занимался хронологией, астрономией (описание созвездий вместе с соответствующими мифами), филологией (исследование о древней комедии), философией (диалог «Платоник») и музыкой. От сочинений Эратосфена до нас дошли только отрывки.Он возглавлял великую Александрийскую библиотеку и разработал методы для определения окружности Земли и расстояния от нее до Солнца и Луны.
Сведения о решете Эратосфена обнаружены в трактате «Введение в арифметику» сирийского математика Никомеда, написанном около 100 года нашей эры. Это было пособие для школьников гораздо проще «Начал» Евклида, благодаря чему оно широко использовалось вплоть до Средневековья как в Европе, так и в арабском мире. Предложенный Эратосфеном систематический процесс нахождения простых чисел посредством просеивания остальных сквозь решето является первым в математике алгоритмом. Он удобен, пока числа не становятся слишком большими. К сожалению, работы Эратосфена не сохранились и мы можем прочитать о решете только в трудах других авторов, свидетельствующих, что современники считали его великим энциклопедистом, хотя он и не был ведущим авторитетом ни в одной области. По этой причине его прозвали Бетой (В – вторая буква греческого алфавита), или Пентатлосом (так в те времена называли спортсменов-пятиборцев, которые отличились в состязаниях по сумме пяти дисциплин, но не стали чемпионами ни в одной из них в отдельности).
Никомед объясняет решето Эратосфена следующим образом: «Способ решета состоит в следующем. Все нечетные числа, начиная с тройки, последовательно располагаются в ряд, продолжаемый так далеко, насколько это возможно. Начав с первого из них, я смотрю, какие числа оно измеряет, и нахожу, что таковы числа, идущие через два, пока это можно проследить. И оно измеряет не случайно расположенные числа: первое из них отделено от него двумя промежуточными членами, и оно, в соответствии с количеством [единиц] в том числе, с которого начинается ряд, является троекратным; второе отделено от предыдущего еще двумя членами и является пятикратным; третье отделено от предыдущего еще двумя и является семикратным; четвертое отделено от предыдущего еще двумя и является девятикратным и так до бесконечности. Начав заново, я смотрю, какие числа измеряет второе число, и нахожу, что все они отделены друг от друга четырьмя промежуточными членами. Первое из них, в соответствии с количеством [единиц] в том числе, с которого начинается ряд, является троекратным; второе согласно второму является пятикратным; третье согласно третьему является семикратным и так до бесконечности. Ив целом ты можешь действовать так же… И те из них, которые ни разу не окажутся измеренными, но избегают этого, будут первичными и несоставными, просеянными с помощью решета».
Иначе говоря, решето работает так. Запишем все натуральные числа в строки по 10 десяток до максимального интересующего вас числа (назовем его N). Теперь вычеркнем все числа в сетке, которые не являются простыми по правилу Эратосфена. Во-первых, число
1 не считается простым, поэтому исключим его (если бы вы отнесли 1 к простым, в итоге пришлось бы вычеркнуть все числа в списке). Обведем в крут первое из оставшихся чисел –
2 – и вычеркнем последовательно все числа, кратные ему. Таким образом, будут исключены все четные числа. Обведем следующее число – 3 – и вычеркнем все оставшиеся кратные ему. Продолжим аналогичным образом, обводя первое оставшееся число и вычеркивая все кратные ему, которые сохранились к этому моменту. Числа, обведенные в круг, и будут простыми.
Вскоре вы обнаружите, что многие из чисел, намеченных для вычеркивания по причине делимости, например на 7, уже оказываются исключенными, поскольку делятся также на меньшее число (например, 21 = 3 х 7).
Красота этого представления в том, что в итоговой картине можно найти всевозможные узоры, пронизывающие столбцы и диагонали, хотя и нет систематического способа предугадать, где окажется следующее обведенное (простое) число.
Наиболее усердным исследователем решета Эратосфена был американский математик Деррик Норман Лемер (1867-1938), опубликовавший таблицы факторизации для первых 10 миллионов простых чисел, выделенных из сетки всех натуральных чисел с помощью решета. Лемер ускорил этот утомительный процесс, частично его механизировав. Его сын построил машину, состоящую из вала, на котором были установлены 30 зубчатых колес со 100 зубьями. Эти колеса сцеплялись с 30 другими колесами с количеством зубьев, соответствующим одному из 30 простых чисел до 127. Вот как работал этот механизм: «Под каждым зубцом в этой второй группе колес находится небольшое отверстие. Когда машина настроена и готова к использованию, некоторые из этих отверстий закрыты, а некоторые – открыты. В сторону машины направляется луч света, после чего она приводится в движение электромотором. Все колеса главного вала вращаются с одинаковой скоростью, но колеса, сцепленные с ними, вращаются с различными скоростями из-за различного количества зубьев. Когда через сотни, а может, и тысячи оборотов одно отверстие каждого колеса оказывается в одной и той же точке в одно и то же время, иначе говоря, когда 30 отверстий выстраиваются в одну линию, луч света проходит сквозь всю машину, попадает на чувствительную фотоэлектрическую пластину и мгновенно останавливает машину. Небольшой счетчик, подсчитывающий количество оборотов главного вала, дает число, по которому легко можно определить все делители анализируемого большого числа».
Один из фактов, которые становятся очевидными при взгляде на изображение решета, заключается в том, что простые числа встречаются тем реже, чем больше они становятся. Это неудивительно. По мере увеличения чисел увеличивается и количество множителей, на которые они могут делиться: например, простым является каждое четвертое число в пределах сотни, каждое шестое число в пределах тысячи, одно из 12,7 в пределах миллиона и только одно из 19,8 в пределах миллиарда. Последовательность такова, что очень приблизительно одно из 2,3N чисел в пределах 10JV является простым. Это можно сказать и иначе: из чисел, меньших N, примерно одно из logN является простым, где logeN – натуральный логарифм JV26. Карл Фридрих Гаусс усовершенствовал эту теорию, предположив, что среди чисел, соседних с N, простым является примерно одно из 1 / logeiV, то есть приблизительно N logN чисел, меньших N, простые. Таким образом, при увеличении N через решето Эратосфена по-прежнему проходит достаточно много чисел. Криптографы не останутся без доступных простых чисел.
Решето Эратосфена, как теоретический метод исследования в теорию чисел был введён только в 1920 норвежским математиком Н. Вруном.
Презентация ученицы 6 «Г» класса Анащенко Елизаветы по теме «Решето Эратосфена»
Онлайн-конференция
«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Описание презентации по отдельным слайдам:
Решето Эратосфена Презентация Ученицы 6г класса Анащенко Лизы
Решето Эратосфена – один из древнейших алгоритмов, позволяющих найти числа, которые называют “простыми”. Т.е. числа, которые могут делиться без остатка только на единицу и на себя. Например число 2. На что из натуральных (целых) чисел можно разделить 2, чтоб не получать остаток? Только на 2 и на 1. Или число 7. То же самое. Без остатка оно делится опять таки только на себя и единицу. Достаточно простой алгоритм еще до нашей эры придумал Эратосфен Киренский. Грек по национальности. Математик, астроном, географ.
Процедура поиска простых чисел заключается в следующем: Что такое Решето Эратосфена? Этим именем называют следующий способ получения ряда простых чисел. Из ряда чисел 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17…100. вычеркивают кратные двум; 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50, 52, 54, 56, 58, 60, 62, 64, 66, 68, 70, 72, 74, 76, 78, 80, 82, 84, 86, 88, 90, 92, 94, 96, 98, 100. — кратные трем: 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60, 63, 66, 69, 72, 75, 78, 81, 84, 87. — кратные пяти: 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 100. — кратные семи: 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98. Таким образом все составные числа будут просеяны, и останутся только простые числа 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
Заключение Заключение. Итак, Решето Эратосфена работает как своего рода аналоговая вычислительная машина. И, значит, вот что изобрел великий грек: он изобрел СЧЕТНУЮ МАШИНУ! А ведь для простых чисел не существует даже формулы, по которой их можно вычислить все. Нет такой формулы, а Решето есть. И создав Решето Эратосфена достаточно большого размера, мы отсеем (построим) ВСЕ простые числа без исключения. Все они окажутся в дырках совершенно правильного геометрически Решета! Так «правильно» ли их расположение или неправильно»? Никто не может сказать. Есть какая-то странность в этих простых числах. Вроде бы в Решете Эратосфена нет никаких случайностей и должна получаться точная и легко записываемая формулой последовательность. Но — как ни странно — ничего подобного: формулы нет! Сколько столетий уже искали — нет! В это настолько не верится, что и сегодня начинают искать несуществующую формулу. Но эти поиски не заканчиваются успехом. Может быть, повезёт мне?