Что такое общая хорда

Общая хорда двух окружностей

Общая хорда двух пересекающихся окружностей перпендикулярна прямой, проходящей через центры этих окружностей.

Дано : окр. (O1; R) ∩ окр. (O2; r)=A, B.

Соединим центры окружностей с точками A и B. Обозначим точку пересечения прямой O1O2 с хордой AB как F.

Рассмотрим треугольники O1AO2 и O1BO2.

3) O1O2 — общая сторона.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠AO1F=BO1F, то есть O1F- биссектриса угла AO1B.

Треугольник AO1B — равнобедренный с основанием AB (O1A=O1B=R). Следовательно, биссектриса O1F является также его высотой и медианой. Таким образом,

Аналогично доказывается, что

По теореме о существовании и единственности прямой, перпендикулярной данной,через точку F можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной прямой AB.

Следовательно, центры окружностей O1, O2 и точка F лежат на одной прямой O1O2, а общая хорда окружностей перпендикулярна этой прямой:

Источник

Общая хорда двух окружностей

Свойство общей хорды

Общая хорда двух окружностей перпендикулярна прямой, проходящей через центры этих окружностей.

Общая хорда двух окружностей

Доказательство свойства общей хорды

Шаг 1

Рассмотрим две пересекающиеся окружности с центрами в точках О и О₁.

Через точки пересечения окружностей проведем хорду МК.

Соединим центры окружностей отрезком ОО₁.

Докажем, что МК перпендикулярна ОО₁.

Доказательство свойства общей хорды. Шаг 1

Шаг 2

Соединим центры окружностей с точками М и К.

Рассмотрим образовавшиеся треугольники ОМО₁ и ОКО₁.

ОМ = ОК – как радиусы окружности с центром в точке О;

О₁М = О₁К – как радиусы окружности с центром в точке О₁;

ОО₁ – общая сторона.

Доказательство свойства общей хорды. Шаг 2

Шаг 3

Рассмотрим треугольник МОК.

Точку пересечения хорды МК и ОО₁ обозначим буквой Т.

Так как ОК = ОМ как радиусы окружности, то треугольник МОК – равнобедренный.

На шаге 2 показали равенство углов:

Следовательно, ОТ – биссектриса угла О.

По свойству биссектрисы равнобедренного треугольника, проведенной к его основанию, она является и высотой:

Доказательство свойства общей хорды. Шаг 3

Шаг 4

Рассмотрим треугольник МО₁К.

Так как О₁К = О₁М как радиусы окружности, то треугольник МО₁К – равнобедренный.

На шаге 2 показали равенство углов:

Следовательно, О₁Т – биссектриса угла О₁.

По свойству биссектрисы равнобедренного треугольника, проведенной к его основанию, она является и высотой:

Источник

Две окружности на плоскости.
Общие касательные к двум окружностям

Взаимное расположение двух окружностей

Общие касательные к двум окружностям

Формулы для длин общих касательных и общей хорды

Доказательства формул для длин общих касательных и общей хорды

Взаимное расположение двух окружностей

Взаимное расположение на плоскости двух окружностей радиусов r₁ и r₂ с центрами O₁ и O₂ определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

r₁ – r₂ лежит внутри другой

Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

d r₁ и r₂ с центрами O₁ и O₂ определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

r₁ – r₂ лежит внутри другой

Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

d r₁ и r₂ с центрами O₁ и O₂ определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

d внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также
две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Каждая из окружностей лежит вне другой

Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

Фигура	Рисунок	Свойства
Две окружности на плоскости
Каждая из окружностей лежит вне другой
Внутреннее касание двух окружностей
Окружности пересекаются в двух точках
Каждая из окружностей лежит вне другой
Внешнее касание двух окружностей
Внутреннее касание двух окружностей
Окружности пересекаются в двух точках
Каждая из окружностей лежит вне другой
Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов
Внешнее касание двух окружностей
Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов
Окружности пересекаются в двух точках
Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов r1 – r2 лежит внутри другой
Внутренняя касательная к двум окружностям
Внутреннее касание двух окружностей
Окружности пересекаются в двух точках
Внешнее касание двух окружностей

Прямую называют внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

Внешняя касательная к двум окружностям

Внутренняя касательная к двум окружностям

Внутреннее касание двух окружностей

Окружности пересекаются в двух точках

Внешнее касание двух окружностей

Каждая из окружностей лежит вне другой

Прямую называют внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

Фигура	Рисунок	Формула
Внешняя касательная к двум окружностям
Внутренняя касательная к двум окружностям
Общая хорда двух пересекающихся окружностей

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Внешняя касательная к двум окружностям

Внутренняя касательная к двум окружностям

Общая хорда двух пересекающихся окружностей

Общая хорда двух пересекающихся окружностей

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле Доказательства формул для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей что и требовалось доказать. что и требовалось доказать. Источник Что такое хорда окружности в геометрии, её определение и свойства Хорда в переводе с греческого означает «струна». Это понятие широко применяется в разных областях науки — в математике, биологии и других. В геометрии для термина определение будет следующим: это отрезок прямой линии, который соединяет между собой две произвольные точки на одной окружности. Если такой отрезок пересекает центр кривой, она называется диаметром описываемой окружности. Как построить геометрическую хорду Чтобы построить этот отрезок, прежде всего необходимо начертить круг. Обозначают две произвольные точки, через которые проводят секущую линию. Отрезок прямой, который располагается между точками пересечения с окружностью, называется хордой. Если разделить такую ось пополам и из этой точки провести перпендикулярную прямую, она будет проходить через центр окружности. Можно провести обратное действие — из центра окружности провести радиус, перпендикулярный хорде. В этом случае радиус разделит её на две идентичные половины. Если рассматривать части кривой, которые ограничиваются двумя параллельными равными отрезками, то эти кривые тоже будут равными между собой. Свойства Существует ряд закономерностей, связывающих между собой хорды и центр круга: Взаимосвязь с радиусом и диаметром Вышеуказанные математические понятия связаны между собой следующими закономерностями: Хорда и радиус Между этими понятиями существуют следующие связи: Отношения со вписанными углами Углы, вписанные в окружность, подчиняются следующим правилам: Взаимодействия с дугой Если два отрезка стягивают участки кривой, одинаковые по размеру, то такие оси равны между собой. Из этого правила вытекают следующие закономерности: Хорда, которая стягивает ровно половину окружности, является её диаметром. Если две линии на одной окружности параллельны между собой, то будут равными и дуги, которые заключены между этими отрезками. Однако не следует путать заключённые дуги и стягиваемые теми же линиями. Источник Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке Отрезки и прямые, связанные с окружностью Свойства хорд и дуг окружности Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих Теорема о бабочке Отрезки и прямые, связанные с окружностью Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности Отрезок, соединяющий две любые точки окружности Хорда, проходящая через центр окружности. Диаметр является самой длинной хордой окружности Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку. Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания Прямая, пересекающая окружность в двух точках Фигура Рисунок Определение и свойства Окружность Круг Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью Радиус Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности Хорда Отрезок, соединяющий две любые точки окружности Диаметр Хорда, проходящая через центр окружности. Диаметр является самой длинной хордой окружности Касательная Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку. Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания Секущая Прямая, пересекающая окружность в двух точках Свойства хорд и дуг окружности Фигура Рисунок Свойство Диаметр, перпендикулярный к хорде Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам. Диаметр, проходящий через середину хорды Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам. Равные хорды Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности. Хорды, равноудалённые от центра окружности Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны. Две хорды разной длины Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности. Равные дуги У равных дуг равны и хорды. Параллельные хорды Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны. Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам. Диаметр, проходящий через середину хорды Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам. Равные хорды Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности. Хорды, равноудалённые от центра окружности Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны. Две хорды разной длины Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности. Равные дуги У равных дуг равны и хорды. Параллельные хорды Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны. Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны: Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны. Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны: Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны. Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны: Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны. Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих Тогда справедливо равенство откуда и вытекает требуемое утверждение. Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство откуда и вытекает требуемое утверждение. Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства откуда и вытекает требуемое утверждение. Теорема о бабочке Воспользовавшись теоремой 1, получим Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим откуда вытекает равенство что и завершает доказательство теоремы о бабочке. Источник Читайте также:  Что такое мышонка у мальчиков Вам также может понравиться Не то золото, что блестит: Уроки, которые мы можем извлечь из этой поговорки Приветствую, уважаемые дети! Сегодня я хочу рассказать Всякому овощу своё время: Уроки, которые мы можем извлечь из этой поговорки Приветствую вас, уважаемые дети! Сегодня я хочу рассказать На воре и шапка горит: Что означает эта поговорка? Приветствую вас, дорогие дети! Сегодня я хочу рассказать На каждый роток не накинешь платок: Что означает эта поговорка? Приветствую вас, дорогие дети! Сегодня я хочу рассказать Политика конфиденциальности Правообладателям Контакты Фигура Рисунок Теорема Пересекающиеся хорды Касательные, проведённые к окружности из одной точки Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки Секущие, проведённые из одной точки вне круга Касательные, проведённые к окружности из одной точки Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки Секущие, проведённые из одной точки вне круга