Что такое выпуклый пятиугольник и шестиугольник

Справочник по математике

математика, алгебра, геометрия

§ 6. Многоугольник

Плоская фигура, образованная замкнутым рядом прямолинейных отрезков, называется многоугольником. На рис.1 изображен шестиугольник ABCDEF. Точки А, В, С, D, Е, F — вершины многоугольника; углы при них (углы многоугольника) обозначаются ∠A, ∠В, ∠С, …, ∠F. Отрезки: AC, AD, BE и т.д. — диагонали, АВ; ВС, CD и т. д. — стороны многоугольника; сумма длин сторон АВ + ВС + CD + … + FA называется периметром и обозначается р, а иногда 2р (тогда р — полупериметр).

В элементарной геометрии рассматриваются только простые многоугольники, т. е. такие, контур которых не имеет самопересечений.

Многоугольники, контур которых имеет самопересечения, называются звездчатыми многоугольниками. На рис.2 изображен звездчатый многоугольник ABCDE.

Если все диагонали многоугольника лежат внутри него, многоугольник называется выпуклым.

Шестиугольник на рис.1 выпуклый; пятиугольник на рис.3 невыпуклый (диагональ ЕС лежит вне многоугольника).

Сумма внутренних углов во всяком выпуклом многоугольнике равна 180° (n-2), где n — число сторон многоугольника*.

* В учебниках геометрии это свойство высказывается обычно только для выпуклых многоугольников. Но оно справедливо для всех простых многоугольников. Но оно справедливо для всех простых многоугольников. Нужно заметить, что в невыпуклом многоугольнике один или несколько внутренних углов превышают 180°. Так, в невыпуклом пятиугольнике, изображенном на рис.3, два угла прямые, два угла имеют по 45°, а один содержит 270°. Суммаа углов составляет 180° (5-2)=540°.

Добавить комментарий Отменить ответ

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.

Источник

Шестиугольник, виды, свойства и формулы

Шестиугольник, виды, свойства и формулы.

Шестиугольник – это многоугольник, общее количество углов (вершин) которого равно шести.

Шестиугольник, выпуклый и невыпуклый шестиугольник:

Шестиугольник – это многоугольник с шестью углами.

Шестиугольник – это многоугольник, общее количество углов (вершин) которого равно шести.

Шестиугольник может быть выпуклым и невыпуклым.

Выпуклым многоугольником называется многоугольник, все точки которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины. Невыпуклыми являются все остальные многоугольники.

Соответственно выпуклый шестиугольник – это шестиугольник, у которого все его точки лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Рис. 1. Выпуклый шестиугольник

Рис. 2. Невыпуклый шестиугольник

Сумма внутренних углов любого выпуклого шестиугольника равна 720°.

.

Правильный шестиугольник (понятие и определение):

Правильный шестиугольник (гексагон) – это правильный многоугольник с шестью сторонами.

В свою очередь правильный многоугольник – это многоугольник, у которого все стороны и углы одинаковые.

Правильный шестиугольник – это шестиугольник, у которого все стороны равны, а все внутренние углы равны 120°.

Рис. 3. Правильный шестиугольник

Правильный шестиугольник имеет 6 сторон, 6 углов и 6 вершин.

Правильный шестиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки.

Свойства правильного шестиугольника:

1. Все стороны правильного шестиугольника равны между собой.

2. Все углы равны между собой и составляют 120°.

Рис. 4. Правильный шестиугольник

3. Сумма внутренних углов любого правильного шестиугольника равна 720°.

4. Все биссектрисы углов между сторонами равны и проходят через центр правильного шестиугольника O.

Рис. 5. Правильный шестиугольник

5. Количество диагоналей правильного шестиугольника равно 9.

Рис. 6. Правильный шестиугольник

6. Центр вписанной окружности O₁ совпадает с центром описанной окружности O₂, что и образуют центр многоугольника O.

Рис. 7. Правильный шестиугольник

7. Правильные шестиугольники замощают плоскость (то есть могут заполнять плоскость без пробелов и наложений).

8. Радиус описанной окружности правильного шестиугольника и его сторона равны.

Источник

Геометрия многоугольника: пятиугольники, шестиугольники и додекагоны

Двумерные правильные многоугольники везде

Немногие геометрические фигуры столь же разнообразны, как многоугольники. Они включают в себя знакомый треугольник, квадрат и пятиугольник, но это только начало.

В геометрии многоугольник – это любая двумерная форма, которая удовлетворяет следующим условиям:

Двумерный означает плоский, как лист бумаги. Кубы не являются полигонами, потому что они трехмерны. Круги не являются полигонами, потому что они не содержат прямых линий.

Специальный вид многоугольника может иметь углы, которые не все равны. В этом случае он называется неправильным многоугольником.

О полигонах

Название многоугольник происходит от двух греческих слов:

Формы, которые являются полигонами

Как называются полигоны

Названия отдельных многоугольников получаются из числа сторон или углов, которыми обладает форма. Полигоны имеют одинаковое количество сторон и углов.

Общим названием для большинства полигонов является греческий префикс «сторон», прикрепленный к греческому слову «угол» (gon).

Примеры этого для пяти- и шестигранных правильных многоугольников:

Есть исключения из этой схемы именования. В частности, со словами, которые чаще всего используются для некоторых полигонов:

N-угольники

Однако в математике пятиугольники иногда удобнее называть n-гонами :

В математике н-гоны и их греческие аналоги взаимозаменяемы.

Предел полигона

Теоретически, нет ограничения на количество сторон, которые может иметь многоугольник.

По мере того, как размер внутренних углов многоугольника увеличивается, а длина его сторон становится короче, многоугольник приближается к кругу, но никогда не достигает его.

Классификация полигонов

Регулярные и неправильные полигоны

Полигоны классифицируются на основании того, равны ли все углы или стороны.

Выпуклые против вогнутых полигонов

Второй способ классификации полигонов – по размеру их внутренних углов.

Простые и сложные полигоны

Еще один способ классификации полигонов – это то, как линии, образующие многоугольник, пересекаются.

Названия сложных многоугольников иногда отличаются от названий простых многоугольников с одинаковым числом сторон.

Правило суммы внутренних углов

Как правило, каждый раз, когда сторона добавляется в многоугольник, например:

еще 180 ° добавляется к сумме внутренних углов.

Это правило можно записать в виде формулы:

(n – 2) × 180 °

где n равно числу сторон многоугольника.

Таким образом, сумма внутренних углов для шестиугольника может быть найдена с помощью формулы:

(6 – 2) × 180 ° = 720 °

Сколько треугольников в этом многоугольнике?

Приведенная выше формула внутреннего угла получается путем деления многоугольника на треугольники, и это число можно найти с помощью вычисления:

n – 2

В этой формуле n равно числу сторон многоугольника.

Шестиугольник (шесть сторон) можно разделить на четыре треугольника (6 – 2) и додекагон на 10 треугольников (12 – 2).

Размер угла для правильных многоугольников

Для правильных многоугольников, у которых все углы одинакового размера, а стороны одинаковой длины, размер каждого угла в многоугольнике можно рассчитать путем деления общего размера углов (в градусах) на общее количество сторон.

Для правильного шестигранного шестигранника каждый угол равен:

720 ° ÷ 6 = 120 °

Некоторые известные полигоны

Фермы

Фермы часто имеют треугольную форму. В зависимости от ширины и уклона крыши ферма может включать равносторонние или равнобедренные треугольники. Из-за их большой прочности, треугольники используются в строительстве мостов и велосипедных рам, и видны в Эйфелевой башне.

Пентагон

Пентагон – штаб-квартира Министерства обороны США – берет свое название от его формы. Здание представляет собой пятисторонний, правильный пятиугольник.

Главная пластина

Другой известный пятисторонний правильный пятиугольник – домашняя тарелка на бейсбольном алмазе.

Поддельный Пентагон

Гигантский торговый центр недалеко от Шанхая, Китай, построен в форме правильного пятиугольника и его иногда называют поддельным пятиугольником.

Снежинки

Каждая снежинка начинается с шестиугольника, но температура и уровень влажности добавляют ветви и усики, так что каждая из них выглядит по-разному.

Пчелы и осы

Естественные шестиугольники также включают ульи, где каждая клетка в соте, которую пчелы строят для содержания меда, является шестиугольной. Гнезда бумажных ос также содержат гексагональные клетки, в которых они растут.

Тротуар гиганта

Шестиугольники также найдены на мощёной дорожке Гиганта, расположенной на северо-востоке Ирландии. Это естественная горная порода, состоящая из около 40000 взаимосвязанных базальтовых колонн, которые были созданы в виде лавы из-за медленно остывающего древнего вулканического извержения.

Восьмиугольник

Восьмиугольник – имя, данное кольцу или клетке, используемому в боях Ultimate Fighting Championship (UFC) – берет свое название от своей формы. Это восьмигранный правильный восьмиугольник.

Стоп Знаки

Стоп знак – один из самых знакомых дорожных знаков – еще один восьмигранный правильный восьмиугольник. Хотя цвет, формулировка или символы на знаке могут различаться, восьмиугольная форма знака остановки используется во многих странах мира.

Источник

Пятиугольник, виды, свойства и формулы

Пятиугольник, виды, свойства и формулы.

Пятиугольник – это многоугольник, общее количество углов (вершин) которого равно пяти.

Пятиугольник, выпуклый и невыпуклый пятиугольник:

Пятиугольник – это многоугольник, общее количество углов (вершин) которого равно пяти.

Пятиугольник – фигура, состоящая из пяти углов (вершин), которые образуются пятью отрезками (сторонами).

Пятиугольник может быть выпуклым и невыпуклым.

Выпуклым многоугольником называется многоугольник, все точки которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины. Невыпуклыми являются все остальные многоугольники.

Соответственно выпуклый пятиугольник – это пятиугольник, у которого все его точки лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Рис. 1. Выпуклый пятиугольник

Сумма внутренних углов любого выпуклого шестиугольника равна 540°.

Невыпуклый пятиугольник – это пятиугольник, у которого одна часть его точек лежат по одну сторону, а другая часть – по другую от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Рис. 2. Невыпуклый пятиугольник

Звёздчатый пятиугольник (пентаграмма) – пятиугольник, у которого все стороны и углы равны, а вершины совпадают с вершинами правильного семиугольника многоугольника. Стороны звёздчатого пятиугольника могут пересекаться между собой.

Правильный многоугольник:

Правильный пятиугольник (пентагон) – это правильный многоугольник с пятью сторонами.

В свою очередь правильный многоугольник – это многоугольник, у которого все стороны и углы одинаковые.

Правильный пятиугольник – это пятиугольник, у которого все стороны равны, а все внутренние углы равны 108°.

Рис. 3. Правильный пятиугольник

Правильный пятиугольник имеет 5 сторон, 5 углов и 5 вершин.

Правильный пятиугольник может быть построен с помощью циркуля и линейки или вписыванием его в заданную окружность, или построением на основе заданной стороны.

Свойства правильного пятиугольника:

1. Все стороны правильного пятиугольника равны между собой.

2. Все углы равны между собой и каждый угол равен 108°.

Рис. 4. Правильный пятиугольник

3. Сумма внутренних углов правильного пятиугольника равна 540°.

4. Все биссектрисы углов между сторонами равны и проходят через центр правильного пятиугольника O.

Рис. 5. Правильный пятиугольник

5. Количество диагоналей правильного пятиугольника равно 5.

Рис. 6. Правильный пятиугольник

6. Центр вписанной окружности O₁ совпадает с центром описанной окружности O₂, что и образуют центр пятиугольника O.

Рис. 7. Правильный пятиугольник

7. Диагонали правильного пятиугольника являются трисектрисами его внутренних углов.

Рис. 8. Правильный пятиугольник

8. Отношение диагонали правильного пятиугольника к стороне равно золотому сечению.

Рис. 9. Правильный пятиугольник

Построение правильного пятиугольника:

Метод построения правильного пятиугольника вписыванием его в заданную окружность:

1. Постройте окружность, в которую будет вписан пятиугольник, и обозначьте её центр как O.

2. Выберите на окружности точку A, которая будет одной из вершин пятиугольника. Постройте прямую через O и A.

3. Постройте прямую перпендикулярно прямой OA, проходящую через точку O. Обозначьте одно её пересечение с окружностью как точку B.

4. Постройте точку C посередине между O и B.

5. Проведите окружность с центром в точке C через точку A. Обозначьте её пересечение с прямой OB (внутри первоначальной окружности) как точку D.

6. Проведите окружность с центром в A через точку D, пересечение данной окружности с оригинальной (зелёной окружностью) обозначьте как точки E и F.

7. Проведите окружность с центром в E через точку A. Обозначьте её другое пересечение с первоначальной окружностью как точку G.

8. Проведите окружность с центром в F через точку A. Обозначьте её другое пересечение с первоначальной окружностью как точку H.

9. Постройте правильный пятиугольник AEGHF.

Формулы правильного пятиугольника:

Пусть a – сторона пятиугольника, r – радиус окружности, вписанной в пятиугольник, R – радиус описанной окружности пятиугольника, S – площадь пятиугольника, h – высота пятиугольника, d – диагональ пятиугольника, Ф – отношение золотого сечения.

Формулы площади правильного пятиугольника:

Формулы высоты правильного пятиугольника:

Формулы стороны правильного пятиугольника:

Формулы диагонали правильного пятиугольника:

Формулы радиуса окружности, вписанной в правильный пятиугольник:

Формулы радиуса окружности, описанной вокруг правильного пятиугольника:

Правильный пятиугольник в природе, технике и культуре:

Пентасимметрию можно наблюдать в некоторых фруктах (например, у мушмулы германской), у иглокожих (например, у морских звёзд) и у некоторых растений.

Исследования формирования водяного льда на ровной поверхности меди при температурах 100-140 K показали, что сначала на поверхности возникают цепочки молекул шириной около 1 нм не гексагональной, а пентагональной структуры.

Пентагон — здание Министерства обороны США — имеет форму правильного пятиугольника.

Паркет, тротуарная плитка, мозайки и т.п. может выкладываться элементами, которые имеют вид пятиугольников.

Государственный знак качества СССР имеет форму пятиугольника с выпуклыми сторонами.

Источник

Геометрия многоугольника: пятиугольники, шестиугольники и додекагоны

Немногие геометрические фигуры столь же разнообразны, как многоугольники. Они включают в себя знакомый треугольник, квадрат и пятиугольник, но это только начало.

В геометрии многоугольник — это любая двумерная форма, которая удовлетворяет следующим условиям:

Двумерный означает плоский, как лист бумаги. Кубы не являются полигонами, потому что они трехмерны. Круги не являются полигонами, потому что они не содержат прямых линий.

Специальный вид многоугольника может иметь углы, которые не все равны. В этом случае это называется неправильным многоугольником.

О полигонах

» data-tracking-container=»true» exists=»yes» data-lazy-src=»https://gadgetshelp.com/wp-content/uploads/images/lfw/a5b33ec3369c8daa115f36ceaabcf4c0.jpg»/>

Де Агостини / А. Дагли Орти / Getty Images

Название многоугольника происходит от двух греческих слов:

Формы, которые являются полигонами

Как называются полигоны

Названия отдельных многоугольников получаются из числа сторон или углов, которыми обладает форма. Полигоны имеют одинаковое количество сторон и углов.

Общим названием большинства полигонов является греческий префикс «сторон», прикрепленный к греческому слову «угол» (gon).

Примеры этого для пяти- и шестигранных правильных многоугольников:

Есть исключения из этой схемы именования. В частности, со словами, которые чаще всего используются для некоторых полигонов:

N-угольники

Однако в математике пятиугольники иногда более удобно называть n-гонами :

В математике н-гоны и их греческие аналоги взаимозаменяемы.

Предел полигона

Теоретически, нет ограничения на количество сторон, которые может иметь многоугольник.

По мере того, как размер внутренних углов многоугольника увеличивается, а длина его сторон становится короче, многоугольник приближается к кругу, но никогда не достигает его.

Классификация полигонов

Регулярные и неправильные полигоны

Полигоны классифицируются на основании того, равны ли все углы или стороны.

Выпуклые против вогнутых полигонов

Второй способ классификации полигонов — по размеру их внутренних углов.

Простые и сложные полигоны

Еще один способ классификации полигонов — это то, как линии, образующие многоугольник, пересекаются.

Названия сложных многоугольников иногда отличаются от названий простых многоугольников с одинаковым числом сторон.

Правило суммы внутренних углов

Ян Лишман / Getty Images

Как правило, каждый раз, когда сторона добавляется в многоугольник, например:

еще 180 ° добавляется к сумме внутренних углов.

Это правило можно записать в виде формулы:

(n — 2) × 180 °

где n равно числу сторон многоугольника.

Таким образом, сумма внутренних углов для шестиугольника может быть найдена с помощью формулы:

(6 — 2) × 180 ° = 720 °

Сколько треугольников в этом многоугольнике?

Приведенная выше формула внутреннего угла получается путем деления многоугольника на треугольники, и это число можно найти с помощью вычисления:

п — 2

В этой формуле n равно числу сторон многоугольника.

Шестиугольник (шесть сторон) можно разделить на четыре треугольника (6-2) и додекагон на 10 треугольников (12-2).

Размер угла для правильных многоугольников

Для правильных многоугольников, в которых все углы одинакового размера, а стороны одинаковой длины, размер каждого угла в многоугольнике можно рассчитать путем деления общего размера углов (в градусах) на общее количество сторон.

Для правильного шестигранного шестигранника каждый угол равен:

720 ° ÷ 6 = 120 °

Некоторые известные полигоны

Скотт Каннингем / Getty Images

Хорошо известные полигоны включают в себя:

Фермы

Фермы часто имеют треугольную форму. В зависимости от ширины и уклона крыши ферма может включать равносторонние или равнобедренные треугольники. Из-за их большой прочности, треугольники используются в строительстве мостов и велосипедных рам. Они видны в Эйфелевой башне.

Пентагон

Пентагон — штаб-квартира Министерства обороны США — берет свое название от его формы. Здание представляет собой пятисторонний, правильный пятиугольник.

Главная пластина

Другой известный пятисторонний правильный пятиугольник — домашняя тарелка на бейсбольном алмазе.

Поддельный Пентагон

Гигантский торговый центр недалеко от Шанхая, Китай, построен в форме правильного пятиугольника и иногда называется поддельным пятиугольником.

Снежинки

Каждая снежинка начинается с шестиугольника, но температура и влажность добавляют ветви и усики, так что каждая из них выглядит по-разному.

Пчелы и осы

Естественные шестиугольники также включают ульи, где каждая клетка в соте, которую пчелы строят для содержания меда, является шестиугольной. Гнезда бумажных ос также содержат гексагональные клетки, в которых они растут.

Тротуар гиганта

Шестиугольники также найдены на мощёной дорожке Гиганта, расположенной на северо-востоке Ирландии. Это естественная горная порода, состоящая из около 40000 взаимосвязанных базальтовых колонн, которые были созданы в виде лавы от медленно вулканического извержения вулкана.

Восьмиугольник

Восьмиугольник — имя, данное кольцу или клетке, используемому в боях Ultimate Fighting Championship (UFC), — берет свое название от своей формы. Это восьмигранный правильный восьмиугольник.

Стоп Знаки

Стоп-знак — один из самых знакомых дорожных знаков — еще один восьмигранный правильный восьмиугольник. Хотя цвет, формулировка или символы на знаке могут отличаться, восьмиугольная форма знака остановки используется во многих странах мира.

Источник