Что такое верное неравенство в математике 5 класс

Вы смотрели конспект по математике «Числовые неравенства. Сравнение чисел». Если у Вас есть диплом ВУЗа или колледжа и Вы хотите преподавать математику в школе, то «Институт современных технологий, управления и бизнеса» приглашает Вас пройти обучение: Учитель математики дистанционная переподготовка.

Источник

Верные и неверные равенства и неравенства

Презентация к уроку

Планируемые результаты (универсальные учебные действия).

(96) Неявное сравнение. Выделение существенных признаков понятий “верное равенство”, “неверное равенство”.

(97) Составление новых объектов (свободное конструирование). Нахождение значений выражений.

(94) Сравнение текстов с целью подведения под понятие “задача”. Решение задачи.

1. Организационный момент.

Долгожданный дан звонок,
Начинается урок!
Начинаем мы опять:
Решать, отгадывать, считать!
Пожелаем всем удачи –
За работу, в добрый час!

Встанем, повернёмся, наклоном головы поприветствуем наших гостей.

Введение в тему урока.

Учитель.

— Ребята, чтобы в очередной раз нам попасть в страну математика, мы должны отгадать загадку:

Стоит трёхглавый великан
Он правила расскажет нам,
Кому куда идти и ехать,
Чтоб не создать затор, помехи.
Если загорелся красный,
Стой! Движение опасно!
Загорелся жёлтый свет,
Ожидай, движенья нет!
Свет зелёный на табло,
Движение разрешено.
— Что это? ( Светофор).

-Светофор задаёт вопрос: На какой свет разрешено переходить дорогу?

— Переходим, когда загорается зелёный свет, дорогу переходим аккуратно, особенно в зимний период. Зимой на дорогах очень скользко.

— Но загорелся красный свет, светофор не пропускает нас в страну математика, он хочет проверить, как мы знаем таблицу сложения, как мы умеем считать устно. Давайте покажем светофору. Готовы? Да.

2. Актуализация знаний. Повторение пройденного материала.

— В стране математика на небе появились тучки, они мешают нам познакомиться с новыми жителями страны. Чтобы их разогнать, нужно выполнить задание – найти значения выражений, а поможет вам знание таблицы сложения. Готовы? Да.

— Посмотрите ребята на доску, кто нас встречает в стране математика? Как называются эти знаки? (больше, меньше, равно)

— Как мы называем математические записи с такими знаками? (РАВЕНСТВА И НЕРАВЕНСТВА)

— Так какую математическую запись называем равенством или неравенством? (Математическую запись, в которой есть знаки = называем равенством или неравенством).

— Ребята, посмотрите, загорелся зелёный свет, мы верно выполнили задание, правильно ответили на вопросы. Смело отправляемся в страну математика.

— Все ваши умения пригодятся сегодня на уроке, а внимание – особенно. Скажите, какое сегодня число? ( 25 февраля)

— Вспомним всё, что знаем о числах 2 и 5.Какие это числа – однозначные или двузначные?

– Это числа однозначные, т.к. при их записи используется одна цифра.

— Какие это числа: натуральные или ненатуральные?

– Эти числа натуральные, т.к. стоят в натуральном ряду чисел.

— О каком числе мы говорим, что оно ненатуральное? Почему?

— Число 0 ненатуральное число. Число ноль ничего не обозначает.

— Правильно. В переводе с латинского слово “нулус” означало ничто, а в Древней Индии отсутствие чего-либо обозначали пустым кругом.

— Какие числа являются предшествующими для чисел 2 и 5? (1 и 4)

— Какие следующие за числами 2 и 5. (3 и 6)

— Какое из этих чисел (2 и 5) больше, и на сколько? (3)

— Как узнал? Как узнать на сколько одно число больше или меньше другого?

(Чтобы узнать, насколько одно число больше или меньше другого, нужно из большего числа вычесть меньшее.)

— Пропишем числа “в воздухе”.

— Молодцы! Закрываю презентацию, открываю доску.

– Запишем сначала предшествующие числа в соседних клеточках 1 4, запишем следующие числа 3 6 в соседних клеточках (показываю указкой всё на доске).

— Кому трудно, можно поработать фломастером на волшебной страничке.

— Запишите все числа, которые встретились нам в чистописании в порядке возрастания, на новой строчке, через клеточку.

— Что у вас получилось? Прочитай (Учитель записывает на доске). Можем мы назвать эту запись натуральным рядом чисел? Нет, почему? 0 – не натуральное число.

— Пойти к доске, составить с числами 2 и 5 равенства и неравенства. Где нужно вставь число два, где нужно, число 5!

— Какую математическую запись мы называем равенством или неравенством?

— Почему записи на доске мы не можем назвать выражением? Что такое выражение?

— Правильно. Выражение – запись, в которой числа соединены знаками действий. Знаков сравнения в выражениях нет. Садись, молодец.

ЗАКРЫВАЮ ДОСКУ, ОТКРЫВАЮ ПРЕЗЕНТАЦИЮ

Работа над новым материалом. Проблема: Неявное сравнение.

-Ребята, внимание на доску. Сегодня в страну математика с нами отправились Саша и Катя. Посмотрите на задания, которые они выполняли. Как называются такие математические записи?

— Равенства и неравенства.

— Верно, мы видим знаки сравнения. Прочитайте задание.

— Хочу обратить ваше внимание, вам было сделано предупреждение ещё в начале урока, чтобы вы были предельно внимательными. Катя и Саша выполняли ОДИНАКОВЫЕ задания, но знаки сравнения (показываю указкой на доске) в первой и второй строчках у них разные. Значения выражений не совпадают. Почему так произошло?

— Исправьте у себя на листочках Катину ошибку.

— Вторая строчка, кто допустил ошибку? (Ошибку допустил Саша, 8-5=3, а 3 больше двух)

— Исправим. Проверим. Слайд.

— Третья строчка, кто допустил ошибку? Ошибку допустила Катя. 7-2=5, а 5 больше четырёх на один. Исправим. Проверим. Слайд.

— Четвёртая строка – ошибку допустил Саша. 4+4=8, а 8 больше 7. Проверим.

— Посмотрите внимательно, что у нас получилось. Равенства и неравенства у нас остались? (да)

— Но какие-то из них верные, а какие-то нет! Выпишите в тетрадь ВЕРНЫЕ равенства и ВЕРНЫЕ неравенства – т.е. те, в которых ребята не допустили ошибок.

3. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА в тетрадях

СЛАЙД с выполненным заданием.

— Встаньте те, у кого запись совпадает с записью на доске. Какие равенства и неравенства вы выписывали? Верные.

— Без ошибок, без несоответствий, то есть ВЕРНЫЕ! А почему не записали остальные равенства и неравенства? Там есть ошибки.

— Т.е. мы не выписывали те, которые ребята выполнили неверно!

— Верные мы выписали, неверные нет (показываю на доске). Так какие бывают равенства и неравенства?

Вывод: Равенства и неравенства бывают верные и неверные.

— Правильно. Равенства и неравенства без ошибок, без несоответствий называют ВЕРНЫМИ, а равенства и неравенства, где левая часть не соответствует правой (или её значение), о таких неравенствах говорят, что это неравенства неверные.

Вы молодцы, вы хорошо поработали, давайте отдохнём.

4. ФИЗМИНУТКА (СЛАЙД).

5. Закрепление материала. Работа по учебнику:

— Ребята откройте учебники на странице 38, найдите номер 94 ( Сравнение текстов с целью подведения под понятие “задача”. Решение задачи.).

— Сравните тексты. Какой из них является задачей? Вспомним, какой текст мы называем задачей?

— Текст, в котором есть условие, вопрос, числовые данные для ответа на него, мы называем задачей.

— Так какой из текстов является задачей, докажи?

— Второй текст является задачей, так как в нём есть вопрос, есть числовые данные для ответа на него.

— Прочитай вслух ещё раз ЗАДАЧУ. (СЛАЙД С ЗАДАЧЕЙ)

— О чём говорится в задаче? (О игрушках на полке – куклах и мишках).

ЧИТАЕТ УЧЕНИК: Сколько игрушек на полке?

— Сможем ли мы ответить на вопрос в задаче? (да)

— Докажи. Что мы должны знать, чтобы ответить на вопрос в задаче?

(Количество мишек, количество кукол)

— Известно сколько плюшевых мишек стояло на полке? (да, 3)

— Известно сколько кукол стояло на полке? (да, 3)

— Нас просят решить задачу, записав выражение. После найти его значение.

— Какое действие запишем в выражении, чтобы узнать, сколько всего игрушек стояло на полке? (действие сложения)

— Выйди к доске и запиши выражение, с помощью которого мы ответим на вопрос в задаче.

ЗАКРЫВАЮ ПРЕЗЕНТАЦИЮ, ОТКРЫВАЮ ДОСКУ

ВЫХОД УЧЕНИКА К ДОСКЕ

— Эти числа обозначают количество мишек и количество кукол. Складываем эти числа. Действие сложения записываем с помощью знака +.

— Найдите значение этого выражения: 3+3=6.

— Что обозначает число 6? (количество всех игрушек, сколько игрушек всего)

— Давайте проверим себя, правильно ли мы ответили на вопрос в задаче – пересчитаем все игрушки на рисунке. Поставили пальчики в учебник – считаем. Мы решили верно. 6=6

— Запиши на доску, а вы ребята в тетрадь это равенство: 6=6.

— Ребята, посмотрите внимательно на нашу запись – там, где записано решение задачи. Мы записали выражение, нашли его значение, что у нас получилось? Как называется такая математическая запись? РАВЕНСТВО

— Какое это равенство? ВЕРНОЕ РАВЕНСТВО

ЗАКРЫВАЮ ДОСКУ И ОТКРЫВАЮ ПРЕЗЕНТАЦИЮ: 3+3=6

— Поменяйте значение выражения так, чтобы получилось неверное равенство. Перечислите свои неверные равенства ( дети называют с мест).

— Поменяйте знак сравнения так, чтобы получилось верное неравенство. Назовите своё неравенство. Сверим с доской:

— Так какие бывают равенства и неравенства? (Полный ответ: равенства и неравенства бывают верные и неверные.)

— Там, где есть несоответствия между сравниваемыми записями слева и справа, мы говорим о неверном сравнении – неверных равенствах и неравенствах.

— В нашей стране математика давно закончился дождь. А после дождя, что мы обычно видим на небе? Красивую радугу. Если будете внимательно следить за жителем страны Математика – Котёнком Квадратиком – глазками – вы увидите красивую радугу.

6. ФИЗМИНУТКА для глаз.

7. Составление новых объектов, свободное конструирование.

— Найдите в учебнике номер 97. СЛАЙД

— Кроме млекопитающих животных на рисунке изображены насекомые и птицы. Относим ли мы их к царству животных или мы их относим к царству растений или грибов?

— Да, мы их относим к царству животных. Значит все объекты на рисунке – это животные.

Читаю по учебнику задание: запиши столько сумм, сколько на рисунке животных обитающих в воде. Запиши столько разностей, сколько животных обитающих на суше. Мы разделимся, задание будем выполнять по вариантам.

— Первый вариант запишет столько сумм, сколько на рисунке животных, обитающих в воде. Второй вариант запишет столько разностей, сколько животных, обитающих на суше. Хочу обратить ваше внимание на животное – гусь. Где он может находиться? И в воде, и на суше. Значит и первый, и второй вариант будут его учитывать.

— Давайте определим, сколько животных, обитающих в воде?

Первый вариант?(4) Перечисли – МОРЖ, ДЕЛЬФИН, КИТ, ГУСЬ. Проверим! Слайд.

— Давайте определим, сколько животных, обитающих на суше? Второй вариант?(5) Перечисли – БЕЛКА, БАБОЧКА, ГУСЬ, ЁЖИК, ОСА. Проверим! Слайд.

— Следовательно первый вариант самостоятельно записывать 4 суммы, не находя их значение. Второй – 5 разностей, не вычисляя их. Помните, что вы записываете выражения, не находя их значений. Найдите на листочках номер 97 – подписан. Вставьте в окошки нужные числа, любые.

8. Оценка и самооценка.

— Обменяйтесь листочками, проверьте, правильно ли выполнил задание ваш сосед по парте. Найдите значения выражений вашего соседа, запишите их простым карандашом. Обменяйтесь, проверьте. Можно стереть ластиком, записать свой вариант ответа, если нашли ошибку.

— Прочитаем, что у вас получилось. Первый вариант. Второй вариант.

— Ребята, вы записали выражения, нашли их значения, что у вас получилось, как мы называем такие математические записи? РАВЕНСТВА

— Равенства, в которых мы не допустили ошибок, какие они – верные или неверные? ВЕРНЫЕ.

— Надеюсь, что неверных равенств у нас в этом задании нет, или если есть, то очень мало. Листочки вложите в тетрадь, а я проверю, как справились с заданием.

9. Итог урока: Вывод. Самооценка универсальных учебных умений, действий. Презентация.

— Ребята, какие математические записи называем равенством и неравенством? Записи, в которых есть знаки сравнения, называем равенствами и неравенствами.

— Какие бывают равенства и неравенства? Равенства и неравенства бывают верными и неверными.

— Какие равенства и неравенства называем неверными? Это математические записи, где знаки сравнения поставлены неверно.

— Ребята, у вас на партах у каждого есть по два билета. Вам нужно выбрать и один из них взять в руки. Возьмите в руки цветной билет, если вы поняли, что такое верные и неверные равенства и неравенства. С этим билетом вы можете смело дальше путешествовать по стране Математика. Если вы не поняли, как различить верные и неверные равенства и неравенства, возьмите в руки черно-белый билет. С этим билетом на следующих уроках математики нужно быть внимательнее. Поднимите, покажите, все ли у нас с билетами. Молодцы! Урок закончен, идите отдыхать.

Источник

Алгебра. Урок 8. Неравенства, системы неравенств.

Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Неравенства” на канале Ёжику Понятно.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

Неравенства

Что такое неравенство? Если взять любое уравнение и знак = поменять на любой из знаков неравенства:

то получится неравенство.

Линейные неравенства

Линейные неравенства – это неравенства вида:

a x b a x ≤ b a x > b a x ≥ b

где a и b – любые числа, причем a ≠ 0, x – переменная.

Примеры линейных неравенств:

3 x 5 x − 2 ≥ 0 7 − 5 x 1 x ≤ 0

Решить линейное неравенство – получить выражение вида:

x c x ≤ c x > c x ≥ c

где c – некоторое число.

Последний шаг в решении неравенства – запись ответа. Давайте разбираться, как правильно записывать ответ.

Смысл выколотой точки в том, что сама точка в ответ не входит.

Смысл жирной точки в том, что сама точка входит в ответ.

Таблица числовых промежутков

Алгоритм решения линейного неравенства

a x b a x ≤ b a x > b a x ≥ b

Примеры решения линейных неравенств:

№1. Решить неравенство 3 ( 2 − x ) > 18.

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

− 3 x > 18 − 6 − 3 x > 12 | ÷ ( − 3 )

№2. Решить неравество 6 x + 4 ≥ 3 ( x + 1 ) − 14.

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

6 x + 4 ≥ 3 x + 3 − 14

6 x − 3 x ≥ 3 − 14 − 4

x ≥ − 15 3 ⇒ x ≥ − 5 Остается записать ответ (см. таблицу числовых промежутков).

Особые случаи (в 14 задании ОГЭ 2019 они не встречались, но знать их полезно).

№1. Решить неравенство 6 x − 1 ≤ 2 ( 3 x − 0,5 ).

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

№2. Решить неравенство x + 3 ( 2 − 3 x ) > − 4 ( 2 x − 12 ).

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

x + 6 − 9 x > − 8 x + 48

Квадратные неравенства

Существует универсальный метод решения неравенств степени выше первой (квадратных, кубических, биквадратных и т.д.) – метод интервалов. Если его один раз как следует осмыслить, то проблем с решением любых неравенств не возникнет.

Для того, чтобы применять метод интервалов для решения квадратных неравенств, надо уметь хорошо решать квадратные уравнения (см. урок 4).

Алгоритм решения квадратного неравенства методом интервалов

Если получилось положительное число, знак на интервале плюс. На остальных интервалах знаки будут чередоваться.

Точки выколотые, если знак неравенства строгий.

Точки жирные, если знак неравенства нестрогий.

Если получилось отрицательное число, знак на интервале минус. На остальных интервалах знаки будут чередоваться.

Точки выколотые, если знак неравенства строгий.

Точки жирные, если знак неравенства нестрогий.

Если знак неравенства > или ≥ в ответ выбираем интервалы со знаком +.

Примеры решения квадратных неравенств:

№1. Решить неравенство x 2 ≥ x + 12.

Решение:

Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0.

D = b 2 − 4 a c = ( − 1 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 12 ) = 1 + 48 = 49

D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня

x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 1 ) ± 49 2 ⋅ 1 = 1 ± 7 2 = [ 1 + 7 2 = 8 2 = 4 1 − 7 2 = − 6 2 = − 3

x 2 − x − 1 = 6 2 − 6 − 1 = 29 > 0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 6 будет +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 3 ] ∪ [ 4 ; + ∞ )

Решение:

Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0.

D = b 2 − 4 a c = ( − 3 ) 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ ( − 2 ) = 9 − 8 = 1

D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня

x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 3 ) ± 1 2 ⋅ ( − 1 ) = 3 ± 1 − 2 = [ 3 + 1 − 2 = 4 − 2 = − 2 3 − 1 − 2 = 2 − 2 = − 1

− x 2 − 3 x − 2 = − ( 0 ) 2 − 3 ⋅ 0 − 2 = − 2 0

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

Решение:

Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0.

D = b 2 − 4 a c = ( − 3 ) 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 4 = 9 + 16 = 25

D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня

x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 3 ) ± 25 2 ⋅ ( − 1 ) = 3 ± 5 − 2 = [ 3 + 5 − 2 = 8 − 2 = − 4 3 − 5 − 2 = − 2 − 2 = 1

− x 2 − 3 x + 4 = − ( 2 ) 2 − 3 ⋅ 2 + 4 = − 6 0

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 4 ) ∪ ( 1 ; + ∞ )

№4. Решить неравенство x 2 − 5 x 6.

Решение:

Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0.

D = b 2 − 4 a c = ( − 5 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 6 ) = 25 + 25 = 49

D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня

x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 5 ) ± 49 2 ⋅ 1 = 5 ± 7 2 = [ 5 + 7 2 = 12 2 = 6 5 − 7 2 = − 2 2 = − 1

x 2 − 5 x − 6 = 10 2 − 5 ⋅ 10 − 6 = 100 − 50 − 6 = 44 > 0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 10 будет +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

№5. Решить неравенство x 2 4.

Решение:

Переносим 4 в левую часть, раскладываем выражение на множители по ФСУ и находим корни уравнения.

( x − 2 ) ( x + 2 ) = 0 ⇔ [ x − 2 = 0 x + 2 = 0 [ x = 2 x = − 2

x 2 − 4 = 3 2 − 4 = 9 − 4 = 5 > 0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 3 будет +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

№6. Решить неравенство x 2 + x ≥ 0.

Решение:

Выносим общий множитель за скобку, находим корни уравнения x 2 + x = 0.

x ( x + 1 ) = 0 ⇔ [ x = 0 x + 1 = 0 [ x = 0 x = − 1

x 2 + x = 1 2 + 1 = 2 > 0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 1 будет +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 1 ] ∪ [ 0 ; + ∞ )

Вот мы и познакомились с методом интервалов. Он нам еще пригодится при решении дробно рациональных неравенств, речь о которых пойдёт ниже.

Дробно рациональные неравенства

Дробно рациональное неравенство – это неравенство, в котором есть дробь, в знаменателе которой стоит переменная, т.е. неравенство одного из следующих видов:

f ( x ) g ( x ) 0 f ( x ) g ( x ) ≤ 0 f ( x ) g ( x ) > 0 f ( x ) g ( x ) ≥ 0

Дробно рациональное неравенство не обязательно сразу выглядит так. Иногда, для приведения его к такому виду, приходится потрудиться (перенести слагаемые в левую часть, привести к общему знаменателю).

Примеры дробно рациональных неравенств:

x − 1 x + 3 0 3 ( x + 8 ) ≤ 5 x 2 − 1 x > 0 x + 20 x ≥ x + 3

Как же решать эти дробно рациональные неравенства? Да всё при помощи того же всемогущего метода интервалов.

Алгоритм решения дробно рациональных неравенств:

f ( x ) g ( x ) 0 f ( x ) g ( x ) ≤ 0 f ( x ) g ( x ) > 0 f ( x ) g ( x ) ≥ 0

В этом пункте алгоритма мы будем делать всё то, что нам запрещали делать все 9 лет обучения в школе – приравнивать знаменатель дроби к нулю. Чтобы как-то оправдать свои буйные действия, полученные точки при нанесении на ось x будем всегда рисовать выколотыми, вне зависимости от того, какой знак неравенства.

Примеры решения дробно рациональных неравенств:

№1. Решить неравенство x − 1 x + 3 > 0.

Решение:

Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.

При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данном случае знак неравенства строгий, значит нули числителя будут выколотыми. Ну а нули знаменателя выколоты всегда.

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2 будет +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 3 ) ∪ ( 1 ; + ∞ )

№2. Решить неравенство 3 ( x + 8 ) ≤ 5.

Решение:

Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.

3 ( x + 8 ) − 5 \ x + 8 ≤ 0

3 x + 8 − 5 ( x + 8 ) x + 8 ≤ 0

3 − 5 ( x + 8 ) x + 8 ≤ 0

3 − 5 x − 40 x + 8 ≤ 0

x = − 37 5 = − 37 5 = − 7,4

При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данному случае знак неравенства нестрогий, значит нули числителя будут жирными. Ну а нули знаменателя выколоты всегда.

− 5 x − 37 x + 8 = − 5 ⋅ 0 − 37 0 + 8 = − 37 8 0

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 8 ) ∪ [ − 7,4 ; + ∞ )

№3. Решить неравенство x 2 − 1 x > 0.

Решение:

Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.

( x − 1 ) ( x + 1 ) = 0 ⇒ [ x − 1 = 0 x + 1 = 0 [ x = 1 x = − 1

При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данному случае знак неравенства строгий, значит нули числителя будут выколотыми. Ну а нули знаменателя и так выколоты всегда.

x 2 − 1 x = 2 2 − 1 2 = 4 − 1 2 = 3 2 > 0, Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2, будет +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

В ответ пойдут два интервала. Все точки будут в круглых скобках, так как они выколотые.

Ответ: x ∈ ( − 1 ; 0 ) ∪ ( 1 ; + ∞ )

Системы неравенств

Системой неравенств называют два неравенства с одной неизвестной, которые объединены в общую систему фигурной скобкой.

Пример системы неравенств:

Алгоритм решения системы неравенств

Примеры решений систем неравенств:

№1. Решить систему неравенств < 2 x − 3 ≤ 5 7 − 3 x ≤ 1

Решение:

Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

Точка 4 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.

− 3 x ≤ − 6 | ÷ ( − 3 ), поскольку − 3 0, знак неравенства после деления меняется на противоположный.

Графическая интерпретация решения:

Точка 2 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.

№2. Решить систему неравенств < 2 x − 1 ≤ 5 1 − 3 x − 2

Решение:

Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

Точка 3 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.

Графическая интерпретация решения:

№3. Решить систему неравенств < 3 x + 1 ≤ 2 x x − 7 >5 − x

Решение:

Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

Графическая интерпретация решения:

Графическая интерпретация решения:

Пересечений решений не наблюдается. Значит у данной системы неравенств нет решений.

№4. Решить систему неравенств < x + 4 >0 2 x + 3 ≤ x 2

Решение:

Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

Графическая интерпретация решения первого неравенства:

Решаем методом интервалов.

D = b 2 − 4 a c = 2 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 3 = 4 + 12 = 16

x 1,2 = − b ± D 2 a = − 2 ± 16 2 ⋅ ( − 1 ) = − 2 ± 4 − 2 = [ − 2 − 4 − 2 = − 6 − 2 = 3 − 2 + 4 − 2 = 2 − 2 = − 1

Наносим точки на ось x и расставляем знаки на интервалах. Поскольку знак неравенства нестрогий, обе точки будут заштрихованными.

Графическая интерпретация решения второго неравенства:

Источник

• ← Что такое послабление стула перед родами
• Что такое ручной привод →