Что такое собственные углы
Магия тензорной алгебры: Часть 12 — Параметры Родрига-Гамильтона в кинематике твердого тела
Введение
Наконец-то мы подошли к довольно интересной теме — выбору параметров, однозначно определяющих ориентацию твердого тела в пространстве. Исторически наиболее популярными являются углы поворота — они в первую очередь упоминаются в классических учебниках теоретической механики.
Рис.1. Углы Эйлера — параметры, знакомые каждому, кто занимался компьютерной графикой и моделированием пространственного движения тел. И каждый, кому они знакомы, знает, насколько проблематичным бывает их использование.
Обычно углы поворота используют совместно с декартовой системой координат, при этом говорят, что связанная система координат может быть совмещена с базовой путем трех последовательных поворотов вокруг её осей. При этом каждый следующий поворот осуществляется вокруг оси, полученной после предыдущего поворота. Кроме того, следующий поворот не должен происходить вокруг оси, относительно которой совершен предыдущий поворот. В связи с этим существует 12 различных комбинаций углов поворота, самыми известными из которых являются углы Эйлера (рисунок 1). Базовую систему координат поворачивают на угол 
вокруг оси Z (угол прецессии), затем на угол вокруг оси X (угол нутации), и снова вокруг оси Z на угол (угол собственного вращения) до совмещения её со связанной системой координат.
Использование углов Эйлера всем хорошо — их число совпадает с числом вращательных степеней свободы твердого тела, а значит они не порождают избыточных уравнений связей. Но, даже не прибегая к громоздким формулам, по рисунку 1, можно догадаться, где кроется проблема.
Рис. 2. Знаменитые кинематические уравнения Эйлера. Я, в своё время, хлебнул с ними долгих и кропотливых отладок
Существует два значения угла нутации, при которых происходит вырождение кинематических уравнений Эйлера (рисунок 2) — и . Предположим, что угол нутации принял одно из этих значений — тогда угол прецессии и угол собственного вращения описывают поворот вокруг одной и той же оси Z и принципиально неразличимы друг от друга. При использовании кинематических уравнений Эйлера мы получаем ноль в знаменателе и NaN в фазовых координатах. Приплыли, процедура интегрирования рухнула.
Другой вариант углов поворота — самолетные углы: — рыскание, — тангаж и — крен (рисунок 3).
Рис. 3. Самолетные углы — один из практических способов определения ориентации летательного аппарата в пространстве
Данные параметры поворота вырождаются при тангажах , при этом неразличимы становятся крен и рыскание. Матерые симуляторщики знают, как сходит с ума КПП при выходе на крутые тангажи.
Все возможные комбинации углов поворота имеют вырождение. Для моделирования и закладки в алгоритмы систем управления ориентацией область их применения ограничивается критическими значениями параметров. В прошлой статье мы показали, что не подходят и параметры конечного поворота, а использование непосредственно компонентов тензора поворота затрудняется излишне глубокими зависимостями между ними, что порождает высокий порядок системы уравнений движения.
Однако, ещё великий Леонард Эйлер ввел в рассмотрение четыре параметра, которые не имеют вырождения. На его публикацию по этому поводу тогдашний научный мир особого внимания не обратил. Данная идея, независимо от Эйлера была развита Олидом Родригом, а в работах Уильяма Гамильтона получила окончательное теоретическое обоснование. Встречайте —
1. Кватернионы и действия над ними
Кватернионом называют число вида
где называют компонентами кватерниона. Сами числа (1) образуют множество гиперкомплексных чисел , включающее в себя все действительные числа и множество комплексных чисел . Математики эпохи, когда работал Гамильтон, уже знали о комплексных числах и о том, как построенные на их основе методы позволяют решать задачи планиметрии и естественным было желание расширить понятие комплексного числа для применения подобных методов к пространственным задачам. Проблема была в том, что добавление второй мнимой единицы не решало проблемы. Гамильтону пришла в голову мысль, что подобные расширенные комплексные числа могут быть не трех-, а четырехкомпонентными. Работая в этом направлении, в порыве вдохновения на одной из прогулок он вывел правило умножения таких чисел, что окончательно сложило мозаику новорожденной теории.
а их попарные произведения хорошо описываются диаграммой
Рис. 4. Диаграмма перемножения мнимых единиц в кватернионе
смысл которой прост — если перемножать пары мнимых единиц в порядке, указанном стрелкой, то получается третья мнимая единица со знаком «+». Если порядок перемножения изменить на противоположный — получится третья мнимая единица со знаком «-«. Не напоминает правило векторного перемножения ортов в декартовых координатах? Это оно и есть, то есть мы получаем
Пользуясь этими правилами перемножим два кватерниона
Ого! Не слабо, но мы смело приводим подобные слагаемые
и, ну наверняка вы видите тут до боли знакомые действия над векторами. Пусть у нас будут заданы векторы
тогда каждый кватернион можно представить парой скаляр-вектор
а результат их умножения
Не трудно просто сравнить эту формулу с результатом умножения, которое мы выполнили, при этом считая мнимые единицы ортами декартова базиса. Таким образом, кватернионы включают в себя и векторы трехмерного пространства, и например, кватернионы вида и , будут скалярами, и их произведение эквивалентно произведению скалярных величин
А кватернионы вида и называются векторными кватернионами, и их произведение
дает скалярное, со знаком минус, и векторное произведение составляющих их векторов.
Из-за наличия в результате произведения векторного умножения, операция умножения кватернионов не коммутативна
Ну и надо ли говорить, что обнуляя два последних коэффициента у каждого из кватернионов мы получим произведение комплексных чисел? Думаю не стоит, ибо мы не погружаемся в комплексную область, а если и говорим о комплексных числах, то там где это требуется.
Не стану так же говорить о том, что сложение кватернионов и умножение их на число аналогично соответствующим операциям в комплексной области. А вот о чем надо поговорить, так о сопряжении кватерниона
о связанной с ним операции вычисления нормы
и операции вычисления обратного кватерниона
И ещё одно полезное свойство, касающееся сопряжения произведения кватернионов
Кроме того, норма обратного кватерниона — величина обратная норме исходного
Эти операции имеют непосредственное отношение к тому, для чего в наши дни используют гиперкомплексные числа
2. Кватернион как линейный оператор поворота
Теперь посмотрим на вот такой фокус. Пусть — один кватернион, а — другой кватернион. Докажем небольшую теорему
Преобразование вида
Проверяется это утверждение прямым вычислением
Действительно, норма кватерниона не изменяет при подобном преобразовании. А если кватернион будет векторным кватернионом, то не изменится норма вектора, которым он определяется. То есть описанное преобразование над вектором, не меняет его длины, оно будет ортогональным, или преобразованием поворота! Дело за малым — выяснить, вокруг какой оси и на какой угол происходит поворот, определяемый конкретным кватернионом. Для этого возьмем (нам ведь никто не мешает так сделать) и представим кватернион в виде
Величину, стоящую в скобках называют вензором (не путать с тензором!) кватерниона. Поупражняемся над его векторной частью
Никто не мешает делать нам эквивалентных преобразований, вот мы и делаем их. Теперь введем замену
На каком основании? Да на том, что сумма квадратов этих величин всегда даст единицу, а если это так, то никто не мешает представить данные величины как синус и косинус некоторого угла. Почему угол делим на два? Нам так хочется, потом это нам пригодится, ведь угол можно взять произвольный. Исходя из введенной замены мы можем переписать кватернион в виде
Заметим, что вектор , введенный нами, является единичным, так как
В довершении позволим себе ещё одно допущение — пусть кватернион будет единичным, то есть
Теперь аккуратно выполним ортогональное преобразование над векторным кватернионом
Теперь умножим результат (2) на обратный кватернион
Для того чтобы не загромождать текст «крокодилами» вычислим отдельно скалярную
результата преобразования. В конечном итоге, на основании формул (3) и (4), проведя не сложные тригонометрические упрощения, приходим к выводу, что на выходе получается некоторый вектор
Так это же… формула конечного поворота Родрига! Выходит, что преобразование
которое, с учетом того, что для единичного кватерниона операция вычисления обратного кватерниона эквивалентна сопряжению, можно переписать в виде
эквивалентно повороту вектора вокруг оси, задаваемой ортом на угол . Угол поворота и вектор, вокруг которого происходит вращение можно рассчитать по компонентам кватерниона, исходя из замен, введенных нами выше.
Выводы
Мы убедились, что единичный кватернион, компоненты которого построены по формулам
определяет конечный поворот. Четыре параметра, которые мы привели и есть те самые параметры Родрига-Гамильтона, которые однозначно определяют ориентацию твердого тела в пространстве и не вырождаются при любых параметрах вращения. Например, если мы обнулим угол поворота, то орт оси вращения так же станет равен нулю. При повороте на любой конечный угол мы всегда можем рассчитать положение оси поворота.
Что же, а за окном тем временем рассвело… План данной статьи был несколько иным, и мы ни слова не сказали о тензорах. Да оно и к лучшему, зато мы теперь имеем четкое представление о том, что за хитрые параметры ориентации будем использовать в дальнейшем.
собственный угол
Смотреть что такое «собственный угол» в других словарях:
угол(уголок) — (иноск.) притон, приют Свой уголок (свой простор) всего краше. Ср. Он благословлял судьбу, что отец не терпит таких лишений, как он; что у отца есть хотя весьма скромный, но собственный угол и что обстановка этого угла с наследством. должна… … Большой толково-фразеологический словарь Михельсона
угол — сущ., м., употр. очень часто Морфология: (нет) чего? угла, чему? углу, (вижу) что? угол, чем? углом, о чём? об угле и на углу; мн. что? углы, (нет) чего? углов, чему? углам, (вижу) что? углы, чем? углами, о чём? об углах геометрия 1. Углом… … Толковый словарь Дмитриева
угол — угла, предлож. об угле, в углу, (матем.) в угле; м. 1. Матем. Часть плоскости между двумя прямыми линиями, исходящими из одной точки. Измерение угла. Прямой у. (равный девяноста градусов). Тупой у. (более девяноста градусов). Острый у. (менее… … Энциклопедический словарь
угол — угла/, предлож. об угле/, в углу/, (матем.); в угле/; м. см. тж. уголок 1) а) матем. Часть плоскости между двумя прямыми линиями, исходящими из одной точки. Измерение угла. Прямой у/гол. (равный девяноста градусов) … Словарь многих выражений
Угол — Уголъ. Уголокъ (иноск.) притонъ, пріютъ. Свой уголокъ всего краше ( свой просторъ). Ср. Онъ благословлялъ судьбу, что отецъ не терпитъ такихъ лишеній, какъ онъ; что у отца есть хотя весьма скромный, но собственный уголъ, и что обстановка этого… … Большой толково-фразеологический словарь Михельсона (оригинальная орфография)
уголок — угол (уголок) (иноск.) притон, приют Свой уголок (свой простор) всего краше. Ср. Он благословлял судьбу, что отец не терпит таких лишений, как он; что у отца есть хотя весьма скромный, но собственный угол и что обстановка этого угла с наследством … Большой толково-фразеологический словарь Михельсона
у́гол — угла, предл. об угле, в углу и (мат.) в угле, м. 1. мат. Часть плоскости между двумя прямыми линиями, исходящими из одной точки. Измерение угла. Прямой угол (равный 90°). Тупой угол (более 90°). Острый угол (менее 90°). Дополнительный угол. ||… … Малый академический словарь
Углы Эйлера — Углы Эйлера. Углы Эйлера углы, описывающие поворот абсолютно твердого тела в трёхмерном евклидовом пространстве. В сравнении с углами Эйлера, кватернионы позволяют проще комбинировать вращения, а также избежать проблемы, связанной с… … Википедия
The Punisher (NES, 1990) — The Punisher Обложка версии для NES Разработчик Beam Software[1] Издатель LJN Ltd. Дата выпуска Ноябрь 1990 … Википедия
The Punisher (игра, 1990) — У этого термина существуют и другие значения, см. The Punisher (компьютерная игра). The Punisher Обложка версии для NES Разработчик Beam Software[1] … Википедия
The Punisher (игра — The Punisher (игра, 1990) У этого термина существуют и другие значения, см. The Punisher (компьютерная игра). The Punisher Обложка версии для NES Разработчик Beam Software[ … Википедия
Они также могут представлять ориентацию мобильной системы отсчета в физике или ориентацию общего базиса в трехмерной линейной алгебре. Позже Питер Гатри Тейт и Джордж Брайан представили альтернативные формы, предназначенные для использования в аэронавтике и технике.
СОДЕРЖАНИЕ
Эквивалентность цепных вращений
Углы Эйлера могут быть определены элементарной геометрией или композицией поворотов. Геометрическое определение демонстрирует, что трех составных элементарных вращений (вращений вокруг осей системы координат ) всегда достаточно для достижения любого целевого кадра.
Без учета возможности использования двух различных соглашений для определения осей вращения (внутренней или внешней) существует двенадцать возможных последовательностей осей вращения, разделенных на две группы:
Правильные углы Эйлера
Геометрическое определение
Соглашения по внутреннему вращению
Углы Эйлера можно определить внутренними поворотами. Повернутая рамка XYZ может быть представлена первоначально выровненной по оси xyz перед тем, как претерпеть три элементарных поворота, представленных углами Эйлера. Его последовательные ориентации можно обозначить следующим образом:
Соглашения по внешнему вращению
Знаки, диапазоны и условные обозначения
О диапазонах (с использованием обозначения интервалов ):
Есть шесть возможностей выбора осей вращения для собственных углов Эйлера. Во всех них первая и третья оси вращения совпадают. Шесть возможных последовательностей:
Прецессия, нутация и собственное вращение
Статическое определение подразумевает, что:
Хотя все три движения могут быть представлены оператором вращения с постоянными коэффициентами в некоторой системе отсчета, они не могут быть представлены этими операторами одновременно. При заданной системе отсчета максимум одна из них будет без коэффициентов. Только прецессия может быть выражена в целом в виде матрицы в основе пространства без зависимостей других углов.
Эти движения также ведут себя как карданный подвес. Если мы предположим набор кадров, каждый из которых может перемещаться относительно первого только на один угол, как у подвеса, будет существовать внешний фиксированный кадр, один последний кадр и два кадра посередине, которые называются промежуточными. кадры ». Два в середине работают как два карданных кольца, которые позволяют последней рамке достигать любой ориентации в пространстве.
Углы Тейта – Брайана
Определения
Это подразумевает другое определение линии узлов геометрической конструкции. В случае собственных углов Эйлера он был определен как пересечение двух гомологичных декартовых плоскостей (параллельных, когда углы Эйлера равны нулю; например, xy и XY ). В случае углов Тейта – Брайана он определяется как пересечение двух негомологических плоскостей (перпендикулярных, когда углы Эйлера равны нулю; например, xy и YZ ).
Условные обозначения
Три элементарных поворота могут происходить либо вокруг осей исходной системы координат, которая остается неподвижной ( внешние вращения ), либо вокруг осей вращающейся системы координат, которая меняет свою ориентацию после каждого элементарного вращения ( внутренние вращения ).
Есть шесть возможностей выбора осей вращения для углов Тейта – Брайана. Шесть возможных последовательностей:
Знаки и диапазоны
Соглашение Тейта – Брайана широко используется в инженерии с разными целями. На практике существует несколько соглашений об осях для выбора подвижных и фиксированных осей, и эти соглашения определяют знаки углов. Поэтому приметы нужно изучать в каждом конкретном случае внимательно.
Диапазон углов ψ и φ составляет 2 π радиан. Для θ диапазон охватывает π радиан.
Альтернативные названия
Углы данного кадра
Правильные углы Эйлера
Как и двойная проекция унитарного вектора, Z 2 <\ displaystyle Z_ <2>> 
Углы Тейта – Брайана
Ищем выражения, похожие на предыдущие:
Последние замечания
Обратите внимание, что функции обратного синуса и косинуса дают два возможных значения аргумента. В этом геометрическом описании действительно только одно из решений. Когда углы Эйлера определены как последовательность поворотов, все решения могут быть действительными, но внутри диапазонов углов будет только одно. Это связано с тем, что последовательность поворотов для достижения целевого кадра не уникальна, если диапазоны не определены ранее.
Преобразование в другие представления ориентации
Выражение вращений в 3D как единичные кватернионы вместо матриц имеет некоторые преимущества:
Тем не менее, вычисление матрицы вращения является первым шагом для получения двух других представлений.
Матрица вращения
Любая ориентация может быть достигнута путем составления трех элементарных вращений, начиная с известной стандартной ориентации. Эквивалентно, любая матрица вращения R может быть разложена как произведение трех элементарных матриц вращения. Например:
Для простоты в следующей таблице матричных продуктов используется следующая номенклатура:
Эти табличные результаты доступны во многих учебниках. Для каждого столбца последняя строка представляет собой наиболее часто используемое соглашение.
Чтобы изменить формулы для пассивного вращения (или найти обратное активное вращение), транспонируйте матрицы (затем каждая матрица преобразует начальные координаты вектора, остающегося фиксированным, в координаты того же вектора, измеренного в повернутой системе отсчета; та же ось вращения, та же углов, но теперь вращается система координат, а не вектор).
Характеристики
Геометрическая алгебра
Высшие измерения
Можно определить параметры, аналогичные углам Эйлера, в размерностях больше трех.
Число степеней свободы матрицы вращения всегда меньше квадрата размерности матрицы. То есть не все элементы матрицы вращения полностью независимы. Например, матрица вращения в размерности 2 имеет только одну степень свободы, поскольку все четыре ее элемента зависят от одного угла поворота. Матрица вращения в размерности 3 (которая имеет девять элементов) имеет три степени свободы, соответствующие каждому независимому вращению, например, по трем углам Эйлера или кватерниону с величиной один (единичный).
В SO (4) матрица вращения определяется двумя кватернионами и поэтому является 6-параметрической (три степени свободы для каждого кватерниона). Таким образом, матрицы вращения 4 × 4 имеют 6 из 16 независимых компонентов.
Любой набор из 6 параметров, определяющих матрицу вращения, можно рассматривать как расширение углов Эйлера до размерности 4.
Приложения
Транспортные средства и движущиеся рамы
Угловая скорость твердого тела принимает простую форму с использованием углов Эйлера в движущейся системе отсчета. Кроме того, уравнения твердого тела Эйлера проще, потому что тензор инерции постоянен в этой системе отсчета.
Кристаллографическая текстура
Другие
Системы управления огнем орудия требуют корректировки углов расположения орудий (пеленга и возвышения) для компенсации наклона палубы (тангажа и крена). В традиционных системах стабилизирующий гироскоп с вертикальной осью вращения корректирует наклон палубы и стабилизирует оптические прицелы и антенну радара. Однако стволы орудия указывают в направлении, отличном от линии визирования на цель, чтобы предвидеть движение цели и падение снаряда из-за силы тяжести, среди других факторов. Артиллерийские установки катятся и наклоняются вместе с плоскостью палубы, но также требуют стабилизации. Порядок пушки включает углы, вычисленные по данным вертикального гироскопа, и эти вычисления включают углы Эйлера.
Углы Эйлера также широко используются в квантовой механике углового момента. В квантовой механике явное описание представлений SO (3) очень важно для вычислений, и почти вся работа была проделана с использованием углов Эйлера. На раннем этапе развития квантовой механики, когда физики и химики резко отрицательно отреагировали на абстрактные теоретико-групповые методы (так называемые группенпест ), использование углов Эйлера также было необходимо для фундаментальной теоретической работы.