Что такое плотность распределения наработки до отказа
Глава 03.1. Плотность распределения отказов (ПРО)
Статистическая оценка ПРО определяется отношением числа объектов 
N(t, t + T), отказавших в интервале наработки [t, t + T] к произведению общего числа объектов N на длительность интервала наработки T.
где
( t, t + T) – оценка ВО в интервале наработки, т. е. приращение ВО за T.
Оценка ПРО представляет «частоту» отказов, т. е. число отказов за единицу наработки, отнесенное к первоначальному числу объектов.
Вероятностное определение ПРО следует из (10) при стремлении интервала наработки T 
T0 и увеличения объема выборки N
ПРО по существу является плотностью распределения (плотностью вероятности) случайной величины T наработки объекта до отказа.
Поскольку Q(t) Является неубывающей функцией своего аргумента, то f(t) 
0.
Один из возможных видов графика f(t) приведен на рис. 2.
Отложим на оси абсцисс некоторую наработку T и бесконечно малый интервал наработки шириной Dt, примыкающий к T.
Тогда вероятность попадания случайной величины наработки T на элементарный участок шириной Dt (с точностью до бесконечно малых высшего порядка) равна:
где f(t)dt – элемент ВО объекта в интервале [t, t + dt] (геометрически это площадь заштрихованного прямоугольника, опирающегося на отрезок Dt).
Аналогично вероятность попадания наработки T в интервал [tk, tm ] равна:
что геометрически интерпретируется площадью под кривой f(t), опирающейся на участок [tk, tm ].
ВЕРОЯТНОСТЬ БЕЗОТКАЗНОЙ РАБОТЫ, ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ИНТЕНСИВНОСТЬ ОТКАЗОВ
Время появления отказа t* рассматривают как случайную величину.
Вероятность безотказной работы за время t
(14.1)
Символ Вер означает вероятность.
Пусть в начальный момент времени работает N0 изделий. Если к моменту времени наработки ti исправными оказались Nи(ti), а неисправными N*(ti) изделий, то статистическая оценка вероятности безотказной работы
(14.2)
(14.3)
число отказавших изделий увеличилось на
(14.4)
Вероятность отказа изделия за время Δti
(14.5)
Если отнести вероятность отказа в промежутке Δti
к самому промежутку, то получим плотность распределения отказов
(14.6)
Более точно плотность распределения в момент t
(14.7)
(14.9)
так как время до появления отказа — величина положительная. Из последнего соотношения следует:
(14.10)
Интенсивность отказов λ(t) представляет собой число отказов в единицу времени, отнесенное не к первоначальному числу изделий, а к числу изделий, находящихся в эксплуатации в данный момент:
(14.11)
Если учесть, что ( по смыслу)
(14.12)
(14.13)
Более точно интенсивность отказов в момент времени t
(14.14)
Интенсивность отказов характеризует плотность вероятности отказов в ближайший промежуток времени, если до его начала отказ еще не произошел.
Интенсивность отказов и плотность вероятности отказов связаны соотношением
(14.15)
Равенство λ(t) можно записать его в виде:
, (14.16)
Пример. В эксплуатацию с ресурсом 300 часов выпущена партия из 500 объектов. Число снятых объектов после различной выработки характеризуется следующими данными:
Определить плотность вероятности и интенсивность отказов в период времени от 0 до 50 и от 200 до 250 и вероятность безотказной работы за ресурс.
Решение. За первый период снято 20 объектов и плотность вероятности отказов (для середины интервала — 25 ч).
интенсивность отказов (среднее число работающих объектов 490)
За период от 200 до 250 снято 6 объектов.
Плотность вероятности отказов
Вероятность безотказной работы за ресурс
Среднее времябезотказной работы.
Если f(t) — плотность вероятности
отказов, то среднее время безотказной работы
Интегрированием по частям находим и другую эквивалентную формулу
(14.17)
Нормальный закон распределения наработки до отказа
Нормальное распределение вероятности безотказной работы описывает схему длительного «естественного» старения (постепенные отказы). В этом случае отказы являются следствием накопления повреждений:
– при постоянной скорости износа;
– однородном начальном качестве объектов.
При таких начальных условиях большая часть отказов наблюдается в течение конечного периода работы объекта.
Нормальное распределение, или распределение Гаусса, является наиболее универсальным, удобным и широко применимым.
Распределение всегда подчиняется нормальному закону, если на изменение случайной величины оказывают влияние многие примерно равнозначные факторы.
Нормальному распределению подчиняются наработка до отказа многих восстанавливаемых и невосстанавливаемых изделий, размеры, ошибки измерения деталей и т. д.
Плотность распределения отказов описывается формулой
. (4.9)
Распределение имеет два независимых параметра: математическое ожидание mt и среднее квадратическое отклонение S.
, (4.10)
. (4.11)
Графики изменения показателей безотказности при нормальном распределении приведены на рис. 4.5.
Выясним смысл параметров Т и S нормального распределения. Из графика f(t) видно, что Т является центром симметрии распределения, поскольку при изменении знака разности (t – Т) выражение (4.9) не меняется. При t = Т функция f(t) достигает своего максимума:
. (4.12)
| f(t) λ(t) |
| λ(t) |
| P(t) |
| f(t) |
| t |
Рис. 4.5. Графики функций показателей безотказности при нормальном распределении
Параметр S характеризует форму кривой f(t), т. е. рассеивание случайной величины T. Кривая плотности распределения f(t) тем выше и острее, чем меньше S. Она начинается от t = –∞ и распространяется до t = ∞. Это не является существенным недостатком, если T ≥ 3S, так как площадь, очерченная уходящими в бесконечность ветвями кривой плотности, очень мала. Так, вероятность отказа за период времени до Т = –3S составляет всего 0,135 % и обычно не учитывается в расчетах. Наибольшая ордината кривой плотности распределения равна 0,399/S (рис. 4.6).
Дата добавления: 2016-02-16 ; просмотров: 2228 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ
Глава 06. Нормальный закон распределения наработки до отказа. Классическое нормальное распределение
Нормальное распределение или распределение Гаусса является наиболее универсальным, удобным и широко применяемым.
Считается, что наработка подчинена нормальному распределению (нормально распределена), если плотность распределения отказов (ПРО) описывается выражением:
где A и B – параметры распределения, соответственно, МО и СКО, которые по результатам испытаний принимаются:
Графики изменения показателей безотказности при нормальном распределении приведены на рис. 1.
При сдвиге Т0 влево/вправо по оси абсцисс, кривая F(t) смещается в ту же сторону, не изменяя своей формы. Таким образом, Т0 является центром рассеивания случайной величины T, т. е. МО.
Параметр S характеризует форму кривой F(t), т. е. рассеивание случайной величины T. Кривая ПРО F(t) тем выше и острее, чем меньше S.
При большем разбросе значений случайной величины T область возможных значений ограничивается слева (0, 
) и используется усеченное нормальное распределение.
Функции распределения и надёжности наработки до отказа
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ
По дисциплине
«Диагностика и надежность автоматизированных систем»
Для студентов обучающихся по специальностям
Автоматизация технологических
Процессов и производств (лесной комплекс)
Раздел 1 Основные термины и определения теории надёжности
Объект, система и элементы
Объект (технический) – это предмет определенного целевого назначения, рассматриваемый на этапах проектирования, производства и эксплуатации.
Объектами могут быть различные системы и их элементы.
Система – этосовокупность элементов, взаимодействующих между собой в процессе выполнения заданных функций.
Элемент системы – это составная часть системы, которая рассматривается без дальнейшего разделения как единое целое. Внутренняя структура элемента в данном случае не является предметом исследования.
Понятия «система» и «элементы» условны: то, что является системой для одних задач, для других принимается элементом в зависимости от целей изучения, требуемой точности, уровня знаний о надежности и т. д.
Пример. Автоматизированная система управления технологическим процессом (АСУТП) может рассматриваться как элемент более сложной системы – автоматизированного технологического комплекса, включающего, помимо АСУТП, технологический объект управления.
Состояния и события
Работоспособное состояние – это состояние объекта, при котором значения параметров, характеризующих способность объекта выполнять заданные функции, находятся в пределах, установленных нормативно-технической и/или конструкторской (проектной) документацией.
Неработоспособное состояние – этосостояние объекта, при котором значение хотя бы одного параметра, характеризующего способность выполнять заданные функции, не находится в пределах, установленных нормативно-технической и/или конструкторской (проектной) документацией.
Пример. Система измерения температуры является неработоспособной, если основной параметр, характеризующий качество ее функционирования – погрешность измерения, превышает заданную величину.
Исправное состояние – это состояние, при котором объект соответствует всем требованиям нормативно-технической и/или конструкторской (проектной) документации.
Неисправное состояние – это состояние, при котором объект имеет хотя бы одно несоответствие требованиям нормативно-технической или конструкторской (проектной) документации.
Работоспособный объект удовлетворяет только тем требованиям, которые существенны для функционирования, и может не удовлетворять прочим требованиям (например, по сохранности внешнего вида объекта). Исправный объект должен удовлетворять всем требованиям нормативно-технической и конструкторской (проектной) документации. Объект, находящийся в исправном состоянии, всегда работоспособен, но работоспособный объект не всегда исправен.
Предельное состояние – это состояние объекта, при котором его применение по назначению или восстановление невозможно или нецелесообразно.
Применение (использование) объекта по назначению прекращается в следующих случаях:
· при неустранимом отклонении величин заданных параметров;
· при неустранимом нарушении безопасности;
· при недопустимом увеличении эксплуатационных расходов.
Отказ – это событие, которое заключается в нарушении работоспособности объекта, т. е. в переходе его из работоспособного в неработоспособное состояние.
Критерии отказа – это отличительный признак или совокупность признаков, по которым устанавливается факт возникновения отказа.
По типу отказы разделяются на
Функциональные – это отказы, при которых прекращается выполнение объектом одной или нескольких основных функций.
Параметрические – это отказы, при которых один или несколько параметров объекта изменяются в недопустимых пределах.
По характеру возникновения отказы разделяют на
Внезапные – это отказы, которые наступают в результате резкого, скачкообразного изменения одного или нескольких параметров объекта.
Постепенные – это отказы, которые наступают в результате длительного, постепенного изменения одного или нескольких параметров объекта.
По причине возникновения отказы разделяют на
Конструктивные – это отказы, которые возникают по причине связанной с несовершенством или нарушением установленных правил и/или норм проектирования и конструирования объекта.
Производственные – это отказы, связанные с несовершенством или нарушением технологического процесса изготовления или ремонта (на ремонтном предприятии) объекта.
Эксплуатационные – это отказы, связанные с нарушением правил и/или условий эксплуатации, при возникновении непредусмотренных внешних воздействий или воздействий высокой интенсивности.
По степени нарушения работоспособности отказы разделяют на
Полные – это отказы, после которых функционирование объекта полностью прекращается.
Частичные – это отказы, после которых может продолжаться функционирование объекта с ухудшенными показателями.
По характеру внешних проявлений отказы разделяют на
Очевидные (явные) – это отказы, которые обнаруживаются непосредственно после возникновения.
Скрытые (неявные) – это отказы, которые соответственно не обнаруживаются непосредственно после возникновения.
По характеру устранения отказы разделяют на
Устойчивые – это отказы, которые всегда требуют проведения мероприятий по восстановлению работоспособности объекта.
Самоустраняющиеся – это отказы, или сбои, которые устраняется в результате естественного возвращения объекта в работоспособное состояние без участия или при незначительном вмешательстве оператора, причем время устранения отказа мало или близко к нулю.
Перемежающиеся – это отказы, которые представляют собой многократно возникающие самоустраняющиеся отказы одного и того же характера. Как правило, для его устранения требуется вмешательство оператора.
По связи с предшествующим отказом отказы разделяют на
Первичные – это отказы, которые не являются следствием ранее возникших отказов.
Вторичные – это отказы, которые являются следствием ранее возникших отказов.
Повреждение – это событие, которое заключается в переходе объекта из исправного в неисправное (но работоспособное) состояние.
Восстановление – этособытие, которое заключается в переходе объекта из неработоспособного в работоспособное состояние.
Невосстанавливаемые – это объекты, восстановление которых непосредственно после отказа считается нецелесообразным или невозможным.
Восстанавливаемые – это объекты, которые восстанавливаются непосредственно после отказа.
Один и тот же объект в различных условиях применения может быть отнесён как к невосстанавливаемым, так и к восстанавливаемым.
Пример. Объект, расположенный в необслуживаемом помещении, куда запрещен доступ персонала во время работы технологического агрегата, относится к невосстанавливаемым, если персонал сразу же после отказа может начать восстановление то к восстанавливаемым.
Схема основных состояний и событий, характерных для восстанавливаемых объектов, приведена на рис.1.1.
 |
Наработка и ресурс
Наработка – это продолжительность или объём работы объекта.
Наработка до отказа – это наработка объекта от начала эксплуатации до возникновения первого отказа. Величина наработки до отказа зависит от случайных отклонений технологических условий изготовления отдельных элементов от номинальных, различия условий транспортировки, монтажа, наладки и не будет одинаковой у различных объектов даже при абсолютно одинаковых условиях эксплуатации. К тому же сами условия эксплуатации (температура, вибрация, качество технического обслуживания, частота включения и т. д.) в определенной степени отличны друг от друга, поэтому эта величина случайна. Наработка до отказа не всегда измеряется единицами времени, а может измеряться и числом включений (срабатываний, циклов). Однако для большей части объектов наработка до отказа измеряется единицами времени.
Наработка между отказами – это наработка объекта от окончания восстановления его работоспособного состояния после отказа до возникновения следующего отказа.
Технический ресурс – это наработка объекта от начала эксплуатации или возобновления эксплуатации после ремонта до наступления предельного состояния.
Технический ресурс может быть регламентирован, например, от начала эксплуатации до среднего или капитального ремонта, от среднего до капитального ремонта и т. п. Если регламентация отсутствует, то имеется в виду ресурс от начала эксплуатации до достижения предельного состояния после всех видов ремонтов.
Назначенный ресурс – это суммарная наработка объекта, при достижении которой эксплуатация должна быть прекращена независимо от его состояния.
Срок службы– это календарная продолжительность эксплуатации (в том числе, хранение, ремонт и т. п.) от ее начала до наступления предельного состояния.
Пример. На рис. 1.2 приведен график эксплуатации объекта.
 |
– начало эксплуатации;
, 
– моменты отключения объекта по технологическим причинам;
, 
, 
– моменты включения объекта в работу;
– момент вывода объекта в ремонт;
– момент прекращения эксплуатации;
– момент отказа объекта.
|
Технический ресурс (наработка до отказа)
.
.
.
Надежность
Надежность – это свойство объекта сохранять во времени в установленных пределах значения всех параметров, характеризующих его способность выполнять требуемые функции в заданных режимах и условиях эксплуатации, технического обслуживания, хранения и транспортировки.
Понятие надёжности имеет ряд особенностей:
· надёжность, как свойство объекта, не может быть выражена количественно;
· надёжность объекта проявляется с течением времени;
· надёжность зависит от условий эксплуатации и режимов применения объекта.
Надежность включает в себя четыре составляющие:
Безотказность – этосвойство объекта сохранять работоспособность (выполнять свои функции с эксплуатационными показателями не хуже заданных) в течение требуемого интервала времени непрерывно, без вынужденных перерывов. Безотказность является наиболее важной компонентой надежности, так как она отражает способность длительное время функционировать без отказов. Безотказность объектов в решающей степени влияет на эффективность их использования и определяется количеством и безотказностью составляющих, режимом их работы, наличием резервирования, параметрами окружающей среды (температурой, запыленностью) и др.
Ремонтопригодность – это свойство объекта, которое заключается в его приспособленности к предупреждению, обнаружению и устранению причин возникновения отказов, а также поддержанию и восстановлению работоспособного состояния путем проведения технического обслуживания и ремонтов. Ремонтопригодность зависит от структуры и составляющих объекта, а также от использования средств встроенного контроля работоспособности и диагностики. Следует отметить, что характеристики ремонтопригодности существенно зависят не только от свойств самого объекта, но и от квалификации обслуживающего персонала и от организации эксплуатации.
Долговечность – это свойство объекта сохранять работоспособность до наступления предельного состояния при установленной системе технического обслуживания и ремонта. Долговечность объекта зависит от долговечности технических средств и от подверженности объекта моральному старению.
Сохраняемость –это свойство объекта сохранять в заданных пределах значения параметров, характеризующих способность объекта выполнять требуемые функции в течение и после хранения и/или транспортирования. Сохраняемость характеризует поведение объекта в условиях, весьма существенно отличающихся от условий эксплуатации. Прежде всего во время хранения и транспортирования объект находится в выключенном состоянии. Кроме того, есть различия в температуре окружающей среды, влажности, других климатических условиях, механических нагрузках.
Раздел 2 Показатели надежности невосстанавливаемых объектов
Показателями надежности – это количественные характеристики одного или нескольких свойств, составляющих надежность объекта.
Показатели надежности представляются в двух формах
Вероятностная форма представляет собой некую аналитическую зависимость, в то время как статистическая форма получается по результатам испытаний на надежность и строится для некоторой совокупности объектов.
Основными показателями надёжности невосстанавливаемых объектов являются показатели безотказности.
Функции распределения и надёжности наработки до отказа
Наработка до отказа 
, как и любая иная случайная величина, описывается функцией распределения 
. Эта функция определяется как вероятность 
случайного события, которое заключатся в том, что наработка до отказа 
меньше некоторой заданной наработки 
. (2.1)
Эта вероятность рассматривается как функция 
во всем диапазоне возможных значений величины . Функция распределения любой случайной величины является неубывающей функцией времени 
.
Примерный вид функции дан на рис. 2.1.
 |
|
Так как значения не могут быть отрицательны, то 
. При 
величина стремится к единице.
Кроме вероятностного определения функции , для нее можно привести и статистические определения, которые используются при испытаниях на надежность.
Обозначения статистических определений далее будут отмечаться волнистой чертой сверху.
Для рассмотрения статистических определений показателей надежности невосстанавливаемых объектов предположим:
· на испытания поставлено 
одинаковых объектов;
· условия испытаний одинаковы;
· испытания каждого из объектов проводятся до его отказа.
Обозначим 
число объектов, отказавших к моменту , т. е. на интервале 
.Очевидно, что 
, а при величина 
.
Статистическим определением функции распределения является функция
, (2.2)
причем при 
величина 
,а при 
.
График функции распределения 
представляет собой ступенчатую линию со скачками, кратными 
в моменты отказов (рис. 2.1). С ростом числа испытываемых объектов функция распределения сходится по вероятности к распределению .
Так как события, которые заключаются в наступлении или не наступлении отказа к моменту , являются противоположными, то в соответствии с (2.1) введем еще одну функцию
, (2.3)
которую часто называют функцией надежности. Так как при объект работоспособен, то 
. С увеличением времени 
монотонно убывает, а при величина 
.Примерный вид функции показан на рис. 2.1.
Статистическое определение функции надежности следует из (2.2)
, (2.4)
где 
— число объектов, работоспособных к моменту времени .