Что такое среднеквадратическая ошибка в геодезии

Тема: Элементы теории ошибок измерений.

1. Классификация ошибок измерений

_______ Измерения в геодезии рассматриваются с двух точек зрения: количественной, выражающей числовое значение измеренной величины, и качественной, характеризующей ее точность. Из практики известно, что даже при самой тщательной и аккуратной работе многократные (повторные) измерения не дают одинаковых результатов. Это указывает на то, что получаемые результаты не являются точным значением измеряемой величины, а несколько отклоняются от него. Значение отклонения характеризует точность измерений.

_______ К грубым ошибкам относятся просчеты в измерениях по причине невнимательности наблюдателя или неисправности прибора, и они полностью должны быть исключены. Это достигается путем повторного измерения.

_______ Систематические ошибки происходят от известного источника, имеют определенный знак и величину и их можно учесть при измерениях и вычислениях.

_______ Случайные ошибки обусловлены разными причинами и полностью исключить их из измерений нельзя. Поэтому возникают две задачи: как из результатов измерений получить наиболее точную величину и как оценить точность полученных результатов измерений. Эти задачи решаются с помощью теории ошибок измерений _______

_______ В основу теории ошибок положены следующие свойства случайных ошибок :
_______ 1. Малые ошибки встречаются чаще, а большие реже.
_______ 2. Ошибки не превышают известного предела.
_______ 3. Положительные и отрицательные ошибки, одинаковые по абсолютной величине, одинаково часто встречаются.
_______ 4. Сумма ошибок, деленная на число измерений, стремится к нулю при большом числе измерений.

_______ По источнику происхождения различают ошибки приборов, внешние и личные. Ошибки приборов обусловлены их несовершенством, например погрешность угла, измеренного теодолитом, неточным приведением в вертикальное положение оси его вращения.

_______ Внешние ошибки происходят из-за влияния внешней среды, в которой протекают измерения, например погрешность в отсчете по нивелирной рейке из-за изменения температуры воздуха на пути светового луча (рефракция) или нагрева нивелира солнечными лучами.

_______ Личные ошибки связаны с особенностями наблюдателя, например, разные наблюдатели по-разному наводят зрительную трубу на визирную цель. Так как грубые погрешности должны быть исключены из результатов измерений, а систематические исключены или ослаблены до минимально допустимого предела, то проектирование измерений с необходимой точностью и оценку результатов выполненных измерений производят, основываясь на свойствах случайных погрешностей.

2. Арифметическая середина

_______ Величина x называется арифметической серединой или вероятнейшим значением измеренной величины. Разности между каждым измерением и арифметической срединой называют вероятнейшими ошибками измерений:

_______ Или в общем виде получим:

3. Средняя квадратическая ошибка

_______ Точность результатов измерений оценивается средней квадратической ошибкой. Средняя квадратическая ошибка одного измерения вычисляется по формуле:

где [v 2 ] – сумма квадратов вероятнейших ошибок; n – число измерений. Средняя квадратическая ошибка арифметической середины вычисляется по формуле:

_______ Предельная ошибка не должна превышать утроенной средней квадратической ошибки, т.е. ε = 3 x m.

_______ Иногда о точности измерений судят не по абсолютной величине средней квадратической или предельной погрешности, а по величине относительной ошибки. ___

_______ Относительной ошибкой называется отношение абсолютной ошибки к значению самой измеренной величины. Относительную ошибку выражают в виде простой дроби, числитель которой — единица, а знаменатель — число, округленное до двух-трех значащих цифр с нулями. Например, относительная средняя квадратическая погрешность измерения линии длиной:

_______ l = 110 м, при m = 2 см, равна m/ l = 1/5500.

_______ Линия измерена шесть раз. Определить ее вероятнейшую длину и оценить точность этого результата. Вычисления приведены в таблице:

Таб. 1

_______ По формулам вычислены абсолютные средние квадратические ошибки, а оценивать точность измерения длины линии необходимо по относительной ошибке. Поэтому нужно абсолютную ошибку разделить на длину линии. Для нашего примера относительная ошибка вероятнейшего значения измеренной линии равна

4. Оценка точности измерений

_______ Точность результатов многократных измерений одной и той же величины оценивают в такой последовательности:

_______ 1. Находят вероятнейшее (наиболее точное для данных условий) значение измеренной величины по формуле арифметической середины х = [ l ]/n.
_______ 2. Вычисляют отклонения для каждого значения измеренной величины от значения арифметической средины. Контроль вычислений: [v] = 0;
_______ 3. По формуле вычисляют среднюю квадратическую ошибку одного измерения.
_______ 4. По формуле вычисляют среднюю квадратическую ошибку арифметической средины.
_______ 5. Если измеряют линейную величину, то подсчитывают относительную среднюю квадратическую ошибку каждого измерения и арифметической средины.

_______ 6. При необходимости подсчитывают предельную ошибку одного измерения, которая может служить допустимым значением погрешностей аналогичных измерений.

5. Понятие о неравноточных измерениях

_______ Неравноточными измерениями называются такие, которые выполнены различным числом приемов, приборами различной точности и т.д. Если измерения неодинаковой точности, то для определения общей арифметической середины пользуются формулой:

________ Весом называется число, которое выражает степень доверия к результату измерения. В тех случаях, когда неизвестны веса измеренных величин, а известны их средние квадратические ошибки, то веса можно вычислить по формуле:

т.е. вес результата измерений обратно пропорционален квадрату средней квадратической ошибки.

_______ При неравноточных измерениях средняя квадратическая ошибка измерения, вес которого равен единице, определяется по формуле:

где δ – разность между отдельными результатами измерений и общей арифметической серединой.

Источник

Погрешности геодезических измерений

Понятие погрешности, её абсолютная и относительная величины

Если переходить на понятие погрешности, то отклонение отдельного замера от среднего арифметического из выполненных измерений и считается абсолютной его ошибкой. Числовая форма погрешности не дает представления о качестве произведенного измерения. Для этого существует понятие относительной погрешности. Под ним понимают отношение значения собственно ошибки к замеренной величине. Применяется этот параметр в определении точности работ при линейных замерах в полигонометрических и теодолитных ходах.

В нивелирных ходах для его оценки точности существует так называемая приведенная погрешность. Это тоже своего рода относительный показатель. Только он подразумевает под собой отношение абсолютного значения ошибки к конкретному принятому значению определяемой величины (для нивелировок на 1 км хода).

Погрешности по источникам возникновения

При производстве геодезических работ после окончания каждой выполненной операции в полевых условиях можно говорить об ошибках. Присутствуют они и при проведении камеральных работ. Так при установке приборов в рабочее положение возникают отклонения в центрировании инструмента над центром знака. Также возникают неточности при выставлении прибора в отвесное состояние, когда выводим его цилиндрический уровень в верхнее горизонтальное положение и круглый уровень на середину. Следующими причинами возникновения погрешностей считаются визирование и снятие отсчетов в момент исполнения наблюдений. Влияние внешних условий окружающей среды: рефракция воздуха, дымка, туман, осадки, формирует еще одну группу ошибок. Помимо человеческого фактора и влияния внешней среды существуют конструктивные особенности приборов, с заложенными в них вероятностными составляющими точности измерений. Еще одной из причин возникновения погрешностей считается несовершенство методик их определений. Резюмируя выше сказанное, можно выделить следующий перечень ошибок по источникам их возникновения:

Погрешности по характеру действий

По данному признаку все ошибки можно разделить на следующие отклонения:

Именно изучение случайных погрешностей в геодезии дает возможность производить оценки точности и получать наиболее надежные результаты.

Предельные и допустимые отклонения

При определенных факторах случайные ошибки по абсолютному значению своей величины не могут превышать определенного предела. Этот предел в геодезической и маркшейдерской практике имеет название предельной погрешности.

В строительном производстве нормативными документами введен термин предельного отклонения, который может иметь как положительное, так и отрицательное значения. Алгебраическая сумма этих параметров (предельных отклонений) имеет название допуска.

В геодезии крайние предельные значения отклонений, допускаемые нормативной документацией, называются допустимыми.

Средние, вероятные и средне квадратические погрешности

При различных оценках точности выполненных замеров применяются некоторые критерии случайных ошибок. К таким мерилам оценки относятся понятия:

Случайные погрешности подчиняются нормальному закону распределения и находятся в интервале от нуля до трех СКО. Большинство из них в пределах шестидесяти восьми процентов находятся в интервале до одного СКО. Девяносто пять процентов случайных величин попадает в интервал от нуля до двух СКО. Девяносто девять процентов случайных ошибок находится в интервале от нуля до трех СКО.

На основании этого в теоретических расчетах при предварительных оценках точности выполнения работ за предельные принимаются три средне квадратические ошибки. При геодезических и маркшейдерских работах на практике к расчетам принимаются двойные величины средне квадратических отклонений.

Источник

Допустимая погрешность при межевании земельного участка

Межевые споры с соседями – один из самых распространенных и, пожалуй, ожесточенных видов конфликтов. Здесь, как нигде, проявляется военный принцип: «Врагу ни пяди своей земли!» Исторически сложившиеся границы, разделенные заборами, могут разительно отличаться от границ, определяемых межевым делом. Почему так складывается, откуда возникают подобные расхождения и где проходит та тонкая грань, отделяющая допустимую погрешность от длительных и неприятных разбирательств?

Межевание, то есть определение границ земельных участков известно с незапамятных времен. Еще лет 30 назад, при выделении наделов, землемер со здоровенным циркулем из реек, бодро проводил границу от «сосны и до оврага». Площадь нарезаемых таким образом участков могла очень сильно отличаться от фактически озаборенной. Но именно площадь всегда фигурировала в правоустанавливающих документах, а заборы формировали владение. При этом, не секрет, что многие домовладельцы включали в границы своих наделов бесхозные и пустующие клочки земли и пользовались ими как своими собственными.

Возникновение права собственности на землю и вовлечение большого количества участков в хозяйственный оборот сформировало потребность в определении четких границ земельных наделов и постановке их на кадастровый учет. Из-за большого объема работ одномоментно это сделать просто невозможно, поэтому данный процесс осуществляется постепенно, с участием собственников и по мере их обращения. Вот тут и начали возникать конфликтные ситуации. Поскольку вновь сформированные участки с применением современного геодезического оборудования в большинстве случаев не соответствовали историческим границам. Но тут действует простой принцип: кто первым обратился, участок того и был актуализирован раньше других в рамках допустимых законодательством отклонений.

Данная ситуация – это яркий и во многом показательный пример. Но есть ли тут место конфликту? Ведь вести огородно-хозяйственную деятельность можно и без строгого соблюдения границ, как это было и раньше. Однако теперь земельный участок является еще и объектом права, его можно продать или сделать предметом залога, а следовательно, его параметры должны соответствовать документам.

Сегодня геодезические работы проводятся с высокой точностью. Однако, даже современное оборудование и привязка границ участка к координатам GPS не избавляют от погрешностей и ошибок. А любая погрешность – это величина, которая может быть выражена количественно. У нас на портале нередко можно встретить обсуждения данного аспекта, но даже в этом вопросе приходится сталкиваться с неверной трактовкой и некорректными определениями.

Понятия «кадастровая ошибка» больше нет, теперь это согласно фз 218 «РЕЕСТРОВАЯ ошибка». Читайте ч. 7 ст. 61 площадь при исправлении реестровой ошибки может отличаться от той, что есть в сведениях ЕГРН, не более, чем на 5%. Как я понимаю, она может быть больше или меньше, чем числится в ЕГРН, не более, чем на 5%.

Я не поняла, а кто инициатор изменения сведений Вашего ЗУ? Ведь, если вы сами заявите об этом, у вас и заявление не примет Росреестр. Границы Ваши установлены, сведения в ЕГРН имеются. Кто имеет доказательства о наличии реестровой ошибки? Ваш сосед? В каком заключении КИ есть вывод о наличии такой ошибки?
И еще, если Вы хотите решить вопрос без суда, сами изучайте закон 218, например, главу 7, Исправление ошибок, содержащихся в ЕГРН, ст. 61 нужно почитать. Нужно самому стать почти юристом.

И таких проблем возникает очень много. Сегодня мы поговорим о таком параметре, как допустимая погрешность при межевании участка, как ее рассчитать и где брать для этого данные.

Откуда возникают погрешности?

Как геодезический инженер определяет эти угловые точки? По всей стране разбросаны так называемые опорные межевые пункты, имеющие точные координаты в системе GPS. Плотность таких пунктов примерно 2-4 на 1 квадратный километр, что недостаточно. Лесной квартал или пашню еще можно разбить, но точно определить границы земельного участка, где счет идет на сантименты крайне сложно. Для повышения точности работ геодезист использует съемочное обоснование – это сеть геодезических знаков, от которых специалисты проводят детальное измерение и получение необходимых координат угловых точек. При этом, в работе неизбежно возникают погрешности.

Погрешностью измерений называют разность между истинными координатами угловой точки и координатами, измеренными кадастровым инженером. Причин тут может быть несколько, как по отдельности, так и в комплексе.

Это:
— человеческий фактор;
— неточность измерительных приборов. Любой прибор из-за особенностей его конструкции незначительно искажает измеренную им величину;
— погодные условия;
— особенности рельефа местности.

Для уменьшения погрешности измерение положения одной и той же точки рекомендуется производить несколько раз, разными специалистами и с использованием разного оборудования.

Но не будем чересчур перегружать статью большим количеством формул и специальных терминов. Отметим лишь, что допустимые погрешности при измерениях координат угловых точек, а также методы проводимых измерений и формулы расчёта отображены в приказе Минэкономразвития №90 Согласно части 13 ст. 22 закона № 218. А для ясности картины рассмотрим две простые и доступные для восприятия методики «Метод допустимой площади» и «Диагональный метод».

В каждой из них используется показатель среднеквадратичной погрешности Mt, который измеряется в метрах. Его не нужно вычислять самостоятельно, более того, для каждой категории земель и вида разрешенного использования он уже определен. Приведем несколько актуальных значений данного показателя.

Важно: В практике известны случаи, когда размер максимально допустимого отклонения не соответствует категории земельного участка. Такие случаи могут возникнуть, когда в процессе определенных манипуляций земельный надел меняет свою категорию и вид разрешенного использования. Такая смена вовсе не означает, что для данного участка появилось больше геодезических точек привязки, а значит и максимально отклонение осталось прежним. Кроме того, в сложных ситуациях, когда точное установление границ участка затруднено максимально допустимое отклонение также может отличаться от утвержденного. В этом случае инженер-геодезист должен выдать письменное пояснение.
Данные о максимально допустимом отклонении по каждому участку также можно найти в кадастровом паспорте.

Метод допустимой площади

Итак, призвав на помощь геодезиста или вспомнив школьный курс геометрии, мы самостоятельно определили фактическую площадь земельного участка П(факт) и поняли, что она не соответствует кадастровой П(док). Находим разность ∆П и сравниваем ее по абсолютной величине с допустимым для вашего участка отклонением П(доп), которое рассчитывается по формуле:

П(доп) = 3,5*Mt*√П(док).

Если ∆П меньше либо равно П(доп), то все в порядке!

Например: Кадастровая площадь участка ИЖС составляет 1200 квадратных метров (12 соток). При фактическом замере установлено, что реальная площадь 1180 квадратных метров, то есть разница составляет 20 квадратов. Обидно, но давайте выясним, есть ли у нас основания для юридических действий. Найдем допустимое отклонение: П(доп) = 3,5*0,1*√1200 = 12,12 квадратных метра. Таким образом, очевидно, что фактические границы вашего участка нуждаются в уточнении.

Диагональный метод

Диагональный метод в качестве дополнительного уточнения применяется при межевых работах, когда требуется высокая точность измерений, например, в землях городских поселений, где высокая плотность застройки.

Из самого названия очевидно, что угловые точки, взятые для измерения, должны быть не смежными, а отстоять одна от другой как можно дальше, образуя диагональ. Простота этого метода в том, что не нужно вычислять фактическую площадь участка, ведь редко какой земельный надел представляет собой прямоугольник. Но диагональный метод имеет и свои недостатки в случаях, когда точное измерение диагонали затруднено постройками или растительностью.

Как им пользоваться? Находим разность между фактической диагональю и расстоянием между этими же точками в кадастровом плане надела: ∆S = S(факт) – S(док). Далее сравниваем ∆S с допустимым отклонением S(доп). Для расчета допустимого отклонения используется формула

S(доп) = Mt*2.

Показатель Mt берем из таблички выше. Уже исходя из этой формулы можно увидеть, что допустимое отклонение диагонали для участка ИЖС составляет 0,2 метра. Если у вас меньше – живите спокойно и не воюйте с соседями.

Важно: диагональным методом удобно пользоваться при покупке земельного участка. Достаточно просто замерить его диагонали и сравнить с выпиской из кадастрового паспорта.

Итак, при определении границ земельных наделов в рамках межевых работ неизбежно возникают погрешности, обусловленные неточностью проводимых измерений. Величины таких погрешностей не должны превышать установленные правительством значения для каждой категории земли.

Источник

Средняя квадратичная ошибка

Оценка точности результатов измерений

Оценить точность каких-либо измерений – это значит определить на основе полученных результатов сравнимые числовые (количественные) характеристики, выражающие качественную сторону самих измерений и условий их проведения. Количественные характеристики измерений или критерии оценки точности измерений устанавливаются теорией вероятности и теорией ошибок (в частности, способом наименьших квадратов). Согласно этим теориям оценка точности результатов измерений производится только по случайным ошибкам.

Показателями точности измерений могут служить:

— средняя квадратическая ошибка измерений;

— относительная ошибка измерений;

— предельная ошибка измерений.

Понятие средней квадратичной ошибки введено Гауссом, и в настоящее время она принята в качестве основной характеристики точности измерений в геодезии.

Средней квадратичной ошибкой называется среднее квадратичное значение из суммы квадратов ошибок отдельных измерений. Для ее вычисления используют либо истинные ошибки измерений, либо уклонения результатов измерений от среднего арифметического.

Обозначим истинное значение измеряемой величины через X, результат измерения через l_i.

Истинными ошибками измерений Δ_i называются разности результатов измерений и истинных значений, т. е.

В этом случае среднюю квадратичную ошибку m отдельного результата вычисляют по формуле:

(11)

где n – количество равноточных измерений.

Однако в большинстве случаев практики, если не считать редких случаев специальных исследований, истинное значение измеряемой величины и, следовательно, истинные ошибки остаются неизвестными. В этих случаях для нахождения окончательного значения измеряемой величины и оценки точности результатов измерений используют принцип среднего арифметического.

называется средним арифметическим из измеренных значений этой величины.

Разность каждого отдельного результата измерения и среднего арифметического значения называется уклонением результатов измерений от среднего арифметического и обозначается буквой v:

v_i = l_i – .

Пример. Отдельный угол измерен четырьмя приемами, и получены результаты:

Уклонения результатов измерений от среднего арифметического обладают двумя важными свойствами:

— для любого ряда равноточных измерений алгебраическая сумма уклонений равна нулю [v] = 0;

— для любого ряда равноточных измерений сумма квадратов уклонений минимальна, т. е. меньше суммы квадратов уклонений отдельных измерений от любого другого значения, принятого, вместо среднего арифметического значения, [v 2 ] = min.

Первое свойство уклонений служит надежным контролем вычисления среднего арифметического значения из результатов измерений. Второе свойство уклонений используют для оценки точности результатов измерений.

Если ошибки отдельных измерений вычисляют относительно среднего арифметического значения из результатов измерений, среднюю квадратичную ошибку отдельного результата вычисляют по формуле

. (12)

Пример. Используя данные предыдущего примера, найдем среднюю квадратичную ошибку измерения угла одним приемом:

.

При определении средних квадратичных ошибок измерений необходимо руководствоваться следующими правилами:

;

2) средняя квадратичная ошибка произведения измеренной величины на постоянное число равна произведению средней квадратичной ошибки этой величины на то же самое число, т. е. для выражения L = kl;

;

3) средняя квадратичная ошибка результатов равноточных измерений прямо пропорциональна средней квадратичной ошибке одного измерения m и обратно пропорциональна корню квадратному из числа измерений, т.е.

;

или с учетом формулы (12):

Примеры: 1. Угол β получен как разность двух направлений, определенных с ошибками m₁ = ± 3″ и m₂ = ± 4″.

По первому правилу находим .

2. Радиус окружности измерен со средней квадратичной ошибкой m_R = ±5 см.

По второму правилу находим среднюю квадратичную ошибку длины окружности

m₀ = 2πm_R = 2 × 3,14 × 5 = ± 31 см.

3. Средняя квадратичная ошибка измерения угла одним приемом равно m = ± 8″. Какова точность измерения угла четырьмя приемами?

По третьему правилу

.

Источник