Что такое собственное число матрицы
5.1.3. Собственные числа и собственные векторы матрицы
Вектор Х называется Собственным вектором матрицы А, если найдется такое число L, что выполняется равенство: АХ = LХ, то есть результатом применения к Х линейного оператора, задаваемого матрицей А, является умножение этого вектора на число L. Само число L называется Собственным числом матрицы А.
Подставив в формулы (3) X’J = LXj, получим систему уравнений для определения координат собственного вектора:
.
Эта линейная однородная система будет иметь нетривиальное решение только в случае, если ее главный определитель равен 0 (правило Крамера). Записав это условие в виде:
Получим уравнение для определения собственных чисел L, называемое Характеристическим уравнением. Кратко его можно представить так:
Поскольку в его левой части стоит определитель матрицы А-LЕ. Многочлен относительно L | A — LE| называется Характеристическим многочленом матрицы А.
Свойства характеристического многочлена:
1) Характеристический многочлен линейного преобразования не зависит от выбора базиса.
(см. (11.4)), но 
Следовательно, 
. Таким образом, 
не зависит от выбора базиса. Значит, и |A—LE| не изменяется при переходе к новому базису.
2) Если матрица А линейного оператора является Симметрической (т. е. АIj=Aji), то все корни характеристического уравнения (11.6) – действительные числа.
Свойства собственных чисел и собственных векторов:
1) Если выбрать базис из собственных векторов Х1, х2, х3, соответствующих собственным значениям λ1, λ2, λ3 матрицы А, то в этом базисе линейное преобразование А имеет матрицу диагонального вида:
Доказательство этого свойства следует из определения собственных векторов.
2) Если собственные значения оператора А различны, то соответствующие им собственные векторы линейно независимы.
3) Если характеристический многочлен матрицы А имеет три различных корня, то в некотором базисе матрица А имеет диагональный вид.
Найдем собственные числа и собственные векторы матрицы
Составим характеристическое уравнение:
Найдем координаты собственных векторов, соответствующих каждому найденному значению L. Из (5) следует, что если Х(1)=<X1,X2,X3> – собственный вектор, соответствующий L1=-2, то
Совместная, но неопределенная система. Ее решение можно записать в виде Х(1)=(A,0,-A), где А – любое число. В частности, если потребовать, чтобы |X(1)|=1,
От действий над матрицами к пониманию их сути…
Очень уважаю людей, которые имеют смелость заявить, что они что-то не понимают. Сам такой. То, что не понимаю, — обязательно должен изучить, осмыслить, понять. Статья «Математика на пальцах», и особенно матричная запись формул, заставили меня поделиться своим небольшим, но, кажется, немаловажным опытом работы с матрицами.
Лет эдак 20 назад довелось мне изучать высшую математику в вузе, и начинали мы с матриц (пожалуй, как и все студенты того времени). Почему-то считается, что матрицы — самая лёгкая тема в курсе высшей математики. Возможно — потому, что все действия с матрицами сводятся к знанию способов расчёта определителя и нескольких формул, построенных — опять же, на определителе. Казалось бы, всё просто. Но… Попробуйте ответить на элементарный вопрос — что такое определитель, что означает число, которое вы получаете при его расчёте? (подсказка: вариант типа «определитель — это число, которое находится по определённым правилам» не является правильным ответом, поскольку говорит о методе получения, а не о самой сути определителя). Сдаётесь? — тогда читаем дальше.
Сразу хочу сказать, что я не математик ни по образованию, ни по должности. Разве что мне интересна суть вещей, и я порой пытаюсь до них «докопаться». Так же было и с определителем: нужно было разобраться со множественной регрессией, а в этом разделе эконометрики практически всё делается через… матрицы, будь они неладны. Вот и пришлось мне самому провести небольшое исследование, поскольку ни один из знакомых математиков не дал внятного ответа на поставленный вопрос, изначально звучавший как «что такое определитель». Все утверждали, что определитель — это такое число, которое особым образом посчитано, и если оно равно нулю, то… В общем, как в любом учебнике по линейной алгебре. Спасибо, проходили.
Если какую-то идею придумал один человек, то другой человек должен быть в состоянии её понять (правда, для этого порой приходится вооружаться дополнительными знаниями). Обращение к «великому и могучему» поисковику показало, что «площадь параллелограмма равна модулю определителя матрицы, образованной векторами — сторонами параллелограмма». Говоря простым языком, если матрица — это способ записи системы уравнений, то каждое уравнение в отдельности описывает вектор. Построив из точки начала координат векторы, заданные в матрице, мы таким образом зададим в пространстве некоторую фигуру. Если наше пространство одномерное, то фигура — это отрезок; если двумерное — то фигура — параллелограмм, и так далее.
Получается, что для одномерного пространства определитель — это длина отрезка, для плоскости — площадь фигуры, для трёхмерной фигуры — её объём… дальше идут n-мерные пространства, вообразить которые нам не дано. Если объём фигуры (то есть определитель для матрицы 3*3) равен нулю, то это означает, что сама фигура не является трёхмерной (она может быть при этом двухмерной, одномерной или вообще представлять собой точку). Ранг матрицы — это истинная (максимальная) размерность пространства, для которого определитель не равен нулю.
Так, с определителем почти всё понятно: он определяет «объёмность» фигуры, образованной описанными системой уравнений векторами (хотя непонятно, почему его значение не зависит от того, имеем мы дело с исходной матрицей, или с транспонированной — возможно, транспонирование — это вид аффинного преобразования?). Теперь нужно разобраться с действиями над матрицами…
Если матрица — это система уравнений (а иначе зачем нам таблица каких-то цифр, не имеющих к реальности никакого отношения?), то мы можем с ней делать разные вещи. Например, можем сложить две строки одной и той же матрицы, или умножить строку на число (то есть каждый коэффициент строки умножаем на одно и то же число). Если у нас есть две матрицы с одинаковыми размерностями, то мы их можем сложить (главное, чтобы при этом мы не сложили бульдога с носорогом — но разве математики, разрабатывая теорию матриц, думали о таком варианте развития событий?). Интуитивно понятно, тем более что в линейной алгебре иллюстрациями подобных операций являются системы уравнений.
Однако в чём смысл умножения матриц? Как я могу умножить одну систему уравнений на другую? Какой смысл будет иметь то, что я получу в этом случае? Почему для умножения матриц неприменимо переместительное правило (то есть произведение матриц В*А не то что не равно произведению А*В, но и не всегда осуществимо)? Почему, если мы перемножим матрицу на вектор-столбец, то получим вектор-столбец, а если перемножим вектор-строку на матрицу, то получим вектор-строку?
Ну, тут уж не то что Википедия, — тут даже современные учебники по линейной алгебре бессильны дать какое-либо внятное объяснение. Поскольку изучение чего-либо по принципу «вы сначала поверьте — а поймёте потом» — не для меня, копаю в глубь веков (точнее — читаю учебники первой половины XX века) и нахожу интересную фразу…
Если совокупность обычных векторов, т.е. направленных геометрических отрезков, является трёхмерным пространством, то часть этого пространства, состоящая из векторов, параллельных некоторой плоскости, является двумерным пространством, а все векторы, параллельные некоторой прямой, образуют одномерное векторное пространство.
В книгах об этом напрямую не говорится, но получается, что векторам, параллельным некоторой плоскости, необязательно лежать на этой плоскости. То есть они могут находиться в трёхмерном пространстве где угодно, но если они параллельны именно этой плоскости, то они образуют двумерное пространство… Из приходящих мне на ум аналогий — фотография: трёхмерный мир представлен на плоскости, при этом вектору, параллельному матрице (или плёнке) фотоаппарата, будет соответствовать такой же вектор на картинке (при условии соблюдении масштаба 1:1). Отображение трёхмерного мира на плоскости «убирает» одно измерение («глубину» картинки). Если я правильно понял сложные математические концепции, перемножение двух матриц как раз и представляет собой подобное отражение одного пространства в другом. Поэтому, если отражение пространства А в пространстве В возможно, то допустимость отражения пространства В в пространстве А — не гарантируется.
Любая статья заканчивается в тот момент, когда автору надоедает её писать. Поскольку я не ставил перед собой цели объять необъятное, а исключительно хотел понять суть описанных операций над матрицами и то, как именно матрицы связаны с решаемыми мной системами уравнений, я не полез в дальнейшие дебри линейной алгебры, а вернулся к эконометрике и множественной регрессии, но сделал это уже более осознанно. Понимая, что и зачем я делаю и почему только так, а не иначе. То, что у меня получилось в этом материале, можно озаглавить как «глава о сути основных операций линейной алгебры, которую почему-то забыли напечатать в учебниках». Но ведь мы же не читаем учебников, правда? Если честно, когда я учился в университете, мне очень не хватало именно понимания затронутых здесь вопросов, поэтому я надеюсь, что, изложив этот непростой материал по возможности простыми словами, я делаю доброе дело и помогаю кому-то вникнуть в саму суть матричной алгебры, переведя операции над матрицами из раздела «камлание с бубном» в раздел «практические инструменты, применяемые осознанно».
Что такое собственное число матрицы
Собственные числа матрицы ковариаций/1,, фигурировавшие в предыдущем разделе, являются квадратами дисперсий вдоль ее главных осей. Если между входами существует линейная зависимость, некоторые из этих собственных чисел стремятся к нулю. Таким образом, наличие малых Я,- свидетельствует о том, что реальная размерность входных данных объективно ниже, чем число входов. Можно задаться некоторым пороговым значением s и ограничиться лишь теми главными компонентами, которые имеют Л>еЛ. Тем самым, [c.134]
Собственные числа матрицы А являются корнями характеристического [c.24]
Пусть А есть квадратная матрица порядка п. Собственные значения (называемые также собственными числами) матрицы А определяются как корни характеристического уравнения [c.34]
Если обозначить D = У- /2Х W-1/, то в формуле (3.28) т]2 является вторым по величине собственным числом матрицы DD, а в (3.29) — вторым по величине собственным числом D D. Известно [102], что отличные от нуля собственные числа матриц DD и D D совпадают. Следовательно, совпадают и значения т)2. [c.136]
Диагональные элементы Л являются собственными числами матрицы А, следовательно, неотрицательны (см. выше). Тогда можно определить [c.501]
В (6.8) диагональными элементами являются собственные числа матрицы К, которые определяются из характеристического уравнения [c.84]
Полученное уравнение — это уравнение на собственные векторы квадратной матрицы. Использование единичной матрицы Е дает уравнение на собственные числа квадратной матрицы [c.408]
С помощью стандартной алгебраической процедуры [102, гл. 5] можно исключить из матрицы R = V-1/2 X W- XV-1/2 собственное число rj2 — 1. Для этого R достаточно заменить на [c.136]
Собственные векторы Ut (i = 1,р) матрицы S являются и собственными векторами матрицы S + kl с собственными числами ii — hi + k. Следовательно, матрица (S + kl)-1 = [c.269]
В самом деле, так как 1 1 симметрична, то существует ортогональная матрица S, такая что fi»1 = S AS, где Л — диагональная матрица, на главной диагонали которой стоят собственные числа AJ, г = 1. п, матрицы 1 1. В силу положительной определенности 1 все они положительны, поэтому можно определить диагональную матрицу Л1 2, на главной диагонали которой стоят числа А/, г = 1. п. Теперь достаточно взять Р = Л S. Заметим, что представление (5.5) не единственно, но для наших рассуждений это несущественно. Умножим равенство (5.3) слева на Р и обозначим у = Ру, X = РХ, Е = Ре. Таким образом, [c.156]
Матрица E(W) (размера т х т) есть взвешенное среднее идемпотентных матриц, и, следовательно, ограничена все ее элементы по абсолютной величине не превосходят 1, а все диагональные элементы и собственные числа лежат в интервале [0, 1]. На самом деле выполняется следующее неравенство [c.409]
В самом деле, пусть х — собственный вектор, соответствующий собственному числу А, т.е. Ах = Ах. Так как матрица положительно определена, то х Ах > 0. Но х Ах = х Ах = Ах х > О, следовательно, А > 0 (х х > 0, как скалярный квадрат ненулевого вектора). [c.501]
Предложение. Собственные числа идемпотентной матрицы могут принимать значения только 0 или 1. [c.502]
Функция анализа устойчивости модели (е). Функция позволяет произвести анализ устойчивости построенной когнитивной модели. Для этого необходимо 1) открыть для работы файл данных когнитивной модели 2) произвести расчет собственных чисел матрицы взаимосвязей вершин когнитивной модели 3) произвести отображение найденных собственных чисел на экране дисплея 4) сохранить найденные собственные числа в текстовый файл для последующей распечатки и анализа [c.222]
Показать, что МНК в ортогональной регрессии сводится к поиску собственных чисел и векторов ковариационной матрицы. Почему остаточная дисперсия равна минимальному собственному числу этой матрицы [c.17]
Наиболее общее представление о движении активов, собственного и заемного капитала дает главная бухгалтерская книга (ГБК) и шахматный бухгалтерский баланс (ШББ), построенный на ее основе. В отличие от бухгалтерского баланса (форма № 1), направляемого в налоговые органы, ШББ в виде сводной матрицы в полной мере аккумулирует и объективно отражает хозяйственные операции за отчетный период. Несомненным преимуществом ШББ является тот факт, что все хозяйственные операции сгруппированы по однотипным бухгалтерским проводкам и представлены в виде квадратной матрицы. Число строк и соответственно столбцов в этой матрице одинаково, а ее размерность зависит от количества синтетических счетов, задействованных на предприятии. При этом движение по каждому счету характеризуется остатками на начало и конец отчетного периода, а также оборотами по дебету и кредиту данного счета. [c.47]
Прежде всего еще раз заметим, что если А — квадратная матрица, а АТ — транспонированная к ней матрица, то характеристические уравнения для А и Ат совпадают. Таким образом, собственные значения матрицы Ат — те же, что и для А. В частности, числа Фробениуса матриц А и Ат тоже совпадают. [c.265]