Что такое выпуклая функция

Выпуклая функция

Выпуклая функция — функция, у которой надграфик является выпуклым множеством.

Определение

Вещественнозначная функция, определённая на некотором интервале (в общем случае на выпуклом подмножестве некоторого векторного пространства) выпукла, если для любых двух значений аргумента , и для любого числа выполняется неравенство Йенсена:

Если это неравенство является строгим для всех , функция называется строго выпуклой; если выполняется обратное неравенство, функция называется вогнутой, или выпуклой вверх.

NB! Иногда выпуклая функция определяется как вогнутая и наоборот.

Свойства

Полезное

Смотреть что такое «Выпуклая функция» в других словарях:

выпуклая функция — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN convex function … Справочник технического переводчика

Функция Эйри — График функций Ai(x) (красный) и Bi(x) (синий). Функция Эйри специаль … Википедия

ВЫПУКЛАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ — последовательность действительных чисел удовлетворяющих условию Если положить то условие (*) запишется в виде Геометрически условие (*) означает, что ломаная на плоскости х, у свершинами в точках х=п, у=а п является выпуклой. Если… … Математическая энциклопедия

ВЫПУКЛАЯ ПОВЕРХНОСТЬ — область (связное открытое множество) на границе выпуклого тела в евклидовом пространстве Е 3. Вся граница выпуклого тела наз. полной В. п. Если тело конечно, то полная В. п. наз. замкнутой. Если тело бесконечно, то полная В. п. наз. бесконечной.… … Математическая энциклопедия

Квазивыпуклая функция — Квазивыпуклая функция, не являющаяся выпуклой Функция, не являющаяся кваз … Википедия

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ — функция, к рая может быть представлена степенным рядом. Исключит, важность класса А. ф. определяется следующим. Во первых, этот класс достаточно ш и р о к: он охватывает большинство функций, встречающихся в основных вопросах математики и ее… … Математическая энциклопедия

Источник

Выпуклая функция

В математике функция называется выпуклой (или выпуклой вниз) на некотором интервале (в общем случае на выпуклом подмножестве некоторого векторного пространства), если для любых двух точек x, y из этого интервала и для любого числа t, принадлежащего отрезку [0,1], выполняется неравенство

Если это неравенство является строгим для всех t из интервала (0,1), функция называется строго выпуклой; если выполняется обратное неравенство, функция называется вогнутой, или выпуклой вверх.

Свойства выпуклых функций

Функция f, выпуклая на интервале C, непрерывна на всём C и дифференцируема на всём C за исключением, быть может, счётного множества точек.

Непрерывная функция f выпукла на C тогда и только тогда, когда для всех точек x и y, принадлежащих C, выполняется неравенство

Дважды дифференцируемая функция одной переменной выпукла на интервале тогда и только тогда, когда её вторая производная неотрицательна на этом интервале. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции строго положительна, такая функция является строго выпуклой, однако обратное неверно (например, функция f(x)=x 4 строго выпукла на [-1,1], но её производная в точке x=0 равна нулю).

Если функции f, g выпуклы, то любая их линейная комбинация a f+b g с положительными коэффициентами a, b также выпукла.

Локальный минимум выпуклой функции является также глобальным минимумом (соответственно, для выпуклых вверх функций локальный максимум является глобальным максимумом).

Для выпуклых функций выполняется неравенство Йенсена:

cs:Konvexnost a konkávnost funkce he:פונקציה קמורה hu:Konvex függvény pl:Wypukłość funkcji

Источник

Выпуклые функции

Содержание

Определения [ править ]

В этом смысле отрезок — выпуклое множество, так как он содержит выпуклую комбинацию любых своих чисел.

(типа определение) Выпуклое множество вместе с парой своих точек содержит отрезок, их соединяющий.

Если же всё время неравенство противоположно, то функция называется выпуклой вниз.

Геометрической смысл этого факта состоит в том, что для выпуклой вверх функции её график будет лежать выше хорды.

Замечание: если [math]f(x)[/math] выпукла вниз, то [math]-f(x)[/math] выпукла вверх.

Неравенство Йенсена [ править ]

Докажем по индукции.

[math] \sum\limits_^ \alpha_k f(x_k) = s_n \sum\limits_^n \beta_k f(x_k) + \alpha_f(x_) \leq[/math] (по предположению индукции) [math] s_n f\left(\sum\limits_^n \beta_k x_k \right) + \alpha_f(x_) \leq [/math] (так как [math]s_n + \alpha_ = 1[/math] ) [math] f\left(\sum\limits_^ \alpha_k x_k\right)[/math]

Связь выпуклости и дифференцируемости [ править ]

Итак, [math]f^ <(2)>\leq 0 \Rightarrow f [/math] — выпукла вверх.

[math]\Delta x \to 0 : c_t \to x : f^<(2)>(x) \leq 0[/math]

Пример [ править ]

Источник

Что такое выпуклая функция

График функции y=f(x) называется выпуклым на интервале (a; b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале.

График функции y=f(x) называется вогнутым на интервале (a; b), если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале.

На рисунке показана кривая, выпуклая на (a; b) и вогнутая на (b; c).

Рассмотрим достаточный признак, позволяющий установить, будет ли график функции в данном интервале выпуклым или вогнутым.

Теорема. Пусть y=f(x) дифференцируема на (a; b). Если во всех точках интервала (a; b) вторая производная функции y = f(x) отрицательная, т.е. f »(x) 0 – вогнутый.

Доказательство. Предположим для определенности, что f»(x) Î (a; b) и проведем через точку M₀ касательную. Ее уравнение . Мы должны показать, что график функции на (a; b) лежит ниже этой касательной, т.е. при одном и том же значении x ордината кривой y = f(x) будет меньше ордината касательной.

Итак, уравнение кривой имеет вид y = f(x). Обозначим ординату касательной, соответствующую абсциссе x. Тогда . Следовательно, разность ординат кривой и касательной при одном и том же значении x будет .

Разность f(x) – f(x₀) преобразуем по теореме Лагранжа , где c между x и x₀.

.

Точка графика непрерывной функции, отделяющая его выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба.

Очевидно, что в точке перегиба касательная, если она существует, пересекает кривую, т.к. с одной стороны от этой точки кривая лежит под касательной, а с другой стороны – над нею.

Определим достаточные условия того, что данная точка кривой является точкой перегиба.

Теорема. Пусть кривая определяется уравнением y = f(x). Если f »(x₀) = 0 или f »(x₀) не существует и при переходе через значение x = x₀ производная f »(x) меняет знак, то точка графика функции с абсциссой x = x₀ есть точка перегиба.

Доказательство. Пусть f »(x) 0 при x > x₀. Тогда при x x₀ – вогнута. Следовательно, точка A, лежащая на кривой, с абсциссой x₀ есть точка перегиба. Аналогично можно рассматривать второй случай, когда f »(x) > 0 при x x₀.

Таким образом, точки перегиба следует искать только среди таких точек, где вторая производная обращается в нуль или не существует.

Примеры. Найти точки перегиба и определить интервалы выпуклости и вогнутости кривых.

Найдем производные заданной функции до второго порядка.

.

. Вторая производная не существует при x = 1. Исследуем эту точку на возможный перегиб.

Итак, точка перегиба x = 1. Функция выпукла на (1; +∞), вогнута на (–∞; 1).

Возможные точки перегиба найдем, решив уравнение 2x 2 – 1 = 0. Отсюда .

Точки перегиба . Функция выпукла на и вогнута на .

.

при всех x из (–1; 1).

Следовательно, f(x) выпуклая на (–1; 1).

АСИМПТОТЫ ГРАФИКА ФУНКЦИИ

При исследовании функции важно установить форму ее графика при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

Особый интерес представляет случай, когда график функции при удалении его переменной точки в бесконечность неограниченно приближается к некоторой прямой.

Прямая называется асимптотой графика функции y = f(x), если расстояние от переменной точки M графика до этой прямой при удалении точки M в бесконечность стремится к нулю, т.е. точка графика функции при своем стремлении в бесконечность должна неограниченно приближаться к асимптоте.

Кривая может приближаться к своей асимптоте, оставаясь с одной стороны от нее или с разных сторон, бесконечное множество раз пересекая асимптоту и переходя с одной ее стороны на другую.

Если обозначим через d расстояние от точки M кривой до асимптоты, то ясно, что d стремится к нулю при удалении точки M в бесконечность.

Будем в дальнейшем различать асимптоты вертикальные и наклонные.

Пусть при x→ x₀ с какой-либо стороны функция y = f(x)неограниченно возрастает по абсолютной величине, т.е. или или . Тогда из определения асимптоты следует, что прямая x = x₀ является асимптотой. Очевидно и обратное, если прямая x = x₀ является асимптотой, т. о. .

Таким образом, вертикальной асимптотой графика функции y = f(x) называется прямая, если f(x) → ∞ хотя бы при одном из условий x→ x₀ – 0 или x → x₀ + 0, x = x₀

Следовательно, для отыскания вертикальных асимптот графика функции y = f(x) нужно найти те значения x = x₀, при которых функция обращается в бесконечность (терпит бесконечный разрыв). Тогда вертикальная асимптота имеет уравнение x = x₀.

Так как , то прямая x = 2 является вертикальной асимптотой.

Прямая x = 0 – вертикальная асимптота.

Поскольку асимптота – это прямая, то если кривая y = f(x) имеет наклонную асимптоту, то ее уравнение будет y = kx + b. Наша задача найти коэффициенты k и b.

Теорема. Прямая y = kx + b служит наклонной асимптотой при x → +∞ для графика функции y = f(x) тогда и только тогда, когда . Аналогичное утверждение верно и при x → –∞.

Доказательство. Пусть MP – длина отрезка, равного расстоянию от точки M до асимптоты. По условию . Обозначим через φ угол наклона асимптоты к оси Ox. Тогда из ΔMNP следует, что . Так как φ постоянный угол (φ ≠ π/2), то , но

Следовательно, мы можем записать следующее равенство .

Так как x → +∞, то должно выполняться равенство . Но при постоянных k и b и . Следовательно, , т.е. .

Если число k уже известно, то , поэтому .

Для доказательства в случае x → –∞ все рассуждения аналогичны.

Докажем обратное утверждение. Предположим, что существуют пределы, определяющие числа k и b. Тогда несложно заметить, что выполняется равенство . Действительно

Следовательно, прямая y = kx + b есть асимптота. Теорема полностью доказана.

Сделаем несколько замечаний.

Замечание 1. Теорема показывает, что для нахождения асимптот достаточно найти два указанных предела. Причем, если хотя бы один из пределов не существует или обращается в бесконечность, то кривая асимптот не имеет.

Замечание 2. В случае, когда k = 0 асимптота y = b называется горизонтальной асимптотой. Наличие горизонтальной асимптоты означает, что существуют пределы

.

Замечание 3. Пределы для отыскания k и b могут быть различны при x → +∞ и x → – ∞ и, следовательно, график функции может иметь две различные асимптоты при x → +∞ и x → –∞.

Примеры. Найти асимптоты кривых.

x = 0 – вертикальная асимптота.

.

а) .

Итак, при x → +∞ наклонная асимптота у= х.

б) , т. к.

а) .

. Наклонная асимптота y = x – π при .

б) при .

Источник

Выпуклость и вогнутость графика функции

Содержание:

Выпуклость и вогнутость графика функции с точками перегиба

При исследовании функций с целью построения их графиков важную роль играют такие понятия как выпуклость и вогнутость кривых.

Определение 1. Кривая y = f (x) называется выпуклой в точке , если в окрестности этой точки кривая находится под касательной к кривой, проведенной в этой точке (рис.12).

Определение 2. Кривая y = f (x) называется вогнутой в точке, если в окрестности этой точки кривая находится над касательной к кривой, проведенной в этой точке (рис 13).

Определение 3. Кривая y = f (x) называется выпуклой (вогнутой) на промежутке (a, b), если она выпуклая (вогнутая) в каждой точке этого промежутка.

Для установления промежутков, на каких график функции y = f (x) выпуклый, а на каких вогнутый, укажем теорему, которая дает достаточные условия выпуклости и вогнутости кривых на промежутке.

ТЕОРЕМА. Если на промежутке (a, b) вторая производная функции y = f (x) отрицательна, то ее график выпуклый на этом промежутке, если f » (x) положительная на (a, b), то график y = f (x) вогнутый.

Не приводя строгого доказательства, приведем геометрические соображения, которые объясняют теорему.

Если везде на промежутке (a, b) то это означает, что f ‘(x), как функция, для которой f «(x) является производной, будет убывающей. Значит, убывает в рассматриваемом промежутке угловой коэффициент касательной к кривой и убывает сам угол , образуемый касательной с положительным направлением оси Ox (рис. 12).

Очевидно кривая на промежутке (a, b) расположена под касательной. Если, то кривая будет вогнутой.

Определение 4. Точка, отделяющая выпуклую часть непрерывной кривой от вогнутой, или наоборот, называется точкой перегиба.

Необходимые условия существования точки перегиба дает теорема.

ТЕОРЕМА. Если — точка перегиба непрерывной функции y = f (x), то вторая производная ее f» (x) в этой точке равна нулю или не существует.

Точки, в которых f» (x) равна нулю или не существует, называют критическими точками
второго рода.

Рис. 14.

Достаточно условия существования точки перегиба

ТЕОРЕМА. Если вторая производная f» (x) в точке равна нулю и меняет знак при переходе через эту точку, то точка с абсциссой является точкой перегиба кривой y = f (x).

Доказательство. Предположим, что в точке М с абсциссой вторая производная и при переходе через нее слева направо меняет знак с минуса на плюс. Тогда слева от М кривая выпуклая а справа кривая вогнутая Таким образом, в точке кривая меняет выпуклость на вогнутость, и поэтому точка М является точкой перегиба.

Пример. Найти точки перегиба и определить промежутки выпуклости и вогнутости кривой (кривая Гаусса).
Находим производные:
Приравниваем вторую производную к нулю и находим критические точки второго рода:

Эти точки разбивают область определения функции на промежутки (рис. 15). Находим знаки второй производной в этих промежутках.

Рис. 15. Рис. 16.

Итак, точки являются точками перегиба. На промежутке (-1; 1) кривая выпуклая, на промежутках кривая вогнутая (рис. 16).

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Источник