Что такое статический прогиб сдо

Статический расчет системы виброизоляции

Статический расчет виброизоляции РЭС заключается в выборе и расстановке амортизаторов.

При выборе амортизаторов должны учитываться масса и габаритные размеры блока, параметры амортизаторов и параметры внешних механических (диапазон частот вибраций, амплитуды перемещений и ускорений при вибрациях, направление действия возбуждающих колебаний) и климатических воздействий.

Выбор амортизаторов (приложение 13) производится по расчетному значению нагрузки, которое находят из условия равенства общей статической грузоподъемности амортизаторов массе блока:

После выбора амортизаторов решают задачу их расстановки (монтажа).

Наибольшее применение находит рациональный монтаж амортизаторов. Условия рационального монтажа, можно сформулировать следующим образом: общая статическая грузоподъемность всех амортизаторов равняется весу блока; центр масс (ЦМ) и центр жесткости (ЦЖ), т.е. точка приложения равнодействующей сил реакций амортизаторов, совпадают или лежат на одной вертикали.

Это обусловлено тем, что если на изолируемую систему действуют периодические возбуждающие силы с широким спектром частот, то для обеспечения высокой эффективности виброизоляции все шесть частот свободных колебаний системы должны лежать в узком диапазоне частот. Совмещение частот свободных колебаний может быть достигнуто соответствующим выбором жесткости амортизаторов и координат их расстановки.

При произвольном размещении амортизаторов под изолируемым объектом, когда плоскости симметрии отсутствуют, все колебания будут связаны между собой. Наличие хотя бы одной плоскости симметрии вызывает распад связанных колебаний на две не связанные между собой группы, одна из которых характеризует движение центра масс в плоскости симметрии, другая — в перпендикулярном этой плоскости направлении.

Координаты центра жесткости амортизаторов можно вычислить через статические моменты жесткости относительно координатных плоскостей: , , ,

Аналитически условия рациональной расстановки амортизаторов представляют системой уравнений:

где Р_i— реакция i-ro амортизатора.

Источник

Расчет балки на прогиб нужно проводить практически для любой конструкции, чтобы проверить ее надежность и прочность. Под влиянием внешних, внутренних факторов, природных явлений балка подвержена деформации.

Балку сравнивают со стержнем, закрепленным на опорах. Чем больше опор, тем сложнее провести расчет самостоятельно. Основная нагрузка считается путем сложения сил, перпендикулярно направленных к сечению.

Данный расчет – основы сопромата, помогает определить наивысшую деформацию. Значения показателей должны входить в рамки допустимых величин.

Виды балок

При возведении зданий используется балки разных конфигураций, размеров, профиля, характера сечения. Их изготавливают из металла и дерева. Для любого вида используемого материала нужен индивидуальный расчёт изгиба.

Прочность и жесткость балки

При проектировании следует учесть изгиб балок, чтобы конструкция была надежная, качественная, прочная и практичная.

На эти параметры влияют следующие факторы:

величина наружных нагрузок, их положение;

параметры, характер, нахождение поперечного сечения;

число опор, метод их закрепления.

Выделяют 2 метода исчисления: простой – применяется увеличительный коэффициент, и точный – дополнительно включает пограничные подсчеты.

Построение эпюр балки

Эпюра распределения величины нагрузки на объект:

Расчет на жесткость

В формуле обозначены:

M – max момент, возникающий в брусе;

W_n,min – момент сопротивления сечения (табличный показатель);

R_y – сопротивление на изгиб (расчётный показатель);

γ_c – показатель условий труда (табличный показатель).

Такой расчет не трудоемок, но для более верного значения требуется следующее:

рабочий план объекта;

определение характеристик балки, характер сечения;

определение max нагрузки, воздействующей на брус;

оценка точки max прогиба;

проверка прочности max изгибающего момента.

Расчет моментов инерции и сопротивления сечения

J – момент инерции сечения;

W – момент сопротивления.

Для определения данных параметров необходимо учитывать сечение по грани разреза. Если момент инерции возрастает, величина жесткости также возрастает.

Нахождение максимальной нагрузки и прогиба

Формула для вычисления:

q – нагрузка равномерно-распределенная;

E – гибкость (табличный показатель);

I – момент инерции сечения.

Нагрузки учитываются статические и периодические.

Расчет на прогиб и его особенности

Он необходим для всех перекрытий при высоких эксплуатационных нагрузках.

При применении соответствующих коэффициентов, придерживаются следующего:

балка, держащаяся на одной жесткой и одной шарнирной опоре, подвергающаяся воздействию сосредоточенной нагрузки;

балка, держащаяся на жесткой и шарнирной опоре, подвергающаяся воздействию распределенной нагрузки;

нагрузка консольного типа;

воздействие комплексной нагрузки.

Пример расчет балки на прогиб

Рассмотрим задачу из курса сопромата.

Дано: балка четырехугольного сечения 20 на 30 см; поперечная сила Q = 19 кН; изгибающий момент М = 28 кНм.

Необходимо рассчитать напряжение: нормальное и в пределе К, отдаленной на 11 см от оси, узнать прочность бруса из дерева, при [σ] = 10 МПа, [τ] = 3 МПа.

Чтобы узнать σ_(К), τ_(К), σ_max, τ_max определяем значение осевого момента инерции общего сечения I_Н.О., осевого момента сопротивления W_Н.О., статического момента отсеченного ряда и статического момента середины сечения S_max:

Определение прочности по нормальному напряжению:

Определение прочности по касательному напряжению:

При проектировании конструкций важно соблюдать все физико-механические вычисления на прочность. Удобно и качественно произвести расчеты может онлайн, что существенно сократит временные сроки.

Калькулятор выполняет подробный подсчет на основе формул, эпюр усилий, подбирает номер сечения металлической балки из прокатных профильных, двутавровых материалов, а также из металлических труб.

Источник

УПРУГИЙ ПРОГИБ

упругая деформация, исчезающая при устранении нагрузки, вызвавшей прогиб. Прогибы и деформации в деталях машин, мостах и других сооружениях при нормальных условиях являются упругими, т. е. после снятия нагрузки все элементы сооружения практически полностью возвращаются к исходному положению, имевшему место до их загружения. Исключение составляют прогибы и деформации при первом загружении новой конструкции, когда получается остаточный прогиб.

Смотреть что такое «УПРУГИЙ ПРОГИБ» в других словарях:

Прогиб упругий — вертикальная деформация дорожной одежды или на поверхности ее слоев, возникающая под действием испытательной нагрузки или от колеса автомобиля и восстанавливающаяся после снятия нагрузки. Источник: Справочник дорожных терминов … Строительный словарь

оценка — 3.9 оценка (evaluation): Систематическое определение степени соответствия объекта установленным критериям. Источник: ГОСТ Р ИСО/МЭК 12207 99: Информационная технология. Процессы жизненного цикла программных средств … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

ОДМ 218.2.024-2012: Методические рекомендации по оценке прочности нежестких дорожных одежд — Терминология ОДМ 218.2.024 2012: Методические рекомендации по оценке прочности нежестких дорожных одежд: 3.1 дорожная одежда: Конструкция, состоящая из покрытия и основания, предназначенная для передачи колесной нагрузки на рабочий слой земляного … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

оценка прочности дорожной одежды по упругому прогибу — 3.9 оценка прочности дорожной одежды по упругому прогибу: Способ, при котором к дорожному покрытию прикладывается вертикально действующая нагрузка, создающая упругий прогиб, по величине которого рассчитывается модуль упругости. Источник: ОДМ… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Источник

Рис. 3.24. Эпюры динамического и статического прогибов

В основе приближенной теории удара, рассматриваемой в курсе сопротивления материалов, лежит гипотеза о том, что эпюра перемещений системы от груза при ударе (в любой момент времени) подобна эпюре перемещений, возникающей от этого груза, но действующего статически. На основании указанной гипотезы и рис. 3.24,а для динамического коэффициента получают зависимость

.

где и — динамический (статический) прогибы в продольном сечении Z балки и в сечении, где приложена внешняя нагрузка F, соответственно.

При расчетах без учета массы балки динамический коэффициент при падении груза с высоты Н определяют по формуле:

. (3.50)

Если высота падения груза во много раз больше статического перемещения , то в формуле (3.50) можно пренебречь единицами и принять:

. (3.51)

. (3.52)

При этом упругая система с распределенной массой мысленно заменяется системой, обладающей такими же упругими свойствами, но с приведенной массой , сосредоточенной в точке удара ( — коэффициент приведения массы, — ускорение свободного падения). В случае изгибающего удара посередине балки, лежащей на двух опорах, принимают = 17/35.

О п и с а н и е л а б о р а т о р н о й у с т а н о в к и.Работа выполняется на установке типа СМ 21 М (рис. 3.25).

Установка состоит из следующих основных частей: основания 1, на котором установлен исследуемый образец – балка 8 прямоугольного поперечного сечения, опирающаяся на шарнирно-подвижную 2 и шарнирно-неподвижную 7 опоры, индикатора 4 часового типа ИЧ-10 с ценой деления 0,01 мм, закрепленного на стойке 3 (описание индикатора представлено в работе 3.5), штанги 9 с электромагнитом 11и микрометрическим винтом 5 с ценой деления 0,01 мм, установленной по середине пролета балки 8; пульта управления 6. Электромагнит 11 предназначен для удержания падающего шарика 10 на требуемой

Рис. 3.25. Схема лабораторной установки типа СМ 21 М

высоте Н над исследуемой балкой 8. Для предупреждения возможного отскока шарика балка снабжена специальным ловителем 12, внутренняя поверхность которого выполнена конусной. Определение статического прогиба балки производят индикатором часового типа 4 с учетом веса ловителя 12 и соединенных с ним деталей. В процессе удара индикатор отводится в сторону. Величина динамического прогиба определяется с помощью микрометрического винта 5 в момент контакта его торца с колеблющейся балкой.

М е т о д и к а п р о в е д е н и я о п ы т а и о б р а б о р к а р е з у л ь т а т о в. 1. Штангенциркулем измеряют размеры поперечного сечения балки и с точностью 0,1 мм, линейкой определяют длину пролета , устанавливают электромагнит 11 на заданную высоту и заносят данные в журнал наблюдений.

2. Определяют статический прогиб балки от веса шарика 10, веса ловителя 12 и веса балки 8. Для этого при помощи индикатора 4 замеряют прогиб балки от груза массой 1 кг после его установки на ловитель 12. Затем индикатор 4 снимают и вычисляют

, (3.53)

3. Определяют максимальный динамический прогиб . Для этого подключают установку к сети и включают тумблер “220B”. При этом загорается лампа “Сеть”. Тумблером “Электромагнит” подают напряжение на электромагнит 11.

Максимальный динамический прогиб определяют как разность отсчетов по лимбу в начальном (до удара) и конечном (при ударе) положении винта 5 в момент касания его с балкой 8. Все данные измерений и показания приборов заносят в журнал наблюдений.

4. Согласно требованиям раздела 4 обрабатывают результаты опыта, по формуле (3.52) определяют расчетное значение динамического коэффициента и производят сравнение теоретических и опытных значений.

1. Название лабораторной работы.

3. Лабораторная установка. Расчетная схема.

4. Измерительные приборы.

5.1. Ширина поперечного сечения балки .

5.2. Высота поперечного сечения балки .

5.3. Длина пролета .

5.4. Высота, с которой падает шарик .

6. Теоретические расчеты.

6.1. Определение статического прогиба балки .

6.2. Определение динамического коэффициента .

6.3. Определение динамического коэффициента , если высота во много раз превышает статический прогиб.

6.4. Определение коэффициента с учетом массы балки.

7. Результаты испытаний.

7.1. Статический прогиб балки от груза в 1 кг .

7.2. Статический прогиб балки от веса шарика , веса ловителя и веса балки .

7.3. Максимальный динамический прогиб при падении шарика с высоты (отсчет по лимбу) , , .

7.4. Среднее значение прогиба для трех величин .

7.5. Динамический коэффициент .

8. Сравнение опытных и теоретических значений.

Вопросы для самоконтроля

1. Какова цель лабораторной работы?

2. Каково устройство лабораторной установки?

3. Какое явление называется ударом и результатом чего он является?

4. Какая гипотеза лежит в основе теории удара, рассматриваемой в курсе сопротивления материалов?

5. Что называют динамическим коэффициентом при ударе?

6. Как учитывают в выражении динамического коэффициента массу упругой системы, подвергающейся удару?

7. Что такое “внезапное действие нагрузки” и чему равен динамический коэффициент при таком ее действии?

8. Как определяют перемещения и напряжения при ударе?

9. Применением каких конструктивных мероприятий можно уменьшить напряжения при ударном действии нагрузки?

10. Зависят ли напряжения при ударе от модуля упругости материала системы, подвергающейся удару?

11. Как определяют статический прогиб балки от собственного веса?

12. Как определяют динамический прогиб балки при ударе в опыте?

3.10. Определение критической силы при

Ц е л ь р а б о т ы:изучение явления потери устойчивости при осевом сжатии прямого стержня и сравнение критической силы, определенной опытным путем и вычисленной по формуле Эйлера при различных способах закрепления стержня.

Т е о р е т и ч е с к а я ч а с т ь р а б о т ы. Деформированное состояние стержня, представляющее собой равновесие между внешними и внутренними силами, может быть не только устойчивым, но и неустойчивым.

Если при любом возможном отклонении от состояния равновесия внутренние силы в деформированном стержне изменяются так, что он имеет стремление возвратиться к первоначальному прямолинейному состоянию и в итоге к нему возвращается, то упругое равновесие будет устойчивым.

Если стержень приобретает стремление продолжать деформироваться в направлении данного ему отклонения, то упругое равновесие будет неустойчивым.

Между устойчивым и неустойчивым состояниями равновесия стержня находится переходное критическое состояние, при котором стержень может сохранить первоначально приданную ему форму, но может и потерять ее от самой незначительной, казалось бы, причины. Такое равновесие называют безразличным.

Нагрузку, соответствующую критическому состоянию, называют критической.

Очевидно, что в деталях машин и сооружений ни в коем случае не должны допускаться нагрузки, равные или близкие к критическим, так как в случае потери устойчивости деформации растут, вследствие чего напряжения быстро увеличиваются и конструкция в конечном итоге разрушается.

Таким образом,критическаянагрузка при расчете на устойчивость аналогична разрушающейнагрузке при расчете на прочность.

Задача по определению критической нагрузки для случая шарнирно опертого стержня впервые была решена Л. Эйлером в виде:

. (3.54)

Для учета других способов закрепления концов стержня (см. рис. 3.26) в формулу (3.54) вводится коэффициент , называемый коэффициентом приведения длины. Он учитывает способ закрепления концов стержня. В этом случае формула Эйлера принимает вид:

. (3.55)

Рис. 3.26. Способы закрепления образцов и значения

коэффициента приведения длины

Формула Эйлера применима в том случае, когда напряжения в стержне не превышают предела пропорциональности или когда гибкость стержня (где — минимальный радиус инерции) больше предельной гибкости, определяемой по формуле

. (3.56)

О п и с а н и е л а б о р а т о р н о й у с т а н о в к и и о б р а з- ц о в. Испытания проводят на установке МИП-100 (рис. 3.27), на станине 1 которой смонтированы механизм деформирования и механизм силоизмерения. Механизм деформирования включает в себя двигатель 2, нагружающий винт 3 и каретку 4 с нагружающим верхним захватом 5. Ручной привод осуществляется вращением рукоятки 6 через цепную передачу.Механизм силоизмерения состоит из нижнего захвата 7, передаточного механизма рычажного типа 8, размещенного внутри станины 1, и циферблатного прибора 9.

Захваты 5 и 7 установки позволяют осуществлять шарнирное закрепление, а также защемление одного или обоих концов образца 10, при помощи винтов 11.

Для испытаний применяют образцы, прямоугольного поперечного сечения, изготовленные из разных пород дерева.

М е т о д и к а п р о в е д е н и я о п ы т а и о б р а б о т к а

р е з у л ь т а т о в. 1. Измеряют штангенциркулем размеры поперечного сечения образцов с точностью 0,1 мм в трех сечениях по их длине и выбирают из них наименьшие, а также длину образцов линейкой с точностью 1 мм. Все данные заносят в журнал наблюдений.

2. Определяют для каждого образца модуль продольной упругости ввиду того, что он для дерева зависит в каждом конкретном случае от ряда факторов (породы древесины, расположения волокон, влажности и др.) Определение модуля продольной упругости проводят на установке, показанной на рис. 3.28.

Установка имеет основание 1, на котором на расстоянии закреплены две опоры 2. Испытуемый образец 3 устанавливают на опоры 2, закрепляют на нем посредине пролета грузовой подвес 5 и нагружают внешней нагрузкой . По индикатору часового типа 4 определяют прогиб посредине пролета, а затем образец разгружают.

Эту операцию повторяют еще два раза. Образец поворачивают вокруг продольной оси на 180° и проводят повторно цикл нагружений по выше описанной методике. Обработав согласно требованиям

Рис. 3.28. Схема установки для определения модуля упругости материала образца

раздела 4 полученные шесть значений прогиба, и зная, что прогиб , определяют модуль продольной упругости для каждого образца:

, (3.57)

где — минимальный осевой момент инерции поперечного сечения образца.

3. Устанавливают образец в захваты машины, обеспечивая тип закрепления образцов для каждого из них согласно задания и, вращая маховик 6, нагружают образец сжимающей силой до момента потери образцом прямолинейной формы, при которой он большую нагрузку воспринимать не может. Эта нагрузка — критическая. Для каждого образца опыт повторяют не менее трех раз и записывают результаты в журнал наблюдений.

4. По формуле (3.55) для каждого образца при заданном типе закрепления его концов вычисляют теоретические значения критической нагрузки .

5. Согласно требованиям раздела 4 проводят обработку опытных данных и сравнивают их с теоретическими.

1. Название лабораторной работы.

3. Испытательная машина.

4. Схемы закрепления образцов.

5. Эскиз испытуемого образца.

6.1. Ширина сечения .

6.2. Высота сечения .

6.3. Длина образца .

6.4. Минимальный осевой момент инерции сечения образцов .

6.5. Цена деления индикатора часового типа .

7. Схема установки для определения модуля продольной упругости .

8. Результаты определения модуля продольной упругости образцов.

№ образ-цов

Нагрузка

Показания индикатора

Среднее значение

Среднее значение прогиба

Модуль упругости

8.1. Прогиб образца: = С .

8.2. Вычисление модуля продольной упругости для материала образцов по формуле (3.57). Результаты вычислений внести в таблицу.

9. Теоретическое определение критической силы для трех образцов по формуле (3.55).

10. Опытные значения критической силы для исследованных образцов .

11. Сравнение опытных и теоретических значений.

Вопросы для самоконтроля

1. Какова цель лабораторной работы?

2. На какой машине выполняется работа?

3. Какие виды равновесия стержней Вы знаете?

4. Что называют критической силой?

5. Какой вид имеет формула Эйлера для определения величины критической силы?

6. Почему в формулу Эйлера входит минимальный момент инерции поперечного сечения стержня?

7. От чего зависит значение коэффициента приведения длины ?

8. Что такое гибкость стержня ? Как ее определяют?

9. Что называют предельной гибкостью?

10. Какова методика определения опытного значения критической силы?

11. Почему необходимо определять модуль продольной упругости материала образцов перед проведением испытаний?

4. ОБРАБОТКА И ПРЕДСТАВЛЕНИЕ

4.1. Основные понятия и определения

Физической величинойназывают свойство, общее в качественном отношении многим физическим объектам (физическим системам, их состояниям и происходящим в них процессам), но в количественном отношении индивидуальное для каждого объекта. При этом индивидуальность в количественном отношении следует понимать в том смысле, что свойство может быть для одного объекта в определенное число раз больше или меньше, чем для другого.

Оценка физической величины в виде некоторого числа принятых для нее единиц определяет значение физической величины. Отвлеченное число, входящее в значение физической величины, называют числовым значением. За единицу физической величиныпринимают физическую величину, которой по определению присвоено числовое значение, равное 1. Значение физической величины находят путем измерения.

Любая физическая величина обладает истинным значением (для статических по своей природе величин это будет истинное среднее значение). Истинным значением физической величиныназывают значение, идеальным образом отражающее в качественном и количественном отношениях соответствующие свойства объекта.

Под измерением понимают нахождение значения физической величины экспериментальным путемпри помощи специальных средств.

4.2. Виды измерений и погрешностей

Измерения могут быть как прямыми, когда искомую величину находят непосредственно из опытных данных, так и косвенными, когда искомую величину определят на основании известной зависимости между этой величиной и величинами, полученными прямыми измерениями.

Значение величины, найденное измерением, называют результатом измерения.

Несовершенство измерительных приборов, органов чувств человека, а часто и природа самой измеряемой величины приводят к тому, что при любых измерениях результаты получают с определенной точностью, т.е. эксперимент дает не истинное значение измеряемой величины, а лишь ее приближенное значение. Под действительным значением физической величины понимают ее значение, найденное экспериментально и максимально приближающееся по своей величине к его истинному значению.

Точность измерения определяется близостью его значения к истинному значению измеряемой величины. Отсюда – погрешность измеренияхарактеризуется отклонением результатов измерений от истинного значения измеряемой величины и подразделяется на следующие виды:

абсолютная погрешность – это алгебраическая разность между измеренным и истинным значениями измеряемой величины, выраженная в единицах измерения

; (4.1.)

относительная погрешность – отношение абсолютной погрешности к истинному значению искомой величины, выраженное обычно в процентах

или ; (4.2.)

приведенная относительная погрешность – отношение абсолютной погрешности к максимально возможному значению измеряемой величины или к максимальному значению шкалы прибора:

; (4.3.)

систематическая погрешность – это составляющая погрешности измерения, которая остается постоянной или закономерно изменяется при повторных измерениях одной и той же величины.

По источнику происхождения систематические погрешности подразделяются на следующие виды:

а) инструментальные погрешности – вносятся средствами измерения, вследствие недостатков в их конструкции, в неточностях градуировки шкал, использование в опыте неточных гирь, неточная установка начального положения стрелки рычажного тензометра или индикатора часового типа и др.;

б) установочные погрешности – возникают из-за расположения средств измерения. Например, показания стрелочных весов чувствительны к отклонению от вертикали. Поэтому приборы высокой точности снабжаются уровнем;

г) погрешность вычислений – возникает вследствие приближенных вычислений; при округлении результатов вычислений; замене элементарных функций, входящих в расчетную формулу, их приближенными значениями; при интерполяции данных;

д) внешние погрешности – возникают под влиянием внешних условий и среды (вибрация, тряска, магнитные и электрические помехи, влажность и давление воздуха, температура). Например, при изменении влажности изменяется модуль упругости дерева.

е) личные или субъективные погрешности – вносятся наблюдателем и связаны с чувствительностью его органов чувств, утомлением.

Способы устранения систематических погрешностей:

а) путем тщательной регулировки средств измерения и устранения внешних влияний с помощью термостатирования и т.д.;

б) путем расчета систематической погрешности и введения поправки, т.е. величины, численно равной абсолютной погрешности, взятой с обратным знаком. Поправку следует алгебраически добавить к неверному значению, чтобы исключить систематическую погрешность.

Следует помнить, что погрешность измерительного прибора равна обычно 0,5 наименьшего деления шкалы, поэтому не имеет смысла стараться на глаз оценивать десятые доли этого деления. Если же известен класс точности прибора, например, 1,5, то измеряемая величина равна ± 1,5%, и пытаться измерить ее с большей точностью бессмысленно. Для уменьшения погрешности измерений в этом случае следует взять прибор более высокого класса точности.

Для перевода систематической погрешности в случайную, необходимо измерение организовать так, чтобы постоянный фактор, влияющий на результат измерения, в каждом из измерений действовал по разному. Этот способ называют рандомизацией. Например: использовать для измерения одной и той же величины несколько одинаковых приборов.

Случайная погрешность – составляющая погрешности, которая изменяется случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины. В отличие от систематических случайные погрешности исключить нельзя, т.к. их причины, в большинстве случаев, неизвестны. Их значения оценивают по законам теории ошибок, основанной на теории вероятностей.

Грубые погрешности (промахи) – это погрешности, существенно превышающие по модулю ожидаемую для данных измерений погрешность. Они возникают при неверной записи показаний, при неисправностях приборов и др. и должны быть исключены.

4.3. Операции с приближенными числами

Погрешность конечного результата – находят по выражениям, рассматриваемым ниже, а для результатов промежуточных вычислений пользуются следующими правилами вычислений с приближенными числами:

а) сложение и вычитание понимают как алгебраическое сложение (с учетом знаков). Слагаемые записывают как без множителя 10, так и с ним. В последнем случае показатель степени должен быть одинаков для всех слагаемых.

г) при логарифмировании приближенного числа мантисса логарифма должна содержать то же количество значащих цифр, что и само число. Потенцирование, т.е. нахождение числа по его логарифму, подчиняется тем же правилам.

Основные правила округления чисел. При необходимости числа можно брать с различной точностью, т.е. оставлять в них различное количество десятичных знаков. Но при этом всегда полезно производить необходимые округления, чтобы не было впечатления о большей, чем это есть на самом деле, точности результата. Чтобы не допустить дополнительной погрешности при округлении, отбрасывают только неверные цифры.

При округлении отбрасывают все цифры, стоящие справа от разряда, до которого производится округление; последнюю оставшуюся цифру увеличивают на единицу, если отбрасываемая цифра равна или больше 5, или не изменяют, если эта цифра меньше 5. Если отбрасывают лишь цифру 5 (или за ней стоят нули), то последнюю оставляемую цифру увеличивают на единицу, если она нечетная, и оставляют без изменения, если она четная.

Для уменьшения погрешности округления при выполнении всех операций вычислений необходимо в исходных данных, если это возможно, оставлять на одну единицу больше, чем это требуют правила округления.

В экспериментальных данных последняя цифра всегда сомнительная. В числах, взятых из таблиц, содержатся всегда только верные цифры, и их погрешности не превышают половины единицы разряда последней цифры. Отсюда, при вычислениях с использованием тех и других чисел можно не сохранять сомнительную цифру.

Абсолютную погрешность результата следует округлять до одной значащей цифры (или до двух, если первая из них меньше или равна 3) (±0,05; ±0,37). Относительную погрешность принято округлять до двух значащих цифр (0,12; 2,8%).

4.4. Числовые характеристики случайных величин

Как показано в теории ошибок, из полученных при измерении величины в опытах ряда значений , наиболее близким к истинному значению является среднее арифметическое значение

(4.4)

Отклонения случайной величины от ее среднего значения рассматриваются как ошибки. Для их оценки используют понятие среднего квадратичного отклонения (СКО) случайной величины:

а) СКО отдельного измерения

; (4.5)

б) СКО среднего арифметического (результата измерения)

(4.6)

Предельная ошибка — это максимальное по абсолютной величине отклонений случайной величины от ее среднего значения .

Доверительной вероятностью предельного отклонения называют вероятность , с которой ошибки отдельных измерений по абсолютной величине будут меньше предельной ошибки .

При этом, как известно, вероятность случайного события находится в интервале . Для экспериментальных задач в большинстве случаев, доверительная вероятность составляет =0,9 ÷ 0,95 и большая надежность не требуется. Интервал ( ; ), в котором с заданной вероятностью находится истинное значение , называют доверительным интервалом.

В экспериментальных исследованиях, как и в настоящем лабораторном практикуме, нередко используют результаты ограниченного числа измерений (обычно 3-х или 4-х измерений), называемых выборкой.

Тогда предельную ошибку определяют, используя корректный метод, основанный на распределении Стьюдента, по формуле

. (4.7)

где — параметр Стьюдента, определяемый при заданной вероятности и числе опытов по таблице П.2 приложения; — СКО отдельного измерения, вычисленное по формуле (4.5).

4.5. Вероятностный критерий грубых погрешностей

Пусть имеется ( ) результатов наблюдений , где значение резко выделяется. Задача заключается в том, чтобы выяснить, является ли это измерение промахом или оно может быть объяснено статистическим разбросом.

Сначала вычисляют для результатов (выделяющееся наблюдение исключают) среднее арифметическое значение по формуле (4.4), СКО по формуле (4.5) и рассчитывают отклонение ( ) наблюдения

. (4.8)

Затем находят предельное отклонение наблюдений

. (4.9)

где — параметр Стьюдента, взятый из таблицы П.3 приложения, для числа наблюдений и заданной доверительной вероятности .

Если , то с вероятностью наблюдение считают промахом и отбрасывают. Если имеется несколько выделяющихся наблюдений, то вычисляют и без них, а затем по каждому из них проводят оценку по изложенной выше схеме.

Пример 1:Результаты пяти наблюдений прогиба балки , мм: 1,42; 1,63; 1,51; 1,68; 2,12. Проверить, является ли наблюдение

= 2,12 мм промахом при доверительной вероятности = 0,90.

Решение: а) по формулам (4.4) и (4.5) учитывая, что ( ) = 5, вычисляют среднее арифметическое значение прогиба и СКО :

б) по таблице П.3 приложения для четырех наблюдений = 4 при доверительной вероятности = 0,90 находят параметр Стьюдента = 1,689. Затем по формуле (4.8) вычисляют отклонение наблюдения ( ) = 5, т.е. «выскакивающего» наблюдения = 2,12 мм:

;

в) по формуле (4.9) находят величину предельногоотклонения ( = 4) наблюдений:

.

4.6. Обработка результатов наблюдений

для прямых измерений

Цель обработки– получить подходящее значение измеряемой величины и определить точность этой оценки, если результаты измерений равны , а не исключенные систематические погрешности определяются систематическими погрешностями средств измерений.

Вычисляют: а) по формуле (4.4) среднее арифметическое значение

.

Если среди результатов есть «выскакивающие», то выполняют проверку по критерию грубых погрешностей (см. раздел 4.5);

б) предел суммарной погрешности (предельную ошибку) при вероятности по формуле

(4.10)

где — параметр Стьюдента, при вероятности и числе опытов ;

— систематическая погрешность средств измерения.

Пример 2:Результаты наблюдений в лабораторной работе № 3.5 прогиба балки , мм: 1,42; 1,63; 1,51; 1,68; 2,12. Требуется определить прогиб балки , полученный в опыте, и границы интервала, которые с вероятностью = 0,90 накрывают суммарную погрешность измерений.

Систематическая погрешность индикатора часового типа ИЧ-10, используемого при измерении прогиба, равна половине наименьшего деления шкалы, т.е.

Решение: а) «выскакивающее» наблюдение = 2,12 мм проверяют по критерию грубых ошибок и отбрасывают, т.к. оно является промахом (см. Пример 1 в разделе 4.5.);

б) вычисляют по формуле (4.4) среднее арифметическое значение прогиба:

в) при числе опытов = 4 и доверительной вероятности = 0,90 по таблице П.2 приложения находят значение параметра Стьюдента =2,35;

г) по формуле (4.10) вычисляют предельную погрешность измерений

.

В итоге получают результат измерения прогиба балки:

При выполнении лабораторной работы сравнивают значение прогиба , найденное в опыте, с величиной прогиба , вычисленного по теоретической формуле, и вычисляют относительную погрешность опыта по формуле:

. (4.11)

Полученные результаты анализируют и делают выводы, которые записывают в отчет по лабораторной работе.

4.7. Математическая обработка результатов

наблюдений при косвенных измерениях

При косвенных измерениях основная задача – нахождение искомой величины , которая является функцией одного или нескольких аргументов: . Непосредственно в опыте измеряются величины , , , При наличии случайных погрешностей результаты измерений этих величин становятся случайными и при этом будет функцией случайных аргументов.

Цель обработки – определить подходящее значение искомой функции и интервал, в который с вероятностью попадает суммарная погрешность измерений .

Вычисляют по формуле (4.4) среднее арифметическое значение каждого аргумента

…. (4.12)

и среднее значение функции

(4.13)

Существуют строгие методы оценки погрешности искомой функции , которые целесообразно применять для ответственных измерений. В настоящей работе применяют приближенную оценку погрешности.

Оценка абсолютной погрешности и относительной погрешностей для различных частных случаев уравнений имеет вид:

; (4.14)

(4.15)

(4.16)

; (4.17)

(4.18)

. (4.19)

где — абсолютные предельные погрешности измерения величин — относительные погрешности измерения этих же величин.

Когда число измерений величин в опытах не велико (2 – 4 измерения), то погрешности аргументов ( ) вычисляют в соответствии с правилами обработки прямых измерений, изложенными в разделе 4.6. При этом значение доверительной вероятности должно быть одним и тем же для всех аргументов.

Для приближенной оценки погрешности косвенного измерения при малом числе наблюдений допустимо применять для оценки точности измерений среднюю арифметическую погрешность, которую вычисляют по формуле:

(4.20)

где — абсолютные предельные погрешности измерения величин , вычисленные по методике, изложенной в разделе 4.6; — число абсолютных погрешностей, определяемых в опыте.

Решение: а) находят значение коэффициента Пуассона с учетом формулы (2.17):

б) вычисляют суммарную погрешность измерения по формуле (4.16):

.

Результаты измерения коэффициента Пуассона:

= 0,29; от –0,017 до 0,017; = 0,90.

1. Лабораторный практикум по курсу «Сопротивление материалов»/Под ред. Мачихина Ю. А., Данилова В. Н. – М.: Изд. Моск. техн. ин-та пищ. пром., 1974. – 133 с.

2. Афанасьев А. М., Марьин В. А. Лабораторный практикум по сопротивлению материалов. – М.: Наука, 1975. – 288 с.

3. Сопротивление материалов: Лабораторный практикум: Учебное пособие / М.Д. Подскебко, О.И. Мисуно, С.А. Легенький. – Мн.: Амалфея, 2001. – 272 с.

4. Цурпал И. А., Барабан Н. П., Швайкс В. М. Сопротивление материалов. Лабораторные работы. – Киев: Вища школа, 1978. – 192 с.

5. Феодосьев В. И. Сопротивление материалов. –М.: Наука, 1986. – 544 с.

7. Сопротивление материалов. Учебное пособие / Н.А. Костенко, С.В. Балясникова, Ю.Э. Волошановская и др.; под. ред. Н.А. Костенко. – М.: Высш. шк., 2000. – 430 с.

8. Пирогов А. Н., Грачев В. Н., Гутиков В.П. Лабораторный практикум по курсу сопротивление материалов. Учебное пособие. – Кемерово: КузПИ, 1988. – 94 с.

9. Коллинз Дж. Повреждение материалов в конструкциях. Анализ, предсказание, предотвращение: Пер. с англ. – М.: Мир, 1984.- 624 с.

10. Кондрашов А. П., Шестопалов Е. В. Основы физического эксперимента и математическая обработка результатов измерений. – М.: Атомиздат, 1977. – 200 с.

11. Зажигаев Л. С., Кишьян А. А., Романиков Ю. И. Методы планирования и обработки результатов физического эксперимента. – М.: Атомиздат, 1978. – 232 с.

ПРИЛОЖЕНИЯ

Вероятность событий,

Вероятность событий,

при нормальной температуре

Пуассона

продольной упругости , МПа

сдвига , МПа

Стали малоуглеродистые и высоколегированные

Источник