Что такое ось тангенса

Значения тангенса и котангенса на тригонометрическом круге

В прошлой статье мы познакомились с тригонометрическим кругом и научились находить значения синуса и косинуса основных углов.

Где же на тригонометрическом круге оси тангенсов и котангенсов?

Ось тангенсов параллельна оси синусов (имеет тоже направление, что ось синусов) и проходит через точку (1; 0).

Ось котангенсов параллельна оси косинусов (имеет тоже направление, что ось косинусов) и проходит через точку (0; 1).

На каждой из осей располагается вот такая цепочка основных значений тангенса и котангенса: Почему так?

Я думаю, вы легко сообразите и сами. 🙂 Можно по-разному рассуждать. Можете, например, использовать тот факт, что и

Собственно, картинка за себя сама говорит.

Если не очень все же понятно, разберем примеры:

Пример 1.

Вычислить

Находим на круге . Эту точку соединяем с точкой (0;0) лучом (начало – точка (0;0)) и смотрим, где этот луч пересекает ось тангенсов. Видим, что

Ответ:

Пример 2.

Вычислить

Находим на круге . Точку (0;0) соединяем с указанной точкой лучом. И видим, что луч никогда не пересечет ось тангенсов.

не существует.

Ответ: не существует

Пример 3.

Вычислить

Находим на круге точку (это та же точка, что и ) и от нее по часовой стрелке (знак минус!) откладываем (). Куда попадаем? Мы окажемся в точке, что на круге у нас (см. рис.) названа как . Эту точку соединяем с точкой (0;0) лучом. Вышли на ось тангенсов в значение .

Так значит,

Ответ:

Пример 4.

Вычислить

Поэтому от точки (именно там будет ) откладываем против часовой стрелки .

Выходим на ось котангенсов, получаем, что

Ответ:

Пример 5.

Вычислить

Находим на круге . Эту точку соединяем с точкой (0; 0). Выходим на ось котангенсов. Видим, что

Ответ:

Теперь, умея находить по тригонометрическому кругу значения тригонометрических функций (а я надеюсь, что статья, где мы начинали знакомство с кругом и учились вычислять значения синусов и косинусов, вами прочитана…), вы можете пройт и тест по теме «Нахождение значений косинуса, синуса, тангенса и котангенса различных углов».

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Источник

Повторим понятие «Линия (ось) тангенсов».

Начнём с геометрической интерпретации тангенса – так называемой линии тангенсов. Это линия АВ, параллельная оси ординат, проходящая как касательная к единичной окружности в точке пересечения единичной окружности с осью ОХ (см. Рис.В).

Рис.В

Повторим доказательство того, что данная линия может считаться осью, где будут размещены значения функции тангенса от данного аргумента.

Из подобия треугольников ОАВ и ONM на Рис.В имеем:

AB = tgx

Еще раз рассмотрим случай, когда x находится в первой четверти тригонометрического круга.

Аналогично повторим случаи, когда х находится в остальных четвертях.

В результате мы получили следующую геометрическую интерпретацию тангенса.

Тангенс угла х равен ординате точки В, которая является точкой пересечения линии тангенсов и прямой ОМ, соединяющей точку х с началом координат.

Повторим рассмотрение на Рис.Г случая, когда х находится во второй четверти. Тангенс угла х отрицателен.

Рис. Г

Напомним, что из данного Рис.Г мы видим, что в связи с параллельностью оси ОУ и линии тангенсов, линия продолжения линии угла, равного π/2, никогда не пересечется с линией котангенсов, что иллюстрирует факт того, что тангенс от угла π/2 – не определен.

Рассмотрим простейшие уравнения второй Табличной группы

Теперь в правой части уравнения будет стоять табличное значение тангенса или котангенса (напомним, что решение уравнений с а= 0, ±1 были рассмотрены на предыдущем занятии).

Вспомним, что тангенс может принимать любые действительные значения, то есть уравнение имеет решение при любом , множеством решений уравнения является множество действительных чисел R.

13.

Рис.13

Идя по алгоритму решения простейшего тригонометрического уравнения:

— представим схему единичной окружности (Рис.13);

— отметим на оси тангенсов заданное значение величины tgx, равное 1/√3 (а = 1/√3), где tgx равен 1/√3 – это точка пересечения линии луча угла х с осью тангенсов (Рис.13);

— обращаем внимание, что на единичной окружности выделяются две точки (диаметральная пара), лежащие на одной линии луча, который пересечет ось тангенсов в точке 1/√3 на оси тангенсов.Это две точки на единичной окружности, которые соответствуют значениям углов, равных π/6 и 7π/6 радиан (см.рис.13):

Эти две точки на единичной окружности, равные π/6 и 7π/6 радиан,и естьрешенияданного простейшего тригонометрического уравнения.При этом второе решение 7π/6 получим путем полуоборота (π) от первого угла (первой точки), равного π/6 радиан.

Поэтому, далее при совершении бесконечного целого числа поворотов (π) (полуоборотов) против часовой стрелки и по часовой стрелке получим целую серию решений (множество значений х), при которых tgx будет равен 1/√3,

это значения х: π/6; 7π/6 = π/6 + π; 7π/6 + π = π/6 + π +π;…

Все эти углы получаем из первого угла π/6 путем прибавления целого числа полуповоротов π (то есть с помощью нескольких полуоборотов в обе стороны).

Таким образом, можем записать полученную серию решений данного уравнения одной формулой, решение в общем виде (для любого числа оборотов, то есть для любого числа n):

где n – число оборотов, выраженное положительным или отрицательным целым числом из множества целых чисел Z.

Остальные уравнения с тангенсом решаются аналогично. Мы приведем лишь рисунки и формулы решения уравнений.

14.

Рис.14

15.

Рис.15

16.

Рис.16

рассмотреть самостоятельно,по аналогии с рассмотренными примерами других простейших тригонометрических уравнений.

Линия котангенсов так же имеет место, аналогично линии тангенсов, и также может быть проведена. Изображение линии котангенсов привести также самостоятельно. Дать описание оси котангенсов.

Итак, на сегодняшнем занятии мы разобрали решение простейших тригонометрических уравнений, содержащие в правой части уравнения табличные значения тригонометрических функций.

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

1. Рассмотреть, изучить и выучить полученный материал.

2. Законспектировать только вопросы 2 и 3.

Вопрос 1 должен быть законспектирован ранее из предыдущего материала. В сегодняшнем материале вопрос 1 представлен для повторения материала.

3. Серию табличных решений для уравнений:

выполнить самостоятельно и внести в конспект.

4. Выучить группу табличных решений простейших тригонометрических уравнений.

5. Знать ответы на Контрольные вопросы к теме:

— Понятие тригонометрического уравнения.

— Понятие тригонометрического круга.

— Определения и описание свойств тригонометрических функций.

— Понятие формул приведения.

— Выучить формулы общего вида решений всех рассмотренных простейших тригонометрических уравнений.

6. Внести в конспект Таблицу решений простейших тригонометрических уравнений и заполнить ее (см. Таблицу ниже).

ТаблицаРешений простейших тригонометрических уравнений

Источник

Значения тангенса и котангенса на тригонометрическом круге

В прошлой статье мы познакомились с тригонометрическим кругом и научились находить значения синуса и косинуса основных углов.

Где же на тригонометрическом круге оси тангенсов и котангенсов?

Ось тангенсов параллельна оси синусов (имеет тоже направление, что ось синусов) и проходит через точку (1; 0).

Ось котангенсов параллельна оси косинусов (имеет тоже направление, что ось косинусов) и проходит через точку (0; 1).

На каждой из осей располагается вот такая цепочка основных значений тангенса и котангенса: Почему так?

Я думаю, вы легко сообразите и сами. 🙂 Можно по-разному рассуждать. Можете, например, использовать тот факт, что и

Собственно, картинка за себя сама говорит.

Если не очень все же понятно, разберем примеры:

Пример 1.

Вычислить

Находим на круге . Эту точку соединяем с точкой (0;0) лучом (начало – точка (0;0)) и смотрим, где этот луч пересекает ось тангенсов. Видим, что

Ответ:

Пример 2.

Вычислить

Находим на круге . Точку (0;0) соединяем с указанной точкой лучом. И видим, что луч никогда не пересечет ось тангенсов.

не существует.

Ответ: не существует

Пример 3.

Вычислить

Находим на круге точку (это та же точка, что и ) и от нее по часовой стрелке (знак минус!) откладываем (). Куда попадаем? Мы окажемся в точке, что на круге у нас (см. рис.) названа как . Эту точку соединяем с точкой (0;0) лучом. Вышли на ось тангенсов в значение .

Так значит,

Ответ:

Пример 4.

Вычислить

Поэтому от точки (именно там будет ) откладываем против часовой стрелки .

Выходим на ось котангенсов, получаем, что

Ответ:

Пример 5.

Вычислить

Находим на круге . Эту точку соединяем с точкой (0; 0). Выходим на ось котангенсов. Видим, что

Ответ:

Теперь, умея находить по тригонометрическому кругу значения тригонометрических функций (а я надеюсь, что статья, где мы начинали знакомство с кругом и учились вычислять значения синусов и косинусов, вами прочитана…), вы можете пройт и тест по теме «Нахождение значений косинуса, синуса, тангенса и котангенса различных углов».

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Источник

Тангенс

Тангенс – одна из тригонометрических функций. Как и для всех других функций, значение тангенса определяется для конкретного угла или числа (в этом случае используют числовую окружность.

Аргумент и значение тангенса

Аргументом тангенса может быть:
— как число или выражение с Пи: \(1,3\), \(\frac<π><4>\), \(π\), \(-\frac<π><3>\) и т.п.
— так и угол в градусах: \(45^°\), \(360^°\),\(-800^°\), \(1^° \) и т.п.

Тангенс острого угла

1) Пусть дан угол и нужно определить тагенс этого угла.

2) Достроим на этом угле любой прямоугольный треугольник.

3) Измерив, нужные стороны, можем вычислить тангенс.

Вычисление тангенса числа или любого угла

Для чисел, а также для тупых, развернутых углов и углов больших \(360°\) тангенс чаще всего определяют с помощью синуса и косинуса, через их отношение:

Пример. Вычислите \(tg\:0\).
Решение: Чтобы найти тангенс нуля нужно найти сначала синус и косинус \(0\). И то, и другое найдем с помощью тригонометрического круга :

Точка \(0\) на числовой окружности совпадает с \(1\) на оси косинусов, значит \(cos\:0=1\). Если из точки \(0\) на числовой окружности провести перпендикуляр к оси синусов, то мы попадем в точку \(0\), значит \(sin\:⁡0=0\). Получается: \(tg\:0=\) \(\frac\) \(=\) \(\frac<0><1>\) \(=0\).

Прямая проходящая через начало отсчета на числовой окружности и параллельная оси ординат (синусов) называется осью тангенсов. Направление оси тангенсов и оси синусов совпадает.

Ось тангенсов – это фактически копия оси синусов, только сдвинутая. Поэтому все числа на ней расставляются так же как на оси синусов.

Чтобы определить тангенс с помощью числовой окружности, нужно:
1) Отметить соответствующую аргументу тангенса точку на числовой окружности.
2) Провести прямую через эту точку и начало координат и продлить её до оси тангенсов.
3) Найти координату пересечения этой прямой и оси тангенсов.

2) Проводим через данную точку и начало координат прямую.

3) В данном случае координату долго искать не придется – она равняется \(1\).

Пример. Вычислите \(tg\: 45°\) и \(tg\: (-240°)\).
Решение:
Для угла \(45°\) (\(∠KOA\)) тангенс будет равен \(1\), потому что именно в таком значении сторона угла, проходящая через начало координат и точку \(A\), пересекает ось тангесов. А для угла \(-240°\) (\(∠KOB\)) тангенс равен \(-\sqrt<3>\) (приблизительно \(-1,73\)).

В отличие от синуса и косинуса значение тангенса не ограничено и лежит в пределах от \(-∞\) до \(+∞\), то есть может быть любым.

Так происходит потому, что прямая проходящая через начало координат и любую из этих точек никогда не пересечет ось тангенсов, т.к. будет идти параллельно ей. Поэтому в этих точках тангенс – НЕ СУЩЕСТВУЕТ (для всех остальных значений тангенс может быть найден).

Знаки по четвертям

Для примера на рисунке нанесены две зеленые точки в I и III четвертях. Для них значение тангенса положительно (зеленые пунктирные прямые приходят в положительную часть оси), значит и для любой точки из I и III четверти значение тангенса будет положительно (знак плюс).
С двумя фиолетовыми точками в II и IV четвертях – аналогично, но с минусом.

Связь с другими тригонометрическими функциями:

Источник