Что такое определяющее понятие в математике
Математические понятия, предложения и доказательства
Юлия Мехонцева
Математические понятия, предложения и доказательства
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ, ПРЕДЛОЖЕНИЯ И ДОКАЗАТЕЛЬСТВА
1.,2. Понятий в начальном курсе математики изучается много. Как же их определяют?
Неявные определения: контекстуальные и остенсивные.
В контекстуальных определениях содержание нового понятия раскрывается через отрывок текста, через контекст, через анализ конкретной ситуации.
Пример – определение уравнения в традиционном курсе математики: равенство, содержащее букву (буквы, значение которой (которых) надо найти.
Остенсивные определения – это определения путем показа. Они используются для введения терминов путем демонстрации объектов, которые этими терминами обозначают.
Например, таким образом вводятся понятия равенства и неравенства в начальном курсе математики.
Каждое понятие объединяет в себе класс объектов (вещей, отношений). Это объем понятия и характеристическое свойство присуще всем объектам этого класса только им.
Например, понятие треугольник содержит в себе класс всевозможных треугольников, это объем понятия и характеристические свойства, наличие трех сторон, трех вершин, трех углов – содержание понятия.
Например, прямоугольником называется параллелограмм с прямыми углами. Прямоугольник определяемое понятие, параллелограмм ближайший род – определяющее понятие. Прямой угол видовое отличие.
5. Высказывания и высказывательные формы
Относительно понятий и отношений между ними можно высказывать различные суждения. Языковой формой суждений являются повествовательные предложения. Например, в начальном курсе математики можно встретить такие предложения:
1) число 12 – четное;
4) В числе 15 один десяток и 5 единиц;
5) От перестановки множителей произведение не изменяется;
6) Некоторые числа делятся на 3.
Видим, что предложения, используя в математике, могут быть записаны как на естественном (русском) языке, так и на математическом, с использованием символов. Далее, о предложениях 1, 4, 5 и 6 можно сказать, что они несут верную информацию, а предложение 2 – ложную. Относительно предложения х + 5 =8 вообще нельзя сказать: истинное оно или ложное. Взгляд на предложение с позиции – истину или ложь оно нам сообщает – привел к понятию высказывания.
Определение. Высказыванием в математике называют предложение,относительно которого имеет смысл вопрос: истинно оно или ложно.
Например, предложения 1, 2, 4, 5 и 6 – высказывания, причем предложения 1, 4, 5 и 6 – истинные, а 2 – ложное.
Высказывания принято обозначать прописными буквами латинского алфавита: А, В, С,, Z. Если высказывание А истинно,то записывают: А – «и», если же высказывание А – ложно,то пишут: А – «л».
«Истина» и «ложь» называются значениями истинности высказывания. Каждое высказывание либо истинно, либо ложно, быть одновременно тем и другим оно не может.
Предложение х + 5 = 8 не является высказыванием,так как о нем нельзя сказать: истинно оно или ложно.Однако при подстановке конкретных значений переменной х оно обращается в высказывание: истинное или ложное. Предложение х + 5 = 8 называется высказывательной формой. Оно порождает множество высказываний одной и той же формы.
Среди всех возможных значений переменной нас в первую очередь интересуют те, которые обращают высказывательную форму в истинное высказывание. Множество таких значений переменных называют множеством истинности высказывательной формы.
Например, множеством истинности высказывательной формы х > 5, заданной на множестве действительных чисел, будет промежуток (5;). Множество истинности высказывательной формы х + 5 = 8, заданной на множестве целых неотрицательных чисел, состоит из одного числа 3.
4. Предложения, которые мы рассматривали, были простыми, но можно привести примеры суждений, языковой формой которых будут сложные предложения.
Например: «Если треугольник равнобедренный, то углы при основании в нем равны».
В логике считают, что из двух данных предложений можно образовать новые предложения, используя для этого союзы «и», «или», «если…, то», «тогда и только тогда, когда», а также частица «не» или словосочетание «неверно, что». Слова «и», «или», «если, то», «тогда и только тогда, когда», а также частица «не» называют логическими связками. Предложения, образованные из других предложений с помощью логических связок, называют составными. Предложения, не являющиеся составными, называют элементарными.
Приведем примеры составных предложений.
1) Число 28 четное и делится на 7.
2) Число х меньше или равно 8.
3) Число 14 не делится на 4.
Эти предложения, являясь с логической точки зрения составными, по своей грамматической структуре – простые.
Как определить значение истинности составного высказывания, например, «число 28 делится на 7 и на 9»? Значение истинности высказываний определяется с помощью определенных правил. Но для этого нужно уметь выявлять логическую структуру высказывания.
1) из каких элементарных предложений образовано данное составное предложение;
2) с помощью каких логических связок оно образовано.
Используя данное определение, найдем значение истинности высказывания «число 28 делится на 7 и на 9», которое, как было установлено раньше, состоит из двух элементарных высказываний, соединенных союзом «и», т. е. является конъюнкцией. Так как первое высказывание истинно, а второе ложно, то, согласно определению конъюнкции, высказывание «число 28 делится на 7 и на 9» будет ложным.
Конспект занятия по формированию общего понятия о военных профессиях в старшей группе Задачи. 1. Расширить представление детей о разнообразии профессий. 2. Формировать обобщенное понятие «профессия военных», обогащать активный.
Характеристика понятия «творческие способности детей» (первая часть) По утверждению педагогов-исследователей (Н. А. Ветлугиной, Т. С. Комаровой, В. С. Кузина, Б. М. Неменского, Н. П. Сакулиной, В. А. Флериной и.
Характеристика понятия «творческие способности детей» (вторая часть) 13. Легкость генерирования идей. Чем больше идей порождает человек, тем больше шансов, что среди них будут идеи хорошие. 14. Беглость речи.
Конспект НОД по ФЭМП в старшей группе для детей с ОВЗ «Понятия внутри-снаружи» Автор: учитель-дефектолог, логопед Скрябина Светлана Николаевна МКДОУ №133 г. Кирова Цель: формирование у детей навыков ориентировки в.
Конспект образовательного предложения на тему «В помощь дедушке Фольклору» (средняя группа) Цель: Приобщение детей к истокам русского народного фольклора через сказку. Задачи: • Пополнять и закреплять знания детей об устном народном.
Конспект урока русского языка «Предложения с прямой речью» (4 класс) РУССКИЙ ЯЗЫК ПРЕДЛОЖЕНИЯ С ПРЯМОЙ РЕЧЬЮ Тема: Знаки препинания в предложении с прямой речью, когда прямая речь стоит перед словами автора.
Консультация для родителей «Формирование структуры предложения у детей пяти лет» Цель: Знакомство родителей с формированием структуры предложения у детей пяти лет. Задачи: 1. Познакомить родителей с формированием структуры.
Логико-математические понятия в повседневной жизни В группе Какой карандаш длиннее, короче? Как проверить? Что можно сказать о длине трех ленточек? Как проверить? Какая пирамидка выше, ниже?.
Словесные упражнения, направленные на формирование структуры предложения Согласование подлежащего с прилагательным (определением) Воспитатель: Правильно ли я говорю: Малыш веселый? С какими словами можно еще связать.
Тема 1.1 Математические понятия.
Раздел 1 Элементы математической логики
Математика, как и другие науки, изучает окружающий нас мир, природные и общественные явления, но изучает лишь их особые формы. Например, в геометрии изучают формы и размер не принимая другие их свойства: цвет, массу твердость и т.д. От всего этого отвлекаются, абстрагируются.
Следовательно, математика изучает абстрактные понятия и свойства абстрактных понятий.
Возникает вопрос: как же сложилось такое представление о математических объектах и зачем оно нужно?
Первая причина состоит в том, что практика и наглядное представление всегда показывали и показывают возможность сделать формы тел и геометрическое построение более точными.
Вторая причина, сложилась как следствие первой, точное рассуждение требует идеально точно определенного предмета.
В своем развитии математика прошла несколько этапов, создавая на каждом из них определенные способы познания и осмысления разнообразных форм количественных отношений материального мира.
Метод изучения действительности – метод построения математических моделей.
Абстрактность математики позволяет применять ее в самых разных областях знания, поскольку она представляет собой могущественные инструмент познания природы и создания техники.
Объем и содержание понятия.
Всякий математический объект обладает определенными свойствами. Среди свойств объекта различают свойства существенные и несущественные для его выделения из других объектов.
Существенные свойства объекта – свойства присущие данному объекту, без которых он не может существовать.
Несущественные свойства объекта – такие свойства, отсутствие которых не влияет на существование объекта.
Понятие об объекте складывается, главным образом, из знаний его существенных свойств.
Содержанием понятия называют совокупность всех взаимного существенных свойств объекта.
Объем понятия – это совокупность всех объектов, обозначаемых одним и тем же термином.
Например, объем понятия «прямоугольные треугольники» «меньше» чем объем понятия «треугольники».
Дошкольный курс насыщен различными математическими понятиями, которые в большинстве своем можно так или иначе встретить в реальной жизни. Тем самым изучение математики опирается на его историю развития.
В содержании какого-либо математического объекта существует много существенных свойств. Однако, чтобы установить находиться ли объект в объеме понятия, необходимо проверить наличие только некоторых существенных свойств. Указание существенных свойств объекта, которых достаточно для распознания объекта, называются определение понятия.
Определение понятия – логическая операция, раскрывающая содержание понятия.
Существует явные и неявные определения.
Явные определения имеют определяющее понятие, через которое раскрывается смысл определяемого понятия с помощью видового отличия.
Например, квадрат = прямоугольник + все равные стороны.
В явных определениях можно выделить два подвида, которые чаще всего встречаются в курсе математики, такие как, генетические и рекурсивные определения.
Генетическим определением будем называть определение, где частным случаем будем указывать определения через род и видовое отличие, когда видовое отличие будет указывать на происхождение или способ построения определяемого определения.
Рекурсивные определения – определения, в которых указывается некоторые основные элементы из объема понятия, а также даются правила, которые позволяют получать из уже имеющихся элементов – новые.
Например, Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, начинается со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом.
Под неявными принято понимать определение понятия с помощью наглядности конкретных объектов, охватываемых этим понятием.
Остенсивными (от лат. ostendere – показывать) определениями принято пользоваться для введения терминов путем показа объектов, которые этими терминами обозначают.
Например, «Прочитай записи:
9 + 71 30 + 6 + 14 18 – (14 + 6)
23 – 37 15 – 7 + 32 25 – (15 – 10)
Это числовые выражения, или, короче, выражения».
В контекстуальных определениях содержание нового понятия вводится через контекст, отрывок текста, анализ конкретной ситуации, раскрывающей смысл вводимого понятия.
Например, Понятие «натуральное число» в математике в учебнике Дорофеева Г.В., Миракова Т.Н., Бука Т.Б. за 1 класс вводиться следующим образом: «Все предметы вокруг можно считать, используя слова один, два, три, четыре, пять, … »
Требования к определению понятий
1. Определение должно быть соразмерным.
2. В определении (или их системе) не должно быть порочного круга.
3. Определение должно быть ясным.
Таким образом, чтобы определение было ясным, желательно, чтобы оно не содержало избыточных свойств в определяющей части, т.е. таких свойств, которые могут быть выведены из других, включенных в это определение. Однако иногда для простоты изложения это правило нарушают.
Например, избыточное определение: «Прямоугольником называется четырехугольник, у которого противоположные стороны равны и все углы прямые».
Лучше сказать: «Прямоугольником называют четырёхугольник, у которого все углы прямые».
Ответьте на вопросы:
1) Что такое содержание понятия?
2) Что такое объем понятия?
3) Какие существуют свойства понятия объекта?
4) Что такое определение понятия?
5) Какие виды определений выделяют?
6) Какие выделяются требования к определению понятия?
Задание 1: Заполните таблицу определив вид определения понятий.
| № | Определение понятия | Вид определения |
| 1 |  | |
| 2 |  | |
| 3 |  | |
| 4 |  | |
| 5 |  |
Задание 2: Начертите три геометрические фигуры, принадлежащие объему понятия:
Задание 3: Назовите пять существенных свойств понятия:
Задание 4: Находятся ли в отношении рода и вида следующие пары понятий:
а) многоугольник и треугольник;
б) угол и острый угол;
д) круг и окружность?
Задание 5: Изобразите при помощи кругов Эйлера отношения между объемами понятий а, в и с, если:
а) а – «четырехугольник», в – «трапеция», с – «прямоугольник»;
б) а – «натуральное число, кратное 3», в – «натуральное число, кратное 4», с – «натуральное число»;
в) а – «треугольник», в – «равнобедренный треугольник», с – «равносторонний треугольник».
Задание 6: В следующих определениях выделите определяемое и определяющее понятие, родовое понятие (по отношению к определяемому) и видовое отличие:
а) Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны;
б) Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется его средней линией
Задание 7: Для каждого из данных понятий подберите родовое понятие и дополните определение.
Задание 8: Определите, какая ошибка допущена в определении (подчеркните ее номер):
1. Не указано родовое понятие
2. Родовое понятие указано неверно
3. Не указано видовое отличие
4. Видовое отличие указано неверно (или не полностью)
г) Медиана – это отрезок, который делит сторону пополам.
Задание 8: Дайте определение: тупоугольного треугольника, равнобедренного треугольника, трапеции. Какие понятия вы выбрали в качестве родового в каждом случае? Какие свойства включили в видовое отличие?
Определение математического понятия.
Так, например, треугольник обладает такими свойствами: имеет три стороны; три внутренних угла; шесть попарно равных внешних углов и это далеко не все свойства. Математику не интересует, какого цвета треугольник, из какого материала он изготовлен, не ставится задача нахождения массы этого объекта и т.д., перечисленные свойства изучаются другими науками. Более того в природе нет отдельно существующего объекта «треугольник». Если мы вырежем из листа бумаги «треугольник», то с «точки зрения» математики это треугольная призма каждая из двух параллельных граней, которой и есть треугольник. Здесь объект треугольник является частью другого объекта, название которого треугольная призма, но эти объекты не могут существовать друг без друга.
Предложения в которых, что-то утверждается в данный момент являются либо истинными либо ложными, к стати одновременно истинными и ложными они быть не могут. Подобные предложения называются суждениями. Утверждения о наличии или отсутствии у данного объекта какого-либо свойства также называются суждениями.
Вот примеры суждений:
Суждениями являются также предложения, указывающие на отношения или связи объектов, например:
А вот вопросы, восторги, восхваления, восклицания или требования не являются, суждениями.
Среди свойств какого-либо объекта имеются существенные и несущественные для его определения.
Свойство является существенным, если оно присуще этому объекту и без него он не может существовать. Несущественные свойства, как правило, не влияет на существование объекта. Заметим, что при решении конкретных задач несущественные вообще свойства объектов могут иметь и существенное значение для решения данной задачи.
Чтобы иметь представление о каком либо объекте, достаточно знать его существенные свойства. В этом случае говорят, что мы имеем понятие об этом объекте. Следовательно, понятие — это целостная совокупность суждений о существенных свойствах соответствующего объекта. Эта совокупность взаимосвязанных свойств объекта (поэтому она называется целостной) называется содержанием понятия об этом объекте. Заметим, что когда говорят о математическом объекте, то обычно имеют в виду все множество объектов, обозначаемых одним термином (названием).
Так, когда говорят о математическом объекте — треугольнике, то имеют в виду все геометрические фигуры, являющиеся треугольниками. Множество всех треугольников составляет объем понятия о треугольнике. Точно так же множество всех натуральных чисел составляет объем понятий о натуральном числе. Следовательно, объем понятия — это множество всех объектов, обозначаемых одним и тем же термином. Итак, всякое понятие имеет определенный объем и содержание. Они взаимосвязаны: чем больше объем понятия, тем меньше его содержание, и наоборот: чем меньше объем, тем больше содержание понятия.
Так, например, объем понятия «равнобедренный треугольник» меньше объема понятия «треугольник», ибо в объем первого понятия входят не все треугольники, а лишь равнобедренные. А вот содержание первого понятия, очевидно, больше содержания второго, ибо равнобедренный треугольник обладает не только всеми свойствами треугольника, но и особыми свойствами, присущими только равнобедренным треугольникам.
В содержание понятия о каком-либо математическом объекте входят много различных существенных свойств этого объекта. Однако, для того чтобы распознать объект, установить, принадлежит ли он к данному понятию или нет, достаточно проверить наличие у него лишь некоторых существенных свойств. Указание этих существенных свойств объекта понятия, которые достаточны для распознавания этого объекта, называется определением понятия.
Всякое определение математического понятия строится обычно так: сначала указывается название объекта этого понятия, затем перечисляются такие его существенные свойства, которые позволяют установить, является ли тот или иной предмет объектом данного понятия или нет.
Например, определение параллелограмма: «Параллелограммом называется четырехугольник, противоположные стороны которого параллельны». Как видим, это определение построено так: Сначала указано название объекта определяемого понятия — параллелограмм, затем указаны такие его свойства: 1) параллелограмм — это четырехугольник; 2) противоположные стороны параллельны. Первое свойство — это указание того более общего понятия, к которому принадлежит определяемое понятие. Это более общее понятие называется родовым по отношению к определяемому понятию. В данном случае родовым понятием для параллелограмма является четырехугольник. Второе свойство — это указание видового свойства, которое отличает параллелограмм от других видов четырехугольника. Вот еще пример определения: «Четными числами называются такие натуральные числа, которые кратны числу 2». Это определение, так же как и предыдущее, построено по такой схеме:
В данном случае мы имеем: название определяемого понятия — четные числа, родовое понятие — натуральные числа, видовые отличия — кратны числу 2.
Определение понятий по этой схеме называется определением через род и видовые отличия.
Иногда в математике встречаются и другие способы определения понятий. Рассмотрим, например, определение треугольника: «Треугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех попарно соединяющих их отрезков». В этом определении указано родовое понятие для треугольника — фигура, а в качестве видового отличия указан способ построения такой фигуры, которая является треугольником: нужно взять три точки, не лежащие на одной прямой, и соединить каждую их пару отрезком. Такое определение называется генетическим (от слова генезис — происхождение).
Вот еще пример генетического определения: «Симметрией относительно точки называется такое преобразование фигуры F в фигуру F’, при котором каждая точка X фигуры F переходит в точку X’ фигуры F’, построенной следующим образом: на продолжении отрезка ОХ за точку О откладывается отрезок ОХ’, равный ОХ». Здесь в качестве видовых отличий преобразования симметрии относительно точки от других видов преобразований указан способ построения точек фигуры F’, симметричной фигуре F относительно точки О.
Встречаются в математике и такие определения, в которых указывается, как можно получить объекты определяемого понятия один за другим по порядку. Например, определение арифметической прогрессии дается таким образом: «Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же числом, называется арифметической прогрессией». Здесь определяемое понятие — арифметическая прогрессия, родовое понятие — числовая последовательность, в качестве видового отличия указан способ получения всех членов прогрессии, начиная со второго, состоящий в том, что для получения какого-либо члена надо к предшествующему члену прибавить одно и то же число. Это определение можно записать в виде следующей формулы:
Такое определение называется индуктивным (от слова индукция — наведение на умозаключение от частного к общему) или рекуррентным (от слова рекурсия — возвращение).
Однако не все математические понятия могут быть логически определены указанными выше способами. Действительно, каждое определение математического понятия сводит определяемое понятие к более широкому (более общему, т. е. имеющему больший объем) родовому понятию, определение родового понятия сводит его к еще более широкому понятию и т. д. Очевидно, что этот процесс сведения одних понятий к более широким, более общим понятиям должен иметь конец, он не может быть бесконечным. Иными словами, в конечном итоге определения понятий мы должны прийти к таким понятиям, которые уже не сводимы к другим, т. е. они логически не определяемы. Такие понятия в математике называются первичными или основными.
Например, определяя параллелограмм, мы сводим его к понятию четырехугольника, определяя четырехугольник, мы сводим его к понятию многоугольника, затем к понятию геометрической фигуры, которая сводится при определении к понятию точки. Понятие точки уже является не определяемым, т. е. первичным. Первичными понятиями в математике, кроме точки, являются понятия прямой, плоскости, принадлежать, числа, множества, (совокупность) и некоторые другие.
Овладевая каким либо понятием, необязательно математическим, нужно понимать, что этот процесс сложен и длителен, состоит из нескольких этапов. На начальном этапе нужно произвести анализ свойств изучаемого объекта или его модели, выделить существенные войства и объеденить их в одно множество. Далее происходит длительный процесс запоминания этого множества и привязки его именно к этому объекту. На последнем этапе следует ннаучиться умению строить определение понятий каким-либо способом.