Что такое степень определение
Что такое степень числа
Обращаем ваше внимание, что в данном разделе разбирается понятие степени только с натуральным показателем и нулём.
Понятие и свойства степеней с рациональными показателями (с отрицательным и дробным) будут рассмотрены в уроках для 8 класса.
Итак, разберёмся, что такое степень числа. Для записи произведения числа самого на себя несколько раз применяют сокращённое обозначение.
Вместо произведения шести одинаковых множителей 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 пишут 4 6 и произносят «четыре в шестой степени».
4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 4 6
Выражение 4 6 называют степенью числа, где:
В общем виде степень с основанием « a » и показателем « n » записывается с помощью выражения:
Исключение составляют записи:
Конечно, выражения выше можно читать и по определению степени:
Степенью числа « а » с показателем n = 1 является само это число:
a 1 = a
Любое число в нулевой степени равно единице.
a 0 = 1
Ноль в любой натуральной степени равен нулю.
0 n = 0
Единица в любой степени равна 1.
1 n = 1
Выражение 0 0 (ноль в нулевой степени) считают лишённым смысла.
При решении примеров нужно помнить, что возведением в степень называется нахождение числового или буквенного значения после его возведения в степень.
Пример. Возвести в степень.
Возведение в степень отрицательного числа
Основание степени (число, которое возводят в степень) может быть любым числом — положительным, отрицательным или нулём.
При возведении в степень положительного числа получается положительное число.
При возведении нуля в натуральную степень получается ноль.
При возведении в степень отрицательного числа в результате может получиться как положительное число, так и отрицательное число. Это зависит от того чётным или нечётным числом был показатель степени.
Рассмотрим примеры возведения в степень отрицательных чисел.
Из рассмотренных примеров видно, что если отрицательное число возводится в нечётную степень, то получается отрицательное число. Так как произведение нечётного количество отрицательных сомножителей отрицательно.
Если же отрицательное число возводится в чётную степень, то получается положительное число. Так как произведение чётного количество отрицательных сомножителей положительно.
Квадрат любого числа есть положительное число или нуль, то есть:
Обратите внимание!
При решении примеров на возведение в степень часто делают ошибки, забывая, что записи (−5) 4 и −5 4 это разные выражения. Результаты возведения в степень данных выражений будут разные.
Вычислить (−5) 4 означает найти значение четвёртой степени отрицательного числа.
В то время как найти « −5 4 » означает, что пример нужно решать в 2 действия:
Пример. Вычислить: −6 2 − (−1) 4
Порядок действий в примерах со степенями
Вычисление значения называется действием возведения в степень. Это действие третьей ступени.
Если в выражении есть скобки, то сначала в указанном выше порядке выполняют действия в скобках, а потом оставшиеся действия в том же порядке слева направо.
Для облегчения решения примеров полезно знать и пользоваться таблицей степеней, которую вы можете бесплатно скачать на нашем сайте.
Для проверки своих результатов вы можете воспользоваться на нашем сайте калькулятором «Возведение в степень онлайн».
Свойства степеней. Действия со степенями
Что такое степень числа
В учебниках по математике можно встретить такое определение:
«Степенью n числа а является произведение множителей величиной а n раз подряд»
a — основание степени;
n — показатель степени.
Читается такое выражение, как a в степени n
Если говорить проще то, степень, а точнее показатель степени (n), говорит нам о том, сколько раз следует умножить это число (основание степени) само на себя.
А значит, если у нас есть задачка, где спрашивают, как возвести число в степень, например, число 2 в третью степень, то она решается довольно просто:
2 — основание степени;
3 — показатель степени.
Если вам нужно быстро возвести число в степень, можно использовать наш онлайн-калькулятор. Но чтобы не упасть в грязь лицом на контрольной по математике, придется все-таки разобраться с теорией.
Рассмотрим пример из жизни, чтобы было понятно, для чего можно использовать возведение чисел в степень на практике.
Задачка про миллион: представьте, что у вас есть миллион рублей. За один год вы заработали на нем еще два. Еще через год каждый миллион принес еще два и т. д. Получается, что миллион каждый год утраивается. Был один, а стало три — и так каждый год. Здорово, правда? А теперь посчитаем, какая сумма у вас будет через 4 года.
Как решаем: один миллион умножаем на три (1·3), затем результат умножаем на три, потом еще на три. Наверное, вам уже стало стало скучно, потому что вы поняли, что три нужно умножить само на себя четыре раза. Так и сделаем:
Математики заскучали и решили все упростить:
Ответ: через четыре года у вас будет 81 миллион.
Таблица степеней
Здесь мы приведем результаты возведения в степень натуральных чисел от 1 до 10 в квадрат (показатель степени 2) и куб (показатель степени 3).
Степень и ее свойства. Определение степени
Разделы: Математика
Ознакомить учащихся со свойствами степеней с натуральными показателями и научить выполнять действия со степенями.
Степенью числа a с натуральным показателем n, большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен а. Степенью числа а с показателем 1 называется само число а.
По определению степени:
а n = 
Нахождение значения степени называют возведением в степень.
1. Примеры возведения в степень:
2. Представьте в виде квадрата числа: 25 ; 0,09 ; 
25 = 5 2 ; 0,09 = ( 0,3 ) 2 ;
.
.3. Представьте в виде куба числа:
4. Найти значения выражений:
а) 3• 10 3 = 3• 10• 10• 10 = 3• 1000 = 3000
1. Запишите произведение в виде степени:
б) 
2. Представьте в виде квадрата числа:
16 ; 0,25 ; 
.
3. Представьте в виде куба числа:
125 ; 0,027 ; 
.
4. Найти значения выражений :
Для любого числа а и произвольных чисел m и n выполняется:
Правило: При умножении степеней с одинаковыми основаниями основания оставляют прежним, а показатели степеней складывают.
a m a n a k = a m + n a k = a ( m + n ) + k = a m + n + k
1. Представить в виде степени:
б) y• y 6 = y 1 • y 6 = y 1 + 6 = y 7
в) b 2 • b 5 • b 4 = b 2 + 5 + 4 = b 11
г) 3 4 • 9 = 3 4 • 3 2 = 3 6
д) 0,01• 0,1 3 = 0,1 2 • 0,1 3 = 0,1 5
2. Представить в виде степени и найти значение по таблице:
б) 3 2 • 3 5 = 3 7 = 2187
1. Представить в виде степени:
д) 2 3 •2 4 к) 0,3 3 •0,09
2. Представить в виде степени и найти значение по таблице:
б) 3 4 •3 2 г) 27• 243
Для любого числа а
0 и произвольных натуральных чисел m и n, таких, что m>n выполняется:
по определению частного:
Правило: При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.
Определение: Степень числа а, не равного нулю, с нулевым показателем равна единице:
1. Представьте в виде степени частное:
г) с 5 :с 0 = с 5 :1 = с 5
2. Найдите значения выражений:
б) 10 20 :10 17 = 10 3 = 1000
в) 
г) 
д) 
1. Представьте в виде степени частное:
2. Найдите значения выражений:
в) 
г) 
д) 
Возведение в степень произведения.
Для любых а и b и произвольного натурального числа n:
По определению степени
( ab ) n = 
Сгруппировав отдельно множители а и множители b, получим:
= 
Доказанное свойство степени произведения распространяется на степень произведения трех и более множителей.
( a• b• c ) n = a n •b n •c n ;
Правило: При возведении в степень произведения возводят в эту степень каждый множитель и результат перемножают.
1. Возвести в степень:
б) (2• х• у ) 3 =2 3 •х 3 •у 3 = 8• х 3 •у 3
в) ( 3• а ) 4 = 3 4 •а 4 = 81• а 4
д) (-0,2• х• у ) 2 = (-0,2) 2 •х 2 •у 2 = 0,04• х 2 •у 2
е) (-3• a• b• c ) 4 = (-3) 4 •a 4 •b 4 •c 4 = 81• a 4 •b 4 •c 4
2. Найти значение выражения:
а) (2• 10) 4 = 2 4 •10 4 = 16• 1000 = 16000
б) (3• 5• 20) 2 = 3 2 •100 2 = 9• 10000= 90000
в) 2 4 •5 4 = (2• 5) 4 = 10 4 = 10000
г) 0,25 11 •4 11 = (0,25• 4) 11 = 1 11 = 1
д) 
1. Возвести в степень:
е) 
2. Найти значение выражения:
г) 
д) 
Возведение в степень степени.
Для любого числа а и произвольных натуральных чисел m и n:
По определению степени
( а m ) n = 
Правило: При возведении степени в степень основание оставляют тем же, а показатели перемножают.
1. Возвести в степень:
( а 3 ) 2 = а 6 ( х 5 ) 4 = х 20
( у 5 ) 2 = у 10 ( b 3 ) 3 = b 9
2. Упростите выражения:
а) а 3 •( а 2 ) 5 = а 3 •а 10 = а 13
б) ( b 3 ) 2 •b 7 = b 6 •b 7 = b 13
в) ( х 3 ) 2 •( х 2 ) 4 = х 6 •х 8 = х 14
г) ( у• у 7 ) 3 = ( у 8 ) 3 = у 24
3. Найдите значение выражений:
а)
б) 
1. Возвести в степень:
в) ( у 3 ) 2 г) ( b 4 ) 4
2. Упростите выражения:
3. Найдите значение выражений:
а)
б) 
Приложение
1ю Запишите произведение в виде степени:
б) 
2. Представьте в виде квадрата числа:
25 ; 0,16 ; 
.
3. Представьте в виде куба числа:
64 ; 0,125 ; 
.
4. Найти значения выражений:
1. Запишите произведение в виде степени:
б) 
в) с• с• с• с• с• с• с• с• с
2. Представьте в виде квадрата числа: 100 ; 0,49 ; 
.
3. Представьте в виде куба числа:
1000 ; 0,008 ; 
.
4. Найти значения выражений :
1. Запишите произведение в виде степени:
б) 
д) ( bс ) • ( bс ) • ( bс ) • ( bc )
2. Представьте в виде квадрата числа:
81 ; 0,64 ;
.
3. Представьте в виде куба числа:
216 ; 0,064 ; 
.
4. Найти значения выражений :
1. Представить в виде степени:
д) 2 2 •2 5 к) 0,2 3• 0,04
2. Представить в виде степени и найти значение по таблице:
1. Представить в виде степени:
д) 2 3 •2 6 к) 0,3 4 •0,27
2. Представить в виде степени и найти значение по таблице:
1. Представить в виде степени:
б) х 7 •х 8 ж) 3 4 •27
д) 2 4 •2 5 к) 0,2 2 •0,008
2. Представить в виде степени и найти значение по таблице:
1. Представьте в виде степени частное:
2. Найдите значения выражений:
в) 
г) 
д) 
1. Представьте в виде степени частное:
2. Найдите значения выражений:
в) 
г) 
д) 
1. Представьте в виде степени частное:
2. Найдите значения выражений:
в) 
г) 
д) 
Возведение в степень произведения.
1. Возвести в степень:
2. Найти значение выражения:
д) 
1. Возвести в степень:
е) 
2. Найти значение выражения:
г) 
1. Возвести в степень:
2. Найти значение выражения:
д) 
Возведение в степень степени.
1. Возвести в степень:
2. Упростите выражения:
3. Найдите значение выражений:
а)
б) 
1. Возвести в степень:
2. Упростите выражения:
3. Найдите значение выражений:
а)
б) 
1. Возвести в степень:
2. Упростите выражения:
3. Найдите значение выражений:
а)
б) 
Значение слова «степень»
1. Сравнительная величина, характеризующая что-л., мера чего-л. Степень сжатия газа. Степень продуктивности животноводства. Степень точности вычислений. □ Степень развития производительных сил определяет меру власти человека над природой. Плеханов, К вопросу о развитии монистического взгляда на историю.
2. только ед. ч. (с определением и предлогами „в“, „до“). Мера, предел; отношение. В слабой степени. В значительной степени. В равной степени. В достаточной степени. До известной степени. □ Городишко был скверный до последней степени. Мамин-Сибиряк, Без особенных прав. — Я не могу тебе выразить, до какой степени я дорожу его дружбой. Тургенев, Отцы и дети.
3. (в сочетании с числительным). Разряд, категория, класс. Матрос порвал историю болезни и справку врачей, дававшую ему вторую степень ограничения военной годности. Борзенко, Повинуясь законам Отечества. | О наградах, орденах. Орден Отечественной войны второй степени. Диплом сельскохозяйственной выставки третьей степени. □ Кто-то умер: на красной подушке Первой степени Анна лежит. Н. Некрасов, Утро. || Стадия (об ожоге, обморожении). Ожог первой степени. Обморожение третьей степени.
6. Ученое звание. Магистерская степень. Присудить степень кандидата наук.
7. Мат. Произведение нескольких равных сомножителей, результат повторного умножения числа на самого себя. Возвести десять в пятую степень.
Источник (печатная версия): Словарь русского языка: В 4-х т. / РАН, Ин-т лингвистич. исследований; Под ред. А. П. Евгеньевой. — 4-е изд., стер. — М.: Рус. яз.; Полиграфресурсы, 1999; (электронная версия): Фундаментальная электронная библиотека
Возведение в степень
Степень дифференциального уравнения
Степень точки — в геометрии
Степень выгорания ядерного топлива
Степень сжатия (двигателестроение)
Степень сохранности языков
СТЕ’ПЕНЬ, и, мн. и, е́й, ж. 1. Сравнительная величина, сравнительное количество, сравнительный размер, сравнительное качество чего-н. С. культурности. Высокая с. мастерства. С. родства (количество рождений, связывающих двух лиц с общим предком). Предусмотреть с. опасности. С. знания. 2. только ед. В косв. падежах в соединении с прилагательными образует выражения, обозначающие важность, значительность чего-н. или отношение к чему-н., характеризуемые прилагательным. В высшей степени (очень, чрезвычайно). В значительной степени (главным образом, в большей доле). В равной степени (одинаково). До (или в) известной (или некоторой) степени (отчасти, в нек-ром отношении). До какой степени (до каких пределов). До последней степени (вовсе, окончательно). Ни в какой степени или ни в малейшей степени (нисколько, совсем не). Да я думал, что ты не до такой степени прост, чтобы через две недели знакомства давать деньги взаймы. Гончаров. 3. Разряд, ступень, ранг. Он дойдет до степеней известных. Грибоедов. 4. Звание. Ученая с. кандидата, доктора (какой-н. науки). Присудить кому-н. ученую с. 5. Произведение равных множителей, результат повторного умножения числа на самого себя (мат.). Возведение в с. Показатель степени. Икс в пятой степени. 6. То же, что степень сравнения (см. ниже; грам.). Сравнительная с. Превосходная с. ◊
Источник: «Толковый словарь русского языка» под редакцией Д. Н. Ушакова (1935-1940); (электронная версия): Фундаментальная электронная библиотека
сте́пень
1. сравнительная мера, безразмерный количественный показатель ◆ Антимонопольное ведомство намерено определить степень конкуренции на российском рынке железорудного сырья.
2. звание, статус в какой-либо системе ценностей ◆ Учёная степень.
3. разряд, категория ◆ Наградить орденом Славы первой степени.
4. матем. величина, полученная умножением другой величины, называемой основанием, самой на себя определенное число раз, называемое показателем; также сам показатель при такой операции ◆ Возведение в степень. ◆ Пятая степень двойки равна тридцати двум.
5. лингв. степень сравнения, грамматическая категория прилагательного или наречия ◆ Категории сравнительной и превосходной степени прилагательного характерны для индоевропейских языков, включая балто-славянские.
Фразеологизмы и устойчивые сочетания
Делаем Карту слов лучше вместе
Привет! Меня зовут Лампобот, я компьютерная программа, которая помогает делать Карту слов. Я отлично умею считать, но пока плохо понимаю, как устроен ваш мир. Помоги мне разобраться!
Спасибо! Я стал чуточку лучше понимать мир эмоций.
Вопрос: билетёр — это что-то нейтральное, положительное или отрицательное?