Значения тангенса и котангенса на тригонометрическом круге
В прошлой статье мы познакомились с тригонометрическим кругом и научились находить значения синуса и косинуса основных углов.
Где же на тригонометрическом круге оси тангенсов и котангенсов?
Ось тангенсов параллельна оси синусов (имеет тоже направление, что ось синусов) и проходит через точку (1; 0).
Ось котангенсов параллельна оси косинусов (имеет тоже направление, что ось косинусов) и проходит через точку (0; 1).
На каждой из осей располагается вот такая цепочка основных значений тангенса и котангенса: 
Почему так?
Я думаю, вы легко сообразите и сами. 🙂 Можно по-разному рассуждать. Можете, например, использовать тот факт, что 
и 
Собственно, картинка за себя сама говорит.
Если не очень все же понятно, разберем примеры:
Пример 1.
Вычислить 
Находим на круге 
. Эту точку соединяем с точкой (0;0) лучом (начало – точка (0;0)) и смотрим, где этот луч пересекает ось тангенсов. Видим, что 
Ответ: 
Пример 2.
Вычислить 
Находим на круге 
. Точку (0;0) соединяем с указанной точкой лучом. И видим, что луч никогда не пересечет ось тангенсов.
не существует.
Ответ: не существует
Пример 3.
Вычислить 
Находим на круге точку 
(это та же точка, что и 
) и от нее по часовой стрелке (знак минус!) откладываем 
(
). Куда попадаем? Мы окажемся в точке, что на круге у нас (см. рис.) названа как 
. Эту точку соединяем с точкой (0;0) лучом. Вышли на ось тангенсов в значение 
.
Так значит, 
Ответ: 
Пример 4.
Вычислить 
Поэтому от точки 
(именно там будет 
) откладываем против часовой стрелки 
.
Выходим на ось котангенсов, получаем, что 
Ответ: 
Пример 5.
Вычислить 
Находим на круге 
. Эту точку соединяем с точкой (0; 0). Выходим на ось котангенсов. Видим, что 
Ответ: 
Теперь, умея находить по тригонометрическому кругу значения тригонометрических функций (а я надеюсь, что статья, где мы начинали знакомство с кругом и учились вычислять значения синусов и косинусов, вами прочитана…), вы можете пройт и тест по теме «Нахождение значений косинуса, синуса, тангенса и котангенса различных углов».
Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:
Повторим понятие «Линия (ось) тангенсов».
Начнём с геометрической интерпретации тангенса – так называемой линии тангенсов. Это линия АВ, параллельная оси ординат, проходящая как касательная к единичной окружности в точке пересечения единичной окружности с осью ОХ (см. Рис.В).
Рис.В
Повторим доказательство того, что данная линия может считаться осью, где будут размещены значения функции тангенса от данного аргумента.
Из подобия треугольников ОАВ и ONM на Рис.В имеем:
AB = tgx
Еще раз рассмотрим случай, когда x находится в первой четверти тригонометрического круга.
Аналогично повторим случаи, когда х находится в остальных четвертях.
В результате мы получили следующую геометрическую интерпретацию тангенса.
Тангенс угла х равен ординате точки В, которая является точкой пересечения линии тангенсов и прямой ОМ, соединяющей точку х с началом координат.
Повторим рассмотрение на Рис.Г случая, когда х находится во второй четверти. Тангенс угла х отрицателен.
Рис. Г
Напомним, что из данного Рис.Г мы видим, что в связи с параллельностью оси ОУ и линии тангенсов, линия продолжения линии угла, равного π/2, никогда не пересечется с линией котангенсов, что иллюстрирует факт того, что тангенс от угла π/2 – не определен.
Рассмотрим простейшие уравнения второй Табличной группы
Теперь в правой части уравнения будет стоять табличное значение тангенса или котангенса (напомним, что решение уравнений с а= 0, ±1 были рассмотрены на предыдущем занятии).
Вспомним, что тангенс может принимать любые действительные значения, то есть уравнение 
имеет решение при любом 
, множеством решений уравнения 
является множество действительных чисел R.
13. 
Рис.13
Идя по алгоритму решения простейшего тригонометрического уравнения:
— представим схему единичной окружности (Рис.13);
— отметим на оси тангенсов заданное значение величины tgx, равное 1/√3 (а = 1/√3), где tgx равен 1/√3 – это точка пересечения линии луча угла х с осью тангенсов (Рис.13);
— обращаем внимание, что на единичной окружности выделяются две точки (диаметральная пара), лежащие на одной линии луча, который пересечет ось тангенсов в точке 1/√3 на оси тангенсов.Это две точки на единичной окружности, которые соответствуют значениям углов, равных π/6 и 7π/6 радиан (см.рис.13):
Эти две точки на единичной окружности, равные π/6 и 7π/6 радиан,и естьрешенияданного простейшего тригонометрического уравнения.При этом второе решение 7π/6 получим путем полуоборота (π) от первого угла (первой точки), равного π/6 радиан.
Поэтому, далее при совершении бесконечного целого числа поворотов (π) (полуоборотов) против часовой стрелки и по часовой стрелке получим целую серию решений (множество значений х), при которых tgx будет равен 1/√3,
это значения х: π/6; 7π/6 = π/6 + π; 7π/6 + π = π/6 + π +π;…
Все эти углы получаем из первого угла π/6 путем прибавления целого числа полуповоротов π (то есть с помощью нескольких полуоборотов в обе стороны).
Таким образом, можем записать полученную серию решений данного уравнения одной формулой, решение в общем виде (для любого числа оборотов, то есть для любого числа n):
где n – число оборотов, выраженное положительным или отрицательным целым числом из множества целых чисел Z.
Остальные уравнения с тангенсом решаются аналогично. Мы приведем лишь рисунки и формулы решения уравнений.
14. 
Рис.14
15. 
Рис.15
16. 
Рис.16
рассмотреть самостоятельно,по аналогии с рассмотренными примерами других простейших тригонометрических уравнений.
Линия котангенсов так же имеет место, аналогично линии тангенсов, и также может быть проведена. Изображение линии котангенсов привести также самостоятельно. Дать описание оси котангенсов.
Итак, на сегодняшнем занятии мы разобрали решение простейших тригонометрических уравнений, содержащие в правой части уравнения табличные значения тригонометрических функций.
ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ
1. Рассмотреть, изучить и выучить полученный материал.
2. Законспектировать только вопросы 2 и 3.
Вопрос 1 должен быть законспектирован ранее из предыдущего материала. В сегодняшнем материале вопрос 1 представлен для повторения материала.
3. Серию табличных решений для уравнений:
выполнить самостоятельно и внести в конспект.
4. Выучить группу табличных решений простейших тригонометрических уравнений.
5. Знать ответы на Контрольные вопросы к теме:
— Понятие тригонометрического уравнения.
— Понятие тригонометрического круга.
— Определения и описание свойств тригонометрических функций.
— Понятие формул приведения.
— Выучить формулы общего вида решений всех рассмотренных простейших тригонометрических уравнений.
6. Внести в конспект Таблицу решений простейших тригонометрических уравнений и заполнить ее (см. Таблицу ниже).
ТаблицаРешений простейших тригонометрических уравнений
Значения тангенса и котангенса на тригонометрическом круге
В прошлой статье мы познакомились с тригонометрическим кругом и научились находить значения синуса и косинуса основных углов.
Где же на тригонометрическом круге оси тангенсов и котангенсов?
Ось тангенсов параллельна оси синусов (имеет тоже направление, что ось синусов) и проходит через точку (1; 0).
Ось котангенсов параллельна оси косинусов (имеет тоже направление, что ось косинусов) и проходит через точку (0; 1).
На каждой из осей располагается вот такая цепочка основных значений тангенса и котангенса: Почему так?
Я думаю, вы легко сообразите и сами. 🙂 Можно по-разному рассуждать. Можете, например, использовать тот факт, что и
Собственно, картинка за себя сама говорит.
Если не очень все же понятно, разберем примеры:
Пример 1.
Вычислить
Находим на круге . Эту точку соединяем с точкой (0;0) лучом (начало – точка (0;0)) и смотрим, где этот луч пересекает ось тангенсов. Видим, что
Ответ:
Пример 2.
Вычислить
Находим на круге . Точку (0;0) соединяем с указанной точкой лучом. И видим, что луч никогда не пересечет ось тангенсов.
не существует.
Ответ: не существует
Пример 3.
Вычислить
Находим на круге точку (это та же точка, что и ) и от нее по часовой стрелке (знак минус!) откладываем (). Куда попадаем? Мы окажемся в точке, что на круге у нас (см. рис.) названа как . Эту точку соединяем с точкой (0;0) лучом. Вышли на ось тангенсов в значение .
Так значит,
Ответ:
Пример 4.
Вычислить
Поэтому от точки (именно там будет ) откладываем против часовой стрелки .
Выходим на ось котангенсов, получаем, что
Ответ:
Пример 5.
Вычислить
Находим на круге . Эту точку соединяем с точкой (0; 0). Выходим на ось котангенсов. Видим, что
Ответ:
Теперь, умея находить по тригонометрическому кругу значения тригонометрических функций (а я надеюсь, что статья, где мы начинали знакомство с кругом и учились вычислять значения синусов и косинусов, вами прочитана…), вы можете пройт и тест по теме «Нахождение значений косинуса, синуса, тангенса и котангенса различных углов».
Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:
Тангенс
Тангенс – одна из тригонометрических функций. Как и для всех других функций, значение тангенса определяется для конкретного угла или числа (в этом случае используют числовую окружность.
Аргумент и значение тангенса
Аргументом тангенса может быть:
— как число или выражение с Пи: \(1,3\), \(\frac<π><4>\), \(π\), \(-\frac<π><3>\) и т.п.
— так и угол в градусах: \(45^°\), \(360^°\),\(-800^°\), \(1^° \) и т.п.
Тангенс острого угла
1) Пусть дан угол и нужно определить тагенс этого угла.
2) Достроим на этом угле любой прямоугольный треугольник.
3) Измерив, нужные стороны, можем вычислить тангенс.
Вычисление тангенса числа или любого угла
Для чисел, а также для тупых, развернутых углов и углов больших \(360°\) тангенс чаще всего определяют с помощью синуса и косинуса, через их отношение:
Пример. Вычислите \(tg\:0\).
Решение: Чтобы найти тангенс нуля нужно найти сначала синус и косинус \(0\). И то, и другое найдем с помощью тригонометрического круга :
Точка \(0\) на числовой окружности совпадает с \(1\) на оси косинусов, значит \(cos\:0=1\). Если из точки \(0\) на числовой окружности провести перпендикуляр к оси синусов, то мы попадем в точку \(0\), значит \(sin\:0=0\). Получается: \(tg\:0=\) \(\frac
Прямая проходящая через начало отсчета на числовой окружности и параллельная оси ординат (синусов) называется осью тангенсов. Направление оси тангенсов и оси синусов совпадает.
Ось тангенсов – это фактически копия оси синусов, только сдвинутая. Поэтому все числа на ней расставляются так же как на оси синусов.
Чтобы определить тангенс с помощью числовой окружности, нужно:
1) Отметить соответствующую аргументу тангенса точку на числовой окружности.
2) Провести прямую через эту точку и начало координат и продлить её до оси тангенсов.
3) Найти координату пересечения этой прямой и оси тангенсов.
2) Проводим через данную точку и начало координат прямую.
3) В данном случае координату долго искать не придется – она равняется \(1\).
Пример. Вычислите \(tg\: 45°\) и \(tg\: (-240°)\).
Решение:
Для угла \(45°\) (\(∠KOA\)) тангенс будет равен \(1\), потому что именно в таком значении сторона угла, проходящая через начало координат и точку \(A\), пересекает ось тангесов. А для угла \(-240°\) (\(∠KOB\)) тангенс равен \(-\sqrt<3>\) (приблизительно \(-1,73\)).
В отличие от синуса и косинуса значение тангенса не ограничено и лежит в пределах от \(-∞\) до \(+∞\), то есть может быть любым.
Так происходит потому, что прямая проходящая через начало координат и любую из этих точек никогда не пересечет ось тангенсов, т.к. будет идти параллельно ей. Поэтому в этих точках тангенс – НЕ СУЩЕСТВУЕТ (для всех остальных значений тангенс может быть найден).
Знаки по четвертям
Для примера на рисунке нанесены две зеленые точки в I и III четвертях. Для них значение тангенса положительно (зеленые пунктирные прямые приходят в положительную часть оси), значит и для любой точки из I и III четверти значение тангенса будет положительно (знак плюс).
С двумя фиолетовыми точками в II и IV четвертях – аналогично, но с минусом.
