Что такое некомпланарные векторы
Компланарность векторов. Условия компланарности векторов.
 |
| рис. 1 |
Всегда возможно найти плоскости параллельную двум произвольным векторам, по этому любые два вектора всегда компланарные.
Условия компланарности векторов
Примеры задач на компланарность векторов
Решение: найдем смешанное произведение векторов
Ответ: вектора не компланарны так, как их смешанное произведение не равно нулю.
Решение: найдем смешанное произведение векторов
Ответ: вектора компланарны так, как их смешанное произведение равно нулю.
Решение: найдем количество линейно независимых векторов, для этого запишем значения векторов в матрицу, и выполним над ней элементарные преобразования
 | 1 | 1 | 1 |  |
| 1 | 2 | 0 | ||
| 0 | -1 | 1 | ||
| 3 | 3 | 3 |
из 2-рой строки вычтем 1-вую; из 4-той строки вычтем 1-вую умноженную на 3
к 3-тей строке добавим 2-рую
Так как осталось две ненулевые строки, то среди приведенных векторов лишь два линейно независимых вектора.
Ответ: вектора компланарны так, как среди приведенных векторов лишь два линейно независимых вектора.
Геометрия. 10 класс
Конспект урока
Геометрия, 10 класс
Урок №18. Компланарные векторы. Векторный метод решения задач
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
— какие векторы называются компланарными и их изображение на чертежах
-определение компланарных векторов.
— признак компланарности трех векторов и правило параллелепипеда, сложение трех некомпланарных векторов.
— основы векторного метода решения задач.
Ершова А.П., Голобородько В.В., Крижановский А.Ф. Тетрадь-конспект по геометрии для 10 класса. 2016. С.88-93.
Теоретический материал для самостоятельного изучения:
Давайте вспомним основные определения по теме «Векторы». В этом поможет следующее задание: установите соответствие между понятием и его определением.
Противоположно направлены и их длины равны.
Сонаправлены и их длины равны.
Лежат на одной или параллельных прямых
Определение2.Векторы называются компланарными, если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости.
Рассмотрим некоторые случаи:
1 случай. Любые два вектора всегда будут компланарными, ведь через них
можно провести прямые, а через две прямые всегда можно провести
единственную плоскость.
2 случай. Три вектора будут компланарными если среди них есть пара коллинеарных
векторов. Тогда через один из коллинеарных векторов и вектор не коллинеарный ему
можно провести плоскость. А для второго из коллинеарных векторов легко
изобразить равный в этой плоскости.
3 случай. Если хотя бы один из трёх векторов является нулевым, то эти три вектора компланарны
Из планиметрии: Любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.
Теорема. Любой вектор можно разложить по трём данным некомпланарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.
Часть 2. Векторный метод решения задач
Векторный метод решения задач – один из наиболее общих методов решения геометрических задач. Векторное решение стереометрических задач значительно проще их решения средствами элементарной геометрии.
Рассмотрим следующую задачу: Доказать, что прямая, проведенная через середины оснований трапеции, проходит через точку пересечения продолжений боковых сторон.
Докажем, что точка О лежит на прямой МN.
Условие задачи переводится на «векторный» язык. После такого перевода осуществляются алгебраические вычисления с векторами, а затем полученное снова «переводится» на «геометрический» язык.
Решением задач векторным методом занимались ученые: Уильман Гамильтон Иога́нн Берну́лли, Пьер Ферма, Рене Декарт, Леонард Эйлер.
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля:
Задача. В параллелепипеде АВСDА1В1С1D1 М —точка пересечения диагоналей грани A1B1C1D1, точка K — середина ребра ВВ1. Докажите, что прямые А1В1, KМ и ВС1 параллельны некоторой плоскости.
Решение. Введем векторы: 
. Векторы 
некомпланарны.
Разложим векторы 
и 
по векторам
. Получим:
+
= 
.
Тогда векторы 
= 
+ 
компланарны. Следовательно, они параллельны некоторой плоскости, тогда этой плоскости параллельны и прямые А1В1, KМ и ВС1.
Компланарные векторы и условие компланарности
В данной статье мы рассмотрим такие темы, как:
Определение компланарных векторов
Компланарные векторы — это векторы, которые параллельны одной плоскости или лежат на одной плоскости.
Два любых вектора всегда компланарны, поскольку всегда можно найти плоскости параллельные 2-м произвольным векторам.
Условия компланарности векторов
Примеры решения задач на компланарность векторов
Исследуем на компланарность векторы
Как решить?
Векторы будут являться компланарными, если их смешанное произведение равно нулю, поэтому вычисляем смешанное произведение заданных векторов. Для этого составляем определитель, по строкам которого записываются координаты векторов-сомножителей:
Отсюда следует, что смешанное произведение не равняется нулю, поэтому векторы не являются компланарными.
Ответ: векторы не являются компланарными.
Докажем, что три вектора
Как решить?
Находим смешанное произведение данных векторов:
Из данного примера видно, что смешанное произведение равняется нулю.
Ответ: векторы являются компланарными.
Проверим, компланарны ли векторы
Как решить?
Необходимо найти количество линейно независимых векторов: записываем значения векторов в матрицу и выполняем элементарные преобразования:
Из 2-ой строки вычитаем 1-ю, из 4-ой вычитаем 1-ю, умноженную на 3:
К 3-ей строке прибавляем 2-ю:
Поскольку в матрице только две ненулевые строки, делаем вывод, что среди них всего два линейно независимых вектора.
Ответ: векторы являются компланарными, поскольку среди них всего два линейно независимых вектора.
Лекция по математике на тему «Компланарные вектора»
Онлайн-конференция
«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Лекция по теме «Компланарные вектора»
Векторы называются компланарными, если при откладывании от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости.
векторы называются компланарными, если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости.
Векторы называются компланарными, если при откладывании от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости.
Любые два вектора компланарны.
Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, также компланарны. Три произвольных вектора могут быть как компланарными, так и некомпланарными.
Три произвольных вектора могут быть как компланарными, так и некомпланарными.
Докажем признак компланарности трех векторов. Если вектор 
можно представить в виде 
= x 
, где х и у – некоторые числа, то векторы 
– компланарны.
Признак компланарности трех векторов
Если вектор можно представить в виде = x , где х и у – некоторые числа, то векторы – компланарны.
Признак компланарности трех векторов
Дано: 
;
= x
Доказать: – компланарны.
,
Справедливо и утверждение, обратное признаку компланарности векторов:
Если векторы а, в, с компланарны, а векторы а и в неколлинеарны, то вектор с можно представить как сумму x 
, при чем коэффициенты х и у определяются единственным образом.
В таком случае говорят, что вектор с разложен по векторам а и в.
Утверждение, обратное признаку компланарности векторов
Если векторы – компланарны, то вектор можно представить в виде = x .
Компланарны ли векторы АА1, СС1, ВВ1?
Решение : Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, компланарны. А в нашем случае все три вектора являются коллинеарными так как лежат на параллельных ребрах параллелепипеда, значит, эти векторы компланарны.
— компланарны
— некомпланарны
Онлайн-конференция
«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Векторы называются компланарными, если при откладывании их………………………………… они будут лежать……………………………..
Т.2: три вектора, среди которых имеется ……………………, так же ……………………
Признак компланарности трех векторов
Свойство трех компланарных векторов
Если векторы ………………………, а векторы ……… не коллинеарны, то вектор … можно разложить по векторам … и …, причем коэффициенты разложения …………………………
Дано:
Отложим от точки О векторы:
Дано: 
, компланарны, и не коллинеарны
Если и коллинеарны или и коллинеарны, то верность свойства очевидна, в силу свойства коллинеарных векторов. Поэтому докажем при условии, что и не коллинеарны и и не коллинеарны
3.По свойству коллинеарных векторов
Вычтем из равенства (1) равенство (2):
, т.е. х и у определяются единственным образом
Отложим от произвольной точки О пространства векторы
………………………… и построим параллелепипед так, чтобы ………… были ребрами.
Тогда диагональ …… изображает ………………. Векторов
Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости
Т.1: Любые два вектора компланарны
Т.2: три вектора, среди которых имеется два коллинеарных, так же компланарны
Признак компланарности трех векторов
Свойство трех компланарных векторов
Дано:
Отложим от точки О векторы: и
Дано: 
, компланарны, и не коллинеарны
Если и коллинеарны или и коллинеарны, то верность свойства очевидна, в силу свойства коллинеарных векторов. Поэтому докажем при условии, что и не коллинеарны и и не коллинеарны
Вычтем из равенства (1) равенство (2):
, т.е. х и у определяются единственным образом
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Номер материала: ДБ-550722
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст
Время чтения: 1 минута
Международный конгресс-выставка «Молодые профессионалы» пройдет с 12 по 14 декабря в Москве
Время чтения: 1 минута
ВПР для школьников в 2022 году пройдут весной
Время чтения: 1 минута
Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате
Время чтения: 1 минута
В МГПУ сформулировали новые принципы повышения квалификации
Время чтения: 4 минуты
В Оренбурге школьников переведут на дистанционное обучение с 9 декабря
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.