Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме
Комплексно сопряженные числа
Модуль комплексного числа
Деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме
Изображение комплексных чисел радиус-векторами на координатной плоскости
Аргумент комплексного числа
Тригонометрическая форма записи комплексного числа
Формула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа
Умножение, деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел, записанных в экспоненциальной форме
Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа
Алгебраическая форма записи комплексных чисел
Множеством комплексных чисел называют множество всевозможных пар (x, y) вещественных чисел, на котором определены операции сложения, вычитания и умножения по правилам, описанным чуть ниже.
Тригонометрическая и экспоненциальная формы записи комплексных чисел будут изложены чуть позже.
Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме
Комплексно сопряженные числа
Модуль комплексного числа
Модулем комплексного числа z = x + i y называют вещественное число, обозначаемое | z | и определенное по формуле
Для произвольного комплексного числа z справедливо равенство:
а для произвольных комплексных чисел z1 и z2 справедливы неравенства:
Деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме
Деление комплексного числа z1 = x1 + i y1 на отличное от нуля комплексное число z2 = x2 + i y2 осуществляется по формуле
Используя обозначения модуля комплексного числа и комплексного сопряжения, частное от деления комплексных чисел можно представить в следующем виде:
Деление на нуль запрещено.
Изображение комплексных чисел радиус-векторами координатной плоскости
Рассмотрим плоскость с заданной на ней прямоугольной декартовой системой координат Oxy и напомним, что радиус-вектором на плоскости называют вектор, начало которого совпадает с началом системы координат.
При таком представлении комплексных чисел сумме комплексных чисел соответствует сумма радиус-векторов, а произведению комплексного числа на вещественное число соответствует произведение радиус–вектора на это число.
Аргумент комплексного числа
Считается, что комплексное число нуль аргумента не имеет.
Тогда оказывается справедливым равенство:
(3)
(4)
а аргумент определяется в соответствии со следующей Таблицей 1.
Для того, чтобы не загромождать запись, условимся, не оговаривая этого особо, символом k обозначать в Таблице 1 произвольное целое число.
Таблица 1. – Формулы для определения аргумента числа z = x + i y
Расположение числа z
Знаки x и y
Главное значение аргумента
Аргумент
Примеры
Положительная вещественная полуось
Положительная мнимая полуось
Второй квадрант
Отрицательная вещественная полуось
y z
Положительная вещественная полуось
Знаки x и y
Главное значение аргумента
0
Аргумент
φ = 2kπ
Примеры
Главное значение аргумента
Аргумент
Примеры
Главное значение аргумента
Аргумент
Примеры
Главное значение аргумента
Аргумент
Примеры
x z
Третий квадрант
Знаки x и y
x z
Отрицательная мнимая полуось
Знаки x и y
y z
Четвёртый квадрант
Знаки x и y
Положительная вещественная полуось
Главное значение аргумента:
Расположение числа z :
Главное значение аргумента:
Расположение числа z :
Положительная мнимая полуось
Главное значение аргумента:
Расположение числа z :
Главное значение аргумента:
Расположение числа z :
Отрицательная вещественная полуось
Отрицательная мнимая полуось
x z = x + i y может быть записано в виде
Формула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа
В курсе «Теория функций комплексного переменного», который студенты изучают в высших учебных заведениях, доказывается важная формула, называемая формулой Эйлера :
Из формулы Эйлера (6) и тригонометрической формы записи комплексного числа (5) вытекает, что любое отличное от нуля комплексное число z = x + i y может быть записано в виде
Из формулы (7) вытекают, в частности, следующие равенства:
а из формул (4) и (6) следует, что модуль комплексного числа
Умножение, деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел, записанных в экспоненциальной форме
Экспоненциальная запись комплексного числа очень удобна для выполнения операций умножения, деления и возведения в натуральную степень комплексных чисел.
Действительно, умножение и деление двух произвольных комплексных чисел и записанных в экспоненциальной форме, осуществляется по формулам
Таким образом, при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.
При делении двух комплексных чисел модуль их частного равен частному их модулей, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.
Возведение комплексного числа z = r eiφ в натуральную степень осуществляется по формуле
Другими словами, при возведении комплексного числа в степень, являющуюся натуральным числом, модуль числа возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.
Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа
Пусть — произвольное комплексное число, отличное от нуля.
Для того, чтобы решить уравнение (8), перепишем его в виде
следствием которых являются равенства
(9)
Из формул (9) вытекает, что уравнение (8) имеет n различных корней
Читателю, вероятно, известны на первый взгляд трудные геометрические задачи, которые мгновенно решаются, если заменить одну данную точку другой, симметричной ей относительно прямой. Соображения симметрии очень важны и в алгебре.
В этой статье мы рассмотрим ряд ситуаций, в которых число вида полезно заменить сопряжённым Мы увидим, как этот простой приём замена знака перед радикалом помогает в решении разнообразных задач алгебры и анализа от нехитрых оценок и преобразований до трудных олимпиадных задач и замысловатых придумок составителей конкурсных экзаменов.
Большинство наших примеров может служить первым знакомством с глубокими математическими теориями мы указываем статьи и книги для продолжения знакомства). Среди задач, включённых в статью, две из Задачника «Кванта» и несколько из писем читателей, уже испытавших удовольствие от трюков с радикалами и желающих поделиться им с другими.
Пары сопряжённых чисел появляются вполне естественным образом, когда мы решаем квадратное уравнение, а корень из дискриминанта не извлекается: скажем, уравнение имеет пару «сопряжённых» корней:
К этому мы ещё вернёмся, а начнём с примеров другого рода: займёмся «перебросками».
Если в книжке указан ответ к задаче а у вас получилось не спешите искать ошибку в решении: ответ правильный эти числа равны, потому что
Вот несколько характерных примеров, где полезно перенести «иррациональность» из числителя в знаменатель или наоборот.
Эта сумма мгновенно «сворачивается», если переписать её так:
По выражению из статьи [1] «остаются крайние» (см. также [5]).
2. Доказать, что для любых натуральных m и n
Подобный факт мы использовали недавно при решении трудной задачи
В самом деле, всегда
поскольку число целое и отлично от 0 (равенство невозможно подумайте, почему!). Если бы выполнялось неравенство, противоположное (1), то должно было бы быть и
n ( m + n √ 2 ) n
(
2 n √ 2 +
1
Но из (2) и (3) следует (1). Значит, наше предположение неверно, то есть (1) выполнено.
Оно лишь немного сильнее, чем неравенство (1), поскольку
π
= 0,3183. > 0,3178. =
1
зато выглядит гораздо эффектнее.
Помню как в мою бытность студентом на лекциях по алгебре наш профессор говорил: «Корень из это, примерно, 1,73; корень из 1,41. Поэтому их сумма равна. (следовала пауза, необходимая для сложения этих чисел 3,14. (он поворачивался к аудитории и сразу несколько человек с удовлетворением заключал профессор, выписывая окончательное «равенство»: 🙂 ]
3. Найдите предел последовательности
Преобразуем a n так:
Теперь ясно, что a n возрастает и стремится к
В противоположность предыдущему примеру здесь мы имеем дело с хорошим приближением:
4 (M532). Даны две последовательности и Докажите, что
В разности появляется «тройная иррациональность»; к таким иррациональностям мы ещё вернёмся (см. задачу 8), но пока мы будем рассматривать как одно целое. Заметим, что величина очевидно, заключена между и поскольку Итак, мы уже получили левое неравенство Кроме того, число дающее при делении на 4 в остатке 2, не может быть полным квадратом (проверьте!), поэтому квадрат целого числа не больше из неравенств Теперь осталось оценить разность сверху. Посмотрите, как здесь дважды работает переброска «сопряжённого» числа в знаменатель:
√ 4 n +2 √ n √ n +1 =
2 n + 1 2√ n ( n + 1)
√ 4 n + 2 + √ n + √ n + 1
=
=
1
(√ 4 n + 2 + √ n + √ n + 1 )(2 n + 1 + 2√ n ( n + 1) )
≤
≤
1
(2√ n + √ n + √ n )(2 n + 2 n )
=
1
Заметим, что и эта оценка очень точная. Но убедиться в этом (и вообще исследовать поведение функции с многими радикалами) лучше уже не с помощью алгебраических преобразований, а средствами анализа заменить переменную n на и воспользоваться формулой Тейлора
Мы уже говорили о пользе симметрии в геометрических задачах. Своего рода симметрией в алгебре является замена плюса на минус.
Так, если какое-либо выражение от равно и мы всюду в этом выражении заменим на то естественно ожидать, что новое выражение окажется равным сопряженному числу Мы будем пользоваться таким очевидным частным случаем этого свойства ( a и b рациональны, нет):
5. Доказать, что уравнение
не имеет решений в рациональных числах x, y, z, t.
Можно, конечно, найти отдельно сумму членов левой части, не содержащих (она должна быть равна 2), и отдельно коэффициент при (он должен равняться 1). Но что делать с полученной громоздкой системой неясно. Вместо этого воспользуемся (4) и заменим плюс перед на минус!
Слева стоит неотрицательное число, справа отрицательное.
6. Доказать, что существует бесконечно много пар натуральных чисел, для которых x 2 отличается от 2 y 2
Несколько таких пар с небольшими легко найти подбором: это (1; 1), (3; 2), (7; 5), (рис. 1). Как продолжить этот набор? Можно ли записать общую формулу для этих решений?
Рис. 1. Проходят ли эти гиперболы через бесконечное число узлов клетчатой бумаги?
Найти ответы на эти вопросы нам поможет число Закономерность, позволяющая получать всё новые и новые решения указана в таблице:
n
(1 + √ 2 ) n
x n
y n
x n 2 2 y n 2
(1 √ 2 ) n
1
1 + √ 2
1
1
1 2 = 1
1 √ 2
2
3 + 2√ 2
3
2
9 8 = 1
3 2√ 2
3
7 + 5√ 2
7
5
49 50 = 1
7 5√ 2
4
17 + 12√ 2
17
12
289 288 = 1
17 12√ 2
5
41 + 29√ 2
41
29
1681 1682 = 1
41 29√ 2
.
.
.
.
.
.
Какой будет шестая строчка?
будут давать нужную пару. Доказать это поможет колонка таблицы из сопряжённых чисел (мы снова
Перемножив два последних равенства, получим
и интересующее нас выражение попеременно равно то 1, то Складывая и вычитая эти же два равенства, мы получим явное выражение для x n и y n :
x n =
(1 + √ 2 ) n + (1 √ 2 ) n
2
,
y n =
(1 + √ 2 ) n (1 √ 2 ) n
Можно ли в решении этой задачи про целые числа обойтись без иррациональных чисел и Теперь, зная ответ, мы можем легко выразить через предыдущую пару из ( x n + y n √ 2 )(1 + √ 2 ) вытекает
До этого рекуррентного соотношения можно было, видимо, догадаться по нескольким первым решениям, а потом проверить, что
Рекуррентные соотношения типа (6) возникают не только в теории чисел, но и в разных задачах анализа, теории вероятностей. Вот характерный пример комбинаторной задачи такого типа (она предлагалась на последней международной олимпиаде в Лондоне):
7 (М595). В вершине A правильного восьмиугольника сидит лягушка. Из любой вершины восьмиугольника, кроме вершины E, противоположной A, она может прыгнуть в любую из двух соседних вершин. Попав в E, лягушка останавливается и остаётся там. Найти количество e m различных способов, которыми лягушка может попасть из вершины A в E ровно за m прыжков.
А интересующее нас число e 2 n равно, очевидно,
а) c 1 = 1
б) a 1 = 2
в) a n +1 = 2 a n + 2 c n
г) c n +1 = a n + 2 c n
д) e 2 n = 2 c n 1
Рис. 2. а)
Из A в C за два прыжка можно попасть только одним способом:
б)
Из A в A за два прыжка можно попасть двумя способами:
в)
В A можно попасть из C двумя способами и из A двумя способами:
г)
В C можно попасть из A одним способом и из C двумя:
д)
В E можно попасть из C двумя способами:
a n +1 + c n +1 √ 2 = ( a n + c n √ 2 )(2 + √ 2 )
(8)
и как вы уже, конечно, догадались ещё так:
a n +1 c n +1 √ 2 = ( a n c n √ 2 )(2 √ 2 ).
(9)
Отсюда по индукции, пользуясь (7), получаем:
c n =
(2 + √ 2 ) n (2 √ 2 ) n
а так как получаем окончательно
e 2 n =
(2 + √ 2 ) n 1 (2 √ 2 ) n 1
Задача решена. Неясно только, как в этой задаче (и в предыдущей задаче 6) можно было додуматься до формул, содержащих ведь в задаче речь идёт о целых числах! (Для участников олимпиады и читателей «Кванта» задача 7 была облегчена тем, что в формулировке указывался ответ «Квант», 1979, № 11, М595 ).
Однако «сопряжённые числа» возникли бы совершенно автоматически, если бы мы владели началами линейной алгебры (см. [12]), и применили стандартные правила этой науки к решению уравнений (7). Эти правила предлагают сначала выяснить, какие геометрические прогрессии удовлетворяют данному рекуррентному соотношению. Значения, для которых такие прогрессии существуют, они называются характеристическими значениями или собственными числами определяются из некоторого уравнения (оно тоже называется характеристическим ). Для (7) характеристическое уравнение имеет вид его корни как раз и Зная эти корни, любое решение рекуррентного соотношения мы можем получить как «линейную комбинацию» соответствующих геометрических прогрессий ([11]). «Начальное условие» (в нашем случае определяет нужное нам решение однозначно.
Неудивительно, что даже самые простые рекуррентные целочисленные последовательности, для которых характеристическое уравнение квадратное с целыми коэффициентами (примеры те же (6) и (7) или последовательность Фибоначчи 1, 1, 2, 3, 5, см. [9], [10]), выражаются, как функции номера, с помощью «сопряжённых» квадратичных иррациональностей.
Интересное продолжение этого факта мы увидим в следующей задаче с бо́льшим числом «сопряжённых» иррациональностей.
Конечно, мы здесь можем выразить через ( q n ; r n ; s n ; t n ), пользуясь тем, что
Нетрудно сообразить, каковы будут другие. Рассмотрим вместе с данным числом
ещё три «сопряжённых»:
q n =
λ 1 n + λ 2 n + λ 3 n + λ 4 n
4
,
s n =
λ 1 n + λ 2 n λ 3 n λ 4 n
4√ 3
,
r n =
λ 1 n λ 2 n + λ 3 n λ 4 n
4√ 2
,
t n =
λ 1 n λ 2 n λ 3 n + λ 4 n
Теперь заметим, что Поэтому
1 + (λ 2 /λ 1 ) n + (λ 3 /λ 1 ) n + (λ 4 /λ 1 ) n
·
1
Аналогично найдём, что
Мы говорили выше, что сопряжённые числа возникают часто как корни квадратного уравнения с целыми коэффициентами. В связи с последней задачей возникает такое желание:
9. Написать уравнение с целыми коэффициентами, один из корней которого равен
после преобразований получаем
Именно такое уравнение получилось бы в качестве характеристического, если бы мы применили упомянутую мелким шрифтом в конце предыдущего раздела общую теорию к исследованию линейного преобразования
в предыдущей задаче. Заметим, кроме того, что мы на самом деле получили уравнение наименьшей степени (с целыми коэффициентами) с корнем Попробуйте это доказать!
Мы разобрали несколько примеров, в которых затрагивались пограничные вопросы алгебры, математического анализа и теории чисел. (Каждому направлению, которое мы наметили, можно было бы посвятить более подробную статью в «Кванте»!) В заключение покажем ещё, как можно смотреть на основных героев статьи «сопряжённые числа» с чисто алгебраической точки зрения.
и их «взаимодействие» устроено так же, как во множестве самосовмещений прямоугольника.
Мы закончим эту статью набором задач, в основном продолжающих уже затронутые темы, но требующих иногда и новых соображений, и обещанным списком литературы.
Что больше: или
2.
Докажите, что при всех положительных x
Постройте график функции и докажите, что при
√ 2 = 1 +
1
.
2 +
1
√ 2 + 1
Докажите, что уравнения имеют бесконечное множество решений в целых числах.
6.
Докажите, что функция нечётная, и постройте её график.
7.
а) Докажите, что для любого натурального n
б) Докажите, что последовательность
убывает и стремится к пределу.
8.
а) Докажите, что последовательность сходится, и найдите её предел.
б) Каковы первые 100 десятичных знаков после запятой в записи числа
9.
2 + √ 2 + p
= β
1/2 n
+ β
1/2 n
.
12.
Докажите, что последовательность содержит бесконечно много квадратов целых чисел.
13.
Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, один из корней которого
14.
Составьте уравнение 4-й степени с корнями и решите его, как биквадратное уравнение. Сравнивая ответ с данными корнями, докажите популярные формулы для двойных радикалов:
Алгебраическая форма записи комплексных чисел
и 
записанных в экспоненциальной форме, осуществляется по формулам
— произвольное комплексное число, отличное от нуля.
