Что такое номинальная шкала
Шкала измерений
Высокое качество продукции любого предприятия напрямую зависит от точности и общего качества измерений. Мы не можем решить, соответствует ли конкретный образец продукции требованиям заказчика, если не выразим эти требования количественно или качественно. Для сравнения какого-либо параметра с его заданным значением служат шкалы измерений.
Виды шкал измерений
Суть измерения состоит в том, что текущему состоянию объекта ставится в соответствие некоторое число, порядковый номер или символ.
Что такое шкала
Совокупность таких чисел, номеров или символов и называется шкалой измерений
По своему типу выделяют следующие виды шкал:
Шкалы также относят к одной из двух групп:
Шкалы также делятся по их силе. Чем больше сведений об объекте измерений можно извлечь из результатов измерений по ней. Самыми сильными считаются абсолютные шкалы, самыми слабыми — номинальные. Иногда исследователи усиливают шкалу, характерным примером является «оцифровка» номинальных шкал. Качественным признакам присваивают некое их числовое выражение. Это облегчает обработку результатов, особенно компьютерную. Важно помнить, что оцифровка не придает качественным признакам всех свойств, которыми обладают числа. К такой шкале можно применять операции сравнения, но нельзя — сложения, вычитания и т.п.
Шкалы измерения по Стивенсу
Шкалы измерений
Рассмотрим шкалы измерений подробнее.
Номинальная
Самые простые измерительные шкалы – номинальные. Они относятся к качественным и отражают те или иные свойства объекта, выраженные словесно. Их элементы могут только совпадать или не совпадать друг другом, Их нельзя сопоставлять по принципу «больше-меньше». Недопустимы также и арифметические действия.
Характерным примером может служить группа крови. Первая группа не больше третьей и не может быть сложена с четвертой. У человека может быть только одна группа крови, и измерение
Порядковая
По ней можно ранжировать и сравнивать объекты, по какому — либо признаку, например, расположить людей в строю по росту. Иванов больше Сидорова, а Сидоров больше Кузнецова.
Из этих данных можно сделать вывод о том, что Иванов выше Кузнецова, но нельзя определить, насколько именно.
Интервалов
Она состоит из заранее определенных и равных между собой интервалов. И является намного более информативной. Свойство объекта соотносится с одним из таких интервалов.
Характерным примером такой шкалы измерений может служить принятое у людей исчисление времени. Период оборота Земли вокруг Солнца делится на 365 дней, дни делятся на часы, далее на минуты и секунды. Мы можем соотнести событие с одним из таких интервалов: «эта статья была написана в 2018 году» или «Дождь начнется в 14 часов»
Значения в этом случае можно сравнивать друг с другом не только качественно, но и количественно, становятся доступны операции сложения и вычитания. «Заход солнца произойдет на 12 часов позже восхода». «Фильм А длиннее фильма В на 25 минут»
Однако поскольку начало отсчета не установлено, невозможно определить, во сколько раз одно значение больше другого.
Отношений
Точкой начала отсчета является точка, в которой значение параметра равно нулю. Появляется возможность отсчитывать от нее абсолютное значение параметра, определять разницы значений и во сколько раз одно больше другого. Характерный пример — температурная шкала Кельвина. За начало отчета взята точка «абсолютного нуля», при которой прекращается тепловое движение материи. Второй опорной точкой выбрана температура таяния льда при нормальном давлении. Разница между этими точками по Цельсию составляет 273 °C, и один градус Кельвина равен одному градусу Цельсия. Таким образом, можно сказать, что лед тает при 273К.
Отношений – наиболее информативная. На ней возможны все арифметические операции-
Деление, умножение сложение и вычитание значений параметра будет иметь физический смысл. Мы можем вычислить не только насколько одно значение больше другого, но и во сколько раз.
Разностей
Представляет собой частный случай интервальных. Для них значение не меняется при произвольном числе сдвигов на определенный параметр. Другими характерными признаками являются
В качестве примера можно привести циферблат часов – каждые сутки значение времени будет, например, «7 часов», хотя это разные дни.
Другим примером может служить компас, показывающий направление из одной точки. Сама эта точка может иметь различные координаты.
Важно помнить, что в этом случае при измерении мы можем вычислять разницу между двумя значениями, но должны все время помнить о том, что начальное значении задано произвольно. Например, при переходе на летнее время придется задать новое начальное значение.
Абсолютная
Абсолютная шкала занимает высшую ступень в шкальной иерархии. Единицы их естественные и не основаны на соглашениях и допущениях. Кроме того, эти единицы не имеют размерности, не служат производными системы СИ или какой-либо другой. Они всегда безразмерны:
Абсолютные подразделяют на
Иерархия шкал измерений
Условная иерархия составляется по признаку силы.
По мере возрастания силы увеличивается конкретность информации об объекте.
Статистические шкалы
Грамотное применение статистических методов обработки данных во многом зависит от четкого понимания исследователем того, в какой статистической шкале они представлены. Непонимание этого может привести к тому, что исследователь получит результаты, которые не отражают действительное положение вещей и сделает неправильные выводы. Именно поэтому понимание того, в какой шкале представлены статистические данные является одним из необходимых условий успешной и грамотной статистической обработки.
Итак, приступим к тому, чтобы разобраться, что же такое статистические шкалы.
Шкала (от лат. «скале» — лестница) – элемент счетной системы, посредством которого происходит отнесение исследуемого объекта к определенной группе объектов.
Статистические шкалы можно разделить на качественные и количественные. К качественным шкалам относится номинальная и порядковая шкалы. К количественным – интервальная шкала и шкала отношений.
Номинальная шкала – качественная шкала. Относится к самому элементарному типу измерения. В ней каждому оцениваемому объекту приписывается наименование или число.
Пример 1: Признак – пол. Цифрой «0» обозначаем женщин, цифрой «1» — мужчин. Очевидно, что расчет среднего арифметического не иимеет смысла.
Пример 2: Признак — Цвет волос: Цифрой «1» обозначаем брюнетов, цифрой «2» — шатенов, цифрой «3» – блондинов, цифрой «4» – людей, имеющих рыжий цвет волос.
Пример 3: Номера на футболках спортсменов.
Для области физической культуры и спорта использование номинальной шкалы очень важно, так как очень часто используется метод анкетного опроса. При этом результаты представлены в виде таблицы, в которой представлена абсолютная частота ответов на тот или иной вопрос (табл. 1).
Оценка мужчинами и женщинами своего психического состояния
| Психическое состояние | Мужчины | Женщины | Всего |
| Крайне неустойчивое | 3 | 16 | 19 |
| Неустойчивое | 22 | 18 | 40 |
| Устойчивое | 32 | 9 | 41 |
| Очень устойчивое | 5 | 1 | 6 |
| Всего | 62 | 44 | 100 |
Порядковая шкала (ранговая) – качественная шкала, использующая свойство чисел отражать отношение «больше – меньше».
В порядковой шкале нельзя сказать насколько или во сколько одно значение больше другого, но можно сказать какое больше, какое меньше. Очень часто статистические данные, представленные в порядковой шкале, измеряются в баллах.
Интервальная шкала – количественная шкала. В этой шкале устанавливается единица измерения.
В интервальной шкале, например, измеряется температура (по Цельсию или по Фаренгейту).
Шкала отношений. Для признаков, измеренных в шкале отношений можно дополнительно сказать: во сколько одно значение больше другого. Шкала отношений в отличие от интервальной шкалы обладает точкой нулевого отсчета.
Примерами статистических данных, представленных в шкале отношений являются признаки: рост, вес, температура по Кельвину.
Более подробное эта тема рассмотрена в литературе, ссылки на которую приведены ниже.
Данные
Измерения
Многие инструменты Data Mining при импорте данных из других источников предлагают выбрать тип шкалы для каждой переменной и/или выбрать тип данных для входных и выходных переменных (символьные, числовые, дискретные и непрерывные). Пользователю такого инструмента необходимо владеть этими понятиями.
Переменные могут являться числовыми данными либо символьными.
Дискретные данные являются значениями признака, общее число которых конечно либо бесконечно, но может быть подсчитано при помощи натуральных чисел от одного до бесконечности.
Шкалы
Существует пять типов шкал измерений: номинальная, порядковая, интервальная, относительная и дихотомическая.
Номинальная шкала состоит из названий, категорий, имен для классификации и сортировки объектов или наблюдений по некоторому признаку.
Пример такой шкалы : профессии, город проживания, семейное положение.
Для этой шкалы применимы только такие операции: равно (=), не равно ( 
).
Шкала измерений дает возможность ранжировать значения переменных. Измерения же в порядковой шкале содержат информацию только о порядке следования величин, но не позволяют сказать «насколько одна величина больше другой», или «насколько она меньше другой».
Пример такой шкалы : место (1, 2, 3-е), которое команда получила на соревнованиях, номер студента в рейтинге успеваемости (1-й, 23-й, и т.д.), при этом неизвестно, насколько один студент успешней другого, известен лишь его номер в рейтинге.
Для этой шкалы применимы только такие операции: равно (=), не равно ( ), больше (>), меньше ( шкала позволяет находить разницу между двумя величинами, обладает свойствами номинальной и порядковой шкал, а также позволяет определить количественное изменение признака.
Для этой шкалы применимы только такие операции: равно (=), не равно ( ), больше (>), меньше ( шкалы : вес новорожденного ребенка (4 кг и 3 кг). Первый в 1,33 раза тяжелее.
Цена на картофель в супермаркете выше в 1,2 раза, чем цена на базаре.
Относительные и интервальные шкалы являются числовыми.
Для этой шкалы применимы только такие операции: равно (=), не равно ( ), больше (>), меньше ( шкалы : пол (мужской и женский).
| Номер объекта | Профессия (номинальная шкала) | Средний балл (интервальная шкала) | Образование (порядковая шкала) |
| 1 | слесарь | 22 | среднее |
| 2 | ученый | 55 | высшее |
| 3 | учитель | 47 | высшее |
| Дата измерения | Облачность (номинальная шкала) | Температура в 8 часов утра (интервальная шкала) | Сила ветра (порядковая шкала) |
| 1 сентября | облачно | 22  С | Ветер сильный |
| 2 сентября | пасмурно | 17 С | Ветер слабый |
| 3 сентября | ясно | 23 С | Ветер очень сильный |
Управленческая теория измерений.
Шкалы и накладываемые ими ограничения
Управленческая теория измерений.
Шкалы и накладываемые ими ограничения
К. э. н., доцент кафедры финансового менеджмента, управленческого учёта и международных стандартов финансовой деятельности факультета ВШФМ РАНХиГС при Президенте РФ, руководитель консультационного бюро Института экономических стратегий, преподаватель школ бизнеса РАНХиГС, НИУ ВШЭ, МГУ, РСПП, ИНЭС и др.
Шкалы и их классификации
Шкалы используются как для первичных измерений, так и для перевода разных измерений (в нашем случае — различных показателей) в единую шкалу. Как выбрать единую шкалу? Начнём с трёх определений.
Шкалой называют систему чисел или иных элементов и отношений между ними, принятых для измерения или оценки каких-либо величин (объектов, качеств и т. д.).
Шкалирование — это:
Нормирование (или единообразное шкалирование) — это перевод всех переменных, показателей, отражающих разные объекты измерений, в одну шкалу.
Первая классификация шкал была предложена С. Стивенсом в 1946 г. и от современной общепринятой классификации принципиально не отличается.
Шкалы, как правило, объединяют в три основные группы:
Иногда все шкалы измерения делят на два класса:
Далее мы последовательно разберём все типы шкал.
Как считать очки в десятиборье?
Сегодня в мужском легкоатлетическом десятиборье за удачное выступление в каждом виде спорта участнику начисляется около 1000 очков. Но какой результат, по вашему мнению, берётся за 1000? Первое, что приходит на ум, — взять за 1000 очков мировой рекорд для женщин. Но какой именно? Текущий не годится, так как он меняется, а хотелось бы иметь возможность сравнений во времени и измерять рекорды. Но допустим, мы зафиксируем раз и навсегда, за что дается 1000 очков: в прыжках в длину, например, за 7,90 м, в беге на 100 метров — за 11 секунд. Далее возникает другой вопрос: какой шаг указать? Результат 8,00 м в прыжках в длину — это 1050 или 1010 очков? И как справедливо сравнивать разные виды соревнований? Думается, у каждого специалиста будут на этот счёт своё мнение и своя шкала.
Номинальные шкалы
Допустимые преобразования
Этим понятием математики строго описывают шкалы. Тип шкалы задаётся группой её допустимых преобразований.
Допустимые преобразования — это такие преобразования, которые не меняют соотношения между объектами измерения и, соответственно, выводы, сделанные по результатам измерений. Например, при измерении длины переход от аршинов к метрам не меняет соотношений между длинами рассматриваемых объектов: если первый объект длиннее второго в пять раз, то это будет установлено при измерении как в аршинах, так и в метрах. Обратите внимание, что при этом численное значение длины в аршинах отличается от длины в метрах — не меняется лишь результат сравнения длин двух объектов.
Аналогично денежные суммы можно сопоставлять как в рублях, так и в иностранной валюте. Особенность, связанная с изменяющимися курсами валют: результат сопоставления денежных сумм в разных валютах меняется во времени. С аршинами и метрами ситуация иная: их соотношение вечно. Вот вам и проблема курсовых разниц в экономике. О ней сейчас не место говорить, но запомните её.
Порядковые шкалы
Порядковая шкала отражает более высокий уровень измерений, учитывающий, к какой категории принадлежит объект и в каком отношении он находится с другими объектами. В порядковой шкале числа используются не только для различения объектов, но и для установления порядка между ними.
Пример. Простейшим примером порядковой шкалы служат оценки знаний учащихся. Символично, что в средней школе применяются оценки 2, 3, 4, 5, а в высшей школе тот же смысл выражается словесно — «неудовлетворительно», «удовлетворительно», «хорошо», «отлично». Этим подчёркивается «нечисловой» характер оценок знаний студентов.
Фактически измерение по порядковой шкале представляет собой операцию упорядочения. Предполагаются сравнения «больше — меньше» или «лучше — хуже». Например, мнения экспертов часто выражаются в порядковой шкале, то есть эксперт может сказать (и обосновать), что один показатель качества продукции важнее, чем другой; первый технологический объект опаснее, чем второй, и т. д. Но он не в состоянии сказать, во сколько раз или насколько он более важен, или, соответственно, более опасен.
Допустимые преобразования. Порядковая шкала допускает любое возрастающее преобразование, то есть такое, которое не меняет порядок шкалы.
Типы порядковых шкал. Используют два типа порядковых шкал, которые различны с практической точки зрения:
Обдумывание измерений некоторых показателей следует начать с выбора между ранговым и балльным типами шкал.
Ранговые порядковые шкалы
Ранговые шкалы — это шкалы, где числа служат только для присвоения мест. Экспертов часто просят ранжировать (упорядочить) объекты экспертизы, то есть расположить их в порядке возрастания (или убывания) интенсивности исследуемой характеристики. Ранг — это номер объекта экспертизы в упорядоченном ряду значений характеристики у различных объектов. Формально ранги выражаются числами 1, 2, 3. Важно помнить, что измерения 1, 2, 3 и 6, 10, 50 означают одно и то же: первая альтернатива заняла первое место, вторая — второе место и т. д. В ранговых шкалах нет информации о величине различий между оцениваемыми объектами. Такие шкалы используются тогда, когда объект трудно описать несколькими характеристиками, которые потом оцениваются качественно (баллами, например) или количественно. В практике менеджмента рейтинги часто основаны на ранговых шкалах.
Ранговые измерения (процедуры ранжирования). Различают несколько основных типов алгоритмов ранжирования:
Простейший (и неверный) перевод результатов парных сравнений в ранги и в весовые коэффициенты
Заманчива идея получить весовые коэффициенты, то есть количественную меру, из порядковых измерений. Однако, как правило, такое действие некорректно — оно многозначно и потому единственный и корректный вывод для задач менеджмента невозможен. Вместе с тем оно популярно, особенно среди людей, плохо знающих математику.
Приведём пример наиболее простой и популярной модификации метода парных сравнений. Допустим, эксперт проводит оценку четырёх методов, которые связаны с решением кадровых вопросов в корпоративном проекте:
Z1 — повышение квалификации в процессе выполнения проекта;
Z2 — привлечение кадров со стороны;
Z3 — подготовка кадров в своём корпоративном университете;
Z4 — разовое повышение квалификации.
| Zi/Zj | Z1 | Z2 | Z3 | Z4 |
| Z1 | 1 | 1 | 1 | |
| Z2 | 0 | 0 | 0 | |
| Z3 | 0 | 1 | 1 | |
| Z4 | 0 | 1 | 0 |
Составим матрицу бинарных предпочтений эксперта, где 1 означает, что один метод „предпочтительнее”, чем другой, с которым он сравнивается. Определим оценку каждого метода (складываем по строкам): C1 = 3; C2 = 0; C3 = 2; C4 = 1. Получаем порядок предпочтения методов: Z1, Z3, Z4, Z2. Пока всё это корректные действия. Затем наступает черед „творчества”.
Простейший (и неверный) перевод результатов парных сравнений в весовые коэффициенты. Если нужны „веса” указанных четырёх альтернатив, то можно нормировать числа <С>и получить „веса”
Однако анализ корректности метода даёт отрицательный результат. Дело в том, что объектам могут быть присвоены и другие веса (см. подобный пример ниже). Почему некорректно? Потому что в результате его применений вес v1 оказывается в три раза больше, чем v4, а этого эксперт, который проводил парное сравнение, не утверждал! Подделка очевидна, так как в результате обработки мы добавили весомую толику информации от себя к тому, что говорили эксперты.
Корректный перевод результатов парных сравнений в интервальную шкалу
При опросе экспертов в августе 2001 г. попарно сравнивалось качество бензина в четырех компаниях: «ТНК», «Лукойл», «Юкос» и «Татнефть». При сравнениях четырёх компаний получается 6 пар для сравнения:
| Пары | Частота выбора первого элемента пары | Частота выбора второго элемента пары |
| «ТНК» — «Лукойл» | π(1,2) = 0,508 | π(2,1) = 0,492 |
| «ТНК» — «Юкос» | π(1,3) = 0,331 | π(3,1) = 0,669 |
| «ТНК» — «Татнефть» | π(1,4) = 0,990 | π(4,1) = 0,010 |
| «Лукойл» — «Юкос» | π(2,3) = 0,338 | π(3,2) = 0,662 |
| «Лукойл» — «Татнефть» | π(2,4) = 0,990 | π(4,2) = 0,010 |
| «Юкос» — «Татнефть» | π(3,4) = 0,997 | π(4,3) = 0,003 |
Балльные порядковые шкалы
Балльные шкалы используются очень часто, примеры мы уже приводили. Однако важно понимать, что каждому баллу необходимо присвоить качественную характеристику, в противном случае может пострадать корректность. Приведу пример: в конце 1990-х гг. я был назначен ответственным преподавателем (качество, контроль, апелляции) на устном экзамене по экономике для абитуриентов НИУ ВШЭ. Только что на ректорате ввели 10-балльную шкалу. Экспромт не удался — первый блин, как обычно, вышел комом. Моя работа заключалась, в том числе, и в „обеспечении справедливости”, то есть чтобы за примерно одни и те же ответы преподаватели в разных комиссиях ставили одинаковые баллы. Разброс в оценках оказался ужасающим — от 4 до 7 за похожие ответы. Буквально на следующий день ошибка в дефиниции шкалы была исправлена, а получившаяся шкала (см. таблица 2) успешно работает до сих пор (с небольшим изменением). Многие вузы взяли её на вооружение. Обращаю внимание читателей, что в соответствии со спецификой каждого предмета преподаватель конкретизирует шкалу.
| Балл | Качественная характеристика |
| 10 | Пять с плюсом — исключительные знания (кое-что из ответа студента даже преподаватель не знал) |
| 9 | Отлично, твёрдая пятёрка |
| 8 | Пять с минусом |
| 7 | Четыре с плюсом |
| 6 | Четыре, твёрдая четвёрка |
| 5 | Четыре с минусом |
| 4 | Три с плюсом |
| 3 | Три, твёрдая оценка «удовлетворительно» |
| 2 | Три с минусом |
| 1 | Неудовлетворительно |
Важный вопрос: какова идеальная размерность балльной шкалы? Ответ: сколько качеств, столько и баллов. Баллы обозначают упорядоченные качества, и каждому качеству присваивают свой балл. Обратное неверно: если взять за основу 10-балльную шкалу и каждому баллу попытаться „присвоить” определённое качество, то можно столкнуться с ситуацией, что качеств может оказаться не 10, а всего 7. Поэтому следует отталкиваться именно от количества качеств, которые вы можете выделить.
Балльные измерения. Балльные измерения формально просты, но коварны возможностью допустить необоснованные оценки и тем самым всё испортить. Существует два подхода к выставлению балльных оценок:
Перевод результатов балльных оценок в весовые коэффициенты. Если такой перевод делается одним экспертом — это операция сомнительная, но популярная. Во врезке приведён один из популярных методов — метод последовательных сравнений.
Перевод рангов в весовые коэффициенты одним экспертом. Метод последовательных сравнений
Количественные шкалы
Количественные шкалы отражают более высокий уровень измерений, учитывающий не только то, в каком отношении измеряемый объект находится с другими объектами, но и степень их различия. Примеры использования количественных шкал мы видим повсюду.
Допустимые преобразования. Количественные шкалы определены с точностью до преобразований, которые не меняют единицы измерения (линейных или иных функциональных преобразований).
Типы количественных шкал. Различают количественные шкалы:
Расположение шкал в этом списке не случайно. Первая (шкала интервалов) — самая слабая по информативности и самая сильная в плане надёжности оценок, последняя (абсолютная шкала) — наиболее информативная (измерения могут быть очень надёжными), но при этом допускающая наименее надёжные оценки. Оценка степени соответствия некоторому идеалу максимально затруднена — помните разницу между оценкой и измерением?
Шкала интервалов (интервальная шкала) точно определяет величину интервала между точками на шкале. Для проведения измерений необходимо задать интервал (2 точки). Допустимыми преобразованиями в шкале интервалов являются линейные возрастающие преобразования вида: F(Х) = а · Х + b, где а > 0.
Шкала степенная. Шкала степеней (степенная) допускает степенное преобразование (F(Х) = АХВ). В области техники она вполне адекватна — у неё тоже две степени свободы, как у шкалы интервалов. В экономике она, напротив, является исключением, поэтому подробно рассматривать её не будем.
Шкала отношений. Из количественных шкал в науке и практике наиболее распространены шкалы отношений. В них есть естественное начало отсчёта — ноль (то есть отсутствие величины), но нет естественной единицы измерения.
Примеры использования шкалы отношений:
Шкала отношений допускает преобразования, изменяющие только масштаб, то есть преобразования подобия: F(Х) = аХ, где а > 0 (линейные возрастающие преобразования без свободного члена).
Примеры преобразования шкалы отношений:
Базовая точка в шкале отношений одна — «единица». Эта условная «единица» может быть, например, 100 (проценты) или 1 (доли). Таким образом, измерения в долях и процентах эквивалентны, что очевидно и без всякой теории.
Однако выводы, которые делаются по результатам процентных измерений, могут быть ошибочными (см. врезку). Возникают сопутствующие вопросы:
Корректность процентных измерений. Рейтинг Путина vs стоимость свинины
Вывод: по темпам роста (в научной терминологии «прироста») свинина побеждает Путина: 44% vs 68%.
Корректны ли эти измерения? Решите сами и объясните (что гораздо сложнее). Точно сформулировать, насколько такие сравнения корректны, удается лишь 10% слушателей программ МВА. Это ещё один довод в пользу изучения шкал. Хотя бы на уровне знакомства.
Степени свободы шкал
Для проведения измерений в шкалах отношений и разностей мы должны задавать одну точку. В шкале отношений она „играет роль единицы”, то есть соответствует переводу базового эмпирического элемента в единицу действительной оси. Для шкалы разностей это „нулевая точка”, то есть нужно задать отношение таким образом, чтобы „точка отсчёта” эмпирической системы превращалась в числовой ноль.
В этой связи математики различают шкалы по степеням свободы:
Иерархия шкал измерений
Напомним, что все шкалы делят на две большие группы: качественные и количественные. Наиболее распространённая классификация шкал — континуальная (рис. 3). В ней шкалы упорядочены по мере повышения их способности удовлетворять требованиям информативности и надёжности проведения оценок. Слева — самая слабая по информативности и самая надёжная, справа — наиболее информативная и наименее надёжная.
Рис. 3. Иерархия шкал измерений
В следующей части мы поговорим о том, как собственно выставлять оценки чему-либо. Хорошая обработка результатов измерений — это достоверная система оценок. А какими математическими свойствами она должна обладать? Есть ли научный ответ на этот вопрос?