Что такое славянская кириллическая нумерация и кто ею пользовался кратко
Что такое славянская кириллическая нумерация и кто ею пользовался кратко
Славянская кириллическая система счисления
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Математика – это точная дисциплина, которую называют царицей всех наук. Она очень тесно связана с другими науками: с естественными, техническими, гуманитарными и общественными. Эта наука помогает человеку мыслить логически и делать выводы.
Актуальность исследования. Любой человек в повседневной жизни постоянно сталкивается с числами и цифрами: запоминает точные адреса и номера телефонов, номера маршрутов пассажирского транспорта, заполняет документы, проверяет, верно, ли получил сдачу в магазине и даже просто смотрит который час. И он не задумывается о том, а как люди считали раньше, много столетий назад. А как выглядели сами цифры?
Мне стало любопытно, как именно считали наши предки, поэтому, я выбрал тему для своей работы «Славянская кириллическая система счисления».
Объект исследования – славянская кириллическая система счисления.
Предмет исследования – цифровые обозначения чисел на Руси в IX – XVII веках.
Цель исследования – изучение славянской кириллической системы счисления и возможности её применения в современной школе.
изучить научную литературу и источники по данной теме;
систематизировать теоретический материал;
охарактеризовать славянскую кириллическую систему счисления и её особенности;
описать варианты математических заданий для учащихся современной школы на основе славянской кириллической системы счисления;
создать дидактический материал для изучения славянской кириллической системы счисления
— анализ различных источников
— систематизация и обобщение данных
Практическая значимость исследования: представленный материал можно использовать на уроках математики и во внеклассной работе по предмету.
Гипотеза исследования: изучение древней славянской кириллической системы счисления с целью развития математических способностей учащихся может быть организовано в современной школе.
Определение понятия система счисления.
Система счисления – это совокупность правил записи чисел с помощью определенного набора символов. Это могут быть чёрточки, буквы или цифры. Основание системы счисления – количество знаков, используемых для записи числа.
Разнообразные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в наше время, можно разделить на две большие группы: позиционные и непозиционные.
Позиционная система счисления – это система, в которой значение каждой цифры зависит от её числового эквивалента и от её места (позиции) в числе, то есть один и тот же символ (цифра) может принимать различные значения. Примеры позиционных систем счисления: арабская (десятичная), двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная и т.д.
Непозиционная система счисления – это система, для которой значение символа, то есть цифры, не зависит от его положения в числе. При этом система может накладывать ограничения на положение цифр, например, чтобы они были расположены в порядке убывания. Непозиционные системы счисления возникли раньше позиционных систем. К ним относятся такие системы счисления, как: унарная (единичная), римская, славянская.
Славянская кириллическая система счисления: история возникновения, характеристика и особенности.
Славянская кириллическая система счисления была создана одновременно со славянской алфавитной системой – кириллицей, в основе которой лежал греческий алфавит. Целью создания этих систем был перевод священных библейских книг для древних славян греческими монахами братьями Кириллом, чье имя и дало название алфавиту и нумерации, и Мефодием в XI веке. В результате алфавитная нумерация, существовавшая в древней Греции и возникшая еще в VI веке до н.э., полностью перешла к славянам.
На рисунке 1 показано соответствие между греческими буквами и их цифровым значением. Такая форма записи чисел получила наибольшее распространение у древних славян в связи с тем, что имела
полное сходство записью чисел древними греками. Рис.1
Чтобы обозначать числа, которые больше чем 900, использовались с пециальные значки, которые дорисовывались к букве (рис. 2).
Так образовывались числительные: Тысяча – 1.000, Тьма – 10.000, Легион – 100.000, Леодр – 1.000.000, Ворон – 10.000.000, Колода – 100.000.000.
Кстати, с числительным Тьма связано выражение «тьма – тьмущая», означающее п рис.2 немыслимо много.
Записывались цифры числа слева направо, начиная с больших значений и заканчивая меньшими значениями. При отсутствии десятков, единиц или какого-то другого разряда, его при записи просто пропускали. Запись чисел второго десятка отличалась от остальных:
Запись числа, используемая славянами, называется аддитивной, то есть в ней используется только сложение, например:
Начиная с XI века и до XVII столетия включительно, эта форма записи чисел была официальной на всей территории современной России, Украины, Республики Беларусь, Венгрии, Болгарии, Хорватии и Сербии. А православные церковные книги используют эту систему счисления и в наши дни. Славянская кириллическая система счисления просуществовала до конца XVII века, пока благодаря реформам императора Петра I из Европы в Россию не пришла позиционная десятичная система счисления – арабские числа, которой мы пользуемся до настоящего времени.
Интересный факт: в старинном городе Суздале на колокольной башне суздальского Кремля расположены часы со старославянским буквенным циферблатом. Им уже более трехсот лет (рис. 3).
Возможность применения славянской кириллической системы счисления в современной школе.
Перевод числа из одной системы счисления в другую – такое задание учащиеся довольно часто получают на уроках математики и информатики. Цель таких заданий – развитие математических способностей учащихся, повышение их интеллекта. Для того чтобы использовать полученные мной знания о славянской кириллической системе счисления в современной школе, необходимо работать в нескольких направлениях:
Описание дидактического материала, созданного с использованием славянской кириллической системы счисления.
Дидактический материал – это различные учебные пособия, которые при регулярном использовании могут дополнять и расширять познания учащихся в том или ином предмете, тем самым улучшая их уровень знаний. Одним из самых популярных видов дидактических пособий является настольная игра. Я решил изготовить игру «Мемори» с использованием славянской кириллической системы счисления. Свое название настольная игра получила от англ. memory (память). Данная игра способствует развитию не только математических способностей, но и основных психологических функций: памяти, внимания, мышления, а также зрительного восприятия и усидчивости.
И гра представляет собой парные карточки с цифрами первого десятка, записанными с использованием славянской кириллической системы счисления (рис.4). Ведущий перед началом игры перемешивает карточки и раскладывает их перед игроками изображением вниз. Игрок должен переворачивать любую пару карточек так, чтобы все участники игры могли видеть картинки. Если картинки на карточках совпадают, то игрок забирает их себе, если нет – оставляет на месте неперевернутыми, рис.4
а ход переходит к следующему участнику игры. Выигрывает игрок, набравший максимальное количество парных карточек. Игра достаточно проста, но очень эффективна.
Также эти карточки можно использовать как дидактический материал для изучения цифр славянской системы счисления в пределах 19. Но, важно помнить, о необычном способе записи чисел с 11 по 19 в данной системе счисления.
Моя работа была посвящена исследованию славянской кириллической системы счисления. Я изучил научную литературу и другие источники по данной теме. Систематизировав материал, я дал определение понятию система счисления, охарактеризовал славянскую кириллическую систему счисления и ее особенности. Мне удалось узнать много интересной информации, я научился переводить современные числа в числа, записанные с использованием славянской системы счисления, а также решать примеры, записанные в формате славянской системы счисления.
Гипотеза, выдвинутая мной в начале работы о том, что изучение древней славянской кириллической системы счисления с целью развития математических способностей учащихся, может быть организовано в современной школе, подтвердилась. Я описал несколько видов заданий для учащихся, изучающих славянскую кириллическую систему счисления. Также мной была создана настольная игра, которую можно использовать при изучении данной системы счисления как дидактический материал. В дальнейшем я планирую расширить возможности данной игры путем увеличения количества карточек, используемых в ней. Будут добавлены карточки с десятками и сотнями.
Таким образом, цель моего исследования достигнута, все поставленные передо мной задачи были решены.
1. Депман И.Я. История арифметики. Пособие для учителей. – М.: Издательство «Просвещение», 1965
4. Фомин С.В. Системы счисления. – М.: Издательство «Наука», 1964.
5. Электронный ресурс. – Режим доступа. Яндекс. Картинки.
6. Энциклопедический словарь юного математика. / Сост. А.П. Савин. – М.: Педагогика, 1989.
Славянская кириллическая нумерация
Эта нумерация была создана вместе со славянской алфавитной системой для переписки священных книг для славян греческими монахами братьями Кириллом (Константином) и Мефодием в IX веке. Эта форма записи чисел получила большое распространение в связи с тем, что имела полное сходство с греческой записью чисел.
| Единицы | Десятки | Сотни |
 |  |  |
 |  |  |
 |  |  |
 |  |  |
 |  |  |
 |  |  |
 |  |  |
 |  |  |
 |  |  |
Если посмотреть внимательно, то увидим, что после «а» идет буква «в», а не «б» как следует по славянскому алфавиту, то есть используются только буквы, которые есть в греческом алфавите. До XVII века эта форма записи чисел была официальной на территории современной России, Белоруссии, Украины, Болгарии, Венгрии, Сербии и Хорватии. До сих пор в православных церковных книгах используется эта нумерация.
Записывались цифры числа начиная с больших значений и заканчивая меньшими, слева направо. Если десятков, единиц, или какого-то другого разряда не было, то его пропускали. Интереснее всего записывались числа второго десятка :
 | = 4+10 = 14 |
Запись числа, использованная славянами аддитивная, то есть в ней используется только сложение:
 | = 800+60+3 = 863 |
 | 1964 |  | 7472 |
Для обозначения больших, чем 900 чисел использовались специальные значки, добавляемые к букве.
 | — 1000 |  | — 2000 |  | — 9000 |
Десятки тысяч, сотни и миллионы тоже отмечались первыми буквами алфавита, но уже без титла, и каждый со своим определенным значком. Числа, которые обозначались буквами в кружочках, точках и черточках, имели специальные названия.
 | (Тьма) |  | (Легион) |  | (Леодр) |  | (Ворон) |  | (Колода) |
Со словом «Тьма» связаны выражения «тьма-тьмущая» «тьма народу», означающая немыслимо много. В «Слове о полку Игореве» мы встречаем фразу «орда покрыла вороновым крылом», которую можно истолковать как «побила большой силой», где «большой» можно сравнить с полумиллионом человек.
В России славянская нумерация сохранилась до конца XVII века. При Петре I возобладала так называемая «арабская нумерация».
Славянская нумерация основана на следующем правиле: несколько букв под титлом (это черточка вверху буквы), написанных рядом, обозначают число, равное сумме чисел, обозначаемых буквами. Эту нумерацию называют также алфавитной. Первые девять букв обозначали единицы, следующие девять — десятки и остальные девять — сотни.
Алфавитные нумерации были мало пригодны для оперирования с большими числами, встречавшимися уже в древности (например, при астрономических расчетах). В ходе развития человеческого общества эти системы уступили место позиционным. Но остатки алфавитных нумераций сохранились в нашем обиходе и по сей день. Так, мы часто нумеруем пункты при помощи букв алфавита. Правда, буквы служат только для обозначения последовательного порядка, а не для количества. Никаких арифметических операций над такими буквами мы уже не производим.
В России наряду со славянской нумерацией, в 1703 году была введена индийская. Это впервые сделал в своем учебнике Л.Ф. Магницкий. Сейчас мы привыкли к обозначению чисел с помощью десяти знаков (0;1;2;3;4;5;6;7;8;9), что не замечаем их удобства и простоты.
Позиционные нумерации
Вавилонская нумерация
Позиционные нумерации были изобретены в разных уголках земного шара: в Междуречье, Центральной Америке, Китае и Индии.
В позиционной системе умножение единиц любого разряда выполняется одинаково, для умножения же различных чисел от 1 до 60 использовались готовые таблицы умножения. Деление осуществлялось не как отдельная операция, а как умножение на обратную величину – существовали таблицы и этих величин.
В поздних вавилонских текстах стал появляться похожий на наклонную стрелку значок 
, эквивалентный нулю и отмечающий пустой разряд посреди числа. Без него было бы затруднительно отличать такие числа, как, например, 4200 = 3600 + 600 и 3610 = 3600 + 10. Этот значок повторялся в зависимости от того, сколько разрядов пропущено. Характерно, однако, что в конце числа этот значок никогда не ставили: таким образом, по одной лишь записи нельзя было отличить какое-либо число от других чисел, отличающихся от него в 60 n раз.
Вавилонская шестидесятеричная система счисления оставила важный след в истории. Именно от вавилонян пошло деление окружности на 360 частей, которые мы сейчас называем градусами, а градусов (как и часов) – на 60 минут, которые, в свою очередь, делятся на 60 секунд. Греческие астрономы поздней античности (например, Клавдий Птолемей) пользовались именно шестидесятеричной системой, заимствованной у вавилонян: во-первых, в этой системе удобно выполнять расчеты, а во-вторых, это было связано и с влиянием весьма развитой вавилонской астрономии на греческую. Правда, эти астрономы для записи целой части числа и единиц каждого шестидесятеричного разряда дробной части пользовались не вавилонскими «клиньями», а более привычной для греков алфавитной нумерацией, – числа в каждом шестидесятеричном разряде, таким образом, получались двузначными. Например, число 359 + 45/60 + 24/3600 греческие астрономы записали бы так.
 |
| Греческая шестидесятеричная нумерация |
Т.е. «359,45′24′′» (знак ′ обозначает разрядность: 45 единиц первого разряда, то есть именно 60-х, а 24 единицы второго разряда, то есть 3600-х).
Шестидесятеричная система вавилонян сыграла большую роль в развитии математики и астрономии. Следы ее сохранились до наших дней. Так, мы до сих пор делим час на 60 минут, а минуту на 60 секунд. Точно также, следуя примеру вавилонян, окружность мы делим на 360 равных частей (градусов).
Нумерация индейцев Майя
 |
| Запись чисел у индейцев Майя |
Китайская нумерация
Важный шаг к десятичной позиционной системе был сделан в древнем Китае.
В Китае, например, числа записывают с помощью особых знаков – иероглифов.
 |
| Запись чисел в Древнем Китае |
Китайцы пользуются нумерацией, включающей обозначения чисел от 1 до 10, а также 100, 1000 и т. д. Китайская нумерация основана на мультипликативном принципе (от лат. multiplicatio – умножение): если надо изобразить, например, число 30, то они не рисуют три значка для 10, а ставят рядом значки для 3 и для 10. Арифметические действия в древнем и средневековом Китае производились с помощью счетных палочек, которые раскладывали на счетной доске, видимо, разлинованной на строки и столбцы. При этом разные единичные разряды попадали в разные клетки. Таким образом, одни и те же комбинации палочек могли представить, в зависимости от расположения, единицы разных разрядов; при этом не было никакой необходимости в употреблении иероглифов, обозначающих конкретные разряды в мультипликативной записи. Пропущенный разряд при счете на доске был виден непосредственно, в математической же литературе его обозначали кружком, который, возможно, и был предком нашего нуля. Важно, однако, подчеркнуть, что получившееся позиционное изображение чисел применялось, в отличие от древнего Вавилона, только на счетной доске (и в литературе о ней); в обычных текстах китайцы продолжали пользоваться мультипликативной системой.
 |  |  |
Запишем для примера несколько чисел:
 | 1 000 |    | 548 |
Индийская нумерация
Используемые нами символы для обозначения чисел – «арабские цифры» – в действительности восходит к средневековой Индии. В Индии позиционный принцип вначале утвердился в словесных обозначениях чисел. Именно индийцы изобрели десятичную систему счисления, только их цифры были еще не совсем похожи на современные. Для обозначения чисел чертили (острием на земле или углем на доске) колонки так, что получались десятичные разряды: в первой колонке ставили единицы, во второй — десятки, а в третьей — сотни и т.д.; если не было единиц какого-либо разряда, то эта колонка оставалась пустой.
Богатый по своему словарному запасу язык санскрит располагал большим количеством синонимов для разных чисел. При этом, скажем, единица могла именоваться названиями предметов, которые имеются только в единственном числе, например, Луна, Земля; двойка – словами, обозначающими «близнецы», «крылья», «губы»; четверка – словами «океаны», «стороны света» и т.д. Еще в V в. зафиксировано словоупотребление, при котором одно и то же слово в зависимости от места имеет разное числовое значение, а наименование разряда опускается, при чем пустой разряд (нуль) также может обозначаться разными синонимами: «пустое», «небо», «дыра». Например, число 1021 записывалось словами «Луна – дыра – крылья – Луна». Одно из индийских названий нуля – «шунья» (то есть «пустое»; слово играет важную роль в философии буддизма) – было переведено на арабский словом «сыфр», имеющим то же значение и ставшим, таким образом, арабским названием нуля; именно от этого слова происходят русские слова «цифра» и «шифр» (а также, между прочим, английское и французское названия нуля – zero; русское же «нуль» восходит к лат. nullus – никакой). В это же время была разработана нумерация, в которой, во-первых, используются различные девять знаков для чисел от 1 до 9, а во-вторых, эти знаки могут обозначать количества единиц различных разрядов. Первая известная запись такого рода относится к 595 г. (число 346, обозначающее номер года), а первая запись, содержащая нуль, относится к 876 г. (число 270). В литературе конкурируют две теории о происхождении значка для индийского нуля – он может быть заимствован с востока, например, из Китая, но может быть и с запада (Греция и Вавилон). В Индии не только была придумана современная нумерация, но и были разработаны основанные на ней правила арифметических действий.
Распространению индийской позиционной системы на запад способствовали арабские математики начиная с ал-Хорезми (ранее у арабов применялась алфавитная нумерация, похожая на используемые другими семитскими народами Ближнего Востока – сирийцами и евреями; кроме того, арабы часто записывали числа словами, из этой записи в результате ее сокращения возникла новая система обозначения чисел, до сих пор используемая торговцами в странах Востока). Именно благодаря переводам сочинений арабских математиков на латынь индийская позиционная система с XII в. постепенно завоевывает Европу, а имя ал-Хорезми в его латинизированной форме Algorithmus становится названием всей десятичной позиционной арифметики. Впоследствии слово «алгоритм» приобрело смысл всякого вычислительного процесса, происходящего по некоторым правилам и приводящего к решению задач определенного класса за конечное число шагов (например, алгоритм Евклида). Наглядной демонстрации преимуществ (в том числе экономичности) новой нумерации по сравнению с римской уделяет внимание Фибоначчи в «Книге абака».
Следует отметить, что в процессе странствий от Индии к арабам, а затем на латинский Запад начертание многих цифр сильно изменилось. Поскольку эти цифры не сразу обрели установившуюся форму, они сравнительно поздно стали появляться на монетах (лишь с XV в. в континентальной Европе, с XVI в. в Великобритании). На могильных плитах новые цифры появились раньше, уже в XIV в.
 |
| Эволюция арабских цифр |
Индийская нумерация распространилась по всему миру. При этом одни народы переняли у индийцев только принцип обозначения чисел, другие заимствовали и написание цифр. На приведенной таблице видно, как постепенно видоизменялись цифры «губар» ( вторая строка в таблице), употреблявшиеся в мавританских государствах. Откуда произошли сами цифры «губар», до сих пор остается неясным.
В страны Европы новая индийская нумерация была занесена арабами в X –XIII вв. (отсюда и название «арабские цифры), однако вплоть до XVIII в. в официальных бумагах разрешалось применять только римские цифры. Но преимущества позиционного принципа счисления были настолько велики, что еще в XIII в. Он стал применяться итальянскими купцами. В Германии, Франции, Англии до конца XV в. Новая нумерация почти не употреблялась. Но к концу XVI – началу XVII в. Позиционная система одержала решительную победу – ее приняли не только купцы, но и все ученые. Ее стали применять повсеместно.
У нас в России эти цифры стали применять в основном лишь 250 лет тому назад. До этого же времени наши предки пользовались славянской нумерацией. При Петре I индийские цифры уже вытесняют на монетах славянские, а позднее славянские цифры вообще быстро исчезают из обихода.
Приведем в заключении слова знаменитого французского математика и физика VIII– XIX вв. П. Лапласа: «Мысль выражать все числа девятью знаками, придавая им кроме значения по форме еще и значение по месту, настолько проста, что именно из-за этой простоты трудно понять, насколько она удивительна. Как нелегко было прийти к этому методу, мы видим на примере величайших гениев греческой учености Архимеда и Аполлония, от которых эта мысль осталась скрытой»[4.258].