Что такое собственное подпространство

Собственное подпространство

Смотреть что такое «Собственное подпространство» в других словарях:

Корневое подпространство — Красным цветом обозначен собственный вектор. Он, в отличие от синего, при деформации не изменил направление и длину, поэтому является собственным вектором, соответствующим собственному значению λ = 1. Любой вектор, параллельный красному вектору,… … Википедия

ВЕСОВОЕ ПРОСТРАНСТВО — весовой класс, пространство с весом, пространство функций, имеющих конечную норму (или полунорму) с нек рым функциональным множителем весом. При этом норма (полунорма) функции наз. в этом случае весовой нормой (полунормой), х вес наз. также… … Математическая энциклопедия

Собственные векторы, значения и пространства — Синим цветом обозначен собственный вектор. Он, в отличие от красного, при деформации(преобразовании) не изменил направление и длину, поэтому является собственным вектором, соответствующим … Википедия

Корневой вектор — Красным цветом обозначен собственный вектор. Он, в отличие от синего, при деформации не изменил направление и длину, поэтому является собственным вектором, соответствующим собственному значению λ = 1. Любой вектор, параллельный красному вектору,… … Википедия

Характеристическое число матрицы — Красным цветом обозначен собственный вектор. Он, в отличие от синего, при деформации не изменил направление и длину, поэтому является собственным вектором, соответствующим собственному значению λ = 1. Любой вектор, параллельный красному вектору,… … Википедия

Собственные векторы — Собственные векторы, значения и пространства Красным цветом обозначен собственный вектор. Он, в отличие от синего, при деформации не изменил направление и длину, поэтому является собственным вектором, соответствующим собственному значению λ = 1.… … Википедия

Измерение (квантовая механика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Измерение (значения). Квантовая механика … Википедия

СОБСТВЕННЫЙ ВЕКТОР — оператора А, действующего в векторном пространстве Lнад полем k ненулевой вектор к рый переводится данным оператором в пропорциональный ему вектор, т. е. Коэффициент наз. собственным значением оператора А. Если оператор А линеен, то множество… … Математическая энциклопедия

Вырожденность (математика) — Вырожденными называют математические объекты, обладающие принципиально более простой структурой и смыслом по сравнению с остальными объектами в своём классе, то есть такие, которые, даже будучи взятыми вместе, не дают полного представления о всём … Википедия

Источник

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки

Правила форума

В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Собственные числа и собственные подпространства

Последний раз редактировалось silas 06.04.2012, 12:41, всего редактировалось 1 раз.

Затрудняюсь с решением.Нужно найти Собственные числа и собственные подпространства матрицы А.Диаганализировать ёё

Cобственные числа и собственные вектора получились такие:

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось alcoholist 06.04.2012, 12:58, всего редактировалось 3 раз(а).

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось ewert 06.04.2012, 13:20, всего редактировалось 1 раз.

Почти, только это бессмысленная запись: числовой множитель должен стоять внутри фигурных скобок.

Ну и собственные числа/векторы, конечно, найдены действительно неверно.

Последний раз редактировалось silas 06.04.2012, 13:22, всего редактировалось 1 раз.

Вот на самом деле какая матрица, я для неё считал

Почти, только это бессмысленная запись: числовой множитель должен стоять внутри фигурных скобок.

Ну и собственные числа/векторы, конечно, найдены действительно неверно.

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось alcoholist 06.04.2012, 13:25, всего редактировалось 1 раз.

это не числовой множитель))) — символ линейной оболочки

это просто обозначения. Нормально

Заслуженный участник

Ну тогда допустим (никогда такого не видел, или не припомню).

Заслуженный участник

Откуда какая-то лямбда?

Заслуженный участник

Собственным подпространством линейного преобразования A для данного собственного числа называется множество всех собственных векторов , соответствующих данному собственному числу (дополненное нулевым вектором). Обозначим его . По определению,

где E — единичный оператор.
фром Википедия.

Заслуженный участник

Заслуженный участник

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей

Источник

Дополнительное подпространство

Существование такого разложения для любого вектора равносильно утверждению, что сумма двух подпространств равна всему пространству, а единственность эквивалентна тому, что эта сумма является прямой (которая характеризуется тем, что пересечение двух подпространств приводит к сводится к нулевому вектору).

Резюме

Частая путаница

Понятие дополнения часто путают с установленным понятием дополнения, которое сильно отличается. Различия между этими двумя концепциями многочисленны. Прежде всего, это уникальность дополнительного, тогда как для данного подпространства, как правило, существует бесконечное множество различных дополнительных. Тогда пересечение подпространства с дополнительным не пусто, а содержит нулевой вектор (и только этот). Более того, дополнение векторного подпространства никогда не является векторным подпространством. Наконец, объединение подпространства и дополнительного не равно всему пространству, более тонко, оно порождает это пространство. Интуитивно понятно, что два дополнительных подпространства содержат именно ту информацию, которая необходима для восстановления всего пространства.

Определение

Критерии

Эквивалентность между 1, 4 и 5 подробно описана в статье « Проектор (математика) ». Осталось показать, что 1, 2, 3, 6 и 7 эквивалентны.

В конечномерном измерении из него выводятся другие критерии, из которых наиболее полезен следующий:

Характеристики

Критерий 2 доказывает следующий частный случай формулы Грассмана (в конечной или бесконечной размерности):

каждое подпространство F в E имеет дополнительные.

Топологическое дополнение

В нормализованном векторном пространстве любое конечномерное подпространство и любое замкнутое конечное коразмерное подпространство допускает топологическое дополнение.

Источник

8 7 2 собственные подпространства

8.7.2. Собственные подпространства

Определение собственного вектора можно переписать следующим образом:

Предложение. Множество всех собственных векторов, отвечающих данному собственному значению λ, вместе с нулевым вектором образует линейное подпро­странство.

Таким образом, V λ = Ker ( − λ) = < x  K n : ( x ) = λ x >.

Теорема. Собственные векторы, отвечающие различным собственным значе­ниям, линейно независимы.

Требуется доказать, что все  i = 0.

( 1 x 1 +  2 x 2 + … +  k x k +  k +1 x k +1 ) = 0 ;

 1 ( x 1 ) +  2 ( x 2 ) + … +  k ( x k ) +  k +1 ( x k +1 ) = 0 ;

Умножим обе части равенства (1) на λ k +1 :

Вычитаем из равенства (3) равенство (2):

8.7.3. Достаточные условия диагонализуемости

Теорема. Если сумма размерностей всех собственных подпространств равна n (размерно­сти всего пространства), то оператор диагонализуем.

Объединяя взятые базисы в одну систему, мы будем иметь в этой системе n векто­ров. Докажем, что построенная система векторов линейно независима. Пусть

μ 11 u 11 + μ 12 u 12 + … + + μ 21 u 21 + μ 22 u 22 + … + + … + μ s 1 u s 1 + μ s 2 u s 2 + … +

μ 11 u 11 + μ 12 u 12 + … + = 0 ;

μ 21 u 21 + μ 22 u 22 + … + = 0 ;

Теперь из-за линейной независимости каждой системы векторов (это же базис!) по­лучаем, что все коэффициенты μ равны нулю, что и означает линейную независи­мость векторов нашей большой системы. Остаётся сослаться на предложение 6 из п. 5.6.2 (лекция № 7 от 12 марта 2010 года), из которого вытекает, что наша большая система векторов является базисом всего пространства, со­стоящим из собственных векторов, что равносильно диа­гонализуемости опера­тора.

Следствие 1. Пусть дан линейный оператор над полем комплексных чисел. Если размер­ность каждого собственного подпространства равна кратности соответ­ствующего корня характе­ристического многочлена, то оператор диагонализуем.

Доказательство. В самом деле, в этом случае сумма размерностей всех собст­венных под­пространств равна сумме кратностей всех корней характеристического многочлена, т. е. степени n этого многочлена. Остаётся применить теорему.

Следствие 2. Если есть ровно n различных собственных значений, то опера­тор диагонали­зуем.

§ 8.8. Жорданова форма и жорданов базис

8.8.1. Основные определения

Определение 1. Матрица вида

Определение 2. Клеточно-диагональная квадратная матрица вида

Определение 3. Базис всего пространства называется жордановым базисом данного ли­нейного оператора, если матрица оператора в этом базисе является жордановой матрицей.

Определение 4. Жорданова матрица называется жордановой формою данного оператора, если она является матрицей этого оператора в каком-то базисе (очевидно, жордановом). Жорда­нова матрица называется жордановой формою другой данной квадратной матрицы того же раз­мера, если эти две матрицы являются матрицами одного оператора в двух базисах.

8.8.2. Теорема Jordan’а 1

Теорема (C. Jordan, без доказательства). Любой линейный оператор над полем комплекс­ных чисел обладает жордановым базисом.

8.8.3. Способ нахождения жордановой формы

Укажем один из возможных способов нахождения жордановой формы данной матрицы. Нахождение жорданова базиса является гораздо более трудной задачей, которая в нашем курсе не рассматривается. (Интересующихся отсылаю к моей брошюре «Построение жорданова базиса».)

rk ( A − λ E ) k = rk ( B − λ E ) k

rk ( A − λ E ) k = rk ( J − λ E ) k

Начнём с k = 1, и будем подставлять наши априорные матрицы в правую часть написанного выше равенства и проверять его выполнение. Для каких-то матриц оно будет выполняться, а для каких-то не будет. Таким образом, какая-то часть априорных матриц отсеется. Если останется всего одна матрица, то она и будет искомой жордановой формой. Если нет, то продолжаем про­цесс с оставшимися априорными матрицами и берём k = 2. Проверяем вышенаписанное равенство, после чего отсеются ещё какие-то матрицы, и т. д. Рано или поздно процесс завершится, и оста­нется всего одна жорданова матрица. Она и будет ответом.

Замечание. Наш алгорифм мы обосновали не полностью, т. к. не доказано, что процесс остановится, т. е. что рано или поздно останется только одна матрица. Это верно, но здесь мы обоснования этого факта не даём.

Глава 9. Евклидовы 2 пространства

§ 9.1. Скалярное произведение

9.1.1. Определение скалярного произведения

Общее определение линейного пространства

Определение 1. Линейным ( векторным ) пространством над полем K называется множе­ство, состоящее из объектов произвольной природы (называемых векторами ), в котором опреде­лены операции сложения и умножения на скаляры (т. е. на элементы основного поля K ), причём выполняются восемь основных свойств линейных операций над векторами (см. п. 5.1.3, лекция № 1 от 12.02.10), которые здесь называются (и являются) аксиомами линейного простран­ства.

Таковым примером является линейное пространство всех многочленов (например, над по­лем действительных чисел). В самом деле, многочлены можно складывать и умножать на скаляры (действительные числа). Легко проверяется выполнение всех 8 аксиом. А теперь рассмотрим такие многочлены:

Для доказательства их линейной независимости возьмём, как обычно, их линейную комбинацию и приравняем её нулю:

λ 0 + λ 1 x + λ 2 x 2 + … + λ n x n = 0.

Определение 2. Пусть E – произвольное линейное пространство.

Примеры. Рассмотрим три примера.

1. В качестве E возьмем геометрическое пространство векторов V 3 (или V 2 ), которое рас­сматривается в аналитической геометрии. Тогда скалярное произведение определялось следую­щим образом:

Но это вытекает из следующей теоремы математического анализа: если значение определённого интеграла от непрерывной неотрицательной на отрезке функции равно нулю, то и сама функция тождественно равна нулю (и, конечно, из того, что значение определённого интеграла от неотри­цательной функции неотрицательно).

9.1.2. Простейшие свойства скалярного произведения

Предложение 1. Нулевой вектор ортогонален любому вектору.

Доказательство. (0, a ) = (00, a ) = 0(0, a ) = 0, QED.

Доказательство. Очевидное следствие свойства симметричности скалярного произведе­ния.

9.1.3. Ортогональное дополнение

Определение. Ортогональным дополнением к данному вектору a называется множество векторов

Предложение 4. Ортогональное дополнение к любому вектору является линейным подпро­странством.

Определение. Ортогональным дополнением к данному множеству векторов M называется множество векторов

Предложение 5. Ортогональное дополнение к любому множеству M векторов является ли­нейным подпространством.

Определение. Будем говорить, что вектор b ортогонален множеству M ( b  M ), если он ор­тогонален каждому вектору из этого множества.

Доказательство. Если вектор b ортогонален каждому вектору системы, то в силу предло­жения 7 он ортогонален каждому вектору линейной оболочки. Обратное очевидно.

Следствие. Вектор тогда и только тогда ортогонален подпространству, когда он ортогона­лен каждому вектору какого-нибудь базиса этого подпространства.

( неравенство Cauchy − Буняковского ), причём равенство достигается в том и только в том случае, когда векторы коллинеарны.

Как видно, функция представляет собою квадратный трёхчлен со старшим ненулевым коэффици­ентом. Так как её значения неотрицательны при любом значении t (т. к. это скалярный квадрат!), то дискриминант не может быть положительным; вычисляем четверть дискриминанта:

что и даёт требуемое неравенство.

Пусть теперь векторы a и b коллинеарны и a ≠ 0; тогда b = λ a для подходящего действи­тельного коэффициента λ. Но тогда

Доказательство. В самом деле,

1 Мари́ Энмо́н Ками́ль (Камилл) Жорда́н (фр. Marie Ennemond Camille Jordan, 5 января 1838 — 22 января 1922) — французский математик.

2 Евкли́д или Эвкли́д (др.-греч. Εὐκλείδες, ок. 300 г. до Р. Х.) — древнегреческий математик.

3 Огюсте́н Луи́ Коши́ (Augustin Louis Cauchy, 1789 −1857) − французский математик.

4 Виктор Яковлевич Буняко́вский (1804 − 1889) − российский математик.

Источник

Собственный вектор

Из Википедии — свободной энциклопедии

Понятия собственного вектора и собственного числа [3] являются одними из ключевых в линейной алгебре, на их основе строится множество конструкций. Это связано с тем, что многие соотношения, связанные с линейными операторами, существенно упрощаются в системе координат, построенной на базисе из собственных векторов оператора. Множество собственных значений линейного оператора (спектр оператора) характеризует важные свойства оператора без привязки к какой-либо конкретной системе координат. По этим причинам собственные векторы имеют важное прикладное значение. Так, например, собственные векторы часто встречаются в механике, квантовой теории и так далее. В частности, оператор проекции спина на произвольную ось имеет два собственных и соответствующие им собственные векторы.

Понятие линейного векторного пространства не ограничивается «чисто геометрическими» векторами и обобщается на разнообразные множества объектов, таких как пространства функций (в которых действуют линейные дифференциальные и интегральные операторы). Для такого рода пространств и операторов говорят о собственных функциях операторов.

Множество всех собственных векторов линейного оператора, соответствующих данному собственному числу, дополненное нулевым вектором, называется собственным подпространством [4] этого оператора.

Поиск оптимальных алгоритмов вычисления собственных значений для заданного линейного оператора является одной из важных задач вычислительной математики.

Источник