Что такое наращенная сумма

Способы определения современной стоимости денег и наращенной суммы вложений

Что такое наращенная сумма. Смотреть фото Что такое наращенная сумма. Смотреть картинку Что такое наращенная сумма. Картинка про Что такое наращенная сумма. Фото Что такое наращенная суммаКоммерческие отношения в современном бизнесе связаны с принятием финансовых решений, например: при расчетах доходности на рынке ценных бумаг; оценке доходности капиталовложений в реальное производство; в связи с необходимостью учесть экономическую неэквивалентность одинаковых сумм денег в разные календарные сроки, т.е. временную стоимость денег; при обнаружении влияния инфляции на перечисленные выше процессы.

Деловой человек должен владеть как теорией, так и техникой принятия финансовых решений, используя количественные методы для получения выводов о целесообразности сделанного выбора вложения капитала. Финансовая математика приобретает все большую роль в экономическом анализе.

В данной публикации не рассматривается сложный математический аппарат учета факторов неопределенности и риска, содержащий разные разделы теории вероятности и новейшие модели математических теорий. Внимание будет уделено простым способам определения современной стоимости денег — дисконтированию будущих сумм на сегодня, определению наращенной суммы вложений, в том числе в условиях инфляции, эрозии капитала.

Рассмотрим основную формулу наращения простых процентов, когда наращенная сумма (I) рассчитывается с учетом того, что проценты на проценты не начисляются, а начисляются они на одну и ту же исходную сумму (S0). В этом случае алгоритм расчета наращенной суммы будет таким:

где i — годовая процентная ставка; t — число периодов начисления процентов.

Исходная сумма может быть рассчитана как

При расчете числа простых процентов, выплачиваемых банком, используется алгоритм

Рассмотрим применение этих алгоритмов на условном числовом примере.

В банк положено 3000 руб. на срок один год шесть месяцев. Ставка простых процентов равна 20% в год. Определим наращенную сумму через полтора года.

I = 3000 руб. * (1 + 0,2 * 1,5) = 3900 руб.

На основе имеющихся данных рассчитаем исходную сумму, если известны сумма наращения и годовая ставка простых процентов и если они неизвестны:

S0 = 3900 руб. / (1 + 0,2 * 1,5) = 3000 руб.

Надо обратить внимание на то, что кредитору выгоднее выдавать ссуду под простой дисконт, а не под простой процент. Простой дисконт (d) представляет собой процентный доход, который вычитается из ссуды в момент ее выдачи. Сравним наращенную сумму, которую надо вернуть кредитору при условии выдачи кредита в одинаковой сумме, но под простой процент — в одном случае и под простой дисконт — в другом.

Предположим, что ссуда, равная 10 000 руб., выдана сроком на полгода под 20% простых годовых. Простой дисконт также 20%. Тогда наращенная сумма к возврату под простой процент составит

I = S0 (1 + it) = 1000 руб. * (1 + 0,2 * 0,5) = 11000 руб.

Если ссуда получена под простой дисконт при прочих равных условиях, то вернуть надо будет большую, чем в первом случае, сумму:

Чтобы получить на руки кредит в сумме 10000 руб. под простой дисконт, надо задолжать кредитору большую сумму, так как при выдаче ссуды дисконт вычитается.

Поскольку простой процент представляет собой отношение суммы приращения за какой-то срок к начальной сумме, это есть ставка процента, эффективность вложений, или интерес кредитора (по зарубежной терминологии). Дисконт, или относительная скидка, — это отношение суммы приращения за определенный срок к наращенной сумме. В практических финансовых расчетах с использованием дисконта удобно применять дисконт-фактор (V) — отношение начальной суммы вложений к наращенной или разность между единицей и дисконтом за определенный срок:

Для расчета суммы, которую клиент получит на руки, если по условиям кредитного договора ссуда выдается под простой дисконт, надо предполагаемую к возврату сумму умножить на величину дисконт-фактора.

И в теории, и на практике постоянно приходится решать вопрос о том, в каком соотношении находятся суммы денег, полученные в разные моменты времени. Рассчитать современную ценность суммы денег можно путем ее дисконтирования. Для определения современной, или приведенной, ценности денег можно воспользоваться алгоритмом:

Расчет базируется на алгоритме исчисления суммы наращения, приведенном выше. При этом внимание принимается возможность использования денег путем инвестирования в банк под простой годовой процент. Годовая ставка носит название номинальной.

Две или несколько приведенных сумм денег считаются эквивалентными, если их современные ценности одинаковы. Эквивалентность приведенных сумм используется для сравнения контрактов на получение ссуды, а также при решении вопроса об изменении условий такого рода сделки.

Пример. В первом контракте сумма обязательства составляет 20000 руб. исходя из простых 30% в год с выплатой 12000 руб. через два года, остальных 8000 руб. — через пять лет, т.е. по окончании контракта.

Во втором контракте сроком на четыре года под тот же простой процент возврат первой части обязательства в сумме 7000 руб. предусмотрен через год, а остальной суммы — через три года от настоящего момента.

Надо рассчитать сумму долга во втором контракте, которая будет возвращена через три года, при условии, что современные ценности потоков платежей в обоих контрактах будут одинаковыми, эквивалентными, т.е.:

где S(1)1 и S(1)2 — дисконтированные (приведенные) суммы в первом контракте;

S(2)1 + S(2)2 — дисконтированные (приведенные) суммы платежей во втором контракте.

В качестве наращенной суммы (I) принимается сумма обязательства вернуть долг, включая проценты. Тогда приведенная к настоящему моменту сумма обязательного платежа составит:

S(1)1 = 12000 руб. / (1 + 0,3 * 2) = 7500 руб.;

S(1)2 = 8000 руб. / (1 + 0,3 * 5) = 3200 руб.;

S(2)1 = 7000 руб. / (1 + 0,3 * 1) = 5384,6 руб.;

S(2)2 = X руб. / (1 + 0,3 * 3) = X руб. / 1,9.

Контракты будут эквивалентны, если будет выполнено равенство:

7500 руб. + 3200 руб. = 5384,6 руб. + X руб. / 1,9.

Из примера видно, что сокращение срока платежа во втором контракте позволяет уменьшить суммарные выплаты. По первому контракту они составят 20000 руб. (12000 + 8000), а по второму — 17099,3 руб. (7000 + 10099,3).

На практике финансовые операции обычно совершаются с использованием сложных процентов. Кредитные взаимоотношения, осуществление долгосрочных финансово-кредитных операций, оценка инвестиционных проектов нередко требуют применения математических моделей непрерывного начисления процентов, их реинвестирования, использования сложных процентов. Особенность процесса при этом состоит в том, что исходная базовая сумма увеличивается с каждым периодом начисления, в то время как при использовании простых процентов она остается неизменной. Наращение по сложным процентам осуществляется с ускорением. Процесс присоединения начисленных процентов к базовой сумме носит название капитализации процентов.

где S0 — базовая сумма (современная стоимость суммы денег); S t — будущее значение суммы денег; i — годовая процентная ставка; t — срок, по истечении которого современное значение денег изменится.

Предположим, что банк ежегодно начисляет сложные проценты (30%) на вклад в сумме 100000 руб. Тогда наращенная сумма через два года составит

St = 100000 руб. * (1 + 0,3) 2 = 169000 руб. Через четыре года она будет равна St = 100000 руб. * (1 + 0,3) 4 = 285610 руб.

Ставка сложных процентов обычно указывается на год (номинальная), хотя начисляться они могут чаще — каждое полугодие, квартал, месяц, даже день. Тогда за каждый период годаставка сложных процентов будет равна i/m где т — число раз начисления процентов в году.

В этом случае алгоритмы расчета наращенной суммы выглядят так:

Дополним условия предыдущего примера тем, что та же годовая ставка сложных процентов (30%) применяется четыре раза в году, т.е. число начислений возрастает. Тогда наращенная сумма, например, за два года составит

St= 100000 руб. * (1 + 0,3/4) 2*4 = 100000 руб. * (1 + 0,075) 8 = 100000 руб. * 1,78348 = 178,348 тыс.руб.

При начислении один раз в год наращенная сумма за два года, как мы видели, составила лишь 169000 руб.

При увеличении числа периодов начисления сложных процентов при одной и той же годовой ставке за одно и то же время наращения сумма будет возрастать.

В финансовых расчетах с использованием сложных процентов принято определять эффективную ставку, т.е. такую годовую номинальную ставку сложных процентов, которая дает возможность получить тот же результат, как и при начислении процентов несколько раз в году. Равенство наращенных сумм обеспечивается здесь равенством первоначальных сумм, периодов и множителей наращения.

Эффективная процентная ставка будет больше номинальной. Это видно из соответствующих алгоритмов, где iэф — эффективная ставка. Множители наращения должны быть равны

(1 + iэф) t = (1+i m /m) mt

Отсюда эффективная ставка составит

iэф = (1+ i m /m) mt – 1

Используя приведенный алгоритм, рассчитаем эффективную ставку сложных процентов при ежеквартальном начислении, если номинальная ставка — 20%, а период равен году. Первоначальная сумма — 300 тыс. руб.

iэф = (1+0,2/4) 4 – 1 = 0,2155 = 21,55%

Наращенная сумма при этом составит

St = S0 * (1 + iэф) t = 300 тыс. руб. * (1 + 0,2155) = 364,65 тыс. руб.

При начислении сложных процентов четыре раза в году получим ту же наращенную сумму:

St = S0 / (1+ i m /m) tm = 300 тыс.руб. / (1 + 0,2/4) 4 = 300 * (1,5) 4 = 364,65 тыс.руб.

В финансовых расчетах должна учитываться инфляция, тем более если она значительна. С одной стороны, сумма, положенная, например, на депозит, получит приращение, а с другой — утратит свою реальную стоимость в результате инфляции. Для определения наращенной суммы с учетом инфляции используют алгоритм

где Sинф — наращенная сумма с учетом инфляции; S0 — базовая сумма; i m — годовая номинальная банковская ставка, применяемая m разв году; h — ожидаемый месячный темп инфляции; t — число месяцев.

Пример. Предположим, что на депозит положена сумма 800 тыс. руб. (S0). Номинальная годовая банковская ставка (i m ) равна 48%. Сложные проценты начисляются каждый месяц, т.е. годовая номинальная ставка применяется 12 раз в году (m). Ожидаемый месячный темп инфляции (h) равен 10%. Определим наращенную сумму (с учетом инфляции) через четыре месяца, а также эрозию капитала (ЭК), или уменьшение реальной стоимости суммы, положенной на депозит (Sинф – S0):

Sинф = 800 тыс.руб. * (1 + 0,48 / 12) 4 / (1+0,1) 4 = 639,2 тыс.руб.

Эрозия капитала составит: 639,2 тыс. руб. – 800 тыс. руб. = –160,8 тыс. руб.

Чаще всего финансовые операции имеют продолжительный характер, состоят не из одного разового платежа, а из потоков платежей и нередко с разными знаками. В качестве примера можно привести: ежегодные выплаты процентов по облигациям, ежемесячные взносы на погашение потребительского кредита, получение ежемесячных стипендий от благотворительного фонда; арендные платежи; периодические вклады в банк для образования страхового фонда и др.

В таких финансовых операциях возникает необходимость найти наращенную сумму потока платежей или, наоборот, по наращенной сумме определить величину отдельного платежа. Для целого ряда финансовых расчетов разработаны математические модели.

© Интернет-проект «Корпоративный менеджмент», 1998–2021

Источник

Тема 4. Постоянные финансовые ренты

Цель и задачи изучения темы — ознакомить студентов с методами расчета характеристик постоянных финансовых рент, научить их рассчитывать приведенную стоимость финансового потока к тому или иному моменту времени, понимать связь результатов приведения к разным моментам. Студенты должны освоить вывод базовых формул постоянных финансовых рент, уметь применять такие формулы, грамотно организовывать и проводить расчеты, связанные с постоянными финансовыми рентами, уметь учитывать в расчетах особенности начисления платежей и процентов в таких рентах.

Оглавление

4.1. Характеристики потоков платежей

4.1.1. Основные понятия

Операции с отдельными денежными суммами лежат в основе более сложных операций — операций с последовательностями таких сумм, распределенных во времени, т. е. с потоками платежей.

Потоком платежей называется последовательность денежных сумм, приуроченных к определенным моментам времени. Отдельные денежные суммы, являющиеся членами последовательности, называются членами потока.

Потоки возникают, например, при реализации инвестиционного проекта, при погашении задолженности в рассрочку, при получении доходов по акциям или другим ценным бумагам, при выплате пенсий и т. д.

Потоки платежей классифицируются на регулярные и нерегулярные. Варианты потоков графически представлены на рис. 4.1-4.3.

В нерегулярном потоке временные интервалы между членами потока могут иметь различную продолжительность. Кроме того, члены такого потока могут иметь различные знаки. Положительные члены обычно соответствуют поступлениям денежных сумм, отрицательные — затратам.

В регулярном потоке промежутки времени между соседними выплатами имеют одинаковую длину и члены потока имеют один знак. Регулярные потоки называются также финансовыми рентами.

Что такое наращенная сумма. Смотреть фото Что такое наращенная сумма. Смотреть картинку Что такое наращенная сумма. Картинка про Что такое наращенная сумма. Фото Что такое наращенная сумма

Рис. 4.1. Нерегулярный поток платежей

Что такое наращенная сумма. Смотреть фото Что такое наращенная сумма. Смотреть картинку Что такое наращенная сумма. Картинка про Что такое наращенная сумма. Фото Что такое наращенная сумма

Рис. 4.2. Регулярный поток платежей (случай постоянной финансовой ренты)

Что такое наращенная сумма. Смотреть фото Что такое наращенная сумма. Смотреть картинку Что такое наращенная сумма. Картинка про Что такое наращенная сумма. Фото Что такое наращенная сумма

Рис. 4.3. Регулярный поток платежей (случай переменной финансовой ренты)

Отметим, что члены финансовой ренты в общем случае могут различаться по своей величине. Если они одинаковы, то говорят о постоянной финансовой ренте. Если различаются, — то о переменной финансовой ренте. Эти различия могут подчиняться какой-нибудь закономерности (например, ренты с постоянным абсолютным или относительным приростом членов) или быть несистематическими.

К основным параметрам, характеризующим ренту, относятся:

При анализе конкретных рент используются и другие характеристики и параметры, например периодичность начисления процентов (при начислении несколько раз в году), вероятность выплаты (если речь идет о страховых платежах) и др.

Ренты могут иметь заранее оговоренный срок или не иметь такого срока. В последнем случае говорят о вечной ренте.

Ренты различаются по моменту выплат в пределах периода. Если платежи приурочены к концу периодов, то рента называется рентой постнумерандо (а также обыкновенной рентой). Если же платежи приурочены к началу периодов, то рента называется рентой пренумерандо.

4.1.2. Обобщающие характеристики потоков платежей

Два финансовых потока могут быть по-разному распределены во времени, иметь различную продолжительность, различное число членов, различаться величиной членов.

Их сопоставление, анализ, выбор варианта потока проводится на основе обобщающих характеристик, позволяющих свести все разнообразие потоков к небольшому числу базовых показателей.

К основной характеристике потока относится его приведенная стоимость (приведенная оценка). Она позволяет «свернуть» весь распределенный во времени поток в одно число.

Под приведенной стоимостью понимается сумма всех членов потока с начисленными процентами, приведенная (дисконтированная) к какому-то заданному моменту времени. Обычно в качестве такого момента времени выбирают момент начала первого периода потока или момент окончания его последнего периода. В первом случае говорят о современной стоимости ( современной оценке) потока, во втором — о наращенной стоимости ( наращенной сумме) потока.

Иногда современную оценку потока привязывают не к его началу, а к некоторому более раннему моменту времени. Например, если сегодня анализируются потоки по вариантам инвестиционных проектов, реализация которых должна начаться через некоторое время, то современную оценку привязывают обычно не к началу потоков (у разных вариантов может быть разный начальный момент), а к сегодняшнему дню.

4.1.3. Расчет приведенной стоимости потока

Сформулируем определение приведенной стоимости потока в общем случае.

t k k на момент t ее следует увеличить, умножив на коэффициент роста, равный Что такое наращенная сумма. Смотреть фото Что такое наращенная сумма. Смотреть картинку Что такое наращенная сумма. Картинка про Что такое наращенная сумма. Фото Что такое наращенная сумма. Этот коэффициент показывает, во сколько раз изменится величина R k по сложной процентной ставке i за время (t — t k ), отделяющее момент t k от момента t.

Другими словами, если бы денежную сумму R k положить на депозитный счет с условиями начисления сложных процентов по ставке i, то за время (t — t k ) величина R k выросла бы до величины R k Что такое наращенная сумма. Смотреть фото Что такое наращенная сумма. Смотреть картинку Что такое наращенная сумма. Картинка про Что такое наращенная сумма. Фото Что такое наращенная сумма. Показатель степени положительный, так что коэффициент больше 1, величина R k при умножении увеличивается.

Если же момент времени t k наступает позже момента t,

t k > t,

то при пересчете оценки величины R k на момент t ее надо умножить на соответствующий коэффициент дисконтирования. Формула для этого коэффициента та же, что и для прежнего коэффициента роста, т. е. Что такое наращенная сумма. Смотреть фото Что такое наращенная сумма. Смотреть картинку Что такое наращенная сумма. Картинка про Что такое наращенная сумма. Фото Что такое наращенная сумма. Однако показатель степени теперь отрицательный, так что коэффициент автоматически окажется менее 1. Величина R k при умножении на такой коэффициент уменьшается.

Что такое наращенная сумма. Смотреть фото Что такое наращенная сумма. Смотреть картинку Что такое наращенная сумма. Картинка про Что такое наращенная сумма. Фото Что такое наращенная сумма

Формула позволяет определить приведенную стоимость потока для любого момента времени t. В частности, если t — момент начала потока, то эта формула определяет современную стоимость потока. Если же t — момент окончания срока потока, формула определяет наращенную сумму потока.

4.1.4. Связь между результатами приведения к разным моментам времени

Рассмотрим, как изменяется величина приведенной стоимости при приведении к другому моменту.

Пусть t’ — другой момент приведения. Тогда при приведении к моменту t’ получим величину:

Что такое наращенная сумма. Смотреть фото Что такое наращенная сумма. Смотреть картинку Что такое наращенная сумма. Картинка про Что такое наращенная сумма. Фото Что такое наращенная сумма

Величины S t и S t’ связаны соотношением

Что такое наращенная сумма. Смотреть фото Что такое наращенная сумма. Смотреть картинку Что такое наращенная сумма. Картинка про Что такое наращенная сумма. Фото Что такое наращенная сумма

Рассмотрим отношение приведенных оценок:

Что такое наращенная сумма. Смотреть фото Что такое наращенная сумма. Смотреть картинку Что такое наращенная сумма. Картинка про Что такое наращенная сумма. Фото Что такое наращенная сумма

Отсюда получаем, что при приведении к более позднему моменту величина приведенной стоимости окажется больше. Действительно, если

Что такое наращенная сумма. Смотреть фото Что такое наращенная сумма. Смотреть картинку Что такое наращенная сумма. Картинка про Что такое наращенная сумма. Фото Что такое наращенная сумма

откуда следует, что

Отношение приведенных оценок S t’ / S t выражается величиной, не зависящей от конкретного потока. Она зависит лишь от разности (t — t’) моментов приведения и от выбранной для приведения процентной ставки i.

Это позволяет сравнивать различные потоки по их приведенной стоимости безотносительно к выбору конкретного момента приведения.

Действительно, пусть Что такое наращенная сумма. Смотреть фото Что такое наращенная сумма. Смотреть картинку Что такое наращенная сумма. Картинка про Что такое наращенная сумма. Фото Что такое наращенная суммаи Что такое наращенная сумма. Смотреть фото Что такое наращенная сумма. Смотреть картинку Что такое наращенная сумма. Картинка про Что такое наращенная сумма. Фото Что такое наращенная сумма— стоимости двух потоков при их приведении к моменту t, а Что такое наращенная сумма. Смотреть фото Что такое наращенная сумма. Смотреть картинку Что такое наращенная сумма. Картинка про Что такое наращенная сумма. Фото Что такое наращенная суммаи Что такое наращенная сумма. Смотреть фото Что такое наращенная сумма. Смотреть картинку Что такое наращенная сумма. Картинка про Что такое наращенная сумма. Фото Что такое наращенная сумма— стоимости тех же потоков при их приведении к моменту t’. Тогда отношения этих оценок равны:

Что такое наращенная сумма. Смотреть фото Что такое наращенная сумма. Смотреть картинку Что такое наращенная сумма. Картинка про Что такое наращенная сумма. Фото Что такое наращенная сумма

Если приведенная стоимость одного потока оказалась в m раз больше приведенной стоимости другого при приведении обоих потоков к какому-то одному моменту времени, то это же соотношение между потоками сохранится и при приведении к любому другому моменту времени.

4.2. Характеристики постоянной финансовой ренты

4.2.1. Расчет характеристик постоянной ренты

Полученная выше формула приведенной стоимости потока пригодна для расчетов с любыми потоками. В некоторых важных частных случаях ее можно заметно упростить. Так, для наиболее распространенного вида потоков — постоянной финансовой ренты — мы получим существенно более простые расчетные формулы. Простые формулы можно получить и для переменных рент с несложной закономерностью изменения членов ренты.

Рассмотрим постоянную ренту, содержащую n членов одинаковой величины R (рис. 4.4). Интервал между членами ренты одинаков. Предположим, что он составляет 1 год (такая рента называется аннуитетом). Пусть это рента постнумерандо.

Таким образом, перед нами последовательность из n одинаковых платежей размера R каждый. Общий срок ренты составляет n лет. Очередной платеж совершается в конце года. Первый платеж происходит в конце первого года, последний — в конце n-го года. Конец общего срока ренты совпадает с моментом последнего платежа.

Что такое наращенная сумма. Смотреть фото Что такое наращенная сумма. Смотреть картинку Что такое наращенная сумма. Картинка про Что такое наращенная сумма. Фото Что такое наращенная сумма

Рис. 4.4. Постоянная финансовая рента

Определим наращенную конечную стоимость ренты S, т. е. стоимость ренты на конец ее срока (конечную стоимость обозначают иногда также посредством FV — Future Value).

Приведение следует провести на момент окончания срока ренты. Рассмотрим поочередно члены ренты, от последнего к первому.

Последний, n-й член ренты при приведении сохраняется без изменения, поскольку момент приведения совпадает с моментом последнего платежа. В результате преобразования он сохраняет свою величину R.

Предпоследний, (n-1)-й член преобразуется в величину R(1 + i).

Предпредпоследний, (n-2)-й член преобразуется в Что такое наращенная сумма. Смотреть фото Что такое наращенная сумма. Смотреть картинку Что такое наращенная сумма. Картинка про Что такое наращенная сумма. Фото Что такое наращенная сумма.

Продолжая рассуждения, получим, что произвольный k-й член преобразуется в Что такое наращенная сумма. Смотреть фото Что такое наращенная сумма. Смотреть картинку Что такое наращенная сумма. Картинка про Что такое наращенная сумма. Фото Что такое наращенная сумма.

В частности, первый член преобразуется в Что такое наращенная сумма. Смотреть фото Что такое наращенная сумма. Смотреть картинку Что такое наращенная сумма. Картинка про Что такое наращенная сумма. Фото Что такое наращенная сумма.

Суммируя получившуюся n-членную геометрическую прогрессию с первым членом R и знаменателем (1+i), приходим к формуле

Что такое наращенная сумма. Смотреть фото Что такое наращенная сумма. Смотреть картинку Что такое наращенная сумма. Картинка про Что такое наращенная сумма. Фото Что такое наращенная сумма

Это и есть формула конечной наращенной суммы постоянной n-членной ренты постнумерандо.

Обратимся к формуле начальной, современной стоимости ренты A, соответствующей приведению к начальному моменту срока ренты (такую величину обозначают также посредством PV — Present Value ). Эту формулу можно получить двумя способами.

Один — провести рассуждения, аналогичные данным выше для формулы наращенной суммы, но ориентированные на приведение к другому моменту времени. Другой — провести дисконтирование уже полученной величины наращенной суммы к начальному моменту срока ренты, т. е. воспользоваться равенством

Что такое наращенная сумма. Смотреть фото Что такое наращенная сумма. Смотреть картинку Что такое наращенная сумма. Картинка про Что такое наращенная сумма. Фото Что такое наращенная сумма

Второй путь позволяет сразу написать итоговую формулу

Что такое наращенная сумма. Смотреть фото Что такое наращенная сумма. Смотреть картинку Что такое наращенная сумма. Картинка про Что такое наращенная сумма. Фото Что такое наращенная сумма

По этим формулам можно провести расчет при любой положительной величине процентной ставки i. Они не работают только при i = 0, т. е. в случае, когда не учитывается рост вложенной денежной суммы. Однако в этом случае современная и будущая оценки фонда совпадают, и обе равны простой сумме членов ренты:

Что такое наращенная сумма. Смотреть фото Что такое наращенная сумма. Смотреть картинку Что такое наращенная сумма. Картинка про Что такое наращенная сумма. Фото Что такое наращенная сумма

4.2.2. Вечная рента

В некоторых случаях ренту можно рассматривать как продолжающуюся неограниченно долго, т. е. имеющую неограниченное число членов. Такая ситуация возникает, когда заранее срок ренты не установлен. Например, регулярные выплаты по облигациям с неограниченным сроком действия.

Ренты с неограниченным сроком называются вечными рентами.

Определить наращенную сумму вечной ренты невозможно, т. к. такая сумма должна быть приведена к концу срока ренты. Однако можно определить современную стоимость вечной ренты. Для этого достаточно просуммировать бесконечную убывающую геометрическую прогрессию.

Если в полученной выше формуле для современной стоимости ренты со сроком n устремить n к бесконечности, то получим:

Что такое наращенная сумма. Смотреть фото Что такое наращенная сумма. Смотреть картинку Что такое наращенная сумма. Картинка про Что такое наращенная сумма. Фото Что такое наращенная сумма

Таким образом, современная стоимость вечной ренты определяется простым правилом: современная стоимость равна отношению величины члена ренты к процентной ставке.

4.2.3. Связь параметров ренты

Полученные формулы позволяют рассчитать параметры ренты R и n через ее итоговые приведенные характеристики S и A. Простые преобразования приводят к формулам для члена ренты R:

Что такое наращенная сумма. Смотреть фото Что такое наращенная сумма. Смотреть картинку Что такое наращенная сумма. Картинка про Что такое наращенная сумма. Фото Что такое наращенная сумма

Что такое наращенная сумма. Смотреть фото Что такое наращенная сумма. Смотреть картинку Что такое наращенная сумма. Картинка про Что такое наращенная сумма. Фото Что такое наращенная сумма

Формула для срока ренты n, выраженного через наращенную сумму S, имеет вид

Что такое наращенная сумма. Смотреть фото Что такое наращенная сумма. Смотреть картинку Что такое наращенная сумма. Картинка про Что такое наращенная сумма. Фото Что такое наращенная сумма

Аналогичная формула для срока ренты n, выраженного через современную стоимость ренты A, имеет вид

Что такое наращенная сумма. Смотреть фото Что такое наращенная сумма. Смотреть картинку Что такое наращенная сумма. Картинка про Что такое наращенная сумма. Фото Что такое наращенная сумма

Отметим, что числитель в последней формуле отрицателен (подлогарифмическое выражение меньше 1), так что знак «минус» перед формулой возвращает положительное значение n.

В отличие от R и n расчет процентной ставки i не удается провести в виде вычисления по готовой формуле. Величину процентной ставки определяют одним из методов приближенных вычислений (например, методом линейной интерполяции — методом хорд или методом Ньютона — методом касательных).

4.2.4. Ренты пренумерандо и постнумерандо

Рента пренумерандо при приведении к концу срока отличается от ренты постнумерандо сдвигом на один период времени от конца назад. Поэтому все ее члены при приведении следует дополнительно умножить на одну и ту же величину (1 + i). В результате формула наращенной суммы ренты пренумерандо примет вид

Что такое наращенная сумма. Смотреть фото Что такое наращенная сумма. Смотреть картинку Что такое наращенная сумма. Картинка про Что такое наращенная сумма. Фото Что такое наращенная сумма

Аналогично изменится и формула современной стоимости ренты:

Что такое наращенная сумма. Смотреть фото Что такое наращенная сумма. Смотреть картинку Что такое наращенная сумма. Картинка про Что такое наращенная сумма. Фото Что такое наращенная сумма

Соответствующие изменения произойдут в формулах, определяющих величину постоянного члена и продолжительность для ренты пренумерандо:

Что такое наращенная сумма. Смотреть фото Что такое наращенная сумма. Смотреть картинку Что такое наращенная сумма. Картинка про Что такое наращенная сумма. Фото Что такое наращенная сумма

Что такое наращенная сумма. Смотреть фото Что такое наращенная сумма. Смотреть картинку Что такое наращенная сумма. Картинка про Что такое наращенная сумма. Фото Что такое наращенная сумма

Полученные формулы можно рассматривать как формулы для ренты постнумерандо, но с новой оценкой приведенной стоимости (оценкой S или A), уменьшенной в (1+ i) раз.

Формула для срока ренты n, выраженного через наращенную сумму S, имеет вид

Что такое наращенная сумма. Смотреть фото Что такое наращенная сумма. Смотреть картинку Что такое наращенная сумма. Картинка про Что такое наращенная сумма. Фото Что такое наращенная сумма

Аналогичная формула для срока ренты n, выраженного через современную стоимость ренты A, имеет вид

Что такое наращенная сумма. Смотреть фото Что такое наращенная сумма. Смотреть картинку Что такое наращенная сумма. Картинка про Что такое наращенная сумма. Фото Что такое наращенная сумма

Полученные формулы соответствуют формулам для ренты постнумерандо, но с новой величиной члена ренты R, увеличенной в (1+ i) раз.

В дальнейшем мы будем строить формулы для ренты постнумерандо, имея в виду, что они легко преобразуются в формулы для ренты пренумерандо.

4.3. Платежи и проценты

4.3.1. Учет особенностей начисления процентов

Рассмотрим ситуацию, когда проценты на члены ренты начисляются не один, а несколько раз за период поступления платежей.

Пусть на поступающие члены постоянной ежегодной ренты постнумерандо начисляются проценты m раз в году (например, ежеквартально). Рассмотрим два варианта перевода годовой ставки в квартальную.

1. Пусть перевод годовой ставки i в квартальную j происходит по формуле сложной процентной ставки, т. е. по формуле

Что такое наращенная сумма. Смотреть фото Что такое наращенная сумма. Смотреть картинку Что такое наращенная сумма. Картинка про Что такое наращенная сумма. Фото Что такое наращенная сумма

В общем случае, при разделении года на m равных периодов, эта формула имеет вид

Что такое наращенная сумма. Смотреть фото Что такое наращенная сумма. Смотреть картинку Что такое наращенная сумма. Картинка про Что такое наращенная сумма. Фото Что такое наращенная сумма

В таком случае ставка i и ставка j корректно согласованы друг с другом, и все расчетные формулы, связанные с рентой, остаются прежними.

2. Пусть перевод годовой ставки i в квартальную j происходит по формуле простой процентной ставки, т. е. по формуле

j = i/4

или, в случае разделения года на m периодов, по формуле

j = i/m.

В этой ситуации множитель роста вклада за год равен величине

Что такое наращенная сумма. Смотреть фото Что такое наращенная сумма. Смотреть картинку Что такое наращенная сумма. Картинка про Что такое наращенная сумма. Фото Что такое наращенная сумма

При построении приведенной оценки ренты ее члены, как и в первоначальном случае, образуют геометрическую прогрессию, но с другим знаменателем — со знаменателем, равным множителю роста. Таким образом, для наращенной суммы получаем:

Что такое наращенная сумма. Смотреть фото Что такое наращенная сумма. Смотреть картинку Что такое наращенная сумма. Картинка про Что такое наращенная сумма. Фото Что такое наращенная сумма

Для современной стоимости потока получаем формулу

Что такое наращенная сумма. Смотреть фото Что такое наращенная сумма. Смотреть картинку Что такое наращенная сумма. Картинка про Что такое наращенная сумма. Фото Что такое наращенная сумма

4.3.2. Учет особенностей поступления платежей

Мы рассмотрели вариант, когда период начисления процентов меньше периода поступления платежей. Рассмотрим теперь противоположный случай, когда период поступления платежей меньше периода начисления процентов.

Пусть проценты начисляются ежегодно, а платежи поступают равными взносами, периодически, p раз в году (например, ежемесячно). Если годовая сумма платежей по-прежнему равна R, то отдельный платеж равен теперь величине R / p. Общее число членов ренты за n лет равно теперь nxp.

На каждый член ренты при определении наращенной суммы начисляются проценты за весь период времени, оставшийся до конца срока ренты.

Последовательность членов такой ренты с начисленными процентами опять является геометрической прогрессией. Первый член прогрессии (считая, как и раньше, от конца поступления платежей) равен R / p. Число членов равно np. Знаменатель прогрессии есть

Что такое наращенная сумма. Смотреть фото Что такое наращенная сумма. Смотреть картинку Что такое наращенная сумма. Картинка про Что такое наращенная сумма. Фото Что такое наращенная сумма

Наращенная сумма S есть сумма членов этой прогрессии Она определяется формулой

Что такое наращенная сумма. Смотреть фото Что такое наращенная сумма. Смотреть картинку Что такое наращенная сумма. Картинка про Что такое наращенная сумма. Фото Что такое наращенная сумма

Современная стоимость ренты определяется формулой

Что такое наращенная сумма. Смотреть фото Что такое наращенная сумма. Смотреть картинку Что такое наращенная сумма. Картинка про Что такое наращенная сумма. Фото Что такое наращенная сумма

4.3.3. Учет особенностей начисления процентов и поступления платежей

Рассмотрим вариант ренты, когда и начисление процентов, и поступление платежей происходят несколько раз в году. Обычно в таких ситуациях оба события происходят с одинаковой периодичностью. Например, рентные платежи поступают ежемесячно, и начисление процентов происходит также ежемесячно.

Расчеты по такой ренте сводятся к расчетам по первоначальной формуле с заменой годового периода новым периодом (например, месячным). При этом число членов ренты кратно числу лет, а процентная ставка изменяется в соответствии с новым периодом.

Выводы

Финансовая рента — это последовательность платежей, возникающих через равные промежутки времени. Если размеры платежей финансовой ренты одинаковы, то рента называется постоянной финансовой рентой.

Различают ренты постнумерандо (платежи поступают в конце промежутков времени) и ренты пренумерандо (платежи поступают в начале промежутков времени).

Конечная стоимость ренты S и начальная стоимость ренты A определяются путем приведения всех платежей к конечному или начальному моменту времени по сложной процентной ставке. Итоговые формулы получаются на основе суммирования геометрической прогрессии. Для ренты постнумерандо формулы имеют вид

Что такое наращенная сумма. Смотреть фото Что такое наращенная сумма. Смотреть картинку Что такое наращенная сумма. Картинка про Что такое наращенная сумма. Фото Что такое наращенная сумма

Формула начальной стоимости ренты применима и для вечной ренты, содержащей бесконечное множество платежей:

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *