Что такое объединение промежутков на координатной прямой

Интервалы и область определения-2

Если необходимо искать несколько промежутков, то лучше использовать «навесы», чтобы визуально легче найти решение.

Например, здесь у нас есть два промежутка: (1; 4] и (2; 5)

Если нам надо найти пересечение промежутков, т.е. область, которая соответствует и первому и второму промежутку, то мы записываем так (выгнутой буквой П)

(1; 4] (2; 5) ∈ (2; 4]

Видно, что 2 не включена во вторую область, поэтому мы ставим её в круглых скобках, а 4 включено и в первую и вторую, поэтому мы ставим её в квадратных.

Говоря словами: «пересечение промежутков один-четыре и два-пять является область от 2 до 4, не включая 2».

Если мы хотим найти объединение промежутков, то мы используем обрезанное сверху знак похожий на латинскую «U» и на графике берем все точки под всеми навесами:

(1; 4] (2; 5) ∈ (1; 5)

Если возникает такая ситуация:

То пересечений («П») здесь нет:

(-∞; 0) [1; 4) ∈ Ø и мы это обозначаем, как пустое множество Ø.

А если от нас захотят узнать объединение этих промежутков, мы просто запишем в ответе так: (-∞; 0] ​​​​​​​ [1; 4)

Редактировать этот урок и/или добавить задание Добавить свой урок и/или задание

Добавить интересную новость

Добавить анкету репетитора и получать бесплатно заявки на обучение от учеников

При правильном ответе Вы получите 2 балла

Какие точки входят в данный интервал: (-4; 2] (1; 5)

Выберите те ответы, которые считаете верными.

Добавление комментариев доступно только зарегистрированным пользователям

Lorem iorLorem ipsum dolor sit amet, sed do eiusmod tempbore et dolore maLorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit, sed do eiusmod tempborgna aliquoLorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit, sed do eiusmod tempbore et dLorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit, sed do eiusmod tempborlore m mollit anim id est laborum.

28.01.17 / 22:14, Иван Иванович Ответить +5

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetu sed do eiusmod qui officia deserunt mollit anim id est laborum.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing sed do eiusmod tempboLorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit, sed do eiusmod temLorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit, sed do eiusmod tempborpborrum.

28.01.17 / 22:14, Иван Иванович Ответить +5

Источник

Таблица числовых промежутков: виды, обозначения, изображения

Среди множеств чисел имеются множества, где объектами выступают числовые промежутки. При указывании множества проще определить по промежутку. Поэтому записываем множества решений, используя числовые промежутки.

Данная статья дает ответы на вопросы о числовых промежутках, названиях, обозначениях, изображениях промежутков на координатной прямой, соответствии неравенств. В заключение будет рассмотрена таблица промежутков.

Виды числовых промежутков

Каждый числовой промежуток характеризуется:

Числовой промежуток задается при помощи любых 3 способов из выше приведенного списка. То есть при использовании неравенства, обозначения, изображения на координатной прямой. Данный способ наиболее применимый.

Произведем описание числовых промежутков с выше указанными сторонами:

Геометрический смыл отрытого луча рассматривает наличие числового промежутка. Между точками координатной прямой и ее числами имеется соответствие, благодаря которому прямую называем координатной. Если необходимо сравнить числа, то на координатной прямой большее число находится правее. Тогда неравенство вида x a включает в себя точки, которые расположены левее, а для x > a – точки, которые правее. Само число не подходит для решения, поэтому на чертеже обозначают выколотой точкой. Промежуток, который необходим, выделяют при помощи штриховки. Рассмотрим рисунк, приведенный ниже.

Рассмотрим несколько примеров.

Для наглядного примера зададим числовой луч.

Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Таблица числовых промежутков

Промежутки могут быть изображены в виде:

Чтобы упростить процесс вычисления, необходимо пользоваться специальной таблицей, где имеются обозначения всех видов числовых промежутков прямой.

Источник

Как пересекать промежутки?

Операции над числовыми промежутками.

Операций над промежутками совсем немного. Всего две. Это пересечение и объединение. При решении серьёзных заданий с неравенствами эти две операции над промежутками необходимо проделывать постоянно. В самых разных сочетаниях. По своей сути это очень простые операции. Но, справедливости ради, эти самые операции являются вторым источником досадных ошибок при решении неравенств после тождественных преобразований. Разберёмся?

Пересекать и объединять числовые промежутки, проще всего при помощи числовой оси. Начнём с пересечения, оно хоть и проще в визуальном восприятии, но простора для ошибок даёт больше…

Как пересекать промежутки?

Сама по себе операция пересечения промежутков совсем простая. Тем не менее, именно пересечение промежутков — самая богатая на сюрпризы операция, которая столько людей ушибла! И очень больно ушибла. Но мы-то с вами — люди думающие и осторожные! С сюрпризами разберёмся, да и под ноги смотреть будем.) И не споткнёмся на ровном месте.

Итак, для начала запоминаем:

Пересечением двух числовых промежутков называется их общая часть.

И всё! Смутить могут только слова «общая часть». Всё просто. Общая часть — это те точки (или кусочки оси), которые одновременно входят в каждый из промежутков. Слова «общая часть» и «одновременно» здесь синонимы. Если раз и навсегда разобраться в этих нехитрых словах, то при ответе на любой вопрос о пересечении любых промежутков вы даже не заметите проблем! Намёк понятен?)

Возможно, вы до сих пор в сомнениях, но картинка с числовой осью, наш главный помощник, всё сразу же прояснит! Это только на конкретных примерах показать можно.

Начнём с совсем простенького, безо всяких подводных камней в виде выколотых точек. Допустим, нам надо пересечь два промежутка:

Первым делом рисуем числовую ось, отмечаем все граничные точки правильными кружочками. Они здесь — чёрные:

Вот так. Следующим шагом подштриховываем оба промежутка на одной оси. Чтобы не запутаться, для отличия пользуемся штриховкой с разных сторон оси в разных направлениях. Не нужно ювелирно штриховать по линеечке, мы не на черчении. Штрихуем грубо, брутально, но — разборчиво. Где-то штриховки будут встречаться одна под другой, образуя «ёлочку», но ничего не смущаемся, это — именно то, что нам и нужно! Получим такую картинку:

А теперь смотрим и соображаем: какой кусочек числовой оси подштрихован обоими видами штриховки одновременно? Верно! Кусочек между точками 4 и 6. Или — промежуток [4; 6]. Этот промежуток и будет пересечением промежутков [-2; 6] и [4; +∞). И все дела.)

Математически результат пересечения оформляют вот так:

[-2; 6] ⋂ [4; +∞) = [4; 6]

Значок «⋂» означает «пересечение».

Разбираем следующий пример. Пример совсем безобидный, но ступор у некоторых случается, да…)

Пересечём, например, промежутки:

Рисуем. В этот раз я буду использовать второй способ рисования — дужки. Получим такую картинку:

И опять соображаем: какой кусок оси содержит точки обоих промежутков одновременно?

Не догадались? Тогда снова штрихуем промежутки в разных направлениях, прямо под дужками. И смотрим, где штриховки накладываются:

Ну и как, осенило? Да! Второй промежуток [4; 6] — и есть наше пересечение (т.е. общая часть)! Да, весь целиком. Дело всё в том, что второй промежуток, [4; 6], целиком содержится в первом [-2; +∞). Ничего страшного, так бывает.

В математической форме:

[-2; +∞) ⋂ [4; 6] = [4; 6]

Уловили идею? Ну-ка, быстренько закрепим успех!

Найдите пересечения следующих числовых промежутков:

Ответы (в беспорядке):

Что, примитив? Ну да, проще некуда. А вот сейчас начинаются первые сюрпризы! Я же обещал…)

Сюрприз первый — пустое множество

Попробуем пересечь, скажем, такие два промежутка:

(-∞; 1] ⋂ [2; +∞)

Дело нехитрое. Рисуем ось, точки-кружочки, помечаем дужками каждый промежуток, штрихуем, всё чин-чинарём…

И? Где здесь общая часть? А нигде! Нету такого кусочка оси, который был бы закрашен разными штриховками одновременно. На нет и суда нет. В таких случаях говорят, что данные промежутки не пересекаются.

Математически эта фишка записывается вот как:

(-∞; 1] ⋂ [2; +∞) = Ø

Этот перечёркнутый кружочек означает «пустое множество». Множество, в котором нет ни одного элемента. Ни одного числа… Очень частое явление. Особенно — при решении систем неравенств.

Сюрприз второй — изолированная точка

Всё то же самое, что и в предыдущем примере, только двойку во втором промежутке заменю на единичку. Вот так:

(-∞; 1] ⋂ [1; +∞)

Делать нечего, опять рисуем ось. В этот раз рисуем одну единственную точку 1. Закрашенную.

А здесь какие мысли насчёт пересечения? Да! Единственная общая часть — точка 1. Одна точка. Любая другая точка — правее ли единички, левее ли — попадает лишь в один из пересекаемых промежутков. Либо только в левый, либо только в правый. И только лишь единичка попадает в оба промежутка сразу.

В таких случаях результат пересечения (одна точка) оформляют так:

(-∞; 1] ⋂ [1; +∞) =

Фигурные скобочки в такой записи означают множество. Числовое множество. Единичка внутри фигурных скобок — элемент этого множества. Один-единственный. Или — изолированная точка.

Не следует думать, что пустое множество и изолированная точка –такая уж экзотика при решении неравенств. Такие сюрпризы попадаются в системах неравенств, в методе интервалов, в нахождении области определения функции, в уравнениях/неравенствах с модулем и прочих серьёзных темах. В соответствующих уроках убедимся.)

Кто читает вдумчиво, тот заметил, что слово «множество» я употребил в этом уроке уже не один раз. И это неспроста. Дело в том, что числовые промежутки и операции над ними — это знакомство с ещё одним новым разделом математики, помимо неравенств. Раздел называется «Теория множеств» и работает именно с множествами объектов самой разной природы. Числовыми промежутками, в том числе. Но множества — отдельная большая тема. Не в этот раз…

Полдела сделано. Можно заниматься наскальной живописью. Что-то типа такого:

Несведущий человек отшатнётся в ужасе. А сведущий сразу твёрдой рукой напишет:

(-∞; 1] ⋂ [0; 2] = [0; 1].

Так обычно оформляют пересечение промежутков в большинстве школ. Рисуют ось, штрихуют промежутки, ищут общую часть, да и записывают ответ. Такой способ хорош только в самых простых случаях. Пока точки — чёрные.

Проблемы начинаются с появлением выколотых точек.

Как работать с выколотыми точками?

Как только в игру вступают выколотые (т.е. незакрашенные) точки, вся простота куда-то испаряется напрочь… Особенно, если одна и та же точка в разные промежутки входит по-разному. Где-то она выколота, где-то закрашена… И в каком виде рисовать её на одной оси? Закрашивать её или нет?! Вот и путается народ…

Более того, обратите внимание! Во всех примерах этого урока мы пересекаем лишь два промежутка. Для простоты и понимания сути. А в более продвинутых заданиях (системы неравенств, нахождение ОДЗ и прочие крутые штучки) приходится пересекать и три, и пять… И все с разными кружочками и скобочками… Как не запутаться?

Есть, есть один секретный способ не запутаться! Но о нём — в конце урока.

А пока фиксируем в памяти одну простую вещь:

Операция пересечения — штука жёсткая. Если точка НЕ входит хотя бы в ОДИН из пересекаемых промежутков, то она автоматически НЕ входит и в окончательный результат пересечения.

Поясняю. Если какая-то точка хотя бы в одном из промежутков является выколотой, то нас уже не волнует, что там у неё с остальными промежутками (вторым, третьим, пятым…) — входит она в них или нет: в окончательный ответ такая точка УЖЕ не войдёт. Типа, даже если вы положили в борщ картошку, морковку, свёклу, лук, но в конце посолили стиральным порошком, кушать такой борщ вы уже не будете, да…) Уловили?

Разберём ценные зелёные слова на практике. Был у нас в самом начале урока примерчик:

[-2; 6] ⋂ [4; +∞)

А теперь я немного видоизменю в нём один из промежутков. Сделаю во втором промежутке точку 4 выколотой. Т.е. скобочка перед четвёркой станет круглой. Вот такое пересечение теперь рассмотрим:

[-2; 6] ⋂ (4; +∞)

Рисуем, штрихуем, получаем картинку:

Ищем общую часть, записываем ответ:

[-2; 6] ⋂ (4; +∞) = (4; 6]

Кто в теме и врубился в слова «общая часть» и «одновременно», тот сразу всё понял. А кто не в теме, то… начинаем рассуждать. Примерно так:

А шестёрка? Тут без вопросов: в первый промежуток число 6 попадает на границу, но в закрашенном виде, а во второй (4; +∞) входит явно. Входит одновременно в оба? Да! Рисуем квадратную скобку: …6].

Итого: (4; 6].«

Вот так. Я же говорил, что ключевое слово здесь — одновременно!

Здесь-то ещё просто. А бывает куда злее! Когда неясно, как даже рисовать картинку-то… Например:

(-∞; 1) ⋂ [1; +∞)

Всё как обычно, рисуем прямую и отмечаем одну единственную граничную точку 1.

И… что-то не рисуется… В первом промежутке единичка с круглой скобкой, во втором — с квадратной. А ось — одна… Каким именно кружочком — пустым или закрашенным — рисовать единицу на оси? Непонятно…

Непонятно, если не понимать сути операции пересечения. А если понимать, то проблем — никаких. Наша граничная точка 1 в первый промежуток (-∞; 1) не входит. Выколота. Стало быть, при пересечении нам уже без разницы, закрашена ли единица во втором промежутке [1; +∞): в окончательный ответ она УЖЕ не войдёт!

Вывод: на оси точка 1 изображается выколотой. Т.е. незакрашенной.

Штриховки нигде не накладываются, а единственная разделяющая точка 1 — выколота. Ответ очевиден — пустое множество:

(-∞; 1) ⋂ [1; +∞) = Ø

Обычно именно так и поступают со всеми подозрительными точками. Берут конкретную точку, поочерёдно подставляют её в каждый из промежутков, анализируют, входит/не входит, и если хоть куда-то не входит — вычёркивают отовсюду. Так рисуются все белые точки. Потом собирают все точки, которые входят одновременно во все промежутки. И рисуют чёрными… И только потом рисуют окончательную картинку… Кошмар? Согласен, кошмар. Когда ось только одна, а точек разной раскраски — много.

Поэтому сейчас мы отдохнём от писанины и тягостных раздумий. А вместо этого — порисуем. Рисовать будем много, но зато результат окупится с лихвой. А количество ошибок резко сократится.)

Обещанный секретный способ!

Пересекаем промежутки без ошибок! Метод параллельных осей.

Итак, снова пересекаем те же самые промежутки: [-2; 6] ⋂ (4; +∞).

Сейчас берём в руки карандаш и рисуем… три параллельные оси! Всё правильно, именно три, я не обсчитался. На первых двух осях отдельно рисуем и штрихуем те промежутки, которые будем пересекать. Т.е. [-2; 6] и (4; +∞). На каждой из осей — свой. Соблюдаем одинаковый масштаб по всем трём осям! Это важно. Зачем нужна третья ось? Сейчас узнаем.) Получим такую картинку:

Представили? Вот так:

А нужны они нам — эти кружочки-то?! Ещё как! Самый ответственный, третий этап — рисуем нужные кружочки на третьей оси. Для этого рассуждаем так же, как и при прикидке в уме: если на первых двух осях обе точки чёрные, то и на третьей оси точка также чёрная. Если же хоть одна из двух точек выколота — на третьей оси точка также выколота!

Картинка станет вот такой:

Остались пустяки. Четвёртым этапом штрихуем на третьей прямой тот её кусочек, который заштрихован на первых двух прямых одновременно. Вот так:

Ответ: (4; 6]

Решаем тот самый злой пример с единичкой и пустым множеством: (-∞; 1) ⋂ [1; +∞)

Рисуем картинку с тремя осями и сразу видим всю необходимую информацию:

Безо всяких сомнений ясно, что единичка — выколота, а штриховать на третьей оси и вовсе нечего…

Ответ: Ø

Переходим к следующей важной операции — к объединению промежутков. В следующем уроке…

Источник

Операции над множествами

Пересечение множеств

Рассмотрим два множества: множество друзей Джона и множество друзей Майкла.

Видим, что Том и Фред одновременно являются друзьями Джона и Майкла.

Говоря на языке множеств, элементы Том и Фред принадлежат как множеству друзей Джона, так и множеству друзей Майкла.

Зададим новое множество с названием «Общие друзья Джона и Майкла» и в качестве элементов добавим в него Тома и Фреда :

В данном случае множество «Общие друзья Джона и Майкла» является пересечением множеств друзей Джона и Майкла.

Пересечением двух (или нескольких) исходных множеств называется множество, которое состоит из элементов, принадлежащих каждому из исходных множеств.

В нашем случае элементы Том и Фред принадлежат каждому из исходных множеств, а именно: множеству друзей Джона и множеству друзей Майкла.

Тогда пересечением множеств A и B будет множество C и записываться следующим образом:

Символ ∩ означает пересечение.

Говоря о множестве, обычно подразумевают элементы, принадлежащие этому множеству. Символ пересечения ∩ читается, как союз И. Тогда выражение A ∩ B = C можно прочитать следующим образом:

«Элементы, принадлежащие множеству A И множеству B, есть элементы, принадлежащие множеству C».

«Друзья, одновременно принадлежащие Джону И Майклу, есть общие друзья Джона и Майкла».

В этом случае говорят, что исходные множества не имеют общих элементов и пересечением таких множеств является пустое множество. Пустое множество обозначается символом ∅

Зададим новое множество C и добавим в него элементы, которые одновременно принадлежат множеству A и множеству B

Зададим новое множество C и добавим в него элементы, которые одновременно принадлежат множеству A и множеству B

Пример 4. Найти пересечение следующих множеств:

Зададим новое множество D и добавим в него элементы 3 и 9. Затем с помощью символа пересечения ∩ запишем, что пересечением множеств A, B и C является множество D

Чтобы найти пересечение, вовсе необязательно задавать множества с помощью букв. Если элементов мало, то множество можно задать прямым перечислением элементов.

Числовые промежутки, которые мы рассмотрели в предыдущих уроках, тоже являются множествами. Элементами таких множеств являются числа, входящие в числовой промежуток.

Например, отрезок [2; 6] можно понимать, как множество всех чисел от 2 до 6. Для наглядности можно перечислить все целые числа, принадлежащие данному отрезку:

Следует иметь ввиду, что мы перечислили только целые числа. Отрезку [2; 6] также принадлежат и другие числа, не являющиеся целыми, например, десятичные дроби. Десятичные дроби располагаются между целыми числами, но их количество настолько велико, что перечислить их не представляется возможным.

Еще пример. Интервал (2; 6) можно понимать, как множество всех чисел от 2 до 6, кроме чисел 2 и 6. Ранее мы говорили, что интервал это такой числовой промежуток, границы которого не принадлежат ему. Для наглядности можно перечислить все целые числа, принадлежащие интервалу (2; 6) :

Поскольку числовые промежутки являются множествами, то мы можем находить пересечения между различными числовыми промежутками. Рассмотрим несколько примеров.

Оба промежутка обрамлены квадратными скобками, значит их границы принадлежат им.

Для наглядности перечислим все целые числа, принадлежащие промежуткам [2; 6] и [4; 8] :

Тогда пересечением числовых промежутков [2; 6] и [4; 8] будет числовой промежуток [4; 6]

Пример 6. Найти пересечение числовых промежутков [−2; 3] и [4; 7]

Оба промежутка обрамлены квадратными скобками, значит их границы принадлежат им.

Для наглядности перечислим все целые числа, принадлежащие промежуткам [−2; 3] и [4; 7] :

Видно, что числовые промежутки [−2; 3] и [4; 7] не имеют общих чисел. Поэтому их пересечением будет пустое множество:

Если изобразить числовые промежутки [−2; 3] и [4; 7] на координатной прямой, то можно увидеть, что они нигде не пересекаются:

Пример 7. Дано множество из одного элемента < 2 >. Найти его пересечение с промежутком (−3; 4)

Множество, состоящее из одного элемента < 2 >, на координатной прямой изображается в виде закрашенного кружка, а числовой промежуток (−3; 4) это интервал, границы которого не принадлежат ему. Значит границы −3 и 4 будут изображаться в виде пустых кружков:

Пересечением множества < 2 >и числового промежутка (−3; 4) будет множество, состоящее из одного элемента < 2 >, поскольку элемент 2 принадлежит как множеству < 2 >, так и числовому промежутку (−3; 4)

На самом деле мы уже занимались пересечением числовых промежутков, когда решали системы линейных неравенств. Вспомните, как мы решали их. Сначала находили множество решений первого неравенства, затем множество решений второго. Затем находили множество решений, которые удовлетворяют обоим неравенствам.

По сути, множество решений, удовлетворяющих обоим неравенствам, является пересечением множеств решений первого и второго неравенства. Роль этих множеств берут на себя числовые промежутки.

Например, чтобы решить систему неравенств , мы должны сначала найти множества решений каждого неравенства, затем найти пересечение этих множеств.

В данном примере решением первого неравенства x ≥ 3 является множество всех чисел, которые больше 3 (включая само число 3). Иначе говоря, решением неравенства является числовой промежуток [3; +∞)

Решением второго неравенства x ≤ 6 является множество всех чисел, которые меньше 6 (включая само число 6). Иначе говоря, решением неравенства является числовой промежуток (−∞; 6]

А общим решением системы будет пересечение множеств решений первого и второго неравенства, то есть пересечение числовых промежутков [3; +∞) и (−∞; 6]

Поэтому в качестве ответа мы указывали, что значения переменной x принадлежат числовому промежутку [3; 6], то есть пересечению множеств решений первого и второго неравенства

Пример 2. Решить неравенство

Все неравенства, входящие в систему уже решены. Нужно только указать те решения, которые являются общими для всех неравенств.

Запишем ответ к системе с помощью числового промежутка:

Пример 3. Решить неравенство

В данном случае пересечением числовых промежутков (7; +∞) и (−∞; 4) является пустое множество, поскольку эти числовые промежутки не имеют общих элементов:

Если изобразить числовые промежутки (7; +∞) и (−∞; 4) на координатной прямой, то можно увидеть, что они нигде не пересекаются:

Объединение множеств

Объединением двух (или нескольких) исходных множеств называют множество, которое состоит из элементов, принадлежащих хотя бы одному из исходных множеств.

На практике объединение множеств состоит из всех элементов, принадлежащих исходным множествам. Поэтому и говорят, что элементы такого множества принадлежат хотя бы одному из исходных множеств.

Рассмотрим множество A с элементами 1, 2, 3 и множество B с элементами 4, 5, 6.

Зададим новое множество C и добавим в него все элементы множества A и все элементы множества B

В данном случае объединением множеств A и B является множество C и обозначается следующим образом:

Символ ∪ означает объединение и заменяет собой союз ИЛИ. Тогда выражение A ∪ B = C можно прочитать так:

Элементы, принадлежащие множеству A ИЛИ множеству B, есть элементы, принадлежащие множеству C.

В определении объединения сказано, что элементы такого множества принадлежат хотя бы одному из исходных множеств. Данную фразу можно понимать в прямом смысле.

Если мы захотим объединить два или более множества и вдруг обнаружим, что один или несколько элементов принадлежат каждому из этих множеств, то в объединение повторяющиеся элементы будут входить только один раз.

Например, рассмотрим множество A с элементами 1, 2, 3, 4 и множество B с элементами 2, 4, 5, 6.

Итак, у нас имеются следующие исходные множества:

Зададим новое множество С и добавим в него все элементы множества A

Пример 2. Друзьями Джона являются Том, Фред, Макс и Джордж. А друзьями Майкла являются Лео, Том, Фред и Эван. Найти объединение множеств друзей Джона и Майкла.

Для начала зададим два множества: множество друзей Джона и множество друзей Майкла.

Зададим новое множество с названием «Все друзья Джона и Майкла» и добавим в него всех друзей Джона и Майкла.

Заметим, что Том и Фред одновременно являются друзьями Джона и Майкла, поэтому мы добавим их в новое множество только один раз, поскольку сразу двух Томов и двух Фредов не бывает.

В данном случае множество всех друзей Джона и Майкла является объединением множеств друзей Джона и Майкла.

Друзья Джона ∪ Друзья Майкла = Все друзья Джона и Майкла

Оба промежутка обрамлены квадратными скобками, значит их границы принадлежат им.

Для наглядности перечислим все целые числа, принадлежащие этим промежуткам:

−7, −6, −5, −4, −3,−2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ∈ [−7; 5]

Обратите внимание, что числа −3,−2, −1 принадлежали и первому промежутку и второму. Но поскольку в объединение допускается включать такие элементы только один раз, мы включили их единоразово.

Значит объединением числовых промежутков [−7; 0] и [−3; 5] будет числовой промежуток [−7; 5]

Не каждое объединение числовых промежутков является числовым промежутком. Например, попробуем найти объединение числовых промежутков [−2 ; −1] и [4 ; 7].

Числовой промежуток должен содержать все числа от левой границы до правой. Если одно из чисел отсутствует, то числовой промежуток теряет смысл. Допустим, имеется линейка длиной 15 см

Эта линейка является числовым промежутком [0; 15], поскольку содержит все числа в промежутке от 0 до 15 включительно. Теперь представим, что на линейке после числа 9 сразу следует число 12.

Решение неравенств, содержащих знак ≠

Подставим, например, число 5

5 ≠ 4 — верное неравенство, поскольку 5 не равно 4

7 ≠ 4 — верное неравенство, поскольку 7 не равно 4

Изобразим множество решений неравенства x ≠ 4 на координатной прямой. Для этого выколем точку 4 на координатной прямой, а всю оставшуюся область с обеих сторон выделим штрихами:

Пример 2. Решить неравенство 3x − 5 ≠ 1 − 2x

Перенесем −2x из правой части в левую часть, изменив знак, а −5 из левой части перенесём в правую часть, опять же изменив знак:

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

Разделим обе части получившегося неравенства на 5

Изобразим множество решений неравенства x ≠ 1,2 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

В этом выражении говорится, что значения, принимаемые переменной x принадлежат промежутку (−∞; 1,2) или промежутку (1,2; +∞)

Решение совокупностей неравенств

Рассмотрим ещё один вид неравенств, который называется совокупностью неравенств. Такой тип неравенств, возможно, вы будете решать редко, но для общего развития полезно изучить и их.

Совокупность неравенств очень похожа на систему неравенств. Различие в том, что в системе неравенств нужно найти множество решений, удовлетворяющих каждому неравенству, образующему эту систему.

А в случае с совокупностью неравенств, нужно найти множество решений, удовлетворяющих хотя бы одному неравенству, образующему эту совокупность.

Совокупность неравенств обозначается квадратной скобкой. Например, следующая запись из двух неравенств является совокупностью:

Решим данную совокупность. Сначала нужно решить каждое неравенство по отдельности.

Например, число 9 из промежутка [3; +∞) удовлетворяет первому неравенству x ≥ 3. А число −7 из промежутка (−∞; 6] удовлетворяет второму неравенству x ≤ 6.

Стало быть, решением совокупности неравенств является объединение множеств решений первого и второго неравенства.

Иначе говоря, решением совокупности будет объединение числовых промежутков [3; +∞) и (−∞; 6]

Ответ можно оставить таким, каким мы его записали ранее:

либо заменить на более короткий:

Возьмём любое число из полученного объединения, и проверим удовлетворяет ли оно хотя бы одному неравенству.

Возьмем для примера число 8. Оно удовлетворяет первому неравенству x ≥ 3.

Возьмем еще какое-нибудь число, например, число 1. Оно удовлетворяет второму неравенству x ≤ 6

Пример 2. Решить совокупность неравенств

Чтобы решить эту совокупность, нужно найти множество решений, которые удовлетворяют хотя бы одному неравенству, образующему эту совокупность.

Множеством решений второго неравенства x ≥ −7 является числовой промежуток [−7; +∞).

Решением совокупности неравенств будет объединение множеств решений первого и второго неравенства.

Иначе говоря, решением совокупности будет объединение числовых промежутков (−∞; −0,25) и [−7; +∞)

Объединением числовых промежутков (−∞; −0,25) и [−7; +∞) является является вся координатная прямая. А вся координатная прямая это все числа, которые только могут быть

Ответ можно оставить таким, каким мы его записали ранее:

либо заменить на более короткий:

Пример 3. Решить совокупность неравенств

Решим каждое неравенство по отдельности:

Решением совокупности неравенств будет объединение множеств решений первого и второго неравенства.

Иначе говоря, решением совокупности будет объединение числовых промежутков (−∞; −3) и (−∞; 0]

Объединением числовых промежутков (−∞; −3) и (−∞; 0] является числовой промежуток (−∞; 0]

Ответ можно оставить таким, каким мы его записали ранее:

Источник