Что такое вектор искомых переменных
Как поступить, если бригада 1 в задаче
Требуется построить три объекта Oбj 
. К работе могут быть привлечены три бригады Брi 
. Каждая бригада из-за ограниченности своих ресурсов может одновременно строить только один объект. Каждый объект из-за технологических особенностей может строиться только одной бригадой. Известны сметные стоимости, которые установлены 
бригадой для 
объекта. Эти суммы (в тыс. руб.) приведены в матрице затрат 
:
| Об1 | Об2 | Об3 | |
|---|---|---|---|
| Бр1 | 76 | 86 | 96 |
| Бр2 | 66 | 76 | 86 |
| Бр3 | 56 | 66 | 76 |
не хочет брать объект 1?
Если все бригады в задаче
Требуется построить три объекта Oбj . К работе могут быть привлечены три бригады Брi . Каждая бригада из-за ограниченности своих ресурсов может одновременно строить только один объект. Каждый объект из-за технологических особенностей может строиться только одной бригадой. Известны сметные стоимости, которые установлены бригадой для объекта. Эти суммы (в тыс. руб.) приведены в матрице затрат :
| Об1 | Об2 | Об3 | |
|---|---|---|---|
| Бр1 | 76 | 86 | 96 |
| Бр2 | 66 | 76 | 86 |
| Бр3 | 56 | 66 | 76 |
могут взять по два объекта, то как это оформить?
Если все объекты в задаче
Коммивояжер должен объехать 7 городов. Выехав из одного города, он должен вернуться в него, заехав в каждый из других городов только один раз. Маршрут коммивояжера должен представлять собой замкнутый цикл без петель. Требуется найти кратчайший замкнутый путь коммивояжера. Карта расположения городов показана на рисунке. Расстояния между городами показаны в таблице.
могут обслуживаться двумя бригадами, то как это оформить?
Оптимизация производственных моделей
Задача 2.3. Учет стоимости материалов
| Вид сырья | Затраты пряжи на 1 шт. | Цена сырья, руб./кг | |
|---|---|---|---|
| свитер | кофточка | ||
| Шерсть | 0,4 | 0,2 | 300 |
| Силон | 0,2 | 0,1 | 200 |
| Нитрон | 0,1 | 0,1 | 150 |
| Цена, руб./шт. | 600 | 500 | |
Составим ментальную карту со схемой формирования выручки:
Таблица данных в MS Excel выглядит так:
Оптимальное решение задачи : при выпуске 1000 свитеров и 2000 кофточек доход составит 1 235 000 руб. Затраты на сырье составят 365 000 руб.:
Финансовую деятельность можно также отнести к производственной деятельности. Руководство цеха управляет потоками сырья и материалов, чтобы производить только то, что выгодно. Финансовый отдел предприятия управляет потоками капитала, чтобы обеспечить безубыточность производства, получение максимальной прибыли. Деятельность финансового отдела направлена на выбор новых инвестиционных проектов, организацию внешних заимствований, формирование портфеля ценных бумаг.
Особенностью финансовой деятельности является наличие рисков потери вложенных средств. Чаще всего, риски тем выше, чем больше доходность вложений. Поэтому оптимальное решение сводится к выбору вариантов приемлемого дохода при наименьших рисках. Рассмотрим, например, задачу об оптимизации пакета акций.
Задача 2.4. Формирование портфеля инвестиций
Инвестор принимает решение о вложении капитала в 1 млн. руб. Выбраны акции трех предприятий А, В и С. При принятии решения требуется учесть следующие условия:
| Наименование | Дивиденды по акциям (%) | Надежность акций (баллы) |
|---|---|---|
| А | 10 | 2 |
| В | 6 | 5 |
| С | 6,5 | 3 |
Какую максимальную прибыль можно получить в первый год инвестиций?
Решение задачи начнем с формирования таблицы в MS Excel :
Максимальная прибыль в конце первого года составит 86631,67 руб.
Ключевые термины
Вектор искомых переменных 
— количество запланированной к выпуску продукции по ассортименту.
Вектор обязательных поставок — количество продукции по ассортименту, запланированной к сбыту по договорам.
Матрица нормативных коэффициентов — удельные затраты материалов на единицу продукции по ассортименту. Первый индекс фиксирует вид продукции в ассортименте. Второй индекс фиксирует вид исходного материала.
Вектор расхода материала 
— общий расход материалов по видам.
Вектор ресурсов 
— производственный запас материалов на период.
Вектор цены 
— цена продукции по ассортименту.
Целевая функция 
— стоимость выпущенной продукции.
Краткие итоги
Планирование выпуска продукции должно преследовать основную цель производства — получение максимальной прибыли. Эта задача актуальна для любого предприятия. Примеры ее решения, показанные в лекции и далее в упражнениях, позволяют автоматизировать поиск решения и снизить неизбежные риски.
Оптимизация производственных моделей
Задача 2.3. Учет стоимости материалов
| Вид сырья | Затраты пряжи на 1 шт. | Цена сырья, руб./кг | |
|---|---|---|---|
| свитер | кофточка | ||
| Шерсть | 0,4 | 0,2 | 300 |
| Силон | 0,2 | 0,1 | 200 |
| Нитрон | 0,1 | 0,1 | 150 |
| Цена, руб./шт. | 600 | 500 | |
Составим ментальную карту со схемой формирования выручки:
Таблица данных в MS Excel выглядит так:
Оптимальное решение задачи : при выпуске 1000 свитеров и 2000 кофточек доход составит 1 235 000 руб. Затраты на сырье составят 365 000 руб.:
Финансовую деятельность можно также отнести к производственной деятельности. Руководство цеха управляет потоками сырья и материалов, чтобы производить только то, что выгодно. Финансовый отдел предприятия управляет потоками капитала, чтобы обеспечить безубыточность производства, получение максимальной прибыли. Деятельность финансового отдела направлена на выбор новых инвестиционных проектов, организацию внешних заимствований, формирование портфеля ценных бумаг.
Особенностью финансовой деятельности является наличие рисков потери вложенных средств. Чаще всего, риски тем выше, чем больше доходность вложений. Поэтому оптимальное решение сводится к выбору вариантов приемлемого дохода при наименьших рисках. Рассмотрим, например, задачу об оптимизации пакета акций.
Задача 2.4. Формирование портфеля инвестиций
Инвестор принимает решение о вложении капитала в 1 млн. руб. Выбраны акции трех предприятий А, В и С. При принятии решения требуется учесть следующие условия:
| Наименование | Дивиденды по акциям (%) | Надежность акций (баллы) |
|---|---|---|
| А | 10 | 2 |
| В | 6 | 5 |
| С | 6,5 | 3 |
Какую максимальную прибыль можно получить в первый год инвестиций?
Решение задачи начнем с формирования таблицы в MS Excel :
Максимальная прибыль в конце первого года составит 86631,67 руб.
Ключевые термины
Вектор искомых переменных — количество запланированной к выпуску продукции по ассортименту.
Вектор обязательных поставок — количество продукции по ассортименту, запланированной к сбыту по договорам.
Матрица нормативных коэффициентов — удельные затраты материалов на единицу продукции по ассортименту. Первый индекс фиксирует вид продукции в ассортименте. Второй индекс фиксирует вид исходного материала.
Вектор расхода материала — общий расход материалов по видам.
Вектор ресурсов — производственный запас материалов на период.
Вектор цены — цена продукции по ассортименту.
Целевая функция — стоимость выпущенной продукции.
Краткие итоги
Планирование выпуска продукции должно преследовать основную цель производства — получение максимальной прибыли. Эта задача актуальна для любого предприятия. Примеры ее решения, показанные в лекции и далее в упражнениях, позволяют автоматизировать поиск решения и снизить неизбежные риски.
Оптимизация производственных моделей
Структура производственных моделей
Производственная математическая модель предназначена для формирования оптимального производственного плана или технологических операций при ограниченных временных, материальных, трудовых и производственных ресурсах [3]. Критерием оптимальности является получение максимума прибыли или минимума издержек. Само планирование состоит обычно в определении количества выпускаемой продукции или составляющих в пределах заданного ассортимента. Чтобы создать математическую модель производственной фирмы, надо определить следующие параметры:
Задача 2.1. Составление производственного плана
Фабрика выпускает сумки: женские, мужские, дорожные. Данные о материалах, используемых для производства сумок и месячный запас сырья на складе приведены в таблице.
| Материалы | Нормы расхода | Месячный запас материалов | |||
|---|---|---|---|---|---|
| Сумка женская | Сумка мужская | Сумка дорожная | Сумка спортивная | ||
| Кожа (м 2 ) | 0,5 | 75 | |||
| Кожзаменитель (м 2 ) | 0,3 | 1,5 | 1,0 | 150 | |
| Подкладочная ткань (м 2 ) | 0,6 | 0,4 | 1,7 | 1,5 | 300 |
| Нитки (м) | 20 | 10 | 30 | 25 | 8000 |
| Фурнитура-молния (шт.) | 4 | 5 | 3 | 6 | 1500 |
| Фурнитура-пряжки (шт.) | 2 | 2 | 2 | 2 | 800 |
| Фурнитура разная (шт.) | 2 | 2 | 4 | 6 | 1000 |
По информации, полученной при изучении рынка продаж, ежемесячный спрос на продукцию фабрики составляет
Отделом маркетинга были заключены договоры на поставки на следующий месяц.
Найти оптимальный план производства сумок каждого типа, обеспечивающий максимальную выручку при реализации продукции и обеспечивающий удовлетворение рыночного спроса.
При разработке программ обычно составляют подробный алгоритм их реализации. Здесь также составим наглядную ментальную карту по исходным данным задачи. Ментальная карта должна проиллюстрировать основную формулу математической модели (рисунок 2.1):
Ментальную карту выполним в виде столбцов со списками данных (рисунок 2.2):
Продукцию мы представляем в виде вектора искомых переменных производственного плана 
. Составляющие этого вектора — количество сумок данного типа, запланированные к производству в следующем месяце. Второй столбец представляет собой вектор обязательных поставок 
. Вектор поставок должен быть меньше вектора переменных .
В третьем столбце представлена матрица нормативных коэффициентов 
— удельных затрат материалов на каждый вид сумки. Индексы определяют один из четырех видов продукции и один из семи видов ресурсов.
Вектор расхода материала 
в четвертом столбце определяется произведением матрицы нормативных коэффициентов на вектор искомых значений переменных . Вектор расхода материала не должен превышать вектор ресурсов , составляющие которого приведены в последнем столбце.
Целевая функция формируется скалярным произведением вектора цены на вектор искомых значений переменных . Критерий оптимальности плана — получение максимального значения выручки — целевой функции 
.
Подставляя в общие выражения исходные численные значения задачи, получим выражение для целевой функции :
Оптимальному решению задачи отвечает максимальное значение целевой функции при следующих условиях и ограничениях:
| Выражение | Знак отношения | Ресурс | Примечание | |
|---|---|---|---|---|
 |  =» style=»display: inline; «> | 150 | Выполнение договорных поставок | сумки женские |
 | =» style=»display: inline; «> | 70 | сумки мужские | |
 | =» style=»display: inline; «> | 50 | сумки дорожные | |
 | =» style=»display: inline; «> | 30 | сумки спортивные | |
 | Целые | Доли сумок не выпускаются | ||
 |  | 75 | Ограничение на расход материалов | кожа |
 | | 150 | кожзаменитель | |
 | | 300 | подкладочная ткань | |
 | | 8000 | нитки | |
 | | 1500 | фурнитура-молнии | |
 | | 800 | фурнитура-пряжки | |
 | | 1000 | фурнитура-разная | |
Отформатированная таблица представлена на рисунке 2.4. В ячейки для искомых переменных В12:Е12 можно вставлять, вообще говоря, любые числа. Программа выполнит подбор их числовых значений в соответствии с условиями задачи. Однако чаще всего в качестве начальных значений вводят 0 (как на рисунке 2.4) или 1 (как на рисунке 2.5).
После вставки формул по команде Данные — Поиск решения вызовем диалог и заполним поля, как показано на рисунке 2.5. Адреса ячеек нужно не набирать вручную, а показывать мышью. Вызывать поля ограничений для записи нужно кнопкой «Добавить». На рисунке показано, что введены ограничения на целостность искомых переменных, на превышение выпуска продукции над обязательными поставками и на не превышение расхода материалов над запасами их на складе. Не отрицательность переменных учитывается в диалоге автоматически.
После выполнения команды «Найти решение» будет выдан результат расчета: значения искомых переменных и соответствующий расход материалов (рисунок 2.6):
Таким образом, мы нашли, что максимально возможная выручка может составить 677500 руб. Для этого сверх договорных поставок мы должны изготовить 35 мужских сумок и 9 дорожных сумок. При этом на складе останется около 10% запаса материалов, кроме кожи и кожзаменителя, которые будут израсходованы полностью. Для сохранения результата нужно нажать кнопку «Сохранить сценарий «, в диалоге дать имя сценарию «Сумки_1».
Оптимизация математической модели фактически закончена. Но теперь нужно перейти обратно от модели к реальной ситуации, т.е. принять управленческое решение. А что будет, если не удастся реализовать сумки, изготовленные сверх потребности? Ясно, что выручка будет равна только сумме, перечисленной от покупателей по договорным обязательствам. Тогда, может быть, и не изготавливать излишнюю продукцию? А сколько при этом останется материалов на складе? Руководитель предприятия на основе данного анализа должен иметь возможность принять решение о создании запасов как буферных (запас материалов для компенсации задержек в поставках), так и гарантийных (запас продукции для удовлетворения ожидаемого спроса).
Полученное решение оптимально — оно отвечает максимуму целевой функции и удовлетворяет заданным ограничениям. Сохраним второй сценарий под именем «Сумки_2».
А теперь подготовим графические материалы для отчета по составлению производственного плана. Представим остатки материалов на складе в конце следующего месяца для двух вариантов плана: для максимальной выручки и только для обязательных поставок.
По команде на ленте «Данные» — Анализ «что если» — Диспетчер сценариев — Отчет получим отчет по сценариям. Отредактируем отчет вручную по примеру, приведенному на рисунке 2.8:
Для построения гистограмм остатков на складе проведем сортировку данных по убыванию и построим гистограммы по команде Вставка — Гистограмма (показаны на рисунке 2.9):
Таким образом, планируемая максимальная выручка в 677500 руб. обеспечена материальными ресурсами фабрики. Выпуск сумок только по обязательным договорным поставкам уменьшит выручку до 635000 руб. При этом остатки материалов на складе увеличатся.