Что такое октанты в начертательной геометрии

Ортогональные проекции прямой

Прямая m проходит через точки A и B, координаты которых представлены в таблице. Необходимо:

Построение ортогональных проекций прямой на комплексном чертеже

Найдем следы прямой m

Для этого продлим m’ до пресечения с осями x и y. Точки F_m‘ и W_m‘ являются горизонтальными проекциями фронтального и профильного следа прямой m. Аналогично находим т. H_m» и W_m». После этого положение искомых точек F_m и H_m, которые являются следами, определяется по линиям связи, как показано на рисунке.

Определение октантов, через которые проходит прямая

Границами октантов являются плоскости проекций. Пересекая их, прямая переходит из одного октанта в другой. Разделим комплексный чертеж на участки, восстановив перпендикуляры к оси x через точки F_m‘, H_m», W_m». Каждый из участков, через который проходит прямая, принадлежит своему октанту (рис. выше).

Построение наглядного изображения прямой в пространстве

В приведенном примере для построения наглядного изображения прямой m использована фронтальная изометрическая проекция. Величины по осям x, y, z откладываются без искажения в натуральную величину. Угол xOy равен 135°.

Источник

Точки в октантах пространства

ЧАСТЬ 1. Начертательная геометрия

Раздел 1. Основные понятия

Определения

В начертательной геометрии изучаются геометрические основы построения изображений на плоскости (листе бумаги) предметов, имею­щих три измерения, а также способы решения задач из различных обла­стей техники с помощью геометрических построений.

К основным формообразующим элементам пространства относятся точка, прямая и плоскость. Ими определяются простые трехмерные фигуры, из которых создаются сложные объекты пространства. Точки обозначают прописными буквами: A, B, C… или арабскими цифрами: 1, 2, 3…, прямые – строчными буквами латинского алфавита: a, b, c…, плоскости – прописными буквами греческого алфавита: G, L, P, S, F, Y, W.

Между элементами пространства существуют следующие отношения:

Над элементами пространства можно выполнять следующие операции:

Начертательная геометрия базируется на методах проекций.

Метод проекций

Аппарат проецирования включает в себя проецирующие лучи, проецируемый объект и плоскость, на которой получается изображение объекта.

Различают следующие виды проецирования:

— ортогональное (частный случай параллельного проецирования).

При центральном проецировании проецирующие лучи исходят из одной точки, называемой центром проецирования.

Рис. 1. Пример центрального проецирования

S – центр проецирования;

А, В, С – точки пространства;

Параллельным проецированием называется такое проецирование, при котором центр проекций S удален в бесконечность, а все лучи становятся параллельными.

Рис. 2. Пример параллельного проецирования

Частный случай параллельного проецирования – ортогональное проецирование. Проецируемые лучи перпендикулярны плоскости проекций (l ^ П₁).

Рис. 3. Пример ортогонального проецирования

А, В, С – точки пространства;

Основные свойства ортогонального проецирования

1) Проекция точки есть точка (А→А₁).

Рис. 4. Точки и их проекции

2) Проекция прямой есть прямая (а→а₁).

Рис. 5. Прямая и ее проекция

На рис. 6 представлен частный случай: проекцией проецирующей прямой является точка.

Рис. 6. Проецирование прямой, перпендикулярной плоскости проекций

Проекция прямой определена, если известны хотя бы две ее точки.

3) Проекцией плоскости является плоскость. Плоскость состоит из бесконечного множества точек.

4) Проекции параллельных прямых есть параллельные прямые.

5) Если точка в пространстве принадлежит прямой, то проекция точки принадлежит проекции прямой.

Рис. 7. Принадлежность точек прямой

6) Проекция отрезка всегда меньше самого отрезка, т. к. отрезок в пространстве является гипотенузой прямоугольного треугольника, а его проекция катетом.

Рис. 8. Отрезок и его проекция

АВ – отрезок прямой в пространстве;

7) Прямой угол проецируется в прямой, если одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а вторая ей не перпендикулярна.

Рис. 9. Проецирование прямого угла

Обратимость чертежа

Проецированием на одну плоскость проекций получается изображение, которое не позволяет однозначно определить форму и размеры изображенного предмета. Для исключения неопределенности изображение дополняют необходимыми данными.

Способы получения обратимого чертежа:

1) Аксонометрия – проекция оригинала на плоскость вместе с жестко связанной с ним системой координат.

2) Метод Г. Монжа (комплексный чертеж).

Комплексный чертеж Монжа

Рис. 10. Метод Монжа

Для построения чертежа или эпюра Монжа пространственное или наглядное изображение нужно преобразовать в плоскостное. При этом плоскости проекций разворачиваются: фронтальная плоскость остается на месте, горизонтальная опускается вниз до совмещения с фронтальной плоскостью, а профильная разворачивается вправо до совмещения с фронтальной. Ось ОY раздваивается – она участвует в образовании горизонтальной плоскости проекций и необходима для формирования профильной плоскости проекций.

Рис. 11. Переход к плоскостному изображению

Все три проекции точки взаимосвязаны между собой. Линии, соединяющие проекции точки А, называются линиями связи. Линии связи всегда перпендикулярны осям проекций.

Рис. 12. Эпюр Монжа точки А с координатами (13, 11, 16)

Точки в октантах пространства

Октант – восьмая часть пространства, которая получается делением пространства уже известными нам плоскостями проекций: горизонтальной, фронтальной и профильной. Оси ОХ, ОY, ОZ показаны как в положительном направлении, так и в отрицательном (рис. 13).

Рис. 13. Нумерация октантов

Точка в поле проекций

Если у точки одна из трех координат X, Y или Z равна нулю, то точка будет лежать в горизонтальном, фронтальном или профильном полях проекций.

Рассмотрим точку А. Точка лежит в профильном поле проекций и совпадает со своей профильной проекцией. Фронтальная проекция точки А лежит на оси OZ, а горизонтальная на оси OY.

Рис. 16. Наглядное изображение точки А (0, 15, 40)

Рис. 17. Эпюр точки А (0, 15, 40)

Точка лежит сразу в двух плоскостях проекций, если принадлежит одной из трех осей проекций. Так, если точка А лежит на оси, например, OZ, то она будет совпадать со своей фронтальной и профильной проекциями, а ее горизонтальная проекция совпадет с началом координат.

Рис. 18. Наглядное изображение точки А (0, 0, 40)

Источник

Знаки прямоугольных координат в различных октантах

Таблица 2

ОКТАНТЫ

Нумерация октантов в полупространствах приведена на рис. 12. Знаки координат в каждом из октантов указаны в табл. 2.

Обозначения в таблице: Л – левый октант; Пр. – правый октант; П – передний октант;

З – задний октант; В – верхний октант; Н – нижний октант.

ПРОЕЦИРОВАНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ

Прямую линию можно рассматривать как совокупность точек. Из школьного курса геометрии известно, что через две точки можно провести прямую и при том только одну.

Пусть нам даны на эпюре две точки А и В (рис. 13). Две проекции каждой из этих точек однозначно определяют их положение в пространстве. Если мы соединим одноименные проекции точек, то получим проекции прямой. Точки А и В ограничивают отрезок прямой и определяют положение этой прямой как бесконечной линии.

Таким образом, прямая линия на эпюре может быть задана двумя ее проекциями. По двум проекциям отрезка всегда можно построить его третью проекцию, и притом только одну.

Если прямая не параллельна ни одной из плоскостей проекций, то она пересекает все плоскости проекций и не проецируется ни на одну из них в натуральную величину. Такую прямую называют прямой общего положения. Ни одна из ее проекций не параллельна осям координат. Пример такой прямой изображен на рис. 13.

Источник

Проецирование точки в начертательной геометрии с примерами

Проецирование точки на две и три плоскости проекций:

Если из точки А, находящуюся в пространстве, относительно двух плоскостей проекций

Они характеризуются координатами, которые численно равны расстоянию от точки А до соответствующих плоскостей проекций. Координаты обозначаются теми же буквами, что и оси вдоль которых измеряется расстояние, с присвоением индекса самой буквы.

Так, для точки А:

Плоскость прямоугольника , перпендикулярна к: оси x, а линии пересечений плоскостей и плоскости являются прямыми и , перпендикулярными к оси х.

Изображение точки и её проекций на рис.3.1 является пространственным чертежом, что не всегда удобно для практики.

Рис. 2.4 Чтобы получить плоский чертёж, поворачивают плоскость , вокруг оси х и совмещают её с плоскостью (рис. 3.1), получая таким образом. комплексный чертеж (эпюр Монжа)

Проекции и оказываются на одной линии, которая называется линией проекционной связи. Она перпендикулярна к оси х (рис. 3.2). При проецировании точки А на три плоскости проекций от плоскости она отстоит на расстоянии (рис. 3.3). При этом, аналогично вышесказанному:

Для получения плоского чертежа в этом случае уже две плоскости и совмещаются с плоскостью путём поворота их соответственно вокруг осей х и z. При этом ось у как бы раздваивается (как бы разрезается вдоль), и положение плоскостей будет таким, как показано на рис. 3.3. Профильная проекция точки А находится на пересечении линий связи и (расстояние ).

Это не означает, что модули этих величин обязательно равны между собой, т.е. (в частном случае это равенство Ах Ау может быть). Те же рассуждения будут справедливы и в отношении направлений осей z и y (рис. 3.4).

Таким образом, горизонтальная и фронтальная проекции точки А на плоском чертеже лежат на одной линии проекционной связи, перпендикулярной к оси x, а фронтальная и профильная проекции точки А на линии проекционной связи, перпендикулярной к оси z.

Определение по плоскому чертежу принадлежности точки тому или другому октанту пространства

Точка, например А, принадлежит:

Определение по плоскому чертежу принадлежности точки плоскостям проекций

Точка А принадлежит:

Любая точка лежит на оси проекций, если её смежные две проекции совпадают.

Так, точка А лежит на оси х, если совпадает с ; на оси у, если совпадает с , и оси z, если совпадает с .

Правила знаков координат проекции точки

При построении проекции точки координата x всегда откладывается от начала координат (точка 0).

Таблица 3.1

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник

Термины, определения и условные обозначения начертательной геометрии

Термины и определения

Комплексный чертеж (эпюр Монжа) – чертеж, составленный из взаимосвязанных ортогональных проекций геометрической фигуры. Чтобы преобразовать пространственный макет в эпюр, нужно совместить плоскости проекций П₁ и П₃ с третьей плоскостью П₂, вращая П₁ вокруг оси x, а П₃ вокруг оси z.

Конкурирующие точки – точки, расположенные на одной проецирующей прямой, но при этом удаленные от плоскости проекций на разное расстояние.

Линии уровня – прямые, параллельные одной из плоскостей проекций.

Метрические задачи – это задачи, целью решения которых является нахождение натуральных величин отрезков, углов, расстояний.

Октант – часть пространства, ограниченная плоскостями проекций П₁, П₂, П₃. В начертательной геометрии выделяют восемь октантов, нумерация и взаимное расположение которых показаны на рисунке.

Отрезок – участок прямой, ограниченный двумя точками.

Плоскости общего положения – плоскости, которые не перпендикулярны ни одной из плоскостей проекций.

Плоскости уровня – плоскости, параллельные одной из плоскостей проекций.

Позиционные задачи – это задачи, целью решения которых является определение взаимного расположения фигур, нахождение точек и линий их пересечения.

Проецирующие плоскости – плоскости, перпендикулярные одной из плоскостей проекций.

Прямые общего положения – прямые, не параллельные ни одной из плоскостей проекций.

Проецирующие прямые – прямые, перпендикулярные одной из плоскостей проекций.

Следы плоскости – прямые, по которым данная плоскость пересекается с плоскостями проекций.

Условные обозначения

Способы задания плоскости на комплексном чертеже

Плоскость на комплексном чертеже может быть задана шестью различными способами:

Источник