Что такое стохастика в математике начальных классов
Что такое стохастика в математике начальных классов
Автор: Куликова Ольга Николаевна
Организация: МБОУ «Пичаевская СОШ»
Населенный пункт: Тамбовская область
Отличительной особенностью современного мира является то, что он меняется очень быстрыми темпами. В связи с тем, что происходит быстрое увеличение новой информации, знания, которые люди получают в школе, через небольшое количество времени устаревают, поэтому нуждаются в постоянном дополнении, коррекции. Востребованными становятся не конкретные знания человека, а умение человека учиться. В связи с этим Федеральный государственный образовательный стандарт начального общего образования в качестве главных результатов определил не предметные, а личностные и метапредметные универсальные учебные действия (УУД), то есть совокупность способов действий обучающегося, которая обеспечивает его способность к самостоятельному усвоению новых знаний.
Универсальные учебные действия необходимо формировать в начальной школе на всех уроках, при изучении всех тем.
Одним из направлений модернизации содержания математического образования в начальной школе является использование элементов стохастики, то есть области математики, которая объединяет комбинаторику, теорию вероятностей, математическую статистику, теорию игр и некоторые другие разделы математики.
В связи с действующими требованиями в школьный курс математики входят элементы комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики, которые дают возможность обучающимся накопить определенный запас представлений о статистическом характере окружающих явлений и их свойствах. В начальной школе рассматриваются некоторые вероятностные понятия, простейшие комбинаторные задачи, задачи с элементами наглядной и описательной статистики. Задачи имеют практическую направленность, основаны на реальных сюжетах. Они позволяют формировать у обучающихся универсальную математическую логику, умение находить оптимальные решения, развивают творческую активность.
В математике существует целый ряд задач, требующих нестандартного решения, позволяющих формировать у младших школьников такие психологические качества личности, как логичность, подвижность и гибкость мышления.
Изучение в курсе математики начальной школы элементов комбинаторики, теории графов, наглядной и описательной статистики позволит развить у школьников отдельные комбинаторные способности, вероятностные понятия («возможно», «невозможно», «чаще», «реже», и др.), статистическую культуру.
Появляется возможность расширения внутрипредметных и межпредметных связей (например, математики и естествознания), более глубокого раскрытия роли современной математики в познании окружающего мира, формирования научного мировоззрения.
Реализация вероятностной содержательно-методической линии в младших классах даст возможность школьникам:
а) научиться осуществлять несложный перебор всех возможных вариантов при решении простейших комбинаторных задач;
б) научиться пользоваться таблицами и графами;
в) получить представления о сборе и накоплении данных;
г) приобрести первоначальный опыт проведения простых статистических экспериментов;
д) научиться «читать» информацию, заданную с помощью простых диаграмм, таблиц, графов.
В процессе изучения стохастики у обучающихся развиваются такие общеучебные и практические умения, как умения наблюдать, сравнивать, классифицировать, измерять, анализировать жизненные ситуации, принимать обоснованные решения и др.
В учебнике «Математика» УМК «Перспектива» представлены комбинаторные задачи следующих типов:
— пропедевтика понятия «граф», 2 класс;
— простейшие задачи на правило произведения (решение методом перебора), 2, 4 классы;
— нахождение числа сочетаний по 2 из трех – пяти элементов, 2 класс;
— размещение без повторений, 2, 4 классы.
До последнего времени материалы по этой тематике, несмотря на их присутствие в учебниках математики, не являлись обязательными для овладения обучающимися. Учителя начальной школы рассматривали такие задачи как нестандартные и не всегда включали в свой урок. В настоящее время среди требований к уровню обученности младших школьников названо умение решать простейшие комбинаторные задачи. Комбинаторные задачи также включены во всероссийские проверочные работы по математике. При решении таких задач дети испытывают затруднения. Наблюдаются противоречия между требованиями ФГОС НОО в области начального математического образования и недостаточным количеством практических разработок для проведения уроков по новой учебно-методической линии «Стохастика».
В практике своей работы использую различные средства формирования статистических представлений: простейшие статистические исследования, стохастические игры, моделирование, опыты со случайными исходами. На уроках математики использую стохастические игры, таблицы, графы, диаграммы. Раздел «Элементы стохастики» включен в программу внеурочной деятельности «Занимательная математика».
Особый интерес вызывают у школьников стохастическиет игры, в которых возможно наблюдение явного, отчетливого проявления фактов стохастической природы. В игре направляется внимание обучающихся на явления, которые расширяют круг их представлений; воспитывается стремление узнавать, искать, что содействует умственному и общему развитию личности ребенка.
Учитывая возрастные особенности младших школьников, комбинаторные задачи решаются на основе рассуждений учащихся, составлением графов, размещением, таблиц, дерева решений.
Примером таких задач является:
Сколько различных нечетных двузначных чисел можно написать с помощью цифр 2, 3, 7, если:
а) цифры в числе могут повторяться;
б) цифры в числе не повторяются?
Запиши все эти числа.
2. Задача составление таблицы.
3. Задача «дерево» решений.
В парке 4 пруда. Было решено засыпать дорожки так, чтобы можно было пройти от одного пруда к другому кратчайшим путем, т. е. не нужно было идти в обход. Задание: покажи какие дорожки надо сделать.
4 Задача, решаемая методом организационного перебора.
В магазине продаются воздушные шары: красные, желтые, зеленые, синие. Какие наборы можно составить из двух разных шаров? Сколько наборов у тебя получилось?
Наблюдения показывают, что при работе с задачами с элементами стохастики отрабатываются и личностные УУД, так как обучающиеся учатся правилам поведения при совместной работе и сотрудничестве.
Активное участие школьники принимают во всероссийских дистанционных олимпиадах, блиц-турнирах, викторинах, конкурсах по математике. Каждый из участников получил сертификат участника или диплом победителя или призера.
Таким образом, формирование элементов стохастической культуры младших школьников в процессе обучения математике способствует не только развитию внутрипредметных и межпредметных связей, но и формирует мировоззрение, позволяет раскрыть роль современной математики в познании окружающей действительности.
Элементы стохастики в начальном курсе математики
Перед современной системой образования стоит цель развития таких свойств личности, которые необходимы самой личности и обществу для включения в социально-значимую деятельность, требующую применения методов логико-вариативного мышления, основанного на законах формальной логики и обязательного оценивающего все возможные исходы наблюдаемых явлений и событий.
В соответствии с требованиями модернизации математического образования основой для формирования навыков такого мышления являются прочные логические знания (об общих приёмах мышления, используемых людьми любого профиля для осуществления своей деятельности) и стохастические знания (о закономерностях, связанных со случайными явлениями)[1].
В современной математической, методической и дидактической литературе соединение элементов теории вероятностей (лат. probabilitas – вероятность), комбинаторики (лат. combina – сочетать, соединять) математической статистики (лат. status – состояние) и некоторых других разделов математики (теория множеств, теория графов, математическая логика и др.) называется стохастикой (греч. от stochazomai – предполагать) – учением о вероятностях.
В начальном курсе математики можно говорить об использовании только отдельных элементов стохастики, что связано с возрастными и психологическими особенностями младших школьников [1]. Изучение элементов стохастики предусмотрено федеральным государственным образовательным стандартом основного общего образования второго поколения с 5-го класса.
В примерных программах по математике для начальных классов в стандартах второго поколения выделена новая содержательная линия «Работа с данными», ориентированная на развитие у обучающихся умения работать с математической информацией на основе содержания всех разделов курса математики.
Е.П.Виноградова, Н.Б.Истомина, Л.Г.Петерсон, В.Н.Рудницкая считают оправданным начинать пропедевтику элементов стохастики в начальной школе, при этом, не вводя понятий или способов решения задач, недоступных восприятию младших школьников [3].
Одним из средств формирования универсальных учебных действий младших школьников является решение стохастических задач на уроках математики. На основе работ по стохастике в начальной школе стохастические задачи определяют как класс задач, в которых результат действий однозначно не определён. Стохастические задачи формируют стохастическую культуру школьника, развивают вероятную интуицию, способствуют развитию математической грамотности [7].
Стохастические задачи можно разделить на следующие виды:
Наряду с этим, опираясь на результаты исследований Е.Е.Белокуровой, Г.В.Воробьевой, Л.В.Тарасовой, можно определить, что в начальном курсе математики стохастика базируется на следующих разделах математики:
В соответствии с данными разделами рассмотрим стохастическое содержание материала по направлениям и типовые стохастические задачи и упражнения.
Элементы стохастической содержательно-методической линии начального курса математики. Основные типовые задания
Элементы теории множеств направлены на:
— формирование у обучающихся первоначальных представлений о конечных множествах и их элементах,
— понятий «принадлежит/не принадлежит элемент множеству»,
— знакомство с основными видами множеств и способами их задания.
У обучающихся формируются следующиепредметные УУД: выполнение операций над множествами, изображение множества с помощью диаграмм Эйлера-Венна, группировка объектов по заданному свойству. При выполнении операций над множествами у обучающихся, кроме предметных умений, формируются познавательные универсальные учебные действия (самостоятельное выделение познавательной цели; поиск и выделение информации; знаково-символические действия (моделирование); смысловое чтение) и познавательные логические УУД (анализ объектов с целью выделения признаков (существенных, несущественных); построение логической цепи рассуждений; выдвижение гипотез и их обоснование).
Типовые задания
Задание 1. Продолжите фразу:
Примечание: В задании 1 о множестве говорится в явном виде.
Задание 2. Дайте названия множествам:
Задание 3. Назовите группу чисел одним словом:
а) 2; 4; 7; 9; 6 _________________.
б) 18; 25; 33; 48; 57 _______________.
в) 231; 564; 872; 954 _________________.
Элементы математической логики
Обучение решению логических задач в начальной школе включает в себя:
— понимание смысла логических связок-слов «и», «или», «не», «если …то»;
— понимание смысла кванторных слов «все», «ни один», «каждый», «некоторый»;
— построение несложных составных высказываний с вышеназванными словами и определение их истинности;
— умение проводить классификацию, сравнение, аналогию, сериацию и т.д.
Без логических операций невозможно полноценное усвоение курса математики, именно слова логических операций служат основой формирования умений решать текстовые задачи.
В процессе решения логических задач у младших школьников развиваются следующие логические УУД: построение логической цепи рассуждений, доказательств, выдвижение гипотез и их обоснование.
Типовые задания
Задание 1. Выделите 2 слова из скобок, наиболее существенные для слова, стоящего перед скобками:
Задание 2. Выпишите черты сходства – слева, а справа – черты различия названных предметов или понятий: книга – тетрадь, солнце – луна, лошадь – корова, сани – телега, линейка – треугольник, дождь – снег.
Задание 3. Аня, Женя, Нина спросили, какие оценки им поставили за контрольную работу по математике. Учитель ответил: «Плохих оценок нет. У вас троих оценки разные. У Ани не «3». У Нины не «3» и не «5». Кто какую оценку получил?
Задание 4.
1) Даны числа 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10. Раздели их на две группы:
2) Даны числа 2; 13; 3; 43; 6; 55; 18; 7; 9; 31. Раздели на две группы:
3) Числа 22; 35; 48; 51; 31; 45; 27; 24; 36; 20 разбиты на 2 группы: четные и нечетные. На какой строчке классификация проведена правильно?
а) 31; 35; 27; 45; 51; 22 48; 24; 20; 36.
б) 3; 35; 27; 45; 51 27; 20; 24; 36; 22; 48.
в) 27; 31; 35; 45; 51 20; 24; 22; 36; 48.
г) 26; 31; 36; 35; 45; 51 20; 24; 22; 48.
Задание 5. Какие из данных предложений истинны (верны), а какие ложны (не верны):
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ НАЧАЛЬНЫХ КЛАССОВ
Окружающий нас мир насыщен информацией – разнообразные потоки данных окружают нас, захватывая в поле своего действия, лишая правильного восприятия действительности. Не будет преувеличением сказать, что информация становится частью действительности и нашего сознания. Без адекватных технологий анализа информации человек оказывается беспомощным в жесткой информационной среде. Поэтому современному человеку необходимо иметь представление об основных методах анализа данных и вероятностных закономерностях, играющих важную роль в науке, технике, экономике. В этой связи элементы комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики должны войти в школьный курс математики начальных классов в виде одной из сквозных содержательно-методических линий, которая даст возможность учащимся накопить определенный запас представлений о статистическом характере окружающих явлений и их свойствах.
Формирование статистической культуры, развитие вероятностной интуиции гораздо эффективнее начинать в раннем детстве, поэтому начальный курс математики вполне может стать той первой ступенью, с которой должна начаться пропедевтическая подготовка изучения этого раздела математики. Это подтверждается и зарубежным опытом.
В ряде развитых стран, таких как Великобритания, Германия, США, Франция, Япония и др., с вероятностными задачами учащиеся знакомятся в младших классах и на протяжении всего периода обучения в школе усваивают вероятностно-статистические подходы к анализу распространенных ситуаций, встречающихся в повседневной жизни. В начальных классах дети обучаются в основном сбору, представлению (в виде таблиц, диаграмм, графов) и анализу данных, накопленных в результате наблюдений за окружающей действительностью или по итогам организованных учителем практических работ. В средних и старших классах учащиеся получают представления о простейших свойствах стохастических явлений и обработке статистических данных, о статистических закономерностях в реальном мире и математических методах их изучения.
В России за последнее десятилетие сделаны реальные шаги к введению в школьный курс математики стохастической содержательно-методической линии. Разработаны проекты концепции школьного математического образования, экспериментальные учебные программы, базисные и школьные учебные планы, новые учебники математики для средней школы, в которых представлен стохастический материал, появился ряд научно-методических работ, посвященных этой проблеме /1/. В одобренной в 2000г. Всероссийским совещанием работников образования «Концепции структуры и содержания общего среднего образования» провозглашено, что обновление содержания математики связано прежде всего с введением в школьный курс вероятностно-статистического материала, необходимого для жизни в современном обществе.
В Республике Казахстан в настоящее время в курсе математики начальных классов элементы теории вероятностей и математической статистики практически не представлены. Они не отражены в Государственном образовательном стандарте, в действующих Программах для начальной школы, в учебниках и других методических и дидактических материалах для учителя. В то же время в новых учебниках математики для средней школы имеется вероятностный материал. Например, в учебнике Алгебры для 7 класса включен параграф, состоящий из трех пунктов, в которых вводятся основные понятия теории вероятностей с примерами /2/.
Для обеспечения преемственности обучения между начальным и средним звеном общеобразовательной школы целесообразно ввести в начальный курс математики вероятностную содержательно-методическую линию. Она может быть представлена в виде элементов комбинаторики, теории графов, наглядной и описательной статистики. С их изучением тесно связано формирование у младших школьников отдельных комбинаторных способностей, вероятностных понятий («чаще», «реже», «невозможно», «возможно» и др.), статистической культуры.
Такое содержание учебного материала способствует развитию внутрипредметных и межпредметных связей (в частности, математики и естествознания), позволяет осуществлять прикладную направленность курса, раскрывает роль современной математики в познании окружающей действительности, формирует мировоззрение.
Реализация вероятностной содержательно-методической линии в младших классах даст возможность школьникам:
а) научиться осуществлять несложный перебор всех возможных вариантов при решении простейших комбинаторных задач;
б) научиться пользоваться таблицами и графами;
в) получить представления о сборе и накоплении данных;
г) приобрести первоначальный опыт проведения простых статистических экспериментов;
д) научиться «читать» информацию, заданную с помощью простых диаграмм, таблиц, графов.
В процессе изучения стохастики у школьников получают дальнейшее развитие такие общеучебные и практические умения, как умения наблюдать, сравнивать, классифицировать, измерять, анализировать жизненные ситуации, принимать обоснованные решения и др.
Средствами формирования первоначальных статистических представлений могут быть: стохастические игры; моделирование; опыты со случайными исходами; простейшие статистические исследования.
Вероятностные модели обладают рядом ценных качеств, которые весьма полезны в образовательном процессе и в школе, и в вузе. Во-первых, на этих моделях четко прослеживаются все этапы использования математики в решении практических задач (формализация, исследование, интерпретация). Во-вторых, все элементарные вероятностные модели взяты из реальной действительности. В-третьих, значительное большинство задач по теории вероятностей отличается содержательностью и неформализованностью. В-четвертых, наш мир построен на вероятности, нам часто приходится сталкиваться с ситуациями, разрешить которые обычными жестко детерминированными способами порой бывает невозможно.
Пример 1. Для того чтобы оценить число рыб в пруду, поступают следующим образом. Сетью ловят, скажем, 200 рыб, ставят на них метки и отпускают обратно в пруд. Через некоторое время снова ловят 200 рыб. Пусть среди них всего 4 рыбы окажутся помеченными. 200 рыб составляют случайную выборку. Раз на каждые 200 рыб приходятся четыре помеченных, то 200 помеченных рыб приходятся примерно на 10000, т.е. в пруду примерно 10000 рыб.
Пример 2. Для определения количества деревьев в некотором лесном массиве обычно поступают так. Подсчитывают количество деревьев на небольшом участке и увеличивают полученное число во столько раз, во сколько площадь всего лесного массива больше площади выделенного участка. Подсчитай этим способом, сколько примерно деревьев растет на участке площадью 12 га, если на участке 50 х 50 м насчитали 52 дерева.
Несмотря на простоту и доступность примеров, в их основе лежит совершенно нетривиальная идея случайного. Данные задачи вполне по силам учащимся начальных классов, так как они относятся к задачам с пропорциональными величинами /3/.
Используя данные, полученные на практике, можно при помощи теории вероятностей получить такие теоретические распределения частот или вероятностей, которые служат для описания реально встречающихся в педагогической деятельности распределений.
Приведем некоторые простейшие комбинаторные и вероятностные задачи, работа над которыми позволит проводить пропедевтику основных понятий комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики.
Пример 1. Результаты контрольной работы, написанной двадцатью пятью учащимися класса, следующие:
3, 5, 3, 4, 4, 4, 5, 2, 3, 3, 4, 3, 5, 2, 3, 4, 5, 3, 3, 4, 4, 3, 4, 4, 5. Заполни таблицу. Найди среднюю отметку класса за контрольную работу.