Что такое сопряженный сигнал

Что такое сопряженный сигнал

оЕЗБТНПОЙЮЕУЛЙК РТПГЕУУ ФБЛЦЕ НПЦОП ЖПТНБМШОП ТБЪМПЦЙФШ ОБ БНРМЙФХДОХА Й ЖБЪПЧХА УПУФБЧМСАЭЙЕ:

Ч ЛПФПТПН ПВТБЪ жХТШЕ УЧСЪБО У ЖХТШЕ-ПВТБЪПН ЙУИПДОПЗП УЙЗОБМБ ЧЩТБЦЕОЙЕН:

фБЛЙН ПВТБЪПН, РТЕПВТБЪПЧБОЙЕ зЙМШВЕТФБ НПЦЕФ ВЩФШ ПУХЭЕУФЧМЕОП У РПНПЭША ЙДЕБМШОПЗП ЖБЪПЧТБЭБФЕМС, ПУФБЧМСАЭЕЗП НПДХМШ ОЕЙЪНЕООЩН Й УДЧЙЗБАЭЕЗП ЖБЪХ БТЗХНЕОФБ ОБ ОБ РПМПЦЙФЕМШОЩИ ЮБУФПФБИ Й ОБ ОБ ПФТЙГБФЕМШОЩИ ЮБУФПФБИ. еУМЙ ПУХЭЕУФЧМСФШ ПВТБВПФЛХ ЙОЖПТНБГЙЙ Ч ТЕЦЙНЕ ТЕБМШОПЗП ЧТЕНЕОЙ, ФП ФБЛХА ПРЕТБГЙА НПЦОП ТЕБМЙЪПЧБФШ ФПМШЛП РТЙВМЙЦЕООП, ОП У РТПЙЪЧПМШОП ЧЩУПЛПК ФПЮОПУФША ДМС РТПГЕУУБ, ЙЪЧЕУФОПЗП ОБ ЧУЕК ЧТЕНЕООПК ПУЙ. чЩТБЦЕОЙС (2.20)-(2.21) РТЙНЕОЙНЩ ЛБЛ ДМС РЕТЙПДЙЮЕУЛЙИ ЖХОЛГЙК, ЛПФПТЩЕ ЪБРЙУЩЧБАФУС ЮЕТЕЪ ТСДЩ жХТШЕ, ФБЛ Й ДМС РТПГЕУУПЧ, РТЕДУФБЧМСЕНЩИ ЙОФЕЗТБМПН жХТШЕ.

: тЙУ. 17. тЕБМЙЪБГЙЙ ( Б, З ), НЗОПЧЕООЩЕ БНРМЙФХДЩ ( В, Д ) Й НЗОПЧЕООЩЕ ЖБЪЩ ( Ч, Е ) БНРМЙФХДОП- Й ЮБУФПФОП-НПДХМЙТПЧБООЩИ УЙЗОБМПЧ, УППФЧЕФУФЧЕООП.
: тЙУ. 18. тЕБМЙЪБГЙЙ ( Б ), НЗОПЧЕООЩЕ БНРМЙФХДЩ ( В ) Й НЗОПЧЕООЩЕ ЖБЪЩ ( Ч ) РЕТЧПК (УРМПЫОБС МЙОЙС) Й ЧФПТПК (РХОЛФЙТОБС МЙОЙС) ЧЪБЙНПУЧСЪБООЩИ ИБПФЙЮЕУЛЙИ УЙУФЕН. тБЪОПУФЙ НЕЦДХ ТЕБМЙЪБГЙСНЙ ( З ), НЗОПЧЕООЩНЙ БНРМЙФХДБНЙ ( Д ) Й НЗОПЧЕООЩНЙ ЖБЪБНЙ ( Е ) ИБПФЙЮЕУЛЙИ УЙУФЕН.

— ПРТЕДЕМЙФШ У РПНПЭША БМЗПТЙФНБ ЛПНРМЕЛУОПЗП врж р1 РТЕПВТБЪПЧБОЙЕ жХТШЕ БОБМЙЪЙТХЕНПЗП ЧТЕНЕООПЗП ТСДБ;

— ЧЩЮЙУМЙФШ ЖХТШЕ-ПВТБЪ БОБМЙФЙЮЕУЛПЗП УЙЗОБМБ У РПНПЭША ЧЩТБЦЕОЙС (2.23);

— ПУХЭЕУФЧЙФШ ПВТБФОПЕ РТЕПВТБЪПЧБОЙЕ жХТШЕ ПФ У РПНПЭША ЛПНРМЕЛУОПЗП врж Й РПМХЮЙФШ БОБМЙФЙЮЕУЛЙК УЙЗОБМ ;

рТЕПВТБЪПЧБОЙЕ зЙМШВЕТФБ ЧТЕНЕООПЗП ТСДБ НПЦОП ПУХЭЕУФЧЙФШ ФБЛЦЕ У РПНПЭША ЧЩТБЦЕОЙС (2.20), ЪБНЕОСС ЙОФЕЗТЙТПЧБОЙЕ ОБ УХННЙТПЧБОЙЕ:

рТЕПВТБЪПЧБОЙЕ зЙМШВЕТФБ ЫЙТПЛП ЙУРПМШЪХЕФУС ДМС БОБМЙЪБ ЧТЕНЕООЩИ ТСДПЧ, ПУПВЕООП УФПИБУФЙЮЕУЛПЗП РТПЙУИПЦДЕОЙС, Й ДМС ПРТЕДЕМЕОЙС УФЕРЕОЙ УЙОИТПООПУФЙ НЕЦДХ ЧТЕНЕООЩНЙ ТСДБНЙ, ЛПФПТЩЕ РПТПЦДБАФУС УФПИБУФЙЮЕУЛЙНЙ Й ИБПФЙЮЕУЛЙНЙ УЙУФЕНБНЙ. ч РПУМЕДОЕН УМХЮБЕ ТСДЩ ТБУЛМБДЩЧБАФУС ОБ БНРМЙФХДОХА Й ЖБЪПЧХА УПУФБЧМСАЭЙЕ, ЛПФПТЩЕ БОБМЙЪЙТХАФУС ОЕЪБЧЙУЙНП. ьФП РПЪЧПМСЕФ ПВОБТХЦЙФШ ЧЪБЙНПУЧСЪШ УЙЗОБМПЧ, РТПСЧМСАЭХАУС Ч УЙОИТПООПУФЙ ДЙОБНЙЛЙ ЖБЪ, ДБЦЕ ФПЗДБ, ЛПЗДБ БНРМЙФХДОБС ДЙОБНЙЛБ ПУФБЕФУС ОЕУЧСЪБООПК Й ДТХЗЙЕ НЕФПДЩ ПВОБТХЦЕОЙС УЧСЪБООПУФЙ РТПГЕУУПЧ СЧМСАФУС ОЕРТЙЗПДОЩНЙ.

Источник

Что такое сопряженный сигнал

3.10. Аналитический сигнал

В электротехнике принято представлять гармоническое колебание (ток, напряжение) в форме

где — комплексная амплитуда.

Часто символы Re или Im опускают и пишут просто

подразумевая действительную или мнимую часть этого выражения.

В современной радиотехнике представление колебаний в комплексной форме получило дальнейшее развитие и распространено на негармонические колебания.

Если задан физический сигнал в виде действительной функции а(t), то соответствующий ему комплексный сигнал представляется в форме

Определенная таким образом комплексная функция z(t) называется комплексным или аналитическим сигналом, соответствующим физическому сигналу а(t). Заметим, что и в выражении (3.85) мнимая часть комплексной функции является функцией, сопряженной по Гильберту действительной части.

При представлении а(t) и а₁(t) в форме выражений (3.70), (3.71) аналитический сигнал можно записать следующим образом:

Это свойство комплексной огибающей, позволяющее при анализе узкополосных сигналов исключать из рассмотрения частоту ω₀, придает важное значение понятию «аналитический сигнал».

Рассмотрим основные свойства аналитического сигнала и комплексной огибающей.

1. Произведение аналитического сигнала z_a(t) на сопряженный ему сигнал z*_a(t) равно квадрату огибающей исходного (физического) сигнала a(t).

Таким образом, модуль аналитического сигнала z_a(t) равен просто огибающей сигнала

2. Спектр аналитического сигнала содержит только положительные частоты.

вытекает, что спектральная плотность Z(ω) аналитического сигнала z_a(t) определяется суммой

Но согласно (3.68), (3.69) при а при Следовательно,

Так, например, если узкополосному сигналу а(t) соответствует спектральная плотность S_a(ω), модуль которой изображен на рис. 3.25 штриховой линией, то аналитическому сигналу z_a(t) = а(t) + ia₁(t) соответствуют спектральная плотность Z_a(ω), модуль которой изображен на том же рисунке сплошной линией.

Рис. 3.25. Соотношение между спектрами физического и аналитического сигналов

Интеграл Фурье для аналитического сигнала z_a(t) принимает * следующий вид:

3. Спектральная плотность комплексной огибающей А(t) совпадает со смещенной на величину ω₀ влево спектральной плотностью аналитического сигнала z_a(t).

Основываясь на общей формуле (2.48), можем написать

Это соотношение является обобщением формулы (2.58) на случай комплексной функции времени А(t), умножаемой на е iω₀t (вместо cos ω₀t в § 2.7, п. 3). Выражение (3.9), выведенное для вещественной огибающей А(t) (при чисто амплитудной модуляции), является частным случаем общего выражения (3.92).

Соотношение между спектрами S_A(Ω) и Z_а(ω₀ + Ω) иллюстрируется рис. 3.26.

Рис. 3.26. Соотношение между спектрами аналитического сигнала и комплексной огибающей исходного сигнала

Особо следует отметить, что спектр S_A(Ω) комплексной огибающей А(t) не обязательно симметричен относительно нулевой частоты (см. рис. 3.26). Если спектр S_a(ω) физического колебания а(t) несимметричен относительно ω = ω₀, как это может иметь место, например, при смешанной амплитудно-угловой модуляции (см. § 3.8), то и функция Z_a(ω) = 2S_a(ω), ω > 0, несимметрична; после сдвига Z_a(ω) на величину ω₀ влево спектр комплексной огибающей Z_a(ω) будет несимметричен относительно частоты Ω = 0. Поскольку при таком сдвиге функция S_A(Ω) отлична от нуля в области частот Ω

Источник

Аналитические сигналы: огибающая, мгновенная фаза и мгновенная частота сигнала

Общие сведения

Пусть имеется гармоническое колебание

где Sm, ω0, φ — соответственно амплитуда, частота и начальная фаза сигнала; ψ(t) — текущая фаза сигнала.

Этот же сигнал можно представить в виде

где — сопряженный сигнал, полученный из исходного сигнала поворотом его фазы на −π/2.

На комплексной плоскости такой сигнал S изображается в виде вектора, как показано на рис. 2.14.

Негармонические сигналы подобно сигналу (2.24) можно представить в виде процесса с изменяющейся амплитудой (огибающей) Sm(t) и полной фазой ψ(t), т.е. S(t) = Sm(t) cosψ(t). Однако такое представление в общем случае является неоднозначным.

Действительно, пусть задан сигнал S(t). Выбрав для него произвольную функцию S1(t) и считая (Формула), а (Формула), получим (Формула).

Выбрав затем другую функцию S2(t), можно получить другой набор «амплитуд» и фаз: (Формула) и т.д..

Рис. 2.14. Геометрическое представление комплексного сигнала

Для того чтобы представление было однозначным, как в случае гармонического сигнала, сопряженный сигнал должен быть получен из исходного сигнала посредством поворота всех его гармонических составляющих на −π/2.

Рассмотрим теперь сигнал без постоянной составляющей, представленный в виде ряда
Определим для него сопряженный сигнал из исходного сигнала посредством поворота всех его составляющих на −π/2:

Тогда комплексный сигнал будет иметь вид
(25)

а его реальная часть
Отметим, что сопряженный сигнал (Формула) можно получить из исходного, не прибегая к спектральным представлениям, а используя интегральное преобразование Гильберта:

Исходный сигнал S(t) получим из сопряженного сигнала с помощью обратного преобразования Гильберта:
Функция, называемая ядром преобразования Гильберта, имеет разрыв при t = τ, поэтому интегралы следует понимать в смысле их главного значения, например:

Часто применяется символическая запись преобразований Гильберта:

Нетрудно увидеть, что прямое преобразование Гильберта эквивалентно прохождению сигнала S(t) через фильтр с импульсной характеристикой (Формула), а обратное преобразование Гильберта эквивалентно прохождению сопряженного сигнала (Формула) через фильтр, импульсная характеристика которого (Формула).

Действительно, можно записать
(Формула).

Подставив в это выражение импульсную характеристику вида (Формула), получим формулу (2.26).

Дадим теперь определение рассмотренного сигнала.

Комплексный сигнал, полученный на основе преобразования Гильберта, называется «аналитическим» и записывается в виде выражения (2.25), где исходный сигнал есть реальная часть аналитического сигнала. Заметим, что выражение (2.25), в котором S(t) и (Формула) связаны между собой преобразованиями Гильберта, во-первых, позволяет получить однозначное представление вида (2.24), а во-вторых, обусловливает ряд важных свойств сигнала (Формула), из-за которых он получил название «аналитический».

Приведем (без доказательства) лишь важнейшие свойства аналитического сигнала, используемые в теории связи.

Нетрудно увидеть, что функция (Формула) является нечетной функцией аргумента τ, а значит, интеграл от нее в симметричных пределах (−∞, ∞) будет равен нулю.

4. Преобразование Гильберта от гармонических сигналов имеет вид
где.

Очевидно, что для положительных частот
H[cosωt] = sinωt;
H[sinωt] = −cosωt.

Доказательство каждого из указанных свойств следует из анализа сведений, приведенных в данном подразделе.

5. Сдвиг фаз всех составляющих действительного сигнала на угол φ соответствует умножению аналитического сигнала на (Формула), т.е. аналитический сигнал после поворота фаз, откуда легко вычислить и действительный сигнал:

Рис. 2.15. Пояснение свойств преобразований Гильберта:
а — исходный сигнал; б — ядро преобразования; в — сопряженный сигнал

Использование понятия аналитического сигнала для определения формы действительного сигнала после поворота фаз всех его спектральных составляющих на один и тот же угол φ существенно облегчает задачу нахождения действительного сигнала. В противном случае для этого было бы необходимо с помощью преобразования Фурье найти комплексную спектральную плотность, произвести смещение фаз и затем проделать обратное преобразование Фурье.

6. Сдвиг частот всех составляющих сигнала на некоторую величину f0 при f > 0 или f

Без использования понятия аналитического сигнала решить эту задачу также было бы весьма сложно.

7. В спектре аналитического сигнала содержатся только положительные частоты. Спектр, полученный посредством преобразования Фурье, имеет вид

Аналогично в спектре комплексно-сопряженного аналитического сигнала

содержатся только отрицательные частоты:

Данные соотношения вытекают из формулы Эйлера.

8. Произведение аналитического сигнала (Формула) и сопряженного с ним аналитического сигнала (Формула) равно квадрату огибающей исходного действительного сигнала S(t):
Таким образом, модуль аналитического сигнала (Формула) равен огибающей сигнала, т.е. (Формула).

Огибающая, мгновенная фаза и мгновенная частота сигнала

Комплексный сигнал, как известно, можно представить в экспоненциальной форме:
откуда следует, что

Решая два последних уравнения относительно Sm(t) и ψ(t), найдем

Величина Sm(t) в этих выражениях называется мгновенной амплитудой, или огибающей, сигнала, а величина ψ(t) — мгновенной фазой сигнала. Производная от мгновенной фазы во времени (если она существует), называется мгновенной круговой частотой сигнала:

Из формулы (2.31) следует, что Sm(t) ≥ S(t), причем равенство имеет место при тех значениях t, для которых S(t) > 0. Легко убедиться, что в этих точках производная огибающей совпадает с производной сигнала, т.е. Sm(t) = S(t) (откуда и название — огибающая сигнала).

Узкополосные сигналы

В радиотехнике и ТЭС широко применяются так называемые узкополосные сигналы, которые являются полосовыми со спектром, показанным на рис. 2.16, но ширина их спектра значительно меньше средней частоты, т.е. (Формула), где (Формула), а (Формула)— соответственно средняя, максимальная и минимальная частоты спектра сигнала.

Рис. 2.16. Спектр полосового сигнала

Для узкополосных сигналов (и помех) представления (2.28) и (2.29) особенно удобны, так как в этом случае огибающая и мгновенная частота оказываются медленно изменяющимися функциями по сравнению с cosψ(t) и, следовательно, по сравнению с самим сигналом S(t). При этом формулу (2.29) удобно записать следующим образом:
причем

Возможно и преобразование соотношения (2.28) вида

Здесь
представляет собой функцию времени, называемую комплексной огибающей сигнала S(t). Модуль этой функции является обычной огибающей, а аргумент — мгновенной начальной фазой θ(t).

Комплексную огибающую можно также представить в виде

Здесь действительные функции времени (Формула) и (Формула) являются квадратурными составляющими комплексной огибающей или низкочастотными квадратурными составляющими. С их помощью сигнал можно представить в виде суммы:
что следует из выражений (2.34) и (2.37).

Учитывая «медленность» изменения функций (Формула) и (Формула) по сравнению с (Формула) и (Формула) из выражений (2.38) можно получить сопряженный сигнал:

Подставив выражения (2.38) и (2.39) в формулу (2.31), нетрудно убедиться, что Sm(t) — огибающая сигнала.

Схема, изображенная на рис. 2.17, иллюстрирует процесс формирования низкочастотных квадратурных составляющих сигнала.

Обратим особое внимание на следующее: нельзя путать понятия спектральных составляющих и мгновенной частоты, так как в первом случае частоты, входящие в спектр, не зависят от времени, а во втором — мгновенная частота есть функция времени, которая определяет скорость изменения фазы. Спектр сигнала можно измерить с помощью прибора — спектроанализатора, который выполняет приближенное преобразование Фурье. Мгновенная частота измеряется частотным детектором, работа которого будет рассмотрена далее, но по существу он реализует выражение (2.33).

Рис. 2.17. Схема формирования квадратурных составляющих узкополосного сигнала

Источник

Аналитический сигнал: понятие, формулы определения и применение

Представления

Вам будет интересно: Кислая среда и щелочная среда: определение и свойства. Ph-тест

Отрицательные компоненты

Вам будет интересно: Какие свойства воздуха использует костер? Или все-таки люди, его разжигая?

Мгновенная амплитуда, мгновенная фаза и частота в некоторых приложениях используются для измерения и обнаружения локальных особенностей С. Другое применение аналитического представления относится к демодуляции модулированных сигналов. Полярные координаты удобно разделяют эффекты амплитудной модуляции и фазовой (или частотной) модуляции и эффективно демодулируют определенные виды.

Тогда простой фильтр нижних частот с реальными коэффициентами может обрезать интересующую часть. Другим мотивом является снижение максимальной частоты, что снижает минимальную частоту для выборки без псевдонимов. Сдвиг частоты не подрывает математическую пригодность представления. Таким образом, в этом смысле преобразованный с понижением все еще является аналитическим. Однако восстановление вещественного представления больше не является простым делом простого извлечения реального компонента. Может потребоваться преобразование с повышением частоты, и, если сигнал дискретизирован (дискретное время), может также потребоваться интерполяция (повышающая дискретизацию), чтобы избежать наложения.

Переменные

Концепция четко определена для феноменов одной переменной, которая обычно является временной. Эта временность смущает многих начинающих математиков. Для двух или более переменных аналитический С может быть определен по-разному, и два подхода представлены ниже.

Преобразование сигналов

Вы можете преобразовать вещественный сигнал в аналитический, добавив мнимый (Q) компонент, который является преобразованием Гильберта реального компонента.

Формулы определения

Последние достижения

В течение последних нескольких десятилетий появился интерес к исследованию сигнала во многих измерениях, мотивированных проблемами, возникающими в областях, от обработки изображения / видео до многомерных колебательных процессов в физике, таких как сейсмические, электромагнитные и гравитационные волны. В основном было принято, что для правильного обобщения аналитического С (качественного анализа) на случай нескольких измерений следует полагаться на алгебраическую конструкцию, которая расширяет обычные комплексные числа удобным образом. Такие конструкции обычно называют гиперкомплексными числами [SKE].

Наконец, следует иметь возможность построить гиперкомплексный аналитический сигнал fh: Rd → S, где представлена ​​некоторая общая гиперкомплексная алгебраическая система, которая естественным образом расширяет все требуемые свойства для получения мгновенной амплитуды и фазы.

Изучение

Ряд работ посвящен различным вопросам, связанным с правильным выбором гиперкомплексной системы счисления, определение гиперкомплексного преобразования Фурье и дробных преобразований Гильберта для изучения мгновенной амплитуды и фазы. В основном эти работы были основаны на свойствах различных пространств, таких как Cd, кватернионы, алгебры Клирона и конструкции Кэли-Диксона.

Далее мы перечислим лишь некоторые из работ, посвященных исследованию сигнала во многих измерениях. Насколько нам известно, первые работы по многомерному методу были получены в начале 1990-х годов. К ним можно отнести работу Элл [Ell92] по гиперкомплексным преобразованиям; работу Бюлова по обобщению метода аналитической реакции (аналитического сигнала) на многие измерения [BS01] и работу Фельсберга и Соммера о моногенных сигналах.

Дальнейшие перспективы

Ожидается, что гиперкомплексный сигнал расширит все полезные свойства, которые мы имеем в одномерном случае. Прежде всего мы должны быть в состоянии извлечь и обобщить мгновенную амплитуду и фазу к измерениям. Во-вторых, спектр Фурье сложного аналитического сигнала поддерживается только на положительных частотах, поэтому мы ожидаем, что гиперкомплексное преобразование Фурье будет иметь свой гиперзначный спектр, который будет поддерживаться только в некотором положительном квадранте гиперкомплексного пространства. Потому это очень важно.

В-третьих, сопряженные части сложного понятия аналитического сигнала связаны с преобразованием Гильберта, и мы можем ожидать, что сопряженные компоненты в гиперкомплексном пространстве должны быть связаны также некоторой комбинацией преобразований Гильберта. И, наконец, действительно, гиперкомплексный сигнал должен быть определен как продолжение некоторой гиперкомплексной голоморфной функции нескольких гиперкомплексных переменных, определенных на границе некоторой формы в гиперкомплексном пространстве.

Мы решаем эти проблемы в последовательном порядке. Прежде всего, мы начнем с рассмотрения интегральной формулы Фурье и покажем, что преобразование Гильберта в 1-D связано с модифицированной интегральной формулой Фурье. Этот факт позволяет нам определять мгновенную амплитуду, фазу и частоту без какой-либо ссылки на гиперкомплексные системы счисления и голоморфные функции.

Модифицирование интегралов

Мы продолжаем, обобщая модифицированную формулу интеграла Фурье на несколько измерений, и определяем все необходимые сдвинутые по фазе компоненты, которые мы можем собрать в мгновенную амплитуду и фазу. Во-вторых, мы обратимся к вопросу о существовании голоморфных функций нескольких гиперкомплексных переменных. После работы [Sch93] выясняется, что коммутативная и ассоциативная алгебра гиперкомплекса, порожденная набором эллиптических (e2i = −1) генераторов, является подходящим пространством, для того чтобы гиперкомплексный аналитический сигнал мог жить, мы называем такую ​​гиперкомплексную алгебру пространством Шеферса и обозначаем ее Sd.

Поэтому гиперкомплекс аналитических сигналов определяется как голоморфная функция на границе полидиска / верхней половины плоскости в некотором гиперкомплексном пространстве, которое мы называем общим пространством Шеферса, и обозначаем через Sd. Затем мы наблюдаем справедливость интегральной формулы Коши для функций Sd → Sd, которые вычисляются по гиперповерхности внутри полидиска в Sd и выводят соответствующие дробные преобразования Гильберта, которые связывают гиперкомплексные сопряженные компоненты. Наконец, оказывается, что преобразование Фурье со значениями в пространстве Шеферса поддерживается только на неотрицательных частотах. Благодаря этой статье вы узнали, что является аналитическим сигналом.

Источник