Что такое сравнить в математике
Сравнение, в математике
Полезное
Смотреть что такое «Сравнение, в математике» в других словарях:
Сравнение в математике — Говорят, что a сравнимо с b по модулю n, если a b делится на n. Это обозначают так: a ≡ b (mod n). С. имеют много сходства с равенствами. Если f(x) целая функция с целыми коэффициентами и а ≡ b (mod n), то f(a) ≡ f(b) (mod n). Решить С. f(x) ≡ 0… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
Сравнение — Сравнение многозначный термин. Сравнение процесс количественного или качественного сопоставления разных свойств (сходств, отличий, преимуществ и недостатков) двух объектов. Сравнение выяснение, какой из двух объектов лучше в… … Википедия
СРАВНЕНИЕ — познават. операция, лежащая в основе суждений о сходстве или различии объектов; с помощью С. выявляются количеств. и качеств. характеристики предметов, классифицируется, упорядочивается и оценивается содержание бытия и познания. Сравнить… … Философская энциклопедия
Сравнение по модулю натурального числа — В теории чисел сравнение[уточнить] по модулю натурального числа n задаваемое означенным числом отношение эквивалентности на множестве целых чисел, связанное с делимостью на него. Факторпространство по этому отношению называется «кольцом… … Википедия
Сравнение по модулю — Сравнение[1] по модулю натурального числа n в теории чисел отношение эквивалентности на кольце целых чисел, связанное с делимостью на n. Факторкольцо по этому отношению называется кольцом вычетов. Совокупность соответствующих тождеств и… … Википедия
Сравнение (философ.) — Сравнение, акт мышления, посредством которого классифицируется, упорядочивается и оценивается содержание бытия и познания; в С. мир постигается как «связное разнообразие». Акт С. состоит в попарном сопоставлении объектов с целью выявления их… … Большая советская энциклопедия
Сравнение — I Сравнение (математическое) соотношение между двумя целыми числами а и b, означающее, что разность а b этих чисел делится на заданное целое число т, называемое модулем С.; пишется а ≡ b (mod т). Например, 2 ≡ 8 (mod 3), т. к. 2 8 делится … Большая советская энциклопедия
Характер (в математике) — Характер в математике, функция специального вида, применяемая в чисел теории и теории групп. В теории чисел Х. называют функцию c(n) ¹ 0, определённую для всех целых чисел n и такую, что: 1) c(nm) = c(n)c(m) для всех n и m, 2) существует… … Большая советская энциклопедия
Класс вычетов — Сравнение по модулю натурального числа отношение эквивалентности на множестве целых чисел, связанное с делимостью. Оно даёт возможность работать с системой чисел, более простой чем целые числа, в которой значения «зацикливаются» (повторяются)… … Википедия
Классы вычетов — Сравнение по модулю натурального числа отношение эквивалентности на множестве целых чисел, связанное с делимостью. Оно даёт возможность работать с системой чисел, более простой чем целые числа, в которой значения «зацикливаются» (повторяются)… … Википедия
Сравнение натуральных чисел.
Определение, что такое сравнение натуральных чисел.
Сравнение в жизни мы используем постоянно. Например, длинная дорога или короткая, высокий или низкий человек, много игрушек или мало, большая емкость или маленькая. Так, что же такое сравнение натуральных чисел?
Сравнение натуральных чисел – это определение какое из натуральных чисел больше, а какое меньше.
Способы сравнения натуральных чисел.
1) Всегда числа, стоящие справа в натуральном ряду больше чисел, стоящих слева.
Например, сравним числа 7 и 9. Число 9 стоит правее числа 7, следовательно, число 9 больше 7.
Единица, является самым маленьким натуральным числом.
Любое натуральное число больше нуля.
2) Всегда больше то натуральное число, у которого разрядов больше.
Сравним два числа 45 и 190. Сразу понятно, что число 190 больше числа 45. Мы сделали такой вывод потому, что число 190 является трехзначным числом, а 45 – двухзначным числом. У числа 190 есть разряд сотен, десятков и единиц, а у числа 45 только разряд десятков и единиц.
3) Если количество разрядов одинаково, то мы будем сравнивать величины цифр разрядов, начиная с высшего разряда (слева направо).
Например, сравним числа 478 и 399. Оба числа являются трехзначными, поэтому подробно рассмотрим высший разряд сотен. У первого числа 478 разряд сотен равен 4, а у второго числа 399 разряд сотен равен 3. Следовательно, первое число 478 больше второго числа 399, потому что 4 больше 3.
Если высшие разряды одинаковые мы сравниваем следующий меньший разряд цифр.
Сравним числа 7890 и 7860. Начинаем сравнивать высший разряд единиц тысяч он у обоих чисел равен 7. Следующий разряд сотен, также равен у обоих чисел 8. А вот разряд десятков различен. У первого числа 7890 разряд десятков равен 9, а у второго числа 7860 равен 6. Далее делаем вывод, первое число 7890 больше 7860, потому что разряд десятков у первого числа больше чем у второго. Проще сказать, 9 больше 6.
4) Если при сравнении все цифры разрядов двух натуральных чисел одинаковы, значит числа равны.
Например, сравним числа 4890765 и 4890765. Видно, что у обоих чисел все цифры разрядов одинаковы, следовательно, они равны.
Неравенство и знаки неравенства.
Чтобы не писать словами больше, меньше или равно в математике придумали обозначения. Больше (>), меньше ( 2. Или 6 меньше 10, мы запишем как 6 2, 6 1 в) 7=7
Ответ: а) пять меньше двенадцати б) шесть больше одного в) семь равено семи.
Пример №2:
Запишите неравенство: а) 4 меньше 8 б) 10 больше 9 в) 11 равно 11.
Ответ: а) 4 9 в) 11=11.
Пример №3:
Верны ли неравенства? Проверьте знаки сравнения: а) 5 23 г) 5=55
Ответ: а) верно б) неверно в) неверно г) неверно.
Посмотрите на рисунок и составьте неравенство.
Ответ: 10>2 или 2 Category: 5 класс, Натуральные числа Leave a comment
Сравнение натуральных чисел
Сравнить два числа — это значит определить, равны они или нет, если нет, то определить, какое из них больше, а какое — меньше.
Равные и неравные натуральные числа
Если записи двух натуральных чисел одинаковы, то говорят, что эти числа равны между собой. Числа, которые равны, называются равными. Если записи двух натуральных чисел отличаются, то говорят, что эти числа не равны. Числа, которые не равны, называются неравными.
Пример. Натуральное число 34 равно числу 34 (их записи одинаковы), а натуральные числа 63 и 67 не равны (их записи различны). Следовательно числа 34 и 34 — равные, а 63 и 67 — неравные.
Равенства и неравенства
Для записи результата сравнения чисел используются следующие знаки:
Запись, которая состоит из математических выражений, между которыми ставится знак = называется равенством.
2 + 3 = 5 — равенство.
2 + 2 = 1 + 1 + 2 — равенство (подобные записи представляют собой равенство двух числовых выражений, и означают равенство значений этих выражений).
Равенства могут быть как верными (например, 5 = 5 — верное равенство), так и неверными (например, 11 = 14 — неверное равенство).
Знаки > и должны быть обращены остриём к меньшему числу.
Запись, которая состоит из математических выражений, между которыми ставится знак > или называется неравенством.
2 8 — неверное неравенство).
Правила чтения равенств и неравенств
Равенства и неравенства читаются слева направо. Левая часть равенства читается в именительном падеже, а правая — в дательном.
Пример. 7 = 7 — семь равно семи.
Левая часть неравенства читается в именительном падеже, а правая — в родительном.
Пример. 11 > 9 — одиннадцать больше девяти, 3 Пример. Сравним числа 1 и 3, 7 и 4. Запишем все однозначные натуральные числа в одной строке в следующем порядке:
Число 1 меньше числа 3 (1 4), так как в натуральном ряду число 7 находится правее числа 4.
Для применения правил сравнения чисел по их десятичной записи необходимо принять одну условность: будем считать, что число 0 меньше любого натурального числа, и что нуль равен нулю.
Правила сравнения натуральных чисел по их десятичной записи:
Если записи сравниваемых чисел состоят из одинакового количества цифр, то числа сравниваются поразрядно слева направо. Большим будет считаться то число, у которого первая (слева направо) из неодинаковых цифр больше.
Когда говорят, что цифры равны (или одна цифра больше другой), то имеют ввиду, что соответствующие им числа равны (или одно число больше другого).
Пример. Сравним натуральные числа 4026 и 4019. Для удобства сравнения можно записать их одно под другим:
Сначала сравниваем значения разряда тысяч. Получаем равенство 4 = 4, поэтому переходим к сравнению значений следующего разряда. Опять получаем равенство 0 = 0, переходим к сравнению значений разряда десятков. Теперь имеем неравенство 2 > 1, из которого делаем вывод, что число 4026 больше числа 4019 (4026 > 4019), потому что у первого числа, цифра разряда десятков (2) больше, чем цифра разряда десятков (1) у второго числа.
Если количество цифр в записи сравниваемых чисел разное, то большим будет считаться то число, у которого количество цифр больше.
Пример. Сравним натуральные числа 347 503 и 34 503. Для удобства сравнения можно записать их одно под другим:
Записав числа одно под другим, можно наглядно заметить, что первое число имеет большее количество цифр, чем второе, следовательно 347 503 > 34 503.
Два натуральных числа равны, если у них одинаковое количество цифр и цифры одинаковых разрядов равны.
Пример. Сравним числа 38 526 734 и 38 526 734. Для удобства сравнения можно записать их одно под другим:
38 526 734
38 526 734
Записи данных чисел одинаковы (количество цифр и цифры одинаковых разрядов равны), следовательно эти числа равны.
Двойные неравенства, тройные неравенства и т. д.
Когда нужно записать, что одно число больше другого, но меньше третьего, часто используют двойные неравенства.
В виде двойного неравенства можно записывать результат сравнения трёх натуральных чисел.
Пример. Допустим, нужно сравнить три натуральных числа 11, 34 и 8. Сравнивая данные числа между собой, получим три неравенства 11 8, которые можно записать как двойное неравенство:
Сравнение в математике
Перечислим несколько теорем, относящихся к С.
a n— 1 ≡ 1 (mod n ) (теорема Фермата).
Если n простое число, то
1.2.3. ( n— 1) ≡ — 1 (mod n );
если же n — составное, то 1.2.3. ( n— 1)+1 не делится на n (теорема Вильсона). С. второй степени x 2 ≡ q (mod p ) при простом модуле возможно и имеет два решения, если q ( p —1)/2 ≡ 1 (mod p ); С. невозможно, если q ( p —1)/2 ≡ —1 (mod p ).
Эти два случая различаются при помощи особого вычисления, предложенного Лежандром и усовершенствованного Якоби. Вычисление выполняется очень быстро даже для больших значений p и q.
С. x m ≡ q (mod p ) при простом модуле возможно и имеет d решений, если q ( p —1)/ d ≡ 1 (mod p ). Здесь d наибольший делитель чисел m и p— 1.
В «Теории С.» П. Л. Чебышева приложена таблица указателей для всех простых чисел меньших 200. В сочинении C. G. J. Jacobi, «Canon Arithmeticus», эти таблицы доведены до 1000.
При помощи указателей решаются С. на основании теоремы:
ind ( a b ) ≡ ind a + ind b (mod p— 1)
напоминающей свойства логарифмов.
Важнейшие сочинения, относящиеся к теории С.: Gauss, «Disquisitiones arithmeticae» (Лейпциг, 1801, «Gauss Werke», т. I; это сочинение издано в Берлине в 1889 г. в переводе на немецкий язык); Serret, «Cours d’alg èbre supé rieure» (т. II, секц. III, П., 1879); Dedekind, «Vorlesungen über Zahlentheorie vo n Lejeune-Dirichlet» (Брауншвейг, 1894; в 1899 г. в СПб. появился первый выпуск этого сочинения в переводе на русский язык); П. Л. Чебышев, «Теория С.» (СПб., 1849; 2-е изд., СПб., 1879); Ю. В. Сохоцкий, «Высшая алгебра» (ч. II-я, СПб., 1888).
Полезное
Смотреть что такое «Сравнение в математике» в других словарях:
Сравнение, в математике — Говорят, что a сравнимо с b по модулю n, если a b делится на n. Это обозначают так: a ≡ b (mod n). С. имеют много сходства с равенствами. Если f(x) целая функция с целыми коэффициентами и а ≡ b (mod n), то f(a) ≡ f(b) (mod n). Решить С. f(x) ≡ 0… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
Сравнение — Сравнение многозначный термин. Сравнение процесс количественного или качественного сопоставления разных свойств (сходств, отличий, преимуществ и недостатков) двух объектов. Сравнение выяснение, какой из двух объектов лучше в… … Википедия
СРАВНЕНИЕ — познават. операция, лежащая в основе суждений о сходстве или различии объектов; с помощью С. выявляются количеств. и качеств. характеристики предметов, классифицируется, упорядочивается и оценивается содержание бытия и познания. Сравнить… … Философская энциклопедия
Сравнение по модулю натурального числа — В теории чисел сравнение[уточнить] по модулю натурального числа n задаваемое означенным числом отношение эквивалентности на множестве целых чисел, связанное с делимостью на него. Факторпространство по этому отношению называется «кольцом… … Википедия
Сравнение по модулю — Сравнение[1] по модулю натурального числа n в теории чисел отношение эквивалентности на кольце целых чисел, связанное с делимостью на n. Факторкольцо по этому отношению называется кольцом вычетов. Совокупность соответствующих тождеств и… … Википедия
Сравнение (философ.) — Сравнение, акт мышления, посредством которого классифицируется, упорядочивается и оценивается содержание бытия и познания; в С. мир постигается как «связное разнообразие». Акт С. состоит в попарном сопоставлении объектов с целью выявления их… … Большая советская энциклопедия
Сравнение — I Сравнение (математическое) соотношение между двумя целыми числами а и b, означающее, что разность а b этих чисел делится на заданное целое число т, называемое модулем С.; пишется а ≡ b (mod т). Например, 2 ≡ 8 (mod 3), т. к. 2 8 делится … Большая советская энциклопедия
Характер (в математике) — Характер в математике, функция специального вида, применяемая в чисел теории и теории групп. В теории чисел Х. называют функцию c(n) ¹ 0, определённую для всех целых чисел n и такую, что: 1) c(nm) = c(n)c(m) для всех n и m, 2) существует… … Большая советская энциклопедия
Класс вычетов — Сравнение по модулю натурального числа отношение эквивалентности на множестве целых чисел, связанное с делимостью. Оно даёт возможность работать с системой чисел, более простой чем целые числа, в которой значения «зацикливаются» (повторяются)… … Википедия
Классы вычетов — Сравнение по модулю натурального числа отношение эквивалентности на множестве целых чисел, связанное с делимостью. Оно даёт возможность работать с системой чисел, более простой чем целые числа, в которой значения «зацикливаются» (повторяются)… … Википедия
Сравнение натуральных чисел
Вам уже известно, что натуральные числа используются для обозначения количества тех или иных предметов. Возьмем, к примеру, конфеты. Мама купила шоколадные батончики и высыпала их кучкой на столе. Дети пересчитали, и их оказалось 25 штук.
Пришел с работы папа и высыпает рядом еще конфеты. На первый взгляд, эта кучка не отличается от первой, но пересчитав количество папиных конфет, дети увидели, что их всего 23. Значит, эти кучки разные. Чтобы это выяснить, дети произвели два действия:
Сравнить натуральные числа – это означает узнать, отличаются ли они друг от друга или они одинаковые. Если сравниваемые числа отличаются, тогда мы может узнать, что одно число больше другого, а второе, соответственно, меньше первого.
Как сравнить натуральные числа
Сравнить натуральные числа можно такими способами:
В результате сравнения мы можем получить:
Равенство натуральных чисел
Если два натуральных числа имеют полностью одинаковую запись, то и записанные с их помощью числа одинаковы (говорят просто – они равны). Если их записи отличаются, тогда эти числа не равны.
Если мы определили, что числа не равны, тогда нам необходимо выяснить, какое положение они занимают по отношению друг к другу, большее или меньшее.
Запись и чтение неравенств
Неравенство – это запись чисел или математических выражений, которая содержит знаки неравенства.
Читается подобная запись следующим образом. Первое число называется в именительном падеже (кто? что?), а второе в родительном (кого? чего?). Например, так: «два меньше четырех», «восемьдесят девять больше семидесяти восьми».
Если стрелка смотрит влево: « меньше » и означает, что слева от него находится число меньшее, чем справа.
Если стрелка смотрит вправо: «>», такой знак называется « больше » и означает, что слева от него находится большее число, чем справа.
Стрелка знака всегда указывает на меньшее число, а двойная вилка – на большее!
Например, дано неравенство 5 верным (правильно отмеченным), например, 1 неверным (неправильно отмеченным), например, 5>6.
Сравнение однозначных натуральных чисел с помощью ряда
Этот способ лучше всего подходит для сравнения однозначных натуральных чисел.
Меньшим называют число, которое в натуральном ряду находится раньше другого, а большим – то, которое расположено позже другого.
Например, число 2 в натуральном ряду стоит раньше, чем число 4, значит, 2 8.
Число 1 (единица) – самое меньшее из натуральных чисел, поскольку стоит в натуральном ряду первым.
На координатном луче меньшее число обозначается раньше (левее), а большее число – позже (правее) другого числа.
Рис. 1. Большее и меньшее число на координатном луче.
Действительно, чем больше в числе цифр, тем выше разряд самой первой цифры в этом числе.
К примеру, 123456>12345, потому что в первом числе цифра 1 обозначает сотню тысяч, а во втором – десяток тысяч.
Поэтому, для решения задач на сравнение чисел с разным количеством цифр, из которых они состоят, нам достаточно сравнить эти количества:
123456 – шестизначное число, 6 цифр;
12345 – пятизначное число, 5 цифр;
Например, сравним два числа: 12336 и 12345. Оба числа пятизначные. Значит, сравниваем каждую цифру, начиная с 5 разряда (десятков тысяч):
Сравнение двух, трех, и более чисел
Сравнивать между собой можно не только два натуральных числа.
Вернемся к примеру с конфетами на столе. Бабушка тоже купила конфеты и высыпала их на столе. Дети пересчитали их, и в бабушкиной кучке оказалось 33 штуки. Количество конфет мы можем записать натуральными числами: 25, 23 и 33.
Сравнив их между собой, мы увидим три неравенства:
Гораздо удобнее записать результат сравнения в виде двойного неравенства :
23 
Как видите, все неравенства верны.
Чтобы быстро записать двойное, тройное, и т.д. неравенство, нужно расставить данные числа слева направо в порядке возрастания (предварительно сравнив между собой), оставив небольшие промежутки между ними. А после этого в оставленные промежутки записать знаки