Что такое следствие в геометрии 7 класс
Что является следствием в геометрии?
следствие это результат, который очень часто используется в геометрии для обозначения немедленного результата чего-то уже продемонстрированного. Обычно в геометрии следствия появляются после доказательства теоремы.
Поскольку это прямой результат уже доказанной теоремы или уже известного определения, следствия не требуют доказательств. Эти результаты очень легко проверить, и поэтому их демонстрация опущена.
Следствие слова происходит от латинского Corollarium, и широко используется в математике, имея большее проявление в области логики и геометрии.
Когда автор использует следствие, он говорит, что этот результат может быть обнаружен или получен читателем самостоятельно, используя в качестве инструмента некоторую теорему или определение, объясненное ранее..
Примеры следствий
Ниже приведены две теоремы (которые не будут доказаны), за которыми следуют одно или несколько следствий, которые выводятся из указанной теоремы. Кроме того, прилагается краткое объяснение того, как показано следствие..
Теорема 1
Следствие 1.1
Гипотенуза прямоугольного треугольника имеет большую длину, чем любая из ног.
объяснение: имея это c² = a² + b², можно вывести, что c²> a² и c²> b², из чего делается вывод, что «c» всегда будет больше, чем «a» и «b».
Теорема 2
Сумма внутренних углов треугольника равна 180º.
Следствие 2.1
В прямоугольном треугольнике сумма углов, прилегающих к гипотенузе, равна 90º.
объяснение: в прямоугольном треугольнике есть прямой угол, то есть его мера равна 90º. Используя теорему 2, у вас есть 90º, плюс измерения двух других углов, прилегающих к гипотенузе, равны 180º. При очистке будет получено, что сумма мер соседних углов равна 90º.
Следствие 2.2
В прямоугольном треугольнике острые углы, прилегающие к гипотенузе.
объяснение: используя следствие 2.1, мы получаем, что сумма мер углов, прилегающих к гипотенузе, равна 90º, следовательно, мера обоих углов должна быть меньше 90º, и, следовательно, указанные углы являются острыми.
Следствие 2.3
Треугольник не может иметь два прямых угла.
объяснение: если треугольник имеет два прямых угла, то добавление мер трех углов приведет к числу больше 180º, а это невозможно из-за теоремы 2.
Следствие 2.4
Треугольник не может иметь более одного тупого угла.
объяснение: если треугольник имеет два тупых угла, при сложении его измерений будет получен результат, превышающий 180º, что противоречит теореме 2.
Следствие 2.5
В равностороннем треугольнике мера каждого угла составляет 60º.
объяснение: равносторонний треугольник также равновеликий, поэтому, если «х» является мерой каждого угла, то добавление меры трех углов даст 3x = 180º, из чего делается вывод, что x = 60º.
Что такое аксиома и теорема
Решение всех задач в геометрии построено на логических рассуждениях. С их помощью мы решаем задачи или выводим новые доказательства.
Некоторые из утверждений в геометрии мы используем не задумываясь. Вспомним высказывание, которое мы слышим при самом первом знакомстве с геометрией:
«Через две точки можно провести прямую, и притом только одну».
Но можно ли считать подобное рассуждение доказательством?
Другими словами, утверждение «Через две точки можно провести прямую, и притом только одну» не является доказанным только потому, что мы нарисовали рисунок и по рисунку «на глаз» стало все понятно.
В геометрии действует принцип: «Не верь глазам своим, пока не докажешь утверждение с помощью рассуждений».
Но что нам в таком случае делать? Ведь при решении задач мы используем какие-то очевидные утверждения, не задумываясь об их истинности.
Что такое аксиома
Слово аксиома произошло от древнегреческого слова «axioma» — утверждение, положение.
С точки зрения учащихся, аксиома — лёгкий способ получить отличную оценку. Достаточно просто выучить формулировку. Ведь никаких доказательств для аксиомы учить не требуется.
Всего в геометрии насчитывается около 15 аксиом. В школьном курсе используются далеко не все. Некоторые из них используются в школьном курсе как само собой разумеющееся для нас. Приведем некоторые примеры довольно известных аксиом из школьного курса геометрии:
Что такое теорема
Совсем по-другому обстоят дела с теоремами. Слово теорема происходит от древнегреческого слова «theorema» — смотреть, рассматривать какое-либо утверждение.
Теоремы менее «любимы» учащимися, чем аксиомы. Если учитель попросит рассказать теорему, будет недостаточно, как для аксиомы, сообщить только её формулировку. Потребуется также дать доказательство теоремы.
Примеры формулировок теорем:
Каждое слово или предлог в формулировке играет существенную роль в передаче смысла выражения. Даже просто поменяв порядок слов можно сильно изменить смысл утверждения.
Помните, что все формулировки в геометрии были выверены несколькими тысячами лет развития математики лучшими умами планеты и не терпят никаких словесных изменений.
Что такое лемма
Среди теорем выделяют такие теоремы, которые сами по себе не используются в решениях задач. Но их используют для доказательства других теорем.
Лемма происходит от древнегреческого слова «lemma» – предположение.
Что такое следствие в геометрии
Приведем примеры следствий из аксиомы о параллельности прямых:
Если подытожить все вышесказанное, то сравнивая геометрию с высотным домом, можно представить, что:
Каждая доказанная теорема служит основанием доказательства для следующей теоремы. Именно поэтому так важно изучать геометрию последовательно, переходя с самых основ (аксиом) к теоремам.
Невозможно понять геометрию 9 и 10 класса, не выучив аксиомы и теоремы 7 и 8 класса.
Геометрия. 7 класс
Конспект урока
Аксиома параллельных прямых
Перечень рассматриваемых вопросов:
Аксиома – это утверждение, которое принимается в качестве исходного, без доказательства в рамках данной теории.
Аксиома параллельных прямых.
Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
Следствия из аксиомы.
Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.
Если две прямые, параллельны третьей прямой, то они параллельны.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Геометрия на плоскости изучает фигуры: сначала даются их определения, затем доказываются свойства или отношения в виде теорем.
Однако есть утверждения, которые принимаются в качестве исходных, они не доказываются. Это аксиомы.
Аксиома – происходит от греческого «аксиос», что означает «ценный, достойный». Изначально имело смысл «самоочевидная истина».
Теорема – греческое слово, означает «зрелище, представление». В математике греков употреблялось в смысле «истина, доступная созерцанию».
Аксиома параллельных прямых.
Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
Следствия из аксиомы.
Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.
Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
Впервые аксиоматический подход к изложению геометрии был изложен в знаменитом сочинении Евклида «Начала» в III веке до нашей эры. Геометрию, которую мы изучаем, по сей день, называют евклидовой. Схема изучения геометрии представлена так: задаются начальные понятия (точка, прямая, плоскость), определения фигур (отрезок, луч, треугольник и др.). Затем изучаются свойства или отношения между ними в виде аксиом или теорем.
Приведём примеры аксиом, которые уже встречали в предыдущих параграфах, хотя они не назывались аксиомами.
Евклид является автором аксиоматического подхода к построению геометрии.
Аксиома параллельных прямых:
через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
На рисунке через точку М проведены две прямые. Но только одна из них прямая b параллельна прямой а.
Утверждения, которые выводятся из аксиом или теорем, называются следствиями, и они доказываются.
Следствия из аксиомы параллельных прямых.
1. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.
Доказательство методом от противного.
Пусть a ║b, c пересекает прямую a в точке M. Предположим, что прямая c не пересекает b. Тогда через точку M проходит две прямые a и c параллельные b. Это противоречит аксиоме, значит предположение неверно, т. е. прямая c пересекает b.
2. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
Доказательство методом от противного.
Предположим, что прямые a и b не параллельны, т. е. пересекаются в точке M. Тогда через точку M проходит две прямые a и b параллельные c. Это противоречит аксиоме, значит, предположение неверно, т. е. прямая a параллельна прямой b.
Разбор заданий тренировочного модуля
№ 1. Доказать существование прямой, параллельной данной.
№ 2. Через точку А, не лежащую на прямой р, проведены четыре различные прямые.
Сколько из них пересекает прямую р?
1 случай. Если одна из прямых параллельна р. Тогда три других пересекают прямую р, согласно следствию 1 из аксиомы параллельных прямых.
2 случай. Если ни одна из прямых не параллельна р. Тогда все четыре пересекают прямую р.
ВСЕ определения и теоремы по учебнику Атанасяна
Геометрия 7 класс
1) Смежными углами называют два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой;
2) Вертикальными угламиназываются углы если стороны одного угла являются продолжениями другого.
3) Перпендикулярными прямыминазываются две пересекающиеся прямые, если они образуют четыре прямых угла.
4) Периметром треугольниканазывается сумма длин всех сторон.
5) Первый признак треугольника:Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
6) Перпендикуляр к прямой: Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой и при том только один.
7) Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
8) Биссектрисой треугольника называетсяотрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.
9) Высотой треугольника называетсяперпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.
10) Замечательное свойство треугольника:В любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке, биссектрисы пересекаются в одной точке, высоты или их продолжения так же пересекаются в одной точке.
11) Равнобедренным треугольником называется треугольник, если две его стороны равны.
12) Равные стороны равнобедренного треугольниканазываются боковыми сторонами, а третья сторона – основанием.
13) Равносторонним треугольником называется треугольник, все стороны которого равны.
14) 1 свойство равнобедренного треугольника: в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
15) 2 свойство равнобедренного треугольника: в равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.
16) Следствие 1:Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой.
17) Следствие 2: Медианаравнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является высотой и биссектрисой.
18) Второй признак равенства треугольника:Если сторона, и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
19) Третий признак равенства треугольников: Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
20) Параллельными прямыми называютсядве прямые, лежащие на плоскости, если они не пересекаются.
21) Признаки параллельности двух прямых: 1)Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. 2)Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны. 3)Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180 градусов, то прямые параллельны.
22) Аксиомами называются исходные положения в геометрии.
23) Аксиомы: 1)Через любые две точки проходит прямая, и при том только одна. 2)На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и при том только один. 3)От любого луча, в заданную сторону можно отложить угол, равный данному, не развёрнутому углу, и при том только один.
24) Аксиомы параллельных прямых:Через точку, не лежащую на данной прямой проходит только одна прямая, параллельная данной.
25) Следствие 1:Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.
26) Следствие 2: Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
27) Теорема об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей:
Теорема 1:Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.
Следствие 1:Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой.
Теорема 2: Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.
Теорема 3: Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180 градусов.
28) Теорема о сумме углов треугольников:Сумма углов треугольников равна 180 градусов.
29) Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-нибудь углом этого треугольника. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.
30) В любом треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий тупой, или прямой.
31) Треугольник называется остроугольным,если все три угла острые.
32) Треугольник называется тупоугольным,если один из углов тупой.
33) Треугольник называется прямоугольным,если один из углов прямой.
35) Катет – это другая сторона прямоугольного треугольника.
36) Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника: 1) В треугольнике против большей стороны лежит больший угол; 2) Против большего угла лежит большая сторона.
Следствие 1: В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.
Следствие 2: Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.
37) Теорема «Неравенство треугольника»:
Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон
Следствие:Для любых трёх точек А, В, С не лежащих на одной прямой справедливо неравенство: АВ
Смежные углы. Теоремы. Следствия
Содержание
Смежные углы
Смежными углами называются углы, которые имеют общую вершину и одну сторону, а другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми
Сколько может быть смежных углов?
Смежных углов может быть не только два. Теоретически, их количество может быть бесконечно большим, потому что из точки на прямой можно провести неограниченное количество лучей, лежащих в одной полуплоскости.
Теорема о смежных углах
Утверждение о том, что сумма смежных углов равна $180 \degree$ называется теоремой о смежных углах. Ее доказательство просто и базируется на знании того, что любой луч, проведенный из вершины угла, и проходящий по его внутренней области, делит этот угол на два угла, сумма которых равна первому углу.
Доказательство теоремы о смежных углах
Очевидно, что аналогично теорема может быть доказана для любого количества смежных углов.
Следствие из теоремы о смежных углаx
Теорема о смежных углах имеет следствие.
Следствием теоремы называется логический вывод, следующий из теоремы, и не требующий отдельного доказательства.
Следствие из теоремы о смежных углаx: если некоторые два угла равны, то равны и смежные с ними углы.
Задача 1
Короткая запись условия:
Решение и чертеж:
