Что такое случайный опыт

30.10.202329.04.2022 admin 0 Comments

Случайный эксперимент

Случа́йный экспериме́нт (случайное испытание, случайный опыт) — математическая модель соответствующего реального эксперимента, результат которого невозможно точно предсказать. Математическая модель должна удовлетворять требованиям:

, причем

— наблюдаемый результат.

— относительная частота реализаций эксперимента.

Точное описание природы случайного эксперимента влечет определение элементарных исходов, случайных событий и их вероятности, случайных величин и т. п.

Полезное

Смотреть что такое «Случайный эксперимент» в других словарях:

Эксперимент — У этого термина существуют и другие значения, см. Эксперимент (значения). Проверить информацию. Необходимо проверить точность фактов и достоверность сведений, изложенных в этой статье. На странице обсуждения должны быть пояснения … Википедия

Эксперимент Шрёдингера — Эрвин Шрёдингер Кот Шрёдингера (кошка Шрёдингера) герой кажущегося парадоксальным мысленного эксперимента Эрвина Шрёдингера, которым он хотел продемонстрировать неполноту квантовой механики при переходе от субатомных систем к макроскопическим … Википедия

Эксперимент — (лат. experimentum опыт, доказательство) 1) следственный, самостоятельное следственное действие. Состоит в воспроизведении обстановки и иных обстоятельств определенного события и совершении необходимых опытных действий в целях проверки… … Криминалистическая энциклопедия

ГЕНЕРАЛЬНАЯ СОВОКУПНОСТЬ — заданное множество, конечное или бесконечное. Любой случайный эксперимент можно интерпретировать как случайный выбор индивидуума из бесконечной Г. с. При статистическом изучении из Г. с., характеризуемой функцией распределения вероятностей,… … Геологическая энциклопедия

Случайное событие — Случайное событие подмножество множества исходов случайного эксперимента; при многократном повторении случайного эксперимента частота наступления события служит оценкой его вероятности. Случайное событие, которое никогда не реализуется в… … Википедия

Распределение Бернулли — Функция вероятности … Википедия

Парадокс Эйнштейна — Парадокс Эйнштейна Подольского Розена (ЭПР парадокс) попытка указания на неполноту квантовой механики с помощью мысленного эксперимента, заключающегося в измерении параметров микрообъекта косвенным образом, не оказывая на этот… … Википедия

ГОСТ 24026-80: Исследовательские испытания. Планирование эксперимента. Термины и определения — Терминология ГОСТ 24026 80: Исследовательские испытания. Планирование эксперимента. Термины и определения оригинал документа: 34. Адекватность математической модели Адекватность модели Соответствие математической модели экспериментальным данным… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

РДМУ 109-77: Методические указания. Методика выбора и оптимизации контролируемых параметров технологических процессов — Терминология РДМУ 109 77: Методические указания. Методика выбора и оптимизации контролируемых параметров технологических процессов: 73. Адекватность модели Соответствие модели с экспериментальными данными по выбранному параметру оптимизации с… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Источник

Случайный эксперимент. Случайные события (стр. 1 )

Что такое случайный опыт. Смотреть фото Что такое случайный опыт. Смотреть картинку Что такое случайный опыт. Картинка про Что такое случайный опыт. Фото Что такое случайный опыт

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8

I. Случайный эксперимент. Случайные события

1. Классификация событий. 2. Алгебра событий

Теория вероятностей занимается изучением объективных закономерностей случайных явлений. В основе теории вероятностей лежит понятие случайный эксперимент (опыт или испытание).

Эксперимент – любое реальное или мыслимое действие, результаты которого изучаются. Эксперимент считается случайным, если он может закончиться любым известным исходом (результата или эксперимента), но до осуществления эксперимента нельзя предсказать, каким именно. Примеры исходов опыта приведены в табл. 1.1.

Исходы эксперимента

Выпадение цифры или герба

Сдача студентом экзамена

Получение оценок 5, 4, 3, 2

Бросание игральной кости

Выпадение на верхней грани цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6

Результаты (исходы) экспериментов (испытаний) в теории вероятностей называют событиями и обозначают буквами: А, В,…. Случайным называют событие, которое может произойти или не произойти в результате испытания. В дальнейшем будем опускать термин «случайные».

Событие, которое в результате опыта обязательно произойдет, называется достоверным, а событие, которое никогда не наступит
в данном опыте, – невозможным. Примеры таких событий приведены в табл. 1.2.

Бросание игральной кости

Появление целого числа на одной грани

Появление на одной грани числа большего шести

Двукратное бросание игральной кости

Сумма выпавших чисел не больше 12

Произведение выпавших чисел делится на 14

Противоположным событию А называют событие, которое наступает тогда и только тогда, когда не наступит событие А, и обозначают его . Примеры таких событий приведены в табл. 1.3.

Событие
(противоположное)

Три выстрела по мишени

Не более двух попаданий в мишень

Ровно три попадания
в мишень

Хотя бы два попадания в мишень

Ровно одно попадание
в мишень

Из урны, содержащей белые и черные шары, взяты два шара

Вынуты два шара одного цвета

Вынуты два шара разного цвета

События называют несовместными, если появление одного из них исключает появление других в данном опыте. Несколько несовместных событий, являющихся результатом некоторого опыта, образуют полную группу событий, если в результате испытания наступает хотя бы одно из них.

Элементарными событиями называют несовместные, взаимоисключающие исходы данного опыта, при каждом осуществлении которого наступает один и только один из них. Элементарные события обозначают: wi.

Полная группа элементарных событий образуют пространство элементарных событий, которое обозначают W = i>, где i> – множество всех элементарных взаимоисключающих исходов.

В силу данного определения все пространство элементарных событий W соответствует достоверному событию, пустое множество Æ – невозможному событию, а события А, В,… являются подмножествами W.

В табл. 1.4 представлены примеры описания W – пространства элементарных исходов.

Бросание
а) одной монеты
б) двух монет

Источник

Презентация была опубликована 8 лет назад пользователемМарфа Вараксина

Презентация на тему: » Случайный опыт (случайный эксперимент) – условия и действия, при которых может осуществиться случайное событие. В результате случайного опыта наступает.» — Транскрипт:

2 Случайный опыт (случайный эксперимент) – условия и действия, при которых может осуществиться случайное событие. В результате случайного опыта наступает только одно элементарное событие. элементарное событие. Элементарное событие нельзя разделить на более простые события Выпало чётное число очков Выпало четыре очка

3 Однократное бросание кости: Число элементарных событий – 6 Двукратное бросание кости: Число элементарных событий – 6 6 = 36

4 1; 11; 21; 31; 41; 51; 6 2; 12; 22; 32; 42; 52; 6 3; 13; 23; 33; 43; 53; 6 4; 14; 24; 34; 44; 54; 6 5; 15; 25; 35; 45; 55; 6 6; 16; 26; 36; 46; 56; 6 Элементарное событие Равновозможные события – шансы которых одинаковы

8 Определение. Элементарные события, при которых наступает событие А, называют элементарными событиями, благоприятствующими событию А Пример 1. Андрей (А), Борис (Б) и Владимир (В) встают в очередь. Возможные элементарные события: АБВ, АВБ, БВА, БАВ, ВАБ, ВБА. АБВ, АВБ, БВА, БАВ, ВАБ, ВБА. Событие «В стоит первым» наступает, если случилось одно из двух элементарных событий: ВАБ, ВБА. Событию «В стоит первым» благоприятствуют события ВБА и ВАБ. Событию «Б стоит впереди А» благоприятствуют элементарные события: БАВ, БВА, ВБА

9 1; 11; 21; 31; 41; 51; 6 2; 12; 22; 32; 42; 52; 6 3; 13; 23; 33; 43; 53; 6 4; 14; 24; 34; 44; 54; 6 5; 15; 25; 35; 45; 55; 6 6; 16; 26; 36; 46; 56; 6 Пример 2. Игральную кость бросают дважды. Таблица элементарных событий этого опыта: 1. Событие «сумма очков при двух бросках равна 11». Найти благоприятствующие элементарные события. 2. Событие «произведение очков при двух бросках равно 12». Найти благоприятствующие элементарные события.

11 Пример 1. Автомобиль подъезжает к перекрёстку. Вероятность элементарного события «автомобиль свернёт вправо» равна 0,5, вероятность элементарного события «автомобиль свернёт влево» равна 0,3, вероятность элементарного события «автомобиль поедет прямо» равна 0,18. Найти. Вероятность события А «автомобиль не поедет обратно». Решение. Событию А благоприятствуют все три перечисленных элементарных события. Тогда: Р(А) = 0,5 + 0,3 + 0,18 = 0,98.

12 Определение. События, которые имеют одинаковые вероятности, называют равновероятными. Равновозможные элементарные события – равновероятны. Вероятности этих событий в сумме – Вероятность каждого события (если их количество N) равна 1N Если случайному событию А благоприятствуют N(A) элементарных событий, то Р(А) = N(A) N

13 Правило. Пусть все элементарные события опыта равновозможны. Тогда в этом опыте вероятность произвольного события равна отношению числа элементарных событий, благоприятствующих этому событию, к общему числу элементарных событий. 1; 11; 21; 31; 41; 51; 6 2; 12; 22; 32; 42; 52; 6 3; 13; 23; 33; 43; 53; 6 4; 14; 24; 34; 44; 54; 6 5; 15; 25; 35; 45; 55; 6 6; 16; 26; 36; 46; 56; 6 Пример. Найти вероятность события А «сумма очков равна 6». Решение. Число благоприятствующих событий N(A) = 10. Общее число событий N = 36. Р(А) = N(A) = 10 = 5 N N 36 18

Источник

Что изучает и когда возникла теория вероятностей. Понятие случайного эксперимента. Пространство элементарных исходов. Типы и примеры. Элементы комбинаторики. Понятие события

Главная > Документ

Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

§1. Что изучает и когда возникла теория вероятностей. Понятие случайного эксперимента. Пространство элементарных исходов. Типы и примеры. Элементы комбинаторики. Понятие события.

Исторически теория вероятностей возникла как теория азартных игр (рулетка, игральные кости, карты и т.д.). в конце 17 века. Начало её развития связано с именами Паскаля, Бернулли, Муавра, Лапласа, а позднее (начало 19 века ) – Гаусса и Пуассона.

Первые исследования по теории вероятностей в России относятся к середине 19 века и связаны с именами таких выдающихся математиков, как Н.И. Лобачевский, М.В. Остроградский, В.Я. Буняковский (одним из первых издал учебник с приложениями в страховом деле и демографии).

Дальнейшее развитие теории вероятностей (конец 19 и двадцатые годы 20 века) в основном связано с именами русских учёных Чебышева, Ляпунова и Макарова. С 30-х годов 20 века этот раздел математики переживает период расцвета, находя приложения в различных областях науки и техники. В это время российские учёные Бернштейн, Хинчин и Колмогоров вносят существенный вклад в развитие теории вероятностей. Именно Колмогоров в возрасте 30 лет в 1933 году предложил аксиоматическое построение теории вероятностей, установив её связь с другими разделами математики (теорией множеств, теорией меры, функциональным анализом).

Понятие случайного эксперимента

Примеры случайных экспериментов:

1. Однократное подбрасывание монеты.

2.Однократное подбрасывание игральной кости.

3. Случайный выбор шара из урны.

4. Измерение времени безотказной работы электрической лампочки.

5. Измерение числа вызовов, поступающих на АТС за единицу времени.

Примеров такого рода можно привести сколь угодно много. В чём же состоит общность опытов со случайными исходами? Оказывается, несмотря на то, что результата каждого из перечисленных выше экспериментов предсказать невозможно, на практике для них уже давно была замечена закономерность определённого вида, а именно: при проведении большого количества испытаний наблюдённые частоты появления каждого случайного события стабилизируются, т.е. всё меньше отличаются от некоторого числа, называемого вероятностью события.

Наблюдённой частотой события А ()называется отношение числа появлений события А () к общему числу испытаний (N):

Например, при бросании правильной монеты дробь

при

( -количество орлов, N –общее число бросаний )

при (наблюденная частота события стремится к его вероятности при росте количества опытов, то есть при n ).

Пример построения пространства элементарных исходов:

Рассмотрим следующий случайный эксперимент: однократное подбрасывание игральной кости, наблюдаем число очков выпавших на верхней грани. Построим для него пространство элементарных исходов:

-содержит все варианты, появление каждого варианта исключает появление остальных, все варианты неделимы.

Пространство элементарных исходов (типы и примеры к каждому типу):

Рассмотрим следующую схему

Примеры дискретных пространств элементарных исходов

Эксперимент: однократное подбрасывание монеты

, где

Можно включить в пр-во э.и. вариант падения монеты на ребро, но мы его исключаем из модели как маловероятный (каждая модель – это некоторое приближение)

Если монета правильная, т.е. у неё везде одинаковая плотность и несмещённый центр тяжести, то исходы «герб» и «решка» имеют равные шансы на появление. Если у монеты смещён центр тяжести, то, соответственно, исходы имеют разные шансы на появление.

Замечание : если в задаче про монету ничего не говорится, то она предполагается правильной.

Эксперимент: однократное подбрасывание двух монет.

Замечание: Если монеты одинаковы, то исходы РГ и ГР визуально неразличимы. Можно пометить одну из монет краской и тогда они будут визуально различаться.

Модель можно строить по-разному :

либо мы различаем исходы РГ, ГР и тогда у нас получается 4 вар-та

, где

В этом случае, если обе монеты правильные, все варианты имеют равные шансы на появление.

либо мы не различаем варианты РГ и ГР и тогда у нас получается 3 вар-та.

, где

В этом случае, если обе монеты правильные, вариант РГ имеет больший шанс на появление, чем варианты ГГ и РР, т.к. он реализуется двумя способами: герб на первой монете и решка на второй и наоборот.

(столько «пятёрок» различных по составу можно получить из 20 человек) (факториал)

Ответ на этот вопрос опять даёт наука комбинаторика.

(

Все 15504 варианта имеют равные шансы на появлении, т.к. выбор случаен.

1860480 ( столько упорядоченных различных «пятёрок» можно получить из 20 человек).

Ответ на этот вопрос опять даёт наука комбинаторика.

(

Все 1860480 вариантов имеют равные шансы на появлении, т.к. выбор случаен.

Понятно, что упорядоченных «пятёрок» будет больше, чем не упорядоченных, т.к. при одном и том же составе может быть несколько вариантов порядка: в данном случае в каждом составе из 5 человек возможно 120 различных вариантов порядка.

Обобщённое правило умножения:

способами

Перестановкой из n элементов называется любой упорядоченный набор из этих элементов.

-число перестановок из n элементов

Объяснение: первый элемент можно выбрать n способами, второй – n-1 и т.д. последний элемент – одним способом, а перемножаются они исходя из правила обобщённого умножения

Размещением из n по m называется любой упорядоченный набор из m элементов выбранных случайным образом из генеральной совокупности, содержащей n элементов (m Сочетания.

Сочетанием из n по m называется любой неупорядоченный набор из m элементов выбранных случайным образом из генеральной совокупности, содержащей n элементов.

Сочетания и размещения связаны следующим образом:

(на каждый состав из m элементов мы имеем m! упорядоченных наборов). Таким образом,

число сочетаний из n элементов по m (число вариантов такого не упорядоченного выбора

Пример непрерывного пространства элементарных исходов

Эксперимент: двое человек назначают встречу в определённом месте межу 12 и 13 часами, и каждый из них может прийти в рамках этого времени в любой случайный момент. Отслеживаем моменты их прихода. Каждый вариант прихода 2 –ух человек – это точка из квадрата со стороной 60 (т.к. в часе 60 минут).

(первый может прийти в 12 часов x минут, второй в 12 часов y минут). Все точки из квадрата нельзя не пересчитать, не перенумеровать. В этом состоит его непрерывная структура и, следовательно, в данном эксперименте непрерывное пространство элементарных исходов.

События и операции над ними:

Часто используется следующая терминология: говорят, что произошло (или наступило) событие А, если в результате опыта появился какой-либо из элементарных исходов .