Что такое система счисления анатомического происхождения

Презентация к уроку информатики «История чисел и системы счисления».

Описание презентации по отдельным слайдам:

Оглавление Системы счисления анатомического происхождения Пятеричная система счисления Десятичная система счисления Двенадцатеричная система счисления Двадцатеричная система счисления Шестидесятеричная система счисления Алфавитные системы счисления Римская система счисления Славянская система счисления Непозиционные «Машинные» системы счисления Двоичная Восьмеричная Задачи на закрепление Выход Бобылева Татьяна Васильевна

В сутках две дюжины часов Час делится на пять дюжин минут Столовые сервизы на 6 или 12 персон Набор карандашей или фломастеров К оглавлению Назад

Системы счисления анатомического происхождения Десятичная система счисления Язык чисел, как и любой другой, имеет свой алфавит. В том языке чисел, которым мы обычно пользуемся, алфавитом служат десять цифр — от 0 до 9. Это десятичная система счисления. Причина, по которой десятичная система счисления стала общепринятой, вовсе не математическая. Десять пальцев рук — вот аппарат для счета, которым человек пользуется с доисторических времен. К оглавлению Далее Выход

Двенадцатеричная система счисления Довольно широкое распространение имела двенадцатеричная система счисления. Происхождение тоже связано со счетом на пальцах. Считали большой палец руки и фаланги остальных четырех пальцев: всего их 12 (см. рис). Элементы двенадцатеричной системы счисления сохранились в Англии в системе мер (1 фут = 12 дюймам) и в денежной системе (1 шиллинг = 12 пенсам). В алфавите должно быть 12 цифр, т.к. цифр всего 10: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, то недостающий обозначают латинскими заглавными буквами A, B. Системы счисления анатомического происхождения Далее К оглавлению Выход

История возникновения и развития систем счисления Шестидесятеричная система счисления Особый интерес представляет так называемая «вавилонская», или шестидесятеричная система счисления, весьма сложная система, существовавшая в Древнем Вавилоне. Мнения историков по поводу того, как именно возникла эта система счисления, расходятся. Существуют две гипотезы. Первая исходит из того, что произошло слияние двух племен, одно из которых пользовалось шестеричной, другое — десятичной. Шестидесятеричная система счисления в данном случае могла возникнуть в результате своеобразного политического компромисса. Суть второй гипотезы в том, что древние вавилоняне считали продолжительность года равной 360 суткам, что естественно связано с числом 60. Отголоски использования этой системы счисления дошли до наших дней. Например: 1 час = 60 минутам, 1° = 60‘. В целом шестидесятеричная система счисления громоздка. К оглавлению Выход

История возникновения и развития систем счисления Славянская системы счисления Алфавитные системы счисления представляют особую группу. В них для записи чисел использовался буквенный алфавит. Примером алфавитной системы счисления является славянская. У одних славянских народов числовые значения букв устанавливались в порядке следования букв славянского алфавита, у других, в частности у русских, роль цифр играли не все буквы, а только те, которые имеются в греческом алфавите. Над буквой, обозначающей цифру, ставился специальный знак — «титло». Славянская система счисления сохранилась в богослужебных книгах. Алфавитная система счисления была распространена у древних армян, грузин, греков (ионическая система счисления), арабов, евреев и других народов Ближнего Востока. К оглавлению Выход

История возникновения и развития систем счисления «Машинные» системы счисления Перед математиками и конструкторами в 50-х гг. встала проблема отыскания таких систем счисления, которые отвечали бы требованиях как разработчиков ЭВМ, так и создателей программного обеспечения. Оказалось, что арифметический счет, которым человечество пользуется с древнейших времен, может совершенствоваться, подчас весьма неожиданно и на удивление эффективно. Специалисты вывели так называемую «машинную» группу систем счисления и разработали способы преобразование чисел этой группы. К «машинной» группе систем счисления относятся: двоичная; восьмеричная; шестнадцатеричная. Официальное рождение двоичной арифметики связано с именем Г. В. Лейбница, опубликовавшего в 1703 г. статью, в которой он рассмотрел правила выполнения арифметических действий над двоичными числами. К оглавлению Выход

Двоичная система счисления 1 0 1 1 Используются две цифры – 0 и 1 Применяются в технических устройствах К оглавлению

Задания на закрепление: Известно, что алфавитом некой традиционной позиционной cс является следующий набор символов: 0, 1, 2, , , , , . Каково основание этой системы счисления? 2. Запишите число 8 в системе счисления из предыдущей задачи. 3. Выпишите первые 10 чисел натурального рядя в системе счисления из задачи 1 (дополнительно 15). 4. Запишите алфавит семеричной системы счисления. Далее

План рассмотрения может быть таким: алфавит системы счисления (цифры); пример числа в свернутой и развернутой форме; значение числа в 10 с.с. Десятичная система счисления: алфавит – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. 2548,4 = 2000 + 500 + 40 + 8 + 0,4 = 2 • 103 + 5 • 102 + 4 • 101 + 8 • 10° + 4 • 10-1

Из межпланетного путешествия астронавты привезли описание климата, природных условий и внешнего вида жителей планеты Z. Вот это описание: «На планете Z нет никакой наземной растительности, почва каменистая. Очень много рек, озер и других водоемов. Поверхность планеты покрыта туманом, часто идут дожди. Растительный же и животный мир водоемов очень разнообразен. Жители планеты Z физически очень сильны, но внешне чрезвычайно отличаются от землян. У каждого жителя планеты семь беспалых конечностей, каждая из которых заканчивается подобием присоски, а тело скорее похоже на шар, поэтому невозможно сказать, где верх, а где низ в нашем понимании. На теле есть два глаза». Сделайте предположение о том, какая может быть система счисления у жителей планеты Z. Далее

Закрепление. Стр. 126, вопросы § 17 Что такое система счисления? В чём основное различие позиционных и непозиционных система счисления? Чему равно основание системы счисления? Вопросы 4 и 5 по учебнику. И 2 дополнительно: Что такое алфавит системы счисления? Какие системы счисления вы знаете? К оглавлению

Письменная самостоятельная работа для закрепления по учебнику. Стр. 127, № 6, 7 § 17 Домашнее задание: § 17, №8, 9, Стр. 127

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Педагогическая деятельность в контексте профессионального стандарта педагога и ФГОС

Курс повышения квалификации

Современные педтехнологии в деятельности учителя

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

План урока в 8 классе.

«История чисел и системы счисления»

Цель урока: Познакомить учащихся с непозиционными и позиционными СС»

1) Дать представление о кодировании числовой ин­формации;

2) Дать определение понятиям «система счисления» (СС – это способ представления чисел и соответствующие ему правила действия над числами.), «Цифры» (Знаки используемые при записи чисел)

3) Познакомиться с разнообразием СС, которые существовали раньше и используются в наше время.

4) Классифицировать СС на позиционные и непозиционные.

5) Дать определение понятиям алфавит СС (все цифры в данной СС используемые для записи чисел), основание СС (количество знаков в алфавите СС).

6) Развитие познавательной деятельности при частично-поисковом изучении нового материала, совершенствование навыков поиска в сети Интернет

7) Развитие творческой активности, коммуникативности.

• непозиционные системы счисления

• позиционные системы счисления

• развернутая форма записи числа

Теоретические основы урока.

Системы счисления бывают: позиционные и непозиционные.

Номер материала: 407263

Не нашли то что искали?

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст

Время чтения: 1 минута

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

При детском омбудсмене в России создадут платформу для взаимодействия с родителями

Время чтения: 2 минуты

В российских школах могут появиться «службы примирения»

Время чтения: 1 минута

Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате

Время чтения: 1 минута

Поставщики интернета для школ будут работать с российским оборудованием

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник

Системы счисления: История развития систем счисления

В древности пещерные люди не умели ни считать, не писать. Для обозначения количества в подсчетах использовались пальцы рук и ног. Если их оказывалось недостаточно, то всё что больше описывали простым словом — «много». По мере эволюции, в разных частях мира, люди придумывали разные методы счета и формы записи чисел. В этой статье мы расскажем краткую историю развития и происхождения систем счисления. Попытаемся выяснить, какая из них была первой.

Начало развития

Согласно истории человек быстро эволюционировал – изобретались новые орудия для охоты, и появлялись инструменты, которые помогали вести сельское хозяйство. В результате развития людское племя начало быстро отвоевывать земли у дикой природы. Количество добычи, как и население племен неуклонно росло. Человеку больше не хватало обозначений один, пара, несколько или много. Это привело к возникновению и созданию первой, самой древней в истории, простейшей формы счисления, называемой унарной (единичной).

В этой форме счисления алфавит состоял из одного символа. Древние люди использовали зарубки на дереве, либо наносили палочки на стены пещер и кости убитых животных. Сколько объектов могли подсчитывать древнейшие племена – неизвестно. Однако, в 1937 году в Вестонице учеными археологами была найдена волчья кость, на которую было поставлено пятьдесят пять насечек. На данный момент это наибольшее значение, которое удалось подтвердить.

Унарная форма используется и в современной истории – я думаю, что каждый из вас видел фильмы, где заключенные ставят палочки на стенах, обозначая количество дней, проведенных в неволе. Также применяется для обучения маленьких детей счету – вспомните про счетные палочки.

Дальнейшее развитие

После того как люди разбрелись по всему миру было предложено много простых форм записи чисел. Однако, все числовые нумерации можно было разделить на две большие ветви – позиционные и непозиционные системы.

Непозиционные

В непозиционных нумерациях, позиция цифры в числе не влияла на её значение. Например, возьмем римскую нотацию. В ней число 11 представляется двумя латинскими буквами X(10) и I(1). Если поставить единицу до десяти, то получится 9. При перестановке знака его значение не поменялось – единица так и осталась единицей. Более подробно разберем римскую, и некоторые другие системы этого типа, которые были популярны в истории.

Римская – первые упоминания о её возникновении и происхождении в истории появились в 500 годах до нашей эры, в древнем Риме. В качестве алфавита для представления чисел использовались латинские буквы – X, I, V и другие. Популярна и сейчас – обозначения веков, групп крови и воинских частей записываются в этой форме записи. Часы с римским циферблатом установлены на здании кремля в Москве.

Египетская – использовалась до десятого века до нашей эры. Числа в ней записывались при помощи иероглифов. Самое интересное, что с её помощью можно было считать до миллиона. Каких-то специальных приемов и правил для записи не существовало: иероглифы могли записываться как слева направо, так и справа налево. Ниже приведена краткая таблица обозначений с расшифровкой некоторых символов:

Славянская — использовалась нашими предками в древней Руси. Её происхождение и развитие началось с десятого века. Если описать кратко, то в такой форме записи числа каждой букве кириллического алфавита сопоставлялся знак (цифра). Например, букве «Азь» соответствовала единица, «Веди» – двойка и так далее. Представляет собой почти полную копию греческой нумерации. Согласно истории, вышла из употребления в 1725 году и была заменена на арабские цифры.

К сожалению, данный вид счислений почти не используется. Почему? С помощью непозиционных форм неудобно представлять большие значения и делать перевод из одной нумерации в другую. Именно поэтому, в результате развития, в истории появляется другой вид счислений называемый позиционным.

Позиционные

В позиционном виде имеет роль, какую позицию цифра занимает в числе. Например, возьмем число 10 – здесь единица обозначает количество десятков, а в числе 100 единица представляет количество сотен. С помощью такой формы удобно представлять большие значения и легко выполнять арифметические действия. Именно поэтому большая часть человечества пользуется системами счислений, которые относятся к этой группе.

В истории считается, что позиционное счисление изобрели древние шумеры и жители Вавилона. На его принципах, в пятом веке, индусами была построена десятичная система, которая состояла из индуских цифр (1-9) и нуля, который обозначал отсутствие числа.

Также её возникновению способствовал великий индийский ученый Абу Джафар Мухаммад ибн Муса Аль-Хорезми с помощью работы, которая называется «Краткая книга о восполнении и противопоставлении», ставшей важной вехой для развития классической алгебры и арифметики, давшей начало простым основам теории решения уравнений. Впоследствии система стала широко использоваться арабами, которые через некоторое время видоизменили знаки её алфавита.

В Европе же её возникновение приписывается купцам, перенявшим её у индийцев. Упоминание об этом в истории датируется десятым веком нашей эры. Однако, широкого развития и популярности вначале она не получила. Большинство европейцев продолжали пользоваться римской нумерацией. Всё изменилось после выхода в свет нескольких трактатов великого итальянского математика Леонардо Фибоначчи в 1200 году.

Сам он был купцом и учился науке у арабских учителей, когда ездил по торговым делам. Со своими работами математик посетил Сирию, Египет и Сицилию, а после издал труд, который называется «Книга Абака». В ней показывалось преимущество позиционных систем над римской нотацией.

В истории России первые упоминания об арабском алфавите начинаются с четырнадцатого века, а после введения гражданской азбуки в восемнадцатом веке он полностью вытесняет славянские кириллические цифры. Именно в таком виде алфавит дошел до нас.

В мире информатики

Стоит отметить, что системы счисления играют большую роль в развитии и происхождении компьютерной сферы, и цифровой техники. С помощью них ЭВМ представляют информацию в виде удобном для хранения, передачи и обработки. Сейчас наибольшую популярность имеет цифровой код, введенный в историю немецким математиком Вильгельмом Лейбницем в семнадцатом веке.

Видео урок

Заключение

Ну, вот и всё, теперь вы знаете краткую историю создания и развития систем счисления — от самых древних времен и заканчивая нашими днями. Имеете представление о самых популярных и в курсе, какая из них самая древняя. Я надеюсь, что материал вам понравился. Если у вас возникли вопросы, то задавайте их в комментариях к этому посту.

Источник

Что такое система счисления анатомического происхождения

На протяжении всей жизни мы спокойно пользуемся числами, выполняем арифметические операции над ними, и нас это не удивляет. Мы воспринимаем это как факт. Однако так было не всегда. В глубокой древности перед людьми стояла проблема обозначения числовой информации. Как люди считали в те времена? Что такое система счисления? Как они используются в настоящее время? Меня эта тема очень заинтересовала.

Цель: изучить способы записи информации о количестве объектов.

Методы исследования: теоретическое исследование.

Задачи:

— Изучить литературу, посвящённую системам счисления;

— Установить связь и отличия систем нумерации некоторых народов;

— Узнать, как используются системы счисления в настоящее время.

Она в 101 класс ходила,

В портфеле по 100 книг носила –

Все это правда, а не бред,

Когда пыля десятком ног,

Она шагала по дороге,

За ней всегда бежал щенок

Она ловила каждый звук

Своими десятью ушами

И десять загорелых рук

Портфель и поводок держали.

И десять темно-синих глаз

Рассматривали мир привычно,

Но станет все совсем обычным,

Когда поймете наш рассказ.

В математике, как и в русском языке, существует свой, математический алфавит. Главными элементами математического алфавита являются цифры – числовой алфавит, с помощью которых мы кодируем числа. А чем эти числа отличаются? Позицией цифры в числе.

Но мы не можем писать так, как нам вздумается. Записанные нами числа должны быть понятны другим людям. Поэтому, при записи числа, необходимо ещё использовать и определенные правила.

Понятие системы счисления

Для записи информации о количестве объектов используются числа. Числа записываются с использованием особых знаковых систем, которые называются системами счисления. Алфавит систем счисления состоит из символов, которые называются цифрами. К примеру, в десятичной системе счисления числа записываются с помощью десяти всем хорошо известных цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Древнее изображение десятичных цифр выбрано не случайно: ведь каждая цифра обозначает такое число, которое равно количеству углов в ней. Например, 0 – углов нет, 1 – один угол, 2 – два угла и т.д.

Система счисления – это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами.

Все системы счисления делятся на две большие группы: позиционные и непозиционные системы счисления. В позиционных системах счисления значение цифры зависит от ее положения в числе, а в непозиционных – не зависит. Непозиционные системы счисления возникли раньше позиционных.

Непозиционные системы счисления

Непозиционной системой счисления называется такая система счисления, у которой количественный эквивалент («вес») цифры не зависит от ее местоположения в записи числа.

Сначала люди просто различали ОДИН предмет перед ними или нет. Если предмет был не один, то говорили «МНОГО».

Первыми понятиями математики были «меньше», «больше», «столько же».

Когда одно племя меняло пойманных рыб на сделанные людьми другого племени каменные ножи, им не нужно было считать, сколько принесли рыб и сколько ножей. Достаточно было положить рядом с каждой рыбой по ножу, чтобы обмен между племенами состоялся.

Счет появился тогда, когда человеку потребовалось сообщать своим соплеменникам о количестве найденных им предметов.

И, так как многие народы в древности не общались друг с другом, то у разных народов возникли разные системы счисления и представления чисел и цифр.

Числом обозначали некоторые реальные объекты, свойства которых были одинаковы. Когда мы что-то считаем или пересчитываем, мы как бы обезличиваем предметы, т.е. подразумеваем, что их свойства одинаковы. Но самым главным свойством числа является наличие объекта, т.е. единица и его отсутствие, т.е. ноль.

У первобытного человека орудием счета были преимущественно пальцы (приложение 1).

Пальцы оказались прекрасной вычислительной машиной. В древние времена люди ходили босиком. Поэтому они могли пользоваться для счета пальцами как рук, так и ног. До сих пор существуют в Полинезии племена, использующие такую систему счисления. Пальцевой счет сохранился кое-где и поныне. Например, на крупнейшей мировой хлебной бирже в Чикаго предложения и запросы, как и цены, объявляются маклерами на пальцах без единого слова.

Довольно широкое распространение имела двенадцатеричная система счисления. Происхождение её связано со счетом на пальцах. Считали большим пальцем руки фаланги остальных четырёх пальцев: всего их 12.

Элементы двенадцатеричной системы счисления сохранились в Англии в системе мер (1 фут = 12 дюймам) и в денежной системе (1 шиллинг = 12 пенсам). Нередко и мы сталкиваемся в быту с двенадцатеричной системой счисления: чайные и столовые сервизы на 12 персон, комплект носовых платков – 12 штук.

Числа в английском языке от одного до двенадцати имеют свое название, последующие числа являются составными (приложение 2).

Запоминать большие числа было трудно, поэтому к «счетной машине» рук и ног стали добавлять различные приспособления. Потребность в записи чисел появилась в очень древние времена, как только люди начали считать. Количество предметов изображалось нанесением чёрточек или засечек на какой – либо твёрдой поверхности: камне, глине, дереве (до изобретения бумаги было ещё очень и очень далеко). Каждому объекту в такой записи соответствовала одна чёрточка. Археологами найдены такие «записи» при раскопках культурных слоёв, относящихся к периоду палеолита (10 – 11 тысяч лет до н.э.).

Учёные назвали этот способ записи чисел единичной («палочной») системой счисления. В ней для записи чисел применялся только один вид знаков – «палочка». Каждое число в такой системе счисления обозначалось с помощью строки, составленной из палочек, количество которых и равнялось обозначаемому числу. Перуанцы употребляли для запоминания чисел разноцветные шнуры с завязанными на них узлами. Интересный способ для записи чисел использовался индийскими цивилизациями примерно в VIII веке до нашей эры. Они применяли «узелковое письмо» – связанные между собой нити. Знаками на этих нитях служили узелки, часто с вплетенными в них камнями или ракушками. Узелковая запись чисел позволяла Инкам передавать информацию о числе воинов, обозначать количество умерших или родившихся в той или иной провинции и так далее.

Древнеегипетская десятичная система счисления (2,5 тысяч лет до н.э.) – Примерно в третьем тысячелетии до нашей эры древние египтяне придумали свою числовую систему, в которой для обозначения ключевых чисел 1, 10, 100 и т.д. использовались специальные значки – иероглифы.

Все остальные числа составлялись из этих ключевых при помощи операции сложения. Система счисления Древнего Египта является десятичной, но непозиционной и аддитивной.

Римская десятичная система счисления (2 тысячи лет до н.э. и до наших дней) – самая распространенная из непозиционных систем счисления. В ней для записи чисел используются буквы латинского алфавита. При этом буква I всегда означает единицу, буква – V пять, X – десять, L – пятьдесят, C – сто, D – пятьсот, M – тысячу и т.д. Величина числа в римской системе счисления определяется как сумма или разность цифр в числе. Главная проблема с римскими цифрами заключается в том, что сложно производить умножение и деление. Другим недостатком римской системы является то, что запись больших чисел требует введения новых символов. А дробные числа можно записывать только как отношение двух чисел. Тем не менее, они были основными до конца средних веков. Но и в наше время их ещё используют.

Славянская кириллическая десятеричная алфавитная – эта нумерация была создана вместе со славянской алфавитной системой для перевода священных библейских книг для славян греческими монахами братьями Кириллом и Мефодием в IX веке. Эта форма записи чисел получила большое распространение в связи с тем, что имела полное сходство с греческой записью чисел. До XVII века эта форма записи чисел была официальной на территории современной России, Белоруссии, Украины, Болгарии, Венгрии, Сербии и Хорватии. До сих пор православные церковные книги используют эту нумерацию.

Числа записывали из цифр так же слева, направо, от больших к меньшим. Числа от 11 до 19 записывались двумя цифрами, причем единица шла перед десятком: ДI = 14

Читаем дословно «четырнадцать» – «четыре и десять». Как слышим, так и пишем: не 10 + 4, а 4 + 10, – четыре и десять. Числа от 21 и выше записывались наоборот, сначала писали знак полных десятков.

Запись числа, использованная славянами аддитивная, то есть в ней используется только сложение: WГ = 863 = 800 + 60 + 3

Для того чтобы не перепутать буквы и цифры, использовались титла – горизонтальные черточки над числами, что мы видим на рисунке (приложение 3).

Недостатки непозиционных систем счисления:

1. Существует постоянная потребность введения новых знаков для записи больших чисел.

2. Невозможно представлять дробные и отрицательные числа.

3. Сложно выполнять арифметические операции, так как не существует алгоритмов их выполнения. В частности, у всех народов наряду с системами счисления были способы пальцевого счета, а у греков был счетная доска абак – что-то наподобие наших счетов.

Вплоть до конца средневековья не существовало никакой универсальной системы записи чисел. Только с развитием математики, физики, техники, торговли, финансовой системы возникла потребность в единой универсальной системе счисления, хотя и сейчас многие племена, нации и народности используют другие системы счисления.

Но мы до сих пор пользуемся элементами непозиционной системы счисления в обыденной речи, в частности, мы говорим сто, а не десять десятков, тысяча, миллион, миллиард, триллион.

Позиционные системы счисления

Позиционной системой счисления называется такая система счисления, у которой количественный эквивалент («вес») цифры зависит от ее местоположения в записи числа.

Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием.

Основание позиционной системы счисления – количество различных цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления.

Десятичная система счисления

Десятичная система счисления – в настоящее время наиболее известная и используемая. Изобретение десятичной системы счисления относится к главным достижениям человеческой мысли. Без нее вряд ли могла существовать, а тем более возникнуть современная техника. Причина, по которой десятичная система счисления стала общепринятой, вовсе не математическая. Люди привыкли считать в десятичной системе счисления, потому что у них по 10 пальцев на руках.

Десятичная система впервые появилась в Индии примерно в VI веке новой эры. Индийская нумерация использовала девять числовых символов и нуль для обозначения пустой позиции. В ранних индийских рукописях, дошедших до нас, числа записывались в обратном порядке – наиболее значимая цифра ставилась справа. Но вскоре стало правилом располагать такую цифру с левой стороны. Особое значение придавалось нулевому символу, который вводился для позиционной системы обозначений. Индийская нумерация, включая нуль, дошла и до нашего времени. В Европе индусские приёмы десятичной арифметики получили распространение в начале XIII в. благодаря работам итальянского математика Леонардо Пизанского (Фибоначчи). Европейцы заимствовали индийскую систему счисления у арабов, назвав ее арабской. Это исторически неправильное название удерживается и поныне.

Десятичная система использует десять цифр – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, а также символы «+» и «–» для обозначения знака числа и запятую или точку для разделения целой и дробной частей числа.

Двоичная, восьмеричная и десятеричная системы счисления

В вычислительных машинах используется двоичная система счисления, её основание – число 2. Для записи чисел в этой системе используют только две цифры – 0 и 1. Вопреки распространенному заблуждению, двоичная система счисления была придумана не инженерами-конструкторами ЭВМ, а математиками и философами задолго до появления компьютеров, еще в ХVII – ХIХ веках. Первое опубликованное обсуждение двоичной системы счисления принадлежит испанскому священнику Хуану Карамюэлю Лобковицу (1670 г.). Всеобщее внимание к этой системе привлекла статья немецкого математика Готфрида Вильгельма Лейбница, опубликованная в 1703 г. В ней пояснялись двоичные операции сложения, вычитания, умножения и деления. Лейбниц не рекомендовал использовать эту систему для практических вычислений, но подчёркивал её важность для теоретических исследований. Со временем двоичная система счисления становится хорошо известной и получает развитие.

Выбор двоичной системы для применения в вычислительной технике объясняется тем, что электронные элементы – триггеры, из которых состоят микросхемы ЭВМ, могут находиться только в двух рабочих состояниях.

С помощью двоичной системы кодирования можно зафиксировать любые данные и знания. Это легко понять, если вспомнить принцип кодирования и передачи информации с помощью азбуки Морзе. Телеграфист, используя только два символа этой азбуки – точки и тире, может передать практически любой текст.

Двоичная система удобна для компьютера, но неудобна для человека: числа получаются длинными и их трудно записывать и запоминать. Конечно, можно перевести число в десятичную систему и записывать в таком виде, а потом, когда понадобится перевести обратно, но все эти переводы трудоёмки. Поэтому применяются системы счисления, родственные двоичной – восьмеричная и шестнадцатеричная. Для записи чисел в этих системах требуется соответственно 8 и 16 цифр. В 16-теричной первые 10 цифр общие, а дальше используют заглавные латинские буквы. Шестнадцатеричная цифра A соответствует десятеричному числу 10, шестнадцатеричная B – десятичному числу 11 и т.д. Использование этих систем объясняется тем, что переход к записи числа в любой из этих систем от его двоичной записи очень прост.

Правила перевода из одной системы счисления в другую

Перевод чисел из одной системы счисления в другую составляет важную часть машинной арифметики. Рассмотрим основные правила перевода.

X2 = An2n-1 + An-12n-2 +…+ A221 + A120

Где A – цифры числа, записанного в данной системе счисления;

n – количество разрядов числа.

При переводе удобно пользоваться таблицей степеней двойки (Приложение 4).

Пример. Число 111010002 перевести в десятичную систему счисления.

111010002 = 1•27 + 12•6 + 12•5 + 02•4 + + 1•23 + 0•22 + 0•21 + 0•20 = 23210

2. Для перевода восьмеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде суммы, состоящей из одночленов, которые в свою очередь состоят из произведений многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 8, и вычислить по правилам арифметики:

X8 = An•8n-1 + An-1•8n-2 +…+ A2•81 + А2•80

При переводе удобно пользоваться таблицей степеней восьмерки (Приложение 5).

Пример. Число 750138 перевести в десятичную систему счисления.

750138 = 7•84 + 5•83 + 0•82 + 1•81 + 3•80 = 3124310

Пример. Число 750138 перевести в десятичную систему счисления.

750138 = 7•84 + 5•83 + 0•82 + 1•81 + 3•80 = 3124310

3. Для перевода шестнадцатеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде суммы одночленов, которые в свою очередь состоят из произведений многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 16, и вычислить по правилам арифметики:

X16 = An•16n-1 + An-11•6n-2 +…+ A2•161 + A1•160

При переводе удобно пользоваться таблицей степеней числа 16 (Приложе-ние 6).

Пример. Число FDA116 перевести в десятичную систему счисления.

FDA116 = 15•163 + 13•162 + + 10•161 + 1•160 = 6492910

4. Для перевода десятичного числа в двоичную систему его необходимо последовательно делить на 2 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 1. Число в двоичной системе записывается как последовательность последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример. Число 2210 перевести в двоичную систему счисления (Приложение 7).

5. Для перевода десятичного числа в восьмеричную систему его необходимо последовательно делить на 8 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 7. Число в восьмеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример. Число 57110 перевести в восьмеричную систему счисления (Приложение 8).

6. Для перевода десятичного числа в шестнадцатеричную систему его необходимо последовательно делить на 16 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 15. Число в шестнадцатеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример. Число 746710 перевести в шестнадцатеричную систему счисления (Приложение 9).

7. Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную, его нужно разбить на триады (тройки цифр), начиная с младшего разряда. В случае необходимости нужно дополнить старшую триаду нулями и каждую триаду заменить соответствующей восьмеричной цифрой.

Пример. Число 10010112 перевести в восьмеричную систему счисления.

001 001 0112 = 1138

8. Чтобы перевести число из двоичной системы в шестнадцатеричную, его нужно разбить на тетрады (четверки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую тетраду нулями, и каждую тетраду заменить соответствующей восьмеричной цифрой.

Пример. Число 10111000112 перевести в шестнадцатеричную систему счисления.

0010 1110 00112 = 2E316

9. Для перевода восьмеричного числа в двоичное необходимо каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой.

Пример. Число 5318 перевести в двоичную систему счисления.

10. Для перевода шестнадцатеричного числа в двоичное необходимо каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной тетрадой.

Пример. Число EE816 перевести в двоичную систему счисления.

11. При переходе из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную и обратно, необходим промежуточный перевод чисел в двоичную систему.

Пример 1. Число FEA16 перевести в восьмеричную систему счисления.

111 111 101 0102 = 77528

Пример 2. Число 66358 перевести в шестнадцатеричную систему счисления.

1101 1001 11012 = D9D16.

При изучении данной темы, мне захотелось научиться выполнять действия с числами, записанными в различных системах счисления. Пока я рассмотрел только двоичную систему.

Источник